PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 -2017 m¤N: TOÁN (Thời gian làm 120 phút) Bài 1: (4,0 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức: A = + + + + 19 21 + 23 + 25 + + 39 x x +1 x + 18 123 :2 2) Tìm số tự nhiên x, biết: 5 = 1000 18 chữ số Bài 2: (4,0 điểm) 1) Chứng minh với số tự nhiên n ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = 2) Chứng minh rằng: Nếu p số nguyên tố lớn 2p + số nguyên tố 4p + hợp số? Bài 3: (4,0 điểm) 1) Chứng minh số viết 27 chữ số giống chia hết cho 27 2) Tìm số tự nhiên n có chữ số biết n số phương n bội 147 Bài 4: (6,0 điểm) 1) Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ tia OB, OC cho · · · AOB = 1200 , AOC = 800 Gọi OM tia phân giác BOC · a) Tính AOM b) Vẽ tia ON tia đối tia OM Chứng minh OA tia phân giác ·CON 2) Trên nửa mặt phẳng bờ tia Ox, vẽ tia Ox 1, Ox2, Ox3, , Oxn cho: · · · · · · · · xOx = 2xOx1 ; xOx = 3xOx1 ; xOx = 4xOx1 ; ; xOx n = nxOx1 Tìm số n nhỏ để tia vẽ có tia tia phân giác chung 2017 góc Bài 5: (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên n nhỏ để phân số sau tối giản 100 ; ; ; ; n + n + 10 n + 11 n + 102 Họ tên thí sinh: Số báo danh: Phòng http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM m¤N: TOÁN (Đáp án biểu điểm chấm gồm 03 trang) Bài (4,0 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức: A = + + + + 19 21 + 23 + 25 + + 39 x x +1 x + 18 123 :2 2) Tìm số tự nhiên x, biết: 5 = 1000 18c/sô0 Nội dung Câu Ta có : + + + + 19 = (1 + 19) + (3 + 17) + (5 + 15) + (7 + 13) + (9 + 11) = 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100 21 + 23 + 25 + + 39 = (21 + 39) + (23 + 37) + (25 + 35) + (27 + 33) + (29 + 31) a) = 60 + 60 + 60 + 60 + 60 = 300 2.0đ 100 Suy A = 300 Rút gọn A = x x +1 x + 18 5 = 1000 123 :2 Điểm 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 18c/sô0 x + x +1+ x + = 10 : 218 0.5đ 18 b) 1018  10 10 10  0.5đ 2.0đ 53x +3 = 18 =  ÷ = 518  2 2 Suy ra: 3x + = 18 0.5đ Giải x = 0.5đ Bài 2: (4,0 điểm) 1) Chứng minh với số tự nhiên n ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = 2) Chứng minh rằng: Nếu p số nguyên tố lớn 2p + số nguyên tố 4p + hợp số? Câu Nội dung Điểm Gọi d ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) 0.5đ Suy ra: 21n + 4Md 14n + 3Md ⇒ 2.(21n + 4)Md 3.(14n + 3)Md 0.5đ a) ⇒ 3.(14n + 3) − 2.(21n + 4)Md 0.5đ 2.0đ 18 ⇒ 1Md ⇒ d =1 b) 2.0đ Vậy ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = + Vì p số nguyên tố, p > ⇒ 4p không chia hết cho Ta có 4p + = (2p + 1) Theo p > ⇒ 2p + 1> số nguyên tố ⇒ 2p + không chia hết cho Suy 4p + không chia hết cho Mà 4p; 4p + 1; 4p + ba số tự nhiên liên tiếp nên tồn số chia hết cho 4p + chia hết cho Vì 4p + > 13 nên 4p + số tự nhiên lớn có nhiều ước Suy 4p + hợp số http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Bài (4,0 điểm) 1) Chứng minh số viết với 27 chữ số giống chia hết cho 27 2) Tìm số tự nhiên n có chữ số biết n số phương n bội 147 Câu Nội dung Điểm Trước hết ta chứng minh số gồm 27 chữ số chia hết cho 27 0.5đ { 14 43 = 11 1x1000 01000 01 123 123 Thật vậy: 111 11 9c/sô 27c/sô 8c/sô 8c/sô a) 2.0đ { M9 1000 01000 01 3 M3 Mà 11 9c/sô 8c/sô 8c/sô 0.5đ ⇒ 111 1 M27 0.5đ 27c/sô1 nên Từ suy số viết 27 chữ số a số a 111 27c/sô1 số chia hết cho 27 Vì n số tự nhiên có chữ số nên 1000 ≤ n ≤ 9999 Theo n bội 147 nên n = 147.k = 72.3k Do n số phương nên phân tích thừa số nguyên tố lũy thừa thừa số nguyên tố phải có số mũ chẵn suy b) 2.0đ k M3 ⇒ k = 3m ⇒ n = 2.32.m = 441m ⇒ 1000 ≤ 441m ≤ 9999 ⇒ < m < 22 0.5đ 0.5đ 0.5đ Để n số phương m số phương ⇒ m = 4;9;16 0.5đ Suy số tự nhiên cần tìm là: 1764; 3969; 7056 0.5đ Bài 4: (6,0 điểm) 1) Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ tia OB,OC cho ·AOB = 1200 , AOC · · = 800 Gọi OM tia phân giác BOC · a) Tính AOM · b) Vẽ tia ON tia đối tia OM Chứng minh OA tia phân giác CON 2) Trên nửa mặt phẳng bờ tia Ox, vẽ tia Ox 1, Ox2, Ox3, , Oxn cho: ·xOx = 2xOx · · · · · · · ; xOx = 3xOx1 ; xOx = 4xOx1 ; ; xOx n = nxOx1 Tìm số n nhỏ để tia vẽ có tia tia phân giác chung 2017 góc Câu Nội dung Điểm M B Vẽ hình C ˆˆ O A N http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0.5đ · · Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA có AOC (800 < 1200) < AOB Þ Tia OC nằm hai tia OA OB a) 2.0đ · · · · · Þ AOC + BOC = AOB ⇒ 800 + BOC = 1200 ⇒ BOC = 400 · BOC 40 · · · Vì OM tia phân giác BOC ⇒ BOM = COM = = = 200 0.5đ (200< 1200) nên tia OM nằm hai tia OA OB 0.5đ 2 · · Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OB có BOM < BOA · · · ⇒ BOM + MOA = AOB · · 200 + MOA = 1200 ⇒ MOA = 1000 0.5đ · · Vì OM ON hai tia đối nên hai góc AOM AON hai góc kề bù b) 2.5đ c) 1.0đ · · ⇒ AOM + AON = 1800 · · ⇒ 1000 + AON = 1800 ⇒ AON = 800 · · Suy AOC ( 80 ) (1) = AON Vì hai tia OM ON nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ tia OA nên tia OA nằm hai tia OM ON (2) · Từ (1) (2) suy tia OA tia phân giác CON Trên nửa mặt phẳng bờ tia Ox, vẽ tia Ox 1, Ox2, Ox3, , Oxn cho: · · · · · · · · xOx = 2xOx1 ; xOx = 3xOx1 ; xOx = 4xOx1 ; ; xOx n = nxOx1 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ · = x· Ox = x· Ox = = x· Ox ⇒ xOx 2 n −1 n Vậy n nhỏ n = 2017.2 = 4034 lúc Ox 2017 tia phân giác · · · · chung 2017 góc: xOx 4034 = x1Ox 4033 = x Ox 4032 = = x 2016 Ox 2018 Bài (2,0 điểm): Tìm số tự nhiên n nhỏ để phân số sau số tối giản 100 ; ; ; ; n + n + 10 n + 11 n + 102 Câu Nội dung Các phân số cho có dạng: a) 2.0đ 0.5đ a , phân số tối a + (n + 2) giản nên n + a phải hai số nguyên tố Như n + phải nguyên tố với số 7; 8; 9; ; 100 n + phải số nhỏ Þ n + số nguyên tố nhỏ lớn 100 Þ n + = 101 Þ n = 99 0.5đ Điểm 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ *) Mọi cách giải khác cho điểm tối đa theo thang điểm *) Tổ giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án thống *) Chấm cho điểm phần, điểm toàn tổng điểm thành phần không làm tròn http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ...PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 20 16- 2017 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM m¤N: TOÁN (Đáp án biểu điểm chấm gồm 03 trang) Bài (4,0 điểm) 1)... 21 + 23 + 25 + + 39 = (21 + 39) + (23 + 37) + (25 + 35) + (27 + 33) + (29 + 31) a) = 60 + 60 + 60 + 60 + 60 = 300 2.0đ 100 Suy A = 300 Rút gọn A = x x +1 x + 18 5 = 1000 123 :2 Điểm 0.5đ 0.5đ... tố phải có số mũ chẵn suy b) 2.0đ k M3 ⇒ k = 3m ⇒ n = 2.32.m = 441m ⇒ 1000 ≤ 441m ≤ 9999 ⇒ < m < 22 0.5đ 0.5đ 0.5đ Để n số phương m số phương ⇒ m = 4;9; 16 0.5đ Suy số tự nhiên cần tìm là: 1 764 ;