Header Page of 161 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THU HẰNG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích HÀ NỘI, 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THU HẰNG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Người hướng dẫn khóa luận TS Nguyễn Văn Tuyên HÀ NỘI, 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục lục Lời mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức Giải tích lồi 1.1.1 Tập lồi 1.1.2 Hàm lồi 1.1.3 Nón 1.2 Bài toán tối ưu véctơ 1.2.1 Quan hệ hai quan hệ thứ tự 1.2.2 Điểm hữu hiệu 1.2.3 Sự tồn điểm hữu hiệu 1.2.4 Bài toán tối ưu véctơ (VOP) Sự tồn nghiệm toán cân véctơ 11 2.1 Đặt toán 11 2.2 Các trường hợp đặc biệt toán cân véctơ 12 2.3 Sự tồn nghiệm toán cân véctơ 14 Footer Page of 161 iii Header Page of 161 Kết luận 19 Tài liệu tham khảo 19 Footer Page of 161 iv Header Page of 161 Lời mở đầu Cho A tập khác rỗng f : A × A → R song hàm cân bằng, tức f (x, x) = ∀x ∈ A Xét toán (EP) Tìm x ∈ A thỏa mãn f (x, y) ≥ với y ∈ A Bài toán lần đưa vào năm 1955 H Nikaido K Isoda(1) nhằm tổng quát hóa toán cân Nash Bài toán (EP) thường sử dụng để thiết lập điểm cân Lý thuyết trò chơi (Games Theory), có tên gọi khác Bài toán cân (Equilibrium Problem) theo cách gọi tác giả L D Muu, W Oettli(2) Bài toán cân đơn giản mặt hình thức bao hàm nhiều lớp toán quan trọng thuộc nhiều lĩnh vực khác toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động Kakutani, điểm yên ngựa, cân Nash, ; hợp toán theo phương pháp nghiên cứu chung tiện lợi Nếu hàm số f thay hàm véctơ F : A × A → Y , Y không gian véctơ tôpô, có toán (VEP) Tìm x ∈ A thỏa mãn F (x, y) ∈ / −K với y ∈ A, với K ∪ {0} nón lồi Y Bài toán (VEP) gọi Bài toán cân véctơ (Vector Equilibrium Problem) Bài toán cân véctơ mở rộng tự nhiên toán tối ưu véctơ toán bất đẳng thức biến phân véctơ Một vấn đề nghiên cứu quan trọng lý thuyết toán cân đưa điều kiện đảm bảo tồn nghiệm (1) Nikaido, H., Isoda, K.: A note on non cooperative convex games, Pacific Journal of Mathematics (1995), 807-815 (2) Muu, L D., Oettli, W.: Convergence of an adaptive penalty scheme for finding constrained equilibria, Nolinear Anal 18 (1992), 1159–1166 Footer Page of 161 Header Page of 161 toán Bằng cách sử dụng lược đồ vô hướng hóa, X H Gong(3) đạt số kết tồn nghiệm hữu hiệu hữu hiệu Henig toán (VEP) Mục đích khóa luận trình bày số kết nghiên cứu tồn nghiệm toán cân véctơ không gian véctơ tôpô cách sử dụng nguyên lý ánh xạ KKM Các kết khóa luận trình bày sở báo K R Kazmi [6] Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương Chương trình bày số kiến thức Giải tích lồi toán tối ưu véctơ Chương trình bày tồn nghiệm toán cân véctơ Hà Nội, ngày tháng năm Tác giả luận văn Nguyễn Thu Hằng (3) Gong, X.H.: Efficiency and Henig efficiency for vector equilibrium problems, J Optim Theory Appl 108 (2001), pp 139–154 Footer Page of 161 Header Page of 161 Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức Giải tích lồi 1.1.1 Tập lồi Khái niệm tập lồi khái niệm quan trọng lý thuyết tối ưu Tập lồi tập mà lấy điểm tập đoạn thẳng nối điểm nằm tập Định nghĩa 1.1 Tập X ⊂ Rn gọi tập lồi với x1 , x2 ∈ X với λ ∈ [0, 1] (1 − λ)x1 + λx2 ∈ X Bổ đề 1.1 Cho I tập số Nếu tập Xi ⊂ Rn (i ∈ I), tập lồi tập X = Xi tập lồi i∈I Bổ đề 1.2 Cho X, Y tập lồi Rn số thực t, µ Khi đó, tX + µY tập lồi Định nghĩa 1.2 Một điểm x gọi tổ hợp lồi điểm x1 , x2 , , xm , tồn số thực không âm λ1 , λ2 , , λm cho x = λ1 x1 + λ2 x2 + + λm xm Footer Page of 161 Header Page of 161 λ1 + λ2 + + λm = Định nghĩa 1.3 Bao lồi X (kí hiệu: convX) giao tất tập lồi chứa X Bổ đề 1.3 Nếu X ⊂ Rn tập lồi int X X tập lồi 1.1.2 Hàm lồi Định nghĩa 1.4 Cho f : Ω → R hàm số thực mở rộng tập lồi Ω ⊂ Rn : (i) Hàm f gọi hàm lồi nếu: f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)f (x) + λf (y), ∀x, y ∈ Ω, ∀λ ∈ [0, 1] (ii) Hàm f gọi hàm lồi chặt (strictly convex) nếu: f ((1 − λ)x + λy) < (1 − λ)f (x) + λf (y), ∀x, y ∈ Ω, x = y, ∀λ ∈ [0, 1] Định nghĩa 1.5 Cho hàm f : Rn → R Kí hiệu: Miền hữu hiệu f : dom f := {x ∈ Rn | f (x) < +∞} Đồ thị hàm f : gphf := {(x, v) ∈ Rn × R | v = f (x)} Trên đồ thị f : epif := {(x, v) ∈ Rn × R | v ≥ f (x)} Định nghĩa 1.6 Hàm f gọi hàm lõm −f hàm lồi Hàm f gọi hàm thường f (x) > −∞, với x ∈ Rn tồn x¯ ∈ Rn cho f (¯ x) < +∞ Định lý 1.1 Hàm f : Rn → R hàm lồi epif tập lồi Rn × R Footer Page of 161 Header Page of 161 Định lý 1.2 (Bất đẳng thức Jensen) Cho f : Rn → R Hàm f lồi với λ1 , λ2 , , λm ≥ 0; m i=1 λi m f m λi xi ≤ i=1 1.1.3 = 1; ∀x1 , x2 , , xm ∈ Rn Ta có: λi f (xi ) (1.1) i=1 Nón Định nghĩa 1.7 Một tập C ⊂ Rn gọi nón với x ∈ C, với α > ta có: αx ∈ C C gọi nón lồi C nón C tập lồi Định nghĩa 1.8 Cho C nón lồi, kí hiệu l(C) := C ∩ (−C) (phần tuyến tính nón C) (i) C gọi nón nhọn l(C) = {0} (ii) C gọi nón cl(C) + C\l(C) ⊆ C, tương đương cl(C) + C\l(C) ⊆ C\l(C) Bổ đề 1.4 Cho C nón lồi Khi đó, x1 ∈ C, x2 ∈ C, , xm ∈ C α1 > 0, α2 > 0, , αm > α1 x1 + α2 x2 + + αm xm ∈ C Định nghĩa 1.9 Tập cone (X) = {αx | x ∈ X, α ≥ 0} gọi nón sinh tập X Bổ đề 1.5 Nếu X tập lồi cone (X) tập lồi Định nghĩa 1.10 Cho x ⊂ Rn , tập CX (x) = cone (X − x) gọi nón phương chấp nhận X x Định nghĩa 1.11 Cho X ⊂ Rn tập lồi Tập X∞ = {d ∈ Rn | X + d ⊂ X} Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 gọi nón lùi xa X Định nghĩa 1.12 Cho C nón Rn Tập C o = {y ∈ Rn : y, x ≤ 0, ∀x ∈ C} gọi nón cực C Định nghĩa 1.13 Cho X tập lồi Rn x ∈ X Tập NX (x) = [cone (X − x)]o gọi nón pháp tuyến X x Nhận xét 1.1 v ∈ NX (x) ⇔ v, y − x ≤ 0, ∀y ∈ X 1.2 Bài toán tối ưu véctơ 1.2.1 Quan hệ hai quan hệ thứ tự Cho tập hợp E tuỳ ý, quan hệ hai E định nghĩa tập B tập hợp tích E × E Điều có nghĩa phần tử x ∈ E có quan hệ với y ∈ E (x, y) ∈ B Định nghĩa 1.14 Cho B quan hệ hai E Ta nói quan hệ là: (i) Phản xạ (x, x) ∈ B với x ∈ E; (ii) Đối xứng nếu(x, y) ∈ B suy (y, x) ∈ B với x, y ∈ E; (iii) Bắc cầu (x, y) ∈ B,(y, z) ∈ B suy (x, z) ∈ B với x, y, z ∈ B; (iv) Đầy đủ liên thông (x, y) ∈ B (y, x) ∈ B với x, y ∈ E, x = y; (v) Tuyến tính trường hợp E không gian véctơ thực (x, y) ∈ B suy (tx + z, ty + z) ∈ B với x, y, z ∈ E, t > 0; Footer Page 10 of 161 Header Page 11 of 161 (vi) Đóng trường hợp E không gian véctơ tôpô, đóng tập không gian tích E × E Định nghĩa 1.15 Quan hệ hai quan hệ thứ tự phản xạ, bắc cầu Thật vậy, B quan hệ thứ tự mà tuyến tính không gian véctơ tập C = {x ∈ E : (x, 0) ∈ B} nón lồi Hơn nữa, B không đối xứng C nhọn Ngược lại, nón lồi E cho quan hệ hai BC = {(x, y) ∈ E × E : x − y ∈ C} phản xạ, bắc cầu tuyến tính Ngoài ra, C nhọn BC không đối xứng Bây giờ, xét vài thứ tự sinh nón lồi Đôi viết: x C y thay cho x − y ∈ C; x y chắn quan hệ hai định nghĩa C; x >C y x y C x, x ∈ y + C\l(C) Khi int C = 0, x C C y y nghĩa x >K y với K = {0} ∪ int C 1.2.2 Điểm hữu hiệu Cho E không gian véctơ tôpô thực với quan hệ thứ tự ( ) sinh nón lồi C Định nghĩa 1.16 Cho A tập khác rỗng E Ta nói rằng: (i) x ∈ A điểm hữu hiệu lí tưởng (hoặc cực tiểu lí tưởng) A tương ứng với C y x, ∀y ∈ A; Tập điểm cực tiểu lí tưởng A kí hiệu IM in (A | C) Footer Page 11 of 161 Header Page 12 of 161 (ii) x ∈ A điểm hữu hiệu (cực tiểu-Pareto cực tiểu) A tương ứng với C x y, y ∈ A y x; Tập điểm hữu hiệu A kí hiệu M in(A | C) (iii) x ∈ A điểm hữu hiệu thực (toàn cục) A tương ứng với C tồn nón lồi K = E với int K ⊇ C\l(C) cho x ∈ M in(A | K); Kí hiệu tập điểm hữu hiệu toàn cục A P rM in(A | C) (iv) Giả sử int C = ∅, x ∈ A điểm hữu hiệu yếu A tương ứng với C x ∈ M in(A | {0} ∪ int C); Tập điểm hữu hiệu yếu A kí hiệu W M in(A | C) Cho: A = (x, y) ∈ R2 : x2 + y ∪ {(x, y) : x 1, y 0, −1 ≤ y ≤ 0} ; Từ định nghĩa điểm hữu hiệu, ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.1 Cho A ⊆ E : (i) x ∈ IM in(A) x ∈ A A ⊆ x + C; (ii) x ∈ IM in(A) A ∩ (x − C) ⊆ x+ l(C) tương đương: ∃y ∈ A cho x > y Đặc biệt C nhọn, x ∈ M in(A) A ∩ (x − C) = {x}; (iii) Khi C = E, x ∈ W M in(A) A ∩ (x − int C) = ∅ tương đương với ∃y ∈ A cho x y Mệnh đề 1.2 Cho tập khác rỗng A ⊆ E có: P rM in(A) ⊆ M in(A) ⊆ W M in(A) Hơn nữa, IM in(A) = ∅ IM in(A) = M in(A) tập điểm C nhọn Footer Page 12 of 161 Header Page 13 of 161 Định nghĩa 1.17 Cho x ∈ E Tập A ∩ (x − C) gọi nhát cắt A x kí hiệu Ax Mệnh đề 1.3 Cho x ∈ E với Ax = ∅ Ta có : (i) IM in(Ax ) ⊆ IM in(A) IM in(A) = ∅; (ii) M in(Ax ) ⊆ M in(A); (iii) W M in(Ax ) ⊆ W M in(A) Nhận xét 1.2 Quan hệ P rM in(Ax ) ⊆ P rM inA nói chung không trừ số trường hợp đặc biệt 1.2.3 Sự tồn điểm hữu hiệu Định nghĩa 1.18 Cho lưới {xα : α ∈ I} từ E gọi lưới giảm (tương ứng với C) xα >C xβ với α, β ∈ I, β > α Định nghĩa 1.19 Cho A ⊆ E gọi C- đầy đủ (tương ứng C- đầy đủ mạnh) phủ dạng {(xα − cl(C))c : α ∈ I} (tương ứng {(xα − C)c : α ∈ I}) với {xα } lưới giảm A Định lý 1.3 Giả sử C nón lồi A tập khác rỗng E Thì M in(A | C) = ∅ A có nhát cắt C- đầy đủ khác rỗng 1.2.4 Bài toán tối ưu véctơ (VOP) Cho X tập khác rỗng không gian tôpô F ánh xạ đa trị từ X vào E, E không gian véctơ tôpô thực xắp thứ tự nón lồi C Footer Page 13 of 161 Header Page 14 of 161 Xét VOP : minF (x) với ràng buộc x ∈ X Điểm x ∈ X gọi tối ưu (cực tiểu hữu hiệu) VOP F (x) ∩ M in(F (X) | C) = ∅, F (x) F (X) = x∈X Các phần tử M in(F (x)|C) gọi giá trị tối ưu (VOP) Tập điểm hữu hiệu (VOP) kí hiệu S(X, F ) Thay IM in, P rM in, W M in cho M in(F (X) | C) có khái niệm IS(X, F ), P rS(X, F ) W S(X, F ) Quan hệ điểm hữu hiệu, hữu hiệu thực hữu hiệu yếu (VOP) trình bày mệnh đề sau: Mệnh đề 1.4 Cho (VOP), có bao hàm thức sau: P rS(X, F ) ⊆ S(X, F ) ⊆ W S(X, F ) Hơn nữa, IS(X, F ) = ∅ IS(X, F ) = S(X, F ) Chứng minh tương tự Mệnh đề 1.2 Bổ đề 1.6 Giả sử C lồi, X tập compact khác rỗng F C- liên tục X với F (x) + C C-đầy đủ, đóng với x ∈ X F (X) Cđầy đủ Footer Page 14 of 161 10 Header Page 15 of 161 Chương Sự tồn nghiệm toán cân véctơ 2.1 Đặt toán Cho X không gian véctơ tôpô thực; K ⊂ X tập lồi, đóng, khác rỗng; (Y, P ) không gian véctơ tôpô với thứ tự phận (hoặc thứ tự véctơ ) ≤P sinh hình nón lồi, đóng, nhọn P , x ≤P y ⇔ y − x ∈ P, ∀x, y ∈ Y ; f : X × X → Y với f (x, x) = với x ∈ X Bài toán cân véctơ phát biểu sau: (VEP) Tìm x ∈ A thỏa mãn f (x, y) ∈ / −int P với y ∈ A, (2.1) int P phần P Bài toán bao phủ lớp toán quan trọng như: toán tối ưu hóa véctơ , toán bù véctơ , toán điểm bất động, toán bất đẳng thức biến phân véctơ Nếu y = R, P = R+ toán (VEP) quay toán cân bằng: (EP) Tìm x ∈ A thỏa mãn f (x, y) ≥ với y ∈ A (2.2) Bài toán (EP) đề xuất nghiên cứu Blum Oettli [2] Trong khóa luận này, nghiên cứu tồn nghiệm toán cân Footer Page 15 of 161 11 Header Page 16 of 161 véctơ cách sử dụng nguyên lý ánh xạ KKM-Fan(1) , hàm f có dạng f (x, y) = g(x, y) + h(x, y) (2.3) Các kết trình bày chương dựa báo [6] 2.2 Các trường hợp đặc biệt toán cân véctơ Trong mục trình bày số ví dụ quan trọng toán cân véctơ (VEP) Trong ví dụ bên dưới, ta kí hiệu X ∗ đối ngẫu X ·, · cặp đối ngẫu X ∗ × X Định nghĩa 2.1 Hàm số f (·, ·) : K × K → Y gọi P -đơn điệu f (x, y) + f (y, x) ∈ −P, ∀x, y ∈ K (i) Bài toán tối ưu véctơ Cho φ : K → Y , Y thứ tự nón P Xét toán tối ưu véctơ (VOP) Tìm x ∈ K thỏa mãn φ(y) − φ(x) ∈ / −int P, ∀y ∈ K (2.4) Khi đó, x ∈ K gọi nghiệm yếu (VOP) Nhận xét 2.1 (a) Đặt f (x, y) := φ(y) − φ(x) Khi đó, toán (2.4) trùng với (VEP) f P -đơn điệu (b) Nếu φ : X → Y P -lồi khả vi Gateaux, toán (2.4) toán (1) Fan, K.: A generalization of Tychonoff’s fixed point theorem, Math Ann 142 (1961) 305-310 Footer Page 16 of 161 12 Header Page 17 of 161 bất đẳng thức biến phân véctơ (vector variational inequality problem): (VVI) Tìm x ∈ K thỏa mãn có tập nghiệm (xem (2) ∇φ(x), y − x ∈ / −int P, ∀y ∈ K (2.5) ) Bằng cách đặt, f (x, y) = ∇φ(x), y − x , toán (2.5) trường hợp đặc biệt toán (VEP) Trong trường hợp này, hàm f P -đơn điệu ∇φ(·) P -đơn điệu (ii) Bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ Cho T : K → L(X, Y ), L(X,Y) không gian toán tử tuyến tính bị chặn từ X tới Y Bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ phát biểu sau: (VVI) Tìm x ∈ K thỏa mãn T x, y − x − int P, ∀y ∈ K (2.6) Bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ đề xuất Giannessi đồng nghiệp vào năm 1980 (xem (3) ) Đặt f (x, y) = T x, y − x , (V V I) ⇔ (V EP ) (iii)Bài toán bù véctơ Đây trường hợp đặc biệt ví dụ trước Cho K nón lồi đóng + X P -nón đối ngẫu yếu KPw K định nghĩa sau: + / −intP, ∀x ∈ K} KPw = {l ∈ L(X, Y ) : l, x ∈ + P -nón đối ngẫu mạnh KPs định nghĩa + KPs = {l ∈ L(X, Y ) : l, x ∈ P, ∀x ∈ K} Cho T : X → L(X, Y ) ánh xạ Khi đó, toán bù véctơ phát biểu sau: Tìm x ∈ X (2) + cho x ∈ K, T x ∈ KPw , T x, x ∈ / intP, (2.7) Chen, G Y., Craven, B D.: Existence and continuity for vector optimization, J Optim Theor Appl 81 (1994), 459–468 (3) Cottle, R W., Giannessi, F., Lions, J L.: Theorems of alternative, quadratic programs and complementarity problems, in: Variational Inequalities and Complementarity Problems, pp 151-186, New York(1980) Footer Page 17 of 161 13 Header Page 18 of 161 Tìm x ∈ X + cho x ∈ K, T x ∈ KPs , T x, x ∈ / intP Bài toán (2.8) ⇒ toán (2.6) ⇒ toán (2.7) (xem (4) (2.8) ) Mặt khác toán (2.6) tương đương với (VEP) (iv) Bài toán điểm bất động Với x ∈ K, đặt F (x) := {z ∈ K : T (x), y − z ∈ / −intP, ∀y ∈ K} Khi đó, toán điểm bất động phát biểu sau: Tìm x ∈ Ksao cho x ∈ F (x) Khi đó, toán (2.9) tương đương với toán (VEP) (xem 2.3 (2.9) (5) ) Sự tồn nghiệm toán cân véctơ Trong mục chứng minh vài kết tồn nghiệm (VEP) trường hợp sau f (x, y) = g(x, y) + h(x, y) Trước hết, nhắc lại số định nghĩa tính chất cần thiết mục Định nghĩa 2.2 Cho K C tập lồi với C ⊂ K Khi đó, nhân C tương ứng với K, kí hiệu coreK C, định nghĩa sau: a ∈ coreK C ⇐⇒ a ∈ C C ∩ (a, y) = 0, ∀y ∈ K\C Chú ý coreK K = K (4) Yang, X Q.: Vector complementarity and minimal element problems, J Optim Theory Appl 77 (1993) 483-495 (5) Yang, X Q.: Vector complementarity and minimal element problems, J Optim Theory Appl 77 (1993) 483-495 Footer Page 18 of 161 14 Header Page 19 of 161 Định nghĩa 2.3 Cho (Y, P ) không gian véctơ tôpô thứ tự Một ánh xạ T : X → Y gọi P -lồi cặp x, y ∈ X λ ∈ [0, 1] ta có T (λy + (1 − λ)x) ≤ p λT (y) + (1 − λ)T (x) Bổ đề 2.1 (Xem (6) ) Cho (Y, P ) không gian véctơ tôpô thứ tự hình nón lồi đóng nhọn Khi đó, với x, y ∈ X, ta có (i) y − x ∈ intP y ∈ / intP kéo theo x ∈ / intP ; (ii) y − x ∈ P y ∈ / intP kéo theo x ∈ / intP ; (iii) y − x ∈ − intP y ∈ / − intP kéo theo x ∈ / − intP ; (iv) y − x ∈ −P y ∈ / − intP kéo theo x ∈ / − intP Định lý 2.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) X không quan véctơ tô pô thực, K ⊂ X tập khác rỗng, lồi , đóng; (Y, P ) không gian véctơ tôpô thứ tự hình nón lồi đóng nhọn P Y (ii) g : X × X → Y có tính chất sau: g(x, x) = 0, ∀x ∈ K g P-đơn điệu; ∀x, y ∈ K hàm t ∈ [0, 1] → g(ty + (1 − t)x, y) liên tục 0+ ; g P-lồi liên tục theo biến thứ hai (iii) h : X × X → Y có tính chất sau: h(x, x) = 0, ∀x ∈ K; h liên tục theo biến thứ nhất; h P-lồi theo biến thứ hai (iv) Tồn tập lồi compact khác rỗng C K cho x ∈ C\coreK C tồn a ∈ coreK C cho g(x, a) + h(x, a) ∈ −P Khi đó, tồn x ∈ C thỏa mãn g(x, y) + h(x, y) ∈ / −intP, ∀y ∈ K (6) Chen, G Y.: Existence of solutions for a véctơ variational inequality: An extension of the Hartmann- Stampacchia Theorem, J Optim Theor Appl 74 (1992) 445-456 Footer Page 19 of 161 15 Header Page 20 of 161 Để chứng minh Định lý 2.1, trước tiên chứng minh ba bổ đề sau Bổ đề 2.2 (Nguyên lý ánh xạ KKM-Fan, xem(7) ) Cho C tập khác rỗng X S : C ⇒ X ánh xạ thỏa mãn tính chất: với tập hữu hạn {x1 , , xn } C, ta có: n conv {x1 , , xn } ⊂ S (xi ) i=1 Nếu tất tập S (x) đóng tập compact S (x) = φ x∈C Bổ đề 2.3 Tồn x ∈ C cho h(x, y) − g(y, x) ∈ / −intP, ∀y ∈ C Bổ đề 2.4 Các mệnh đề sau tương đương: (A) x ∈ C, h(x, y) − g(y, x) ∈ / −intP, ∀y ∈ C; (B) x ∈ C, h(x, y) + g(y, x) ∈ / −intP, ∀y ∈ C Bổ đề 2.5 Giả sử φ : K → Y P -lồi, x0 ∈ coreK C, φ(x0 ) ∈ / int P φ(y) ∈ / int P ∀y ∈ C Khi đó, ta có φ(y) ∈ / −int P, ∀y ∈ K Nhận xét: Giả thiết (iv) Định lý 2.1 thay giả thiết sau: (iv)∗ Tồn tập lồi compact khác rỗng B K cho x ∈ K\B tồn a ∈ B thỏa mãn g(x, a) + h(x, a) ∈ −intP (2.10) Định lý 2.2 Giả sử điều kiện (i)-(iii) Định lý 2.1 (iv)∗ Khi đó, tồn x ∈ B cho g(x, y) + h(x, y) ∈ / −intP, ∀y ∈ K (7) Fan, K.: A generalization of Tychonoff’s fixed point theorem, Math Ann 142 (1961) 305-310 Footer Page 20 of 161 16 Header Page 21 of 161 Định nghĩa 2.4 Một ánh xạ đa trị P -đơn điệu T : K → 2L(X,Y ) gọi P -đơn điệu cực đại với cặp (u, x) ∈ L(X, Y ) × K : v − u, y − x ∈ / −intP, ∀y ∈ K, v ∈ T y ⇒ u ∈ T x (2.11) Tương tự Định nghĩa 2.4 ta định nghĩa tính đơn điệu cực đại theo nghĩa rộng sau: Định nghĩa 2.5 Một ánh xạ g : K × K → Y với g(x, x) = 0, ∀x ∈ K gọi P -đơn điệu cực đại theo nghĩa rộng khi, với cặp (u, x) ∈ L(X, Y ) × K : −u, y − x − g(y, x) ∈ / −intP, ∀y ∈ K ⇒ g(x, y) − u, y − x ∈ / −intP, ∀y ∈ K (21) Định nghĩa 2.6 Một ánh xạ g : K × K → Y với g(x, x) = 0, ∀x ∈ K gọi P -đơn điệu cực đại với x ∈ K ánh xạ P -lồi φ : K → Y với φ(x) = : φ(y) − g(y, x) ∈ / −intP, ∀y ∈ K ⇒ g(x, y) + φ(y) ∈ / −intP, ∀y ∈ K (2.12) Mối quan hệ Định nghĩa 2.4 Định nghĩa 2.5 sau: Bổ đề 2.6 (Xem [6]) Cho g : K × K → Y P -đơn điệu, P -lồi nửa liên tục theo biến thứ hai khả vi Gateaux Khi đó, Định nghĩa2.4 Định nghĩa 2.5 tương đương Bây giờ, có định lý sau Định lý 2.3 Giả sử điều kiện (i) (iii) Định lý 2.1, giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (ii)∗ g : K × K → Y có tính chất sau g(x, x) = 0, ∀x ∈ K; g P -đơn điệu P -đơn điệu cực đại (được định nghĩa (2.12)); g lồi nửa Footer Page 21 of 161 17 Header Page 22 of 161 liên tục theo biến thứ hai (iv)∗ Tồn tập lồi compact khác rỗng B K, cho x ∈ K, tồn a ∈ B cho −g(a, x) + h(x, a) ∈ −intP Khi đó, tồn x ∈ B thỏa mãn g(x, y) + h(x, y) ∈ / −intP, ∀y ∈ K Footer Page 22 of 161 18 (2.13) Header Page 23 of 161 KẾT LUẬN Khóa luận trình bày số kết tồn nghiệm toán cân véctơ Cách tiếp cận khóa luận dùng nguyên lý ánh xạ KKM trường hợp có giả thiết đơn điệu Ngoài ra, khóa luận trình bày mối liên hệ số lớp toán tối ưu quan trọng với toán cân véctơ Mặc dù cố gắng, thời gian khả hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng mong thầy, cô giáo bạn đọc góp ý Footer Page 23 of 161 Header Page 24 of 161 Tài liệu tham khảo [1] D T Luc: Theory of Vector Optimization Springer, Berlin (1989) [2] Blum, E., Oettli, W.: From optimization and variational inequalities to equilibrium problems, Math Stud 63 (1994), 123–145 [3] Kazmi, K R.: Existence of solutions for vector optimization,Appl Math Lett (1996), 19–22 [4] Kazmi, K R.: Some remarks on vector optimization problems, J Optim Theory Appl 96 (1998), 133–138 [5] Kazmi, K R.: Existence of solutions for vector saddle point problems, problems, in: Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria Mathematical Theories (ed.) F Giannessi (Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers) (2000), 267–275 [6] Kazmi, K R.: On vector equilibrium problem Proc Indian Acad Sci (Math Sci) 110(2) (2000), 213–233 Footer Page 24 of 161  ... tối ưu véctơ (VOP) Sự tồn nghiệm toán cân véctơ 11 2.1 Đặt toán 11 2.2 Các trường hợp đặc biệt toán cân véctơ 12 2.3 Sự tồn nghiệm toán cân véctơ. .. 161 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THU HẰNG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Người hướng dẫn khóa luận... không gian véctơ tôpô, có toán (VEP) Tìm x ∈ A thỏa mãn F (x, y) ∈ / −K với y ∈ A, với K ∪ {0} nón lồi Y Bài toán (VEP) gọi Bài toán cân véctơ (Vector Equilibrium Problem) Bài toán cân véctơ mở