Mục lục Lời mở đầu iii Danh mục kí hiệu Kiến thức chuẩn bị vi 1.1 Tập afin tập lồi 1.2 Hàm toàn phương hàm lồi 1.3 Qui hoạch tuyến tính định lý Định lý Frank-Wolfe qui hoạch toàn phương 14 2.1 Bài toán qui hoạch toàn phương 14 2.2 Định lý Frank-Wolfe qui hoạch toàn phương 15 2.3 Ví dụ 24 Một số dạng mở rộng định lý Frank-Wolfe 28 3.1 Qui hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương 28 3.2 Hệ bất đẳng thức toàn phương lồi 29 3.3 Trường hợp ràng buộc toàn phương lồi 36 3.4 Hàm mục tiêu tựa lồi 49 i Kết luận 56 Tài liệu tham khảo ii 58 Lời mở đầu Trong qui hoạch tuyến tính ta biết kiện quen thuộc sau: Một hàm tuyến tính bị chặn tập lồi đa diện D = ∅ phải đạt cực tiểu D (xem chẳng hạn, [9] Định lý 9, tr 312) Tính chất đáng ý, không cho qui hoạch phi tuyến, nói chung Tính chất xem định lý qui hoạch tuyến tính Vào năm 1956 M Frank F Wolfe [6] công bố kết quan trọng hàm toàn phương (bất kể hàm lồi hay không) mà bị chặn tập lồi đa diện D = ∅ hàm chắn đạt cực tiểu D Kết biết với tên gọi Định lý Frank - Wolfe định lý mở rộng định lý qui hoạch tuyến tính Một số tác giả tiếp tục mở rộng định lý Frank - Wolfe cho hàm mục tiêu khác D khác tập lồi đa diện Chẳng hạn, A F Perold (1980) mở rộng cho lớp hàm mục tiêu không toàn phương tập lồi đa diện, Z.-Q Luo S Zhang [8] chứng minh hàm mục tiêu lồi toàn phương bị chặn tập lồi D = ∅, xác định hệ bất đẳng thức toàn phương lồi, đạt cực tiểu D Luận văn đề cập tới toán tìm cực tiểu hàm toàn phương với hữu hạn ràng buộc bất đẳng thức toàn phương, gọi tắt toán qui hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương, kí hiệu QCQP iii (Quadratically Constrained Quadratic Programming) Trong luận văn trình bày định lý Frank-Wolfe số kết mở rộng Z.-Q Luo S Zhang nêu tài liệu tham khảo [8], với đầy đủ diễn giải lập luận toán học chặt chẽ, tìm đưa thêm ví dụ minh họa Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trình bày số kiến thức cần chuẩn bị tập lồi, tập đa diện lồi, hàm lồi, hàm toàn phương, qui hoạch tuyến tính định lý Chương tác giả chủ yếu dựa tài liệu [1], [2] Chương Định lý Frank-Wolfe qui hoạch toàn phương Đề cập tới toán qui hoạch toàn phương, định lý Frank-Wolfe (mở rộng định lý bản) Mục đưa ví dụ minh họa cho trường hợp định lý không Chương tác giả chủ yếu dựa tài liệu [4], [5], [6], [7], [9] Chương Một số mở rộng định lý Frank-Wolfe Dựa chủ yếu tài liệu [8], tác giả nêu kết qui hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương, hệ bất đẳng thức toàn phương lồi, trường hợp ràng buộc toàn phương lồi, hàm mục tiêu tựa lồi Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề luận văn chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi có sai sót cách trình bày Tác giả mong nhận góp ý xây dựng thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn GS-TS Trần Vũ Thiệu tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn iv Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo Viện Toán Học - Viện Hàn Lâm Khoa Học Công Nghệ Việt Nam, giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng, Ban chức trường THPT Nguyễn Đăng Đạo - Bắc Ninh tập thể bạn bè đồng nghiệp gia đình quan tâm giúp đỡ, động viên để tác giả hoàn thành tốt luận văn Hà Nội, ngày 30 tháng 08 năm 2015 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Mai v Danh mục kí hiệu R R Rn Sn inf(A) sup(A) reD f max f ∂D ∞ [a, b] x∈M ∅ M ⊂N M ∩N M \N ¯ δ) B(x, n x = đường thẳng thực mở rộng đường thẳng thực không gian Euclide n-chiều tập ma trận đối xứng cấp n cận A cận A nón lùi xa D giá trị cực tiểu f giá trị cực đại f biên D vô tập số thực {t ∈ R : a ≤ t ≤ b} phần tử x thuộc M tập rỗng M tập N giao hai tập M N tập điểm thuộc M không thuộc N hình cầu đóng tâm x, bán kính δ (xi )2 chuẩn Euclid x Rn i=1 T x ∀x ∃x x, y ∇f (x) QCQP QP chuyển vị x với x tồn x tích vô hướng x y gradient f x qui hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương qui hoạch toàn phương kết thúc chứng minh vi Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức giải tích lồi khái niệm tập lồi, tập lồi đa diện, hàm lồi, hàm toàn phương tính chất, , tối ưu hóa toán qui hoạch tuyến tính, qui hoạch lồi, qui hoạch toàn phương, định lý tồn nghiệm tối ưu, , nội dung cần thiết cho việc trình bày nội dung chương sau Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1], [2] 1.1 Tập afin tập lồi Định nghĩa 1.1.1 Một tập M ⊂ Rn gọi tập afin (hay đa tạp tuyến tính) λa + (1 − λ) b ∈ M với ∀a, b ∈ M ∀λ ∈ R, tức M chứa hai điểm M chứa đường thẳng qua hai điểm Định lý 1.1.2 Tập M không rỗng tập afin M = a + L, a ∈ M L không gian Định nghĩa 1.1.3 Không gian L nói gọi không gian song song với tập afin M Ký hiệu L//M Định nghĩa 1.1.4 Thứ nguyên (hay số chiều) tập afin M , ký hiệu dimM, định nghĩa số chiều không gian song song với Ta qui ước dim∅ = −1 Định lý 1.1.5 Một tập afin k chiều có dạng M = {x : Ax = b} với A ∈ Rm×n , b ∈ Rm rankA = n − k (M tập nghiệm hệ phương trình tuyến tính) Ngược lại, tập khác rỗng có dạng tập afin k chiều Định nghĩa 1.1.6 Một tập afin (n − 1) chiều Rn gọi siêu phẳng Định nghĩa 1.1.7 Trong Rn siêu phẳng H = {x : a, x = α} với a ∈ Rn \{0} α ∈ R chia Rn thành hai nửa không gian đóng: H − = {x : a, x ≤ α} H + = {x : a, x ≥ α}; Mỗi nửa không gian phía siêu phẳng phần chung chúng siêu phẳng H Tương tự, H chia Rn thành hai nửa không gian mở: {x : a, x < α} {x : a, x > α} Định nghĩa 1.1.8 Một tập gọi tập lồi đa diện giao số hữu hạn nửa không gian đóng (hay tập lồi đa điện tập hợp nghiệm hệ hữu hạn bất phương trình tuyến tính) Định nghĩa 1.1.9 Bao afin tập E giao tất tập afin chứa E , ký hiệu aff(E) Đó tập afin nhỏ chứa E Định nghĩa 1.1.10 Một tập k điểm x1 , x2 , , xk gọi độc lập afin k − vectơ x2 − x1 , , xk − x1 độc lập tuyến tính Qua n điểm độc lập afin Rn có siêu phẳng Định nghĩa 1.1.11 Tập hợp C ⊂ Rn gọi tập lồi λa + (1 − λ) b ∈ C với ∀a, b ∈ C ≤ λ ≤ tức C chứa hai điểm C chứa đoạn thẳng nối hai điểm Định nghĩa 1.1.12 Thứ nguyên (hay số chiều) tập lồi C ⊂ Rn , ký hiệu dimC, thứ nguyên bao afin Một tập lồi C Rn gọi có thứ nguyên đầy đủ dimC = n Định nghĩa 1.1.13 Một tập C gọi nón λx ∈ C với ∀λ > ∀x ∈ C theo định nghĩa, ta thấy gốc tọa độ thuộc nón không thuộc nón Một nón gọi nón lồi đồng thời tập lồi Một nón lồi gọi nón nhọn không chứa đường thẳng Khi ta nói O đỉnh nón Nếu nón lồi lại tập lồi đa diện ta nói nón lồi đa diện Mệnh đề 1.1.14 Một tập C nón lồi có tính chất sau: (i) λC ⊆ C với ∀λ > 0, (ii) C + C ⊆ C Định nghĩa 1.1.15 Cho C tập lồi Rn Một vectơ y = gọi hướng lùi xa C , tia xuất phát từ điểm C theo hướng y nằm chọn C , tức là, y hướng lùi xa x + λy ∈ C với ∀x ∈ C ∀λ ≥ Một hướng lùi xa gọi hướng vô hạn Ta ký hiệu tập hợp tất hướng lùi xa tập lồi C vectơ recC Tập hợp gọi nón lùi xa C Mệnh đề 1.1.16 Giả sử C tập lồi đóng Khi y hướng lùi xa C x + λy ∈ C với ∀λ ≥ x ∈ C Định nghĩa 1.1.17 Cho C tập lồi khác rỗng x ∈ C Ta nói d ∈ Rn hướng chấp nhận C x tồn t0 > cho x + td ∈ C với ≤ t ≤ t0 Tập tất hướng chấp nhận nón lồi chứa gốc Ta ký hiệu nón FC (x) gọi nón hướng chấp nhận (hay nón chấp nhận được) C x Định nghĩa 1.1.18 Cho tập E ⊂ Rn Giao tất tập lồi chứa E gọi bao lồi E , ký hiệu conv (E) Đó tập lồi nhỏ chứa E Có thể thấy: (i) conv (E) trùng với tập tất tổ hợp lồi phần tử thuộc E (ii) Bao đóng tập lồi tập lồi Định nghĩa 1.1.19 Một điểm a tập C gọi điểm C có hình cầu tâm a nằm trọn C Tập điểm C gọi phần C Ký hiệu intC Định lý 1.1.20 Một tập lồi C ⊂ Rn có phần khác rỗng có thứ nguyên đầy đủ Định nghĩa 1.1.21 Bao nón lồi tập E (còn gọi nón lồi sinh E ) giao tất nón lồi chứa E Ký hiệu coneE chấp nhận (3.15), h wk (t) hàm toàn hương t Ngoài ra, kiểm tra rằng, cách dùng điều kiện (3.17), hệ số t2 đa thức toàn phương z1k Nếu z1k < h wk (t) → −∞, với t lớn, mâu thuẫn với tính bị chặn toán (3.13) Do đó, ta có z1k ≥ 0, ∀k Không giảm tính tổng quát, giả sử z1k ↓ Như lưu ý trên, toán (3.15) phải có cận hữu hạn Theo định lý Frank - Wolfe, cận đạt Do đó, theo Bổ đề 3.3.58, ta inf ((3.15)) = inf ((3.13)) nghiện cực tiểu toán (3.15) nghiệm cực tiểu toán (3.13) Rõ ràng, inf ((3.15)) ≥ inf ((3.13)) Bây ta ra, inf ((3.15)) ≤ inf ((3.13)) xong Xét hệ tuyến tính theo z¯: Az ≤ c Tồn y¯k cho: A¯ y k ≤ c; y¯k − z¯k = O z1k , (3.18) đó, ”O” đại lượng không đổi, không phụ thuộc vào k Đặt y k = 0, y¯k T T Khi đó, khai triển Taylor, ta có: k T y − z k Q y k − z k + Qzk + q 2 ≤ O yk − zk + O yk − zk zk h yk − h zk = ≤O z1k +O z k z1k − z1k z k T y k − z k − z1k z k − z1k z k 2 < 0, với k đủ lớn, cuối bước hai suy từ (3.18) bước cuối z k → ∞ z1k ↓ Lấy giới hạn với k → ∞, ta được: lim inf h y k − inf ((3.13)) ≤ k→∞ Điều có nghĩa inf ((3.15)) ≤ inf ((3.13)) Theo Bổ đề 3.3.58 ta 45 kết cần chứng minh Sử dụng Bổ đề 3.3.59 ta kết Bổ đề 3.3.60 (Xem([8, tr.13]) Nếu (3.10) bị chặn miền chấp nhận được, (3.10) đạt cận Chứng minh Tiếp tục Bổ đề 3.3.59 nêu trên, cần xét trường hợp λ = 0; 0; ∀i chuẩn dãy dần tới inf ((3.10)) không bị chặn Áp dụng Bổ đề 3.3.59 ta kết luận (3.11) có nghiệm tối ưu Vì inf ((3.11)) = inf ((3.10)), suy tồn nghiệm tối ưu (3.10) Bổ đề 3.3.61 (Xem([8, tr.13]) Xét toán qui hoạch toàn phương đây: min{ y T Qy + q T y}, (QP) với By c Giả sử tồn vô hạn tập U V cho với q ∈ U c ∈ V , toán QP có nghiệm tối ưu Khi đó, tồn tập vô hạn U ⊆ U, V ⊆ V ánh xạ afin L độc lập với U V cho với q ∈ U , c ∈ V , nghiệm tối ưu y toán QP biểu diễn dạng: y = L(q, c) Chứng minh Đầu tiên, theo định lý Frank - Wolfe, nghiệm tối ưu toán QP đạt Tiếp theo, nghiệm tối ưu QP nghiệm 46 toán (LCP) sau:  Qy + q + B T x =      By + s = c  si xi = 0, ∀i     s ≥ 0; x ≥ (LCP) Để thuận tiện, giả sử ma trận B ma trận có hạng cột đầy đủ Kí hiệu I tập số cho BI khả nghịch Kí hiệu J phần bù I Khử y ta toán (LCP)’ tương đương với toán (LCP) đây: x1 = −BI−T QBI−T cI + q + BI−T QBI−T s1 − BI−T BJT xJ sJ = cJ − BJ BI−T c1 + BJ BI−T sI (LCP’) Hoán đổi biến số từ phải sang trái Gọi biến bên trái biến chính, biến bên phải biến phụ Khi đó, nghiệm (x, s) đạt công thức tuyến tính đơn giản từ (LCP)’ Vì có hữu hạn cách phân chia tập số, ta kết luận phải có tập vô hạn U ⊆ U V ⊆ V cho với q ∈ U c ∈ V bất kỳ, phân chia biến - biến phụ vectơ (x, s) lại không đổi Chính thế, nghiệm (x, s) biểu diễn hàm afin q c Cuối cùng, thấy biến y liên quan đến s theo hệ thức sau y = BI−1 cI − BI−1 sI Bổ đề chứng minh Để thuận lợi hơn, ta đưa vào biến phụ y0 (3.6) xét 1 minf (x, y0 , y) := xT Qx + q T x + (g T + xT G)y + y T Hy 2 với x ≤ y0 ; Ax + By ≤ c, y0 = hT y + d 47 (3.19) Bổ đề 3.3.62 (Xem([8, tr.14]) Giả sử toán (3.19) bị chặn tập ràng buộc Khi đó, cận (3.19) đạt Chứng minh Xét dãy (xk , y0k , y k ) tập ràng buộc toán (3.6) cho f (xk , y0k , y k ) ↓ inf ((3.19)) Với k cố định, xét toán QP với ràng buộc tuyến tính sau: T min(g T + (xk ) G)y + y T Hy (3.20) với By ≤ c − Axk , hT y = y0k − d Bài toán (3.20) bị chặn (3.19) bị chặn Theo định lý Frank Wolfe (3.20) đạt cận Áp dụng Bổ đề 3.3.61 để kết luận tồn tập hữu hạn K ⊂ {1, 2, 3, } cho k ∈ K toán (3.20) có nghiệm tối ưu biểu diễn dạng: y¯k = L1 xk + y0k l2 + l3 với L1 ma trận cố định l2 , l3 vectơ cố định Thế hệ thức y = L1 x + y0 l2 + l3 vào toán (3.19) ta toán dạng (3.10) Bài toán bị chặn có cận (3.19) Theo Bổ đề 3.3.60 Bổ đề 3.3.58 cận (3.19) đạt Lược đồ chứng minh Định lý (3.3.57): Chứng minh định lý chia làm nhiều bước nhỏ Ý chứng minh trình bày số phép đổi biến phát biểu lại toán cho cấu trúc chất toán bộc lộ rõ ràng, sau áp dụng định lý 48 Frank-Wolfe cho toán thu Sử dụng bổ đề vài phép biến đổi, định lý chứng minh Ví dụ sau tính lồi ràng buộc toàn phương cần thiết, giảm nhẹ Ví dụ 3.3.63 Xét toán qui hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương R2 sau: x2 với − xy ≤ 0, −y ≤ Rõ ràng, cận toán 0, không đạt Trong trường hợp này, ràng buộc toàn phương xy ≥ không lồi, tập ràng buộc lồi 3.4 Hàm mục tiêu tựa lồi Ví dụ nêu phần trước định lý Frank-Wolfe không cho toán ràng buộc toàn phương lồi ma trận Hessian hàm mục tiêu có nhiều giá trị riêng âm Một câu hỏi tự nhiên đặt ra: Định lý không ma trận Hessian hàm mục tiêu nhiều giá trị riêng âm? Ta nghiên cứu để trả lời câu hỏi Xét hàm toàn phương: f (x) = xT Qx + q T x, ∀x ∈ Rn Bằng cách sử dụng biến đổi trực chuẩn ta biểu diễn hàm f dạng sau: f¯ (y) = − p r yi2 i=1 n + yi2 + λi yi i=p+1 i=r+1 49 Nếu p ≥ 1, hàm không lồi Hơn nữa, hàm tựa lồi giả lồi p ≤ Do đó, trường hợp p = đáng quan tâm Trong trường hợp xét hai nón bậc hai (lồi) sau: r C1 = y: y12 yi2 , y1 ≥ − i=2 r C2 = y: y12 yi2 , y1 ≤ − i=2 Bổ đề 3.4.64 (Xem([8, tr.15]) Hàm f¯(y) tựa lồi tập lồi C (i) p ≤ 1; (ii) C ⊆ C1 C ⊆ C2 ; (iii) Nếu r < n λi = với i = r + 1, , n Nói cách đơn giản, ma trận Hessian hàm mục tiêu toán toàn phương tựa lồi có giá trị riêng âm Bây ta xét toán: minf0 (x) = xT Q0 x + q0T x (P’) với fi (x) = xT Qi x + qiT x + ci ≤ 0, i = 1, 2, , m; Ax ≤ b Trong đó, f0 (x) hàm tựa lồi tập đa diện {x : Ax ≤ b} hàm ràng buộc toàn phương fi (x) lồi vớii = 1, , m Chú ý rằng, so với toán (P) toán (P’) có ràng buộc đa diện xác định rõ ràng Ta yêu cầu f0 (x) tựa lồi tập đa diện bao hàm tập ràng buộc 50 (P’) tập chấp nhận Với điều kiện không hạn chế, tập ràng buộc (P’) bao hàm hình nón bậc hai Theo cách hàm f0 (x) tựa lồi Do đó, ta thêm ràng buộc afin (nếu cần thiết) cho tập ràng buộc không đổi phần đa diện trở nên chặt chẽ để bao hàm hình nón bậc hai Như tính tựa lồi hàm f0 (x) tập ràng buộc (P’) thay tính tựa lồi f0 (x) tập đa diện Định lý 3.4.65 (Xem([8, tr.17]) Nếu hàm mục tiêu f0 toán (P’) bị chặn f0 (x) tựa lồi tập lồi đa diện {x : Ax ≤ b} khác rỗng, toán (P’) có nghiệm tối ưu Chứng minh Chứng minh tương tự phân tích phần chứng minh Định lý 3.3.57 Ta áp dụng phương pháp qui nạp theo m với m số ràng buộc toàn phương Nếu m = 1, định lý trở thành trường hợp đặc biệt Định lý 3.3.57, định lý Giả sử định lý với m ≤ l Do tính tựa lồi f0 (x), không giảm tính tổng quát nên ta giả sử f0 (x) (nhờ phép biến đổi tuyến tính) có dạng: f0 (x) = −x21 + x22 + + x2n (3.21) Ax ≤ b ⇒ f0 (x) ≤ 0; x1 ≥ (3.22) Bây giờ, ta xét trường hợp m = l + Ta xây dựng chuỗi toán bị chặn sau gọi toán (P )k : minf0 (x) = xT Q0 x + q0T x 51 với fi (x) = xT Qi x + qiT x + ci ≤ 0, i = 1, 2, , l + 1, Ax ≤ b, x ≤ k, k = 1, 2, Tương ứng với (P )k tồn nghiệm tối ưu tính compact miền chấp nhận Kí hiệu xk nghiệm có chuẩn nhỏ (P )k Hiển nhiên, dãy {xk : k = 1, 2, } bị chặn thấy định lý chứng minh Không tính tổng quát, giả sử xk k x k→∞ lim xk → ∞ = u, với u thỏa mãn u = Vì {f0 (xk ) : k = 1, 2, } dãy đơn điệu giảm fi (x) toàn phương lồi với i = 1, 2, , l + ta suy uT Q0 u = (3.23) uT Qi u = 0, ∀i = 1, 2, , l + 1, (3.24) qiT u ≤ 0, ∀i = 1, 2, , l + 1, (3.25) Au ≤ (3.26) Bây ta xét hai trường hợp phân biệt: Trường hợp 1: Tồn j ∈ {1, 2, , l + 1} cho qjT u < Không tính tổng quát ta giả sử j = l + Trong trường hợp ta xét: minf0 (x) = xT Q0 x + q0T x, với fi (x) = xT Qi x + qiT x + ci , i = 1, 2, , l; Ax ≤ b 52 Có hai khả toán "min" này: Hoặc bị chặn, có nghiệm cực tiểu theo giả thiết qui nạp Trong hai khả đó, tính liên tục f0 tồn nghiệm x cho f0 (x ) = infk≥1 f0 (xk ) fi (x ) ≤ 0, i = 1, 2, l; Ax ≤ b (3.27) Nếu fl+1 (x ) ≤ 0, x nhiệm tối ưu (P ) định lý Bây xét khả fl+1 (x ) > Cho x = (x1 , x ¯ ), đó, x¯ = (x2 , x3 , , xn ) x¯k định nghĩa tương tự: x¯k = (xk2 , xk3 , , xkn ) Nhớ lại f0 (xk ) ↓ f0 (x ) f0 (x) hàm tựa lồi miền xác định Ta khẳng định uT ∇f0 (x ) ≤ (3.28) Để thấy điều đó, ta nhớ lại từ (3.22) rằng: x1 ≥ x¯ , xk1 ≥ x¯k , ∀k Theo định nghĩa fo (x) (theo (3.21)), ta có: T ∇f0 (x ) T xk − x = 2(−x , x¯ ) xk − x T = 2(−x , x¯ ) xk − 2f0 (x ) n k x i xki − 2f0 (x ) = −2x x + i=2 k ≤ −2x x + x¯ x¯k − 2f0 (x ) ≤ −2 x¯ xk − x¯k − 2f0 (x ) x¯ f0 xk − 2f0 (x ) , = k k x1 + x¯ 53 đó, ta có cuối bước hai bị chặn Chia hai vế cho xk − x cho k → ∞, ta T lim sup ∇f0 (x ) k→∞ xk − x xk − x ≤ 0, suy (3.28) thỏa mãn Bây giờ, ta định nghĩa: t∗ := − fl+1 (¯ x) (> 0) T ql+1 u (3.29) cho x (t∗ ) := x + t∗ u Rõ ràng, T fl+1 (x (t∗ )) = fl+1 (x ) + t∗ (∇fl+1 (x )) u (3.30) T = fl+1 (x ) + t∗ ql+1 u = 0, đó, ta áp dụng Ql+1 u = (3.29) Theo (3.24) (3.25) ta có: T fi (x (t∗ )) = fi (x ) + t∗ (∇fi (x )) u (3.31) = fi (x ) + t∗ qiT u ≤ fi (x ) ≤ 0, với i = 1, 2, , l Cuối cùng, theo (3.23) (3.28) ta có: f0 (x (t∗ )) = f0 (x ) + t∗ uT ∇f0 (x ) ≤ f0 (x ) = inf (P ) 54 (3.32) Kết hợp (3.30), (3.31) (3.32) ta kết luận x (t∗ ) nghiệm tối ưu (P ) Trường hợp 2: qiT u = 0, ∀i = 1, 2, , l + Trong trường hợp này, ta biết u −u hướng lùi xa tập ràng buộc (P ) Với k cố định, f0 xP < f0 xk , với p > k , f0 tựa lồi, ta có: xp − xk T ∇f0 xk ≤ 0, ∀p > k Chia hai vế cho xp cho p → ∞, ta có: uT ∇f0 xk ≤ Vì u hướng lùi xa (P ) bị chặn dưới, ta kết luận uT ∇f0 xk = 0, ∀k = 1, 2, xk k k→∞ x Bây giờ, u = lim (3.33) , suy với k đủ lớn uT xk > 0, (Au)i < ⇒ Axk − b i < 0, ∀i Điều có nghĩa tồn ε0 > cho với < ε ≤ ε0 , xk (ε) := xk − εu nghiệm chấp nhận (P ) (P )k Theo (3.34) ta có f0 xk (ε) = f0 xk với < ε ≤ ε0 55 (3.34) Tuy nhiên, xk (ε) = xk − 2ε uT xk + ε2 ta chọn ε > đủ bé cho xk (ε) < xk Điều mâu thuẫn với giả thiết xk nghiệm có chuẩn nhỏ (P )k Như vậy, trường hợp hai không tồn Định lý chứng minh xong 56 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số vấn đề sau: Trình bày số kiến thức giải tích lồi khái niệm tập lồi, tập lồi đa diện, hàm lồi, hàm toàn phương tính chất, , tối ưu hóa toán qui hoạch tuyến tính, qui hoạch lồi, qui hoạch toàn phương, định lý tồn nghiệm tối ưu, Trình bày chứng minh ngắn gọn định lý Frank-Wolfe, dựa định lý biểu diễn tập lồi đa diện qua đỉnh cạnh nó, đưa vào vài ví dụ minh họa cho định lý Trình bày số kết toán qui hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương, hệ bất đẳng thức toàn phương lồi, trường hợp ràng buộc toàn phương lồi, hàm mục tiêu tựa lồi Mở rộng định lý Frank-Wolfe nhiều điều mẻ nhiều câu hỏi mở chưa trình bày luận văn Cuối cùng, có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề luận văn chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi có sai sót cách trình bày Tác giả mong góp ý xây dựng thầy cô bạn Tác giả xin chân thành cảm ơn! 57 Tài liệu tham khảo [1] L D Mưu, N V Hiền N H Điển Giải tích lồi ứng dụng NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2014 [2] T V Thiệu, N T T Thủy Giáo trình tối ưu phi tuyến NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2011 [3] M S Bazara et al, Nonlinear Programming: Theory and Algorithms 3rd Edition A John Willey and Sons, 2006 [4] E Blum and W Oettli (1972): Direct Proof of Existence Theorem for Quadratic Programming Operations Research, 20, 165 -167 [5] B C Eaves (1971): On Quadratic Programming Management Science, 17, 698 - 711 [6] M Frank and P Wolfe, An Algorithm for Quadratic Programming, Naval Research Logistics Quarterly , 3( 1956), 95 - 110 [7] G M Lee, N N Tam and N D Yen (2005): Quadratic Programming and Affine Variational Inequalities Springer, New York, 2005 [8] Z.-Q Luo and S Zhang, On the Extensions of Frank-Wolfe theorem Econometric Institute, Report No 9748/A, October 1997 58 [9] B T Polyak, Introduction to Optimization, Optimization Software, Inc., Publications Division, New York, 1987 59 ... [1], [2] Chương Định lý Frank- Wolfe qui hoạch toàn phương Đề cập tới toán qui hoạch toàn phương, định lý Frank- Wolfe (mở rộng định lý bản) Mục đưa ví dụ minh họa cho trường hợp định lý không Chương... chắn đạt cực tiểu D Kết biết với tên gọi Định lý Frank - Wolfe định lý mở rộng định lý qui hoạch tuyến tính Một số tác giả tiếp tục mở rộng định lý Frank - Wolfe cho hàm mục tiêu khác D khác tập... qui hoạch toàn phương (khi Q = 0) Ký hiệu: D = {x ∈ Rn : Ax ≤ b} θ = inf{f (x) : x ∈ D} 14 2.2 Định lý Frank- Wolfe qui hoạch toàn phương Định lý 2.2.43 (Định lý Frank- Wolfe) Nếu hàm toàn phương