Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu trình bày lý thuyết về vectơ, các dạng toán và phương pháp giải có ví dụ minh họa:Chứng minh 3 điểm thẳng hàngChứng minh 2 điểm trung nhauChứng minh hai đường thẳng song songTìm quỹ tích, ...
Mục lục TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA 1.1.1 Định nghĩa vectơ 1.1.2 Độ dài vectơ 1.1.3 HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, BẰNG NHAU,ĐỐI NHAU 1.2 CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ 1.2.1 Phép cộng vectơ 1.2.2 Phép trừ vectơ 1.2.3 Phép nhân vectơ với số thực 1.3 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 1.3.1 Trục tọa độ 1.3.2 Hệ trục tọa độ 1.4 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 1.4.1 Định nghĩa: 1.4.2 Hệ 1.4.3 Tính chất 1.4.4 Biểu thức tọa độ tích vô hướng cuả hai vectơ 1.4.5 Công thức hình chiếu 1.4.6 Phương tích 1.4.7 Trục đẳng phương-Tâm đẳng phương CÁC DẠNG TOÁN SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG 2.1 CHỨNG MINH MỘT HỆ THỨC 2.1.1 Phương pháp 2.1.2 Các ví dụ 2.2 CHỨNG MINH HAI ĐIỂM TRÙNG NHAU 2.2.1 Lý thuyết bổ trợ 2.2.2 Các ví dụ 2.3 CHỨNG MINH ĐIỂM THẲNG HÀNG (HAI ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY) 2.3.1 Phương pháp 2.3.2 Các ví dụ 2.4 CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 2.4.1 Lý thuyết bổ trợ 2.4.2 Các ví dụ 2.5 CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 2.5.1 Phương pháp 2.5.2 Các ví dụ 2.6 CHỨNG MINH BỐN ĐIỂM CÙNG THUỘC MỘT ĐƯỜNG TRÒN 3 3 5 6 6 7 7 8 8 9 10 15 15 15 20 20 22 29 29 29 31 31 32 33 2.7 2.8 2.6.1 Phương pháp chung 2.6.2 Các ví dụ TÌM QUỸ TÍCH ĐIỂM (TÌM TÂP HỢP ĐIỂM) 2.7.1 Phương pháp chung 2.7.2 Các ví dụ ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ ĐỂ TÌM CỰC TRỊ 2.8.1 Lý thuyết bổ trợ 2.8.2 Các ví dụ 33 34 37 37 37 43 43 44 CÁC DẠNG TOÁN SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Trong chương trình toán bậc THPT, vectơ khái niệm quan trọng, có tính khái quát cao Nó sử dụng cho hình học phẳng lẫn hình học không gian chí đại số Nhờ vectơ ta đưa tọa độ vào toán hình học tránh khỏi sai lầm mặt trực quan.Cũng nhờ vectơ nhiều toán hình học phẳng,hình học không gian khó giải hình học túy,nhưng lại trở nên đơn giản ứng dụng vectơ Chính vậy, nghiên cứu ứng dụng vectơ vào việc giải toán hình học, chí đại số vấn đề thú vị ý nghĩa Trong khuôn khổ chuyên đề nhỏ, đề cập đến số ứng dụng phổ biến vectơ việc giải toán TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.1 1.1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa vectơ • Vectơ đoạn thẳng định hướng • Mỗi vectơ có điểm đầu điểm cuối −→ Vectơ có điểm đầu A điểm cuối B kí hiệu AB Quy ước: Vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng vectơ không Kí hiệu: 1.1.2 Độ dài vectơ Độ dài vectơ độ dài đoạn thẳng có hai đâù mút điểm đầu điểm −→ −→ cuối vectơ Độ dài AB kí hiệu: AB 1.1.3 HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, BẰNG NHAU,ĐỐI NHAU Hai vectơ phương chúng nằm đường thẳng nằm hai đường thẳng song song Hai vectơ phương hướng ngược hướng: −→ −−→ −→ (a) Hai vectơ AB ,CD hướng , kí hiệu: AB −−→ CD −→ −−→ (b) Hai vectơ ngược hướng, kí hiệu: AB ↑↓ CD −→ −−→ −→ −−→ (c) Hai vectơ AB ,CD nhau, kí hiệu:AB = CD −→ −−→ AB = CD ⇔ AB = CD −→ −−→ AB CD −→ −−→ −→ −−→ (d) Hai vectơ AB ,CD đối nhau, kí hiệu: AB = −CD −→ −−→ AB = −CD ⇔ AB = CD −→ −−→ AB ↑↓ CD 1.2 1.2.1 CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ Phép cộng vectơ Cho hai vectơ a, b Lấy điểm A xác định điểm B,C cho −→ −→ −→ AB = a, AC = b Khi vectơ AC gọi tổng hai vectơ a, b Ký hiệu: −→ AC = a + b Phép lấy tổng hai vectơ gọi phép cộng vectơ Các quy tắc (a) Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C bất kì, ta có: −→ −−→ −→ AB + BC = AC (b) Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD hình bình hành −→ −−→ −→ AB + AD = AC −−→ −−→ (c) Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB M A + M B = −→ −−→ −→ (d) Nếu G trọng tâm tam giác ABC GA + GB + GC = Tính chất phép cộng vectơ (a) Tính chất giao hoán: a + b = b + c (b) Tính chất kết hợp: (a + b) + c = b + (b + c) (c) Tính chất 0: a + = + a = a 1.2.2 Phép trừ vectơ Hiệu hai vectơ a, b kí hiệu a − b, tổng vectơ a vectơ đối vectơ b, tức là: a − b = a + (−b) Phép lấy hiệu hai vectơ gọi phép trừ vectơ −→ Quy tắc ba điểm phép trừ vectơ: Cho vectơ AB điểm O bất kì, ta có: −→ −→ −−→ AB = OA − OB 1.2.3 Phép nhân vectơ với số thực Định nghĩa: Tích số thực k với vectơ a vectơ, kí hiệu: ka xác định sau: (a) Nếu k ≥ vectơ ka hướng với a (b) Nếu k < vectơ ka ngược hướng với a (c) |ka| = |k| |a| Tính chất: (a) Phân phối phép cộng vectơ: k(a + b) = ka + k b (b) Phân phối phép cộng: (k + h)a = ka + (c) Kết hợp: k(ha) = (kh)a (d) ka = k = a = Điều kiện để hai vectơ phương (a) Vectơ a, (a = 0) phương với vectơ b có số k cho a = k b (b) Điều kiện để ba điểm thẳng hàng: Điều kiện cần đủ để ba điểm phân −→ −→ biệt A,B,C thẳng hàng có số k cho AB = k AC Biểu thị vectơ qua hai vectơ không phương Cho hai vectơ không phương a, b Khi x biểu thị cách qua hai vectơ a b, nghĩa có cặp số m n cho x = m.a + n.b 1.3 1.3.1 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Trục tọa độ • Định nghĩa: Trục tọa độ đường thẳng xác định điểm gốc O vectơ đơn vị i có độ dài • Tọa độ vectơ điểm trục: Cho vectơ u = ; a gọi tọa độ vectơ u trục (O;i ) −−→ Một điểm M nằm trục OM = mi ; m tọa độ M trục (O;i ) 1.3.2 Hệ trục tọa độ Định nghĩa: Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy gồm hai trrục Ox, Oy vuông góc với với hai vectơ đơn vị i ,j có độ dài Tọa độ vectơ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy với vectơ u , ta có: u = u1 i + u2 j Cặp số (u1 ; u2 ) gọi tọa độ vectơ u Kí hiệu u = (u1 ; u2 ) −→ Cho hai điểm A(xA ; yA ) B(xB ; yB ) thì: AB = (xB − xA ; yB − yB ) −−→ Tọa độ điểm: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy thì: OM = xi + y j ⇔ x, y tọa độ M, kí hiệu M(x; y) a(x; y) = b(x ; y ) ⇔ x =x y =y Với hai điểm M(xM ; yM ) N(xN ; yN ) thì: −−→ (a) M N = (xN − xM ; yN − yM ) (b) I trung điểm MN I xM + x N y M + y N ; 2 (c) G trọng tâm tam giác ABC G 1.4 1.4.1 xA + xB + xC yA + yB + yC ; 3 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Định nghĩa: Tích vô hướng hai vectơ a ,b số, kí hiệu ab xác định bởi: ab = |a||b| cos(a, b) 1.4.2 Hệ Bình phương vô hướng vectơ a : a2 = |a|2 Điều kiện vuông góc hai vectơ: a⊥b ⇔ ab = 1.4.3 Tính chất Với a, b, c số thực k: ab = ba a.b = ⇔ a⊥b (ma).b = m(a.b) = a.(mb) a(b + c) = ab + ac a(b − c) = ab − ac 1.4.4 Biểu thức tọa độ tích vô hướng cuả hai vectơ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a(x1 ; y1 ) ,b(x2 ; y2 ) Khi : ab = x1 x2 + y1 y2 |a| = x21 + y12 cos(a, b) = ab |a||b| x1 x2 + y y = x21 + y12 x2 + y2 với a = 0, b = Đặt biệt: a⊥b ⇔ x1 x2 + y1 y2 = −−→ Hệ quả: M N = M N = (xM − xN )2 + (yM − yN )2 1.4.5 Công thức hình chiếu −→ −−→ Cho hai vectơ OA OB Gọi B’ hình chiếu B đường thẳng OA Khi −−→ −−→ OB gọi hình chiếu vectơ OB đường thẳng OA −→ −−→ −→ −−→ Công thức OA.OB = OA.OB gọi công thức hình chiếu 1.4.6 Phương tích Phương tích điểm M đường tròn (O;R) ký hiệu PM/(O) −−→ −−→ PM/(O) = M A.M B = M O2 − R2 Khi điểm M nằm đường tròn (O;R) giả sử MT tiếp tuyến đường tròn (T tiếp điểm) thì: −−→2 PM/(O) = M T = M T 1.4.7 Trục đẳng phương-Tâm đẳng phương Trục đẳng phương hai đường tròn tròn O1 O2 (O1 = O2 ) quỹ tích điểm M có phương tích hai đường tròn cho Trục đẳng phương vuông góc với đường nối hai tâm điểm N, mà: N O1 = d r2 − r12 d r12 − r22 + N O2 = + 2 2d 2d Trong d chiều dài đường nối tâm, r1 , r2 lân lượt bán kính đường tròn O1 , O2 Đặc biệt hai đường tròn cắt hai điểm trục đẳng phương qua hai điểm ấy; hai đường tròn tiếp xúc trục đẳng phương tiếp tuyến chung tiếp điểm Tâm đẳng phương ba đường tròn giao điểm ba trục đẳng phương cặp vòng tròn CÁC DẠNG TOÁN SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG 2.1 2.1.1 CHỨNG MINH MỘT HỆ THỨC Phương pháp Sử dụng kết hợp mềnh đề sau: −→2 Tính chất AB = AB 2 Các quy tắc −→ −−→ −→ (a) Quy tắc ba điểm : Với bai điểm A,B,C ta có AB + BC = AC (b) Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD hình bình hành ta có: −→ −−→ −→ AB + AD = AC −→ (c) Quy tắc hiệu vectơ: Nếu AB vectơ cho với điểm M bất −→ −−→ −−→ kì, ta có AB = M B − M A −→ −−→ −→ G trọng tâm tam giác ABC ⇔ GA + GB + GC = G trọng tâm tam giác ABC M điểm −−→ −−→ −−→ −−→ M A + M B + M C = 3M G −−→ −−→ Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB M A + M B = Điểm I trung điểm đoạn thẳng AB với điểm M bất kì, ta có: −−→ −−→ −−→ M A + M B = 2M I Tích vô hướng hai vectơ: ab = |a||b| cos(a, b) −→ −−→ −→ −−→ B’ hình chiếu B OA ta có OA.OB = OA.OB 2.1.2 Các ví dụ Ví dụ 2.1 (Chứng minh định lí côsin SGK HH10 NC Tr53 ) Trong tam giác ABC, với BC=a, CA=b, AB=c, ta có: a2 = b2 + c2 − 2bc cos A b2 = a2 + c2 − 2ac cos B c2 = a2 + b2 − 2ab cos C Giải Ta có: −−→2 −→ −→ BC = AC − AB −→2 −→2 −→ −→ = AC + AB − 2BA.AC = b2 + c2 − 2bc cos A Tương tự ta có : b2 = a2 + c2 − 2ac cos B c2 = a2 + b2 − 2ab cos C Ví dụ 2.2 (Bài toán SGK HH10 NC Tr58 ) Cho tam giác ABC, gọi ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh công thức sau đây, gọi công thức trung tuyến: m2a = b2 + c2 a2 a2 + c2 b2 a2 + b2 c2 − ; mb = − ; mc = − 4 Giải Gọi I,J,K trung điểm cạnh BC, AC, AB Ta có −→ − → −→ −→2 − →2 −→2 − → −→ AB = AI + IB ⇒ AB = AI + IB + 2AI.IB 10 đường tròn (C) qua M1 , M2 , đường tròn cắt hai cạnh Ox, Oy N1 , N2 Kẻ đường thẳng vuông góc với Ox N1 đường thẳng vuông góc với Oy N2 , giả sử hai đường thẳng đo cắt N Chứng minh ON ⊥M1 M2 Giải Ta có −−−→ −−→ −−−→ −−→ OM1 ON1 = OM2 ON2 (12) Xét tích vô hướng : −−→ −−−−→ −−→ −−−→ −−−→ −−→ −−−→ −−→ −−−→ ON M1 M2 = ON (OM2 − OM1 ) = ON OM2 − ON OM1 −−→ −−→ −−→ −−−→ −−→ −−−→ Do ON1 hình chiếu ON Ox nên ON OM1 = ON1 OM1 Tương tự : −−→ −−−→ −−→ −−−→ ON OM2 = ON2 OM2 −−→ −−−−→ Từ (12) (13), suy ON M1 M2 = hay ON ⊥ M1 M2 2.5 2.5.1 (13) CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Phương pháp −→ −−→ Để chứng minh AB//CD ta chứng minh AB = k CD 31 2.5.2 Các ví dụ Ví dụ 2.19 (Bài tập 18 SBT HH10 NC Tr8) Cho ngũ giác ABCDE Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE Gọi I, J trung điểm đoạn MP NQ Chứng minh IJ//AE IJ = AE Giải − → −→ −→ − → −→ −−−→ Ta có: IJ = IQ + QJ IJ = IN + N JJ Do : − → −→ −→ −→ −→ 2IJ = IQ + QJ + IN + N J −→ −→ = IQ + IN −−→ −−→−→ −−→ = IM + M QIP + P N −−→ −−→ = MQ + P N −→ −−→ −−→ = (AE + BD) + DB 2 −→ = AE − → −→ Vậy IJ = AE Suy IJ//AE IJ = AE 4 Ví dụ 2.20 (Bài tập 30 SBT HH10 NC Tr10) Cho hình thang ABCD với cạnh đáy la AB CD (các cạnh bên không song song) Chứng minh cho trước điểm M nằm hai điểm A, D có điểm N nằm cạnh BC cho AN//MC DN//MB 32 Giải Gọi O giao điểm hai đường thẳng AD BC −→ −−→ −−→ −→ Đặt OA = a, OB = b, OD = ka OC = k b (vì AB//CD) Giả sử −−→ OM = ma Ta xác định điểm N BC cho AN//CM Ta chứng minh DN//BM −−→ −−→ −−→ −→ Vì N nằm BC nên ON = nb Khi AN = ON − OA = nb − a −−→ −−→ −→ Mặt khác CM = OM − OC = ma − k b −−→ −−→ n −1 Vì AN//CM nên hai vectơ AN CM phương, tức = hay −k m −−→ −−→ −−→ −−→ k k k n = Vậy ON = b Từ DN = ON − OD = b − ka Lại có m m m −−→ −−→ −−→ m k m −−→ BM = OM − OB = ma − bb = − b − ka = − DN k m k −−→ −−→ Vậy BM DN phương hay DN//BM 2.6 2.6.1 CHỨNG MINH BỐN ĐIỂM CÙNG THUỘC MỘT ĐƯỜNG TRÒN Phương pháp chung Để chứng minh bốn điểm A,B,C,D thuộc đường tròn ta chứng −−→ −−→ −−→ −−→ minh M A.M B = M C.M D với M giao điểm AB CD 33 Cho đường thẳng AB cắt đường thẳng M điểm C khác M đường thẳng Khi tiếp tuyến đường tròn (ABC) M C = M A.M B 2.6.2 Các ví dụ Ví dụ 2.21 (Bài tập 36 SBT HH10 NC Tr44) Cho đường tròn đường kính AB đường thẳng vuông góc với AB H (H không trùng với A B) Một đường thẳng quay quanh H cắt đường tròn M, N đường thẳng AN, AM cắt N’, M’ Chứng minh bốn điểm M,N,M’, N’ thuộc đường tròn C Giải −−→ −→ Tứ giác HBMM’ nội tiếp M HB = M M B = 90o , suy AH.AB = −−→ −−→ AM AM −−→ −→ Tư giác HBN’N nội tiếp N HB = N N B = 90o , suy AH.AB = −−→ −−→ AN AN −−→ −−→ −−→ −−→ Từ ta có AM AM = AN AN Suy M,N,M’,N’ thuộc đường tròn, ta ký hiệu đường tròn C Ví dụ 2.22 (Bài tập 41 SBT HH10 NC Tr44) Cho Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R), có đường cao AA’ Gọi E,F tương ứng hình 34 chiếu A’ AB,AC J giao điểm EF với đường kính AD a) Chứng minh AA’ tiếp tuyến đường tròn (A’JD) b) Tìm điều kiện AA’ để ba điểm E, F, O thẳng hàng Giải −→ −→ −→ −→ a) Trong hai tam giác vuông AA’B AA’C ta có AE.AB = AA AF AC = −→ −→ −→ −→ AA nên AE.AB = AF AC, suy tứ giác BEFC nội tiếp được, ta có AF C = ABC Mặt khác ABC = ADC(góc nội tiếp chẵn cung AC) nên tứ −→ −−→ −→ −→ −→ −−→ giác DCFJ nội tiếp được, Suy AJ.AD = AF AC Vậy AJ.AD = AA , AA’ tiếp tuyến đường tròn (A’JD) −→ −−→ b) Ba điểm E, F, O thẳng hàng O trùng với J hay AJ = R Vì AJ.AD = AA √ nên AJ = R AA = 2R2 hay AA = R Ví dụ 2.23 (Bài tập 44 SBT HH10 NC Tr45) Chứng minh rằng: Trong tam giác, trung điểm cạnh, chân đường cao thuộc đường tròn (ω) đường tròn (ω) qua trung điểm đoạn nối đỉnh với trực tâm tam giác Đường tròn chín điểm hay Đường tròn Ơ-le tam giác Giải Giả sử tam giác ABC có AA ⊥BC M,N trung điểm BC AC Vẽ đường tròn (ω) qua A’,M,N A’ khác M, (ω) qua N tiếp xúc với BC N A’ trùng với M Lấy giao điểm thứ hai B’ (ω) AC −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ Khi CA CM = CN CB hay CA CB = CA.CB , suy 2 −−→ −−→ −−→ −→ CA CB = CB CA 35 Vậy bốn điểm B,A’,B’,A thuộc đường tròn Trong đường tròn AB B = AA B = 90o , (ω) qua chân đường cao B’ hạ từ đỉnh B tam giác ABC −−→ −−→ −−→ −−→ Đặt K giao điểm thứ hai (ω) với AA’, ta có AK.AA = AB AN −−→ −−→ −−→ −→ Ta lại có AH.AA = AB AC (do HB’CA’ nội tiếp được) −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ Từ suy AK.AA = AH.AC = AH.AA ; AK = AH 2 Vậy (ω) qua trung điểm K AH Gọi P trung điểm AB, ta có KP//BB’ MP//AC, suy KP M = 90o Tương tự có KN M = 90o nên P nằm đường tròn (ω) qua M, N,K Lí luận tương tự ta chân đường cao C’ hạ từ đỉnh C trung điểm đoạn HB,HC, thuộc đường tròn (ω) 36 2.7 2.7.1 TÌM QUỸ TÍCH ĐIỂM (TÌM TÂP HỢP ĐIỂM) Phương pháp chung Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn hệ thức : −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ |M A1 + M A2 + + M An | = |M B1 + M B2 + + M Bn | Bước 1: Rút gọn đẳng thức để vế chứa vectơ −−−→ −−−→ −−−→ (a) TH1 Nếu M A1 + M A2 + + M An khử hết M (tức số −−→ −−→ vectơ dạng +M số vectơ dạng −M ) ta phải dựng vectơ tổng chung −−−→ −−−→ −−−→ (b) TH2 Nếu ta không khử M M A1 + M A2 + + M An ta −−→ −−→ −−→ cân dựng điểm I thỏa mản IA1 + IA2 + + IAn = : −−−→ −−−→ −−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ M A1 + M A2 + + M An = nM I + IA1 + IA2 + + IAn = nM I Bước 2: Sử dụng mệnh đề sau để suy quỹ tích cần tìm: −−→ (a) AM = ku với k ∈ R, A cố định u không đổi tập hợp điểm M đường thẳng qua A phương vơi u i Nếu k > tập hợp điểm M tia Ax phương với u ii Nếu k < tập hợp điểm M tia Ax ngược hướng với u −−→ −→ iii Nếu AM = k AB, k ∈ R tập hợp điểm M đường thẳng AB −−→ −−→ (b) |M A| = |M B| với A,B cố định cho trước tập hợp điểm M đường trung trực đoạn thẳng AB −−→ −−→ (c) |M A| = k|BC| với A,B,C cố định cho trước tập hợp điểm M đường tròn (A,k.AB) 2.7.2 Các ví dụ Ví dụ 2.24 (Bài tập 21 SBT HH10 NC Tr9) Cho tam giác ABC, I trung điểm đoạn thẳng AB Một đường thẳng d thay đổi qua I, cắt hai đường thẳng CA CB A’ B’ Chứng minh giao điểm M AB’ A’B năm đường thẳng cố định Giải −−→ −−→ −−→ −−→ Đặt CB = mCB , M B = nM A Xét tam giác ABB’ với đường đồng quy − → −→ AC, BM B’I (đồng quy A’) Vì IA = −IB nên theo định lí Xê-va, ta có 37 −−→ −−→ −−→ −−→ −mn = −1 hay mn = 1.Từ M B = nM A ta suy mM B = mnM A Vậy ta có −−→ −−→ −−→ −−→ CB = mCB M A = mM B , điều chứng tỏ CM//AB Vậy điểm M nằm đường thẳng cố định qua C song song với AB Ví dụ 2.25 (Bài tập 32 SBT HH10 NC Tr10) Cho tam giác ABC ba vectơ cố định u, v, w Với số thực t ta lấy điểm A’, B’, C’ −−→ −−→ −−→ cho AA = tu, BB = tv, CC = tw Tìm quỹ tích trọng tâm G’ tam giác A’, B’, C’ t thay đổi Giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC −−→ −−→ −−→ −−→ 3GG = GA + GB + GC −→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ = GA + AA + GB + BB + GC + CC −−→ −−→ −−→ = AA + BB + CC = tu + tv + tw = t(u + v + c) −−→ Đặt α = u + v + w vectơ α cố định GG = tα Suy α = điểm G’ trùng với điểm G, α = quỹ tích điểm G’ đường thẳng qua G song song với giá vectơ α 38 Ví dụ 2.26 (Bài Tập 36 SBT HH10 NC Tr11) Cho tứ giác ABCD −−→ −→ −−→ −−→ Với số k tùy ý, lấy điểm M N cho AM = k AB DN = k DC Tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng MN K thay đổi Giải Gọi O O’ trung điểm AD BC , ta có : −−→ −→ −−→ OO = (AB + DC) Vì O I trung điểm AD MN nên: −→ −−→ −−→ OI = (AM + DN ) k −→ −−→ = (AB + DC) −−→ = k OO Vậy k thay đổi tập hợp điểm I đường thẳng OO’ Ví dụ 2.27 (Bài tập 17 SBT HH10 NC Tr40) Cho hai điểm cố định A,B có khoảng cách a −−→ −−→ a) Tìm tập hợp điểm M cho M A.M B = k −−→ −→ b) Tìm tập hợp điểm N cho AN AB = 2a2 Giải 39 −→ −−→ a) Gọi O trung điểm AB OA = −OB Với điểm M ta có : −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ M A.M B = (M O + OA)(M O + OB) −−→ −−→ −−→ −−→ = (M O − OB)(M O + OB) = M O2 − OB a2 = M O2 − −−→ −−→ a2 a2 Từ M A.M B = k ⇔ M O2 − = k ⇔ M O2 = + k 4 a2 Ta có O cố định, + k số không đổi nên : • Nếu k < − a2 tập điểm M tập rỗng a2 • Nếu k = − tập điểm M gồm điểm O a2 1√ tập điểm M đường tròn tâm O bán kính R = a + 4k −→ −→ −→ −→ −→2 b) Lấy điểm C cho AC = 2AB Khi AB.AC = 2AB = 2a2 −−→ −→ −→ −→ −−→ −→ −→ −−→ −→ Từ có AN AB = 2a2 ⇔ AB.AC = AN AB ⇔ AB.(AN − AC) = • k>− −→ −−→ ⇔ AB.CN = ⇔ CN ⊥AB Vậy tập hợp điểm N đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB điểm C Ví dụ 2.28 (Bài tập 18 SBT HH10 NC Tr41) Cho điểm A cố đinh nằm đường thẳng , H hình chiếu A Với điểm M −−→ −−→ , lấy điểm M tia AM cho AN AM = AH Tìm tập hợp điểm N Giải −−→ −−→ −−→2 Ta có AN AM = AH −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ ⇔ AN AM = AH.AH = AH.AM (theo công thức hình chiếu) −−→ −−→ −−→ −−→ ⇔ AN AM − AH.AM = 40 −−→ −−→ −−→ ⇔ (AN − AH).AM = −−→ −−→ ⇔ HN AM = Vậy tập hợp điểm N đường tròn đường kính AH Ví dụ 2.29 (Bài Tập 26 SBT HH10 NC Tr42) Cho n điểm A1 , A2 , An n số k1 , k2 , kn với k1 + k2 + + kn = k (k = 0) a) Chứng minh có điểm G cho −−→ −−→ −−→ k1 GA1 + k2 GA2 + + kn GAn = b) Tìm quỹ tích điểm M cho :k1 M A1 +k2 M A2 + +kn M An = m, m số không đổi Giải a) Lấy điểm O đẳng thức : −−→ −−→ −−→ k1 GA1 + k2 GA2 + + kn GAn = (14) tương đương với −−→ −→ −−→ −→ −−→ −→ k1 (OA1 − OG) + k2 (OA2 − OG) + + kn (OAn − OG) = hay −→ −−→ −−→ −−→ OG = (GA1 + GA2 + + GAn ) k Điều chứng tỏ có điểm G thỏa mãn (14) Giả sử điểm G’ thỏa mãn −−−→ −−−→ −−−→ k1 G A1 + k2 G A2 + + kn G An = 41 (15) −−→ −−→ Bằng cách trừ theo vế (14) cho (15) ta k GG = 0, suy GG = hay G’ trùng với G ( Điểm G đgl tâm tỉ cự hệ điểm {A1 , A2 , , An } gắn với hệ số k1 , k2 , , kn ) b) Với điểm M, ta có k1 M A1 + k2 M A2 + + kn M An = m −−−→ −−−→ −−−→ ⇔ k1 M A1 + k2 M A2 + + kn M An = m −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ ⇔ k1 (GA1 − GM )2 + k2 (GA2 − GM )2 + + kn (GAn − GM )2 = m ⇔ k1 GA1 + k2 GA2 + + kn GAn + kGM −−→ −−→ −−→ −−→ −2GM (k1 GA1 + k2 GA2 + + kn GAn ) = m Ta đặt k1 GA1 + k2 GA2 + + kn GAn = s đẳng thức tương đương với m−s s + kGM = m hay GM = Từ suy k m−s > Thi quỹ tích điểm M đường tròn tâm G, bán kính k m−s r= k • Nếu • Nếu m − s = quỹ tích điểm M điểm G • m−s < quỹ tích điểm M tập rỗng k Chú ý: Khi k1 + k2 + + kn = k = hệ điểm {A1 , A2 , , An } tâm −−→ −−→ −−→ tỉ cự, song vectơ u = k1 OA1 + k2 OA2 + + kn OAn không phụ thuộc vào việc chọn O Thực vậy, với điểm O’ khác điểm O , ta có : −−−→ −−−→ −−−→ k1 O A1 + k2 O A2 + + kn O An −−→ −−→ −−→ −−→ = (k1 + k2 + + kn )O O + k1 OA1 + k2 OA2 + + kn OAn = u Bây chọ điểm O đó, ta có: k1 M A1 + k2 M A2 + + kn M An = m −−−→ −−−→ −−−→ ⇔ k1 M A1 + k2 M A2 + + kn M An = m −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ ⇔ k1 (OA1 − OM )2 + k2 (OA2 − OM )2 + + kn (OAn − OM )2 = m −−→ ⇔ k1 OA1 + k2 OA2 + + kn OAn − 2OM u 42 Đặt k OA1 + k2 OA2 + + kn OAn = s đẳng thức trở thành : −−→ 2u.OM = s − m Bởi vậy: • Nếu u = s = m quỹ tích điểm M toàn mặt phẳng • Nếu u = o s = m quỹ tích điểm M tập rỗng • Nếu u = quỹ tích điểm M đường thẳng vuông góc với u Ví dụ 2.30 (Bài tập 31 SBT HH10 NC Tr43) Cho hai đường tròn không đồng tâm (O;R) (O’;R’) Tìm tập hợp điểm M cho PM/(O;R) = PM/(O ;R ) Giải Ta có: PM/(O;R) = PM/(O ;R ) ⇔ M O − R2 = M O − R −−→2 −−→2 ⇔ M O − M O = R2 − R −−→ −−→ −−→ −−→ ⇔ (M O − M O )(M O + M O ) = R2 − R −−→ −−→ ⇔ 2OO M I = R2 − R , Trong I trung điểm OO’ Lấy H hình chiếu điểm M đường thẳng OO’ ta có : −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −→ O O.M I = O O.HI = OO IH R −R2 không đổi H điểm cố định Từ suy IH = 2OO Vậy PM/(O;R) = PM/(O ;R ) M thuộc đường thẳng đường thẳng OO’ điểm cố định H Đường thẳng 2.8 2.8.1 vuông góc với gọi trục đảng phương hai đường tròn cho ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ ĐỂ TÌM CỰC TRỊ Lý thuyết bổ trợ Sử dụng tích vô hướng biến đổi biểu thức cần tìm cực trị biểu thức độ dài, ví dụ: S = M I + c, với c số I cố định Khi Smin = c, đạt MI = ⇔ M ≡ I 43 2.8.2 Các ví dụ Ví dụ 2.31 Cho ABC, G trọng tâm, M điểm tùy ý Chứng minh rằng: −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −→ a) M A.BC + M B.CA + M C.AB = b) M A2 + M B + M C = GA2 + GB + GC + 3M G2 , từ suy vị trí điểm M để M A2 + M B + M C đạt giá trị nhỏ Giải a) Ta có : −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −→ M A.BC + M B.CA + M C.AB −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ = M A(M C − M B) + M B(M A − M C) + M C(M B − M A) = b) Ta có: −−→2 −−→ −→ −−→ −→ M A2 = M A = (M G + GA)2 = M G2 + GA2 + 2M G.GA −−→2 −−→ −−→ −−→ −−→ M B = M B = (M G + GB)2 = M G2 + GB + 2M G.GB −−→2 −−→ −→ −−→ −→ M C = M C = (M G + GC)2 = M G2 + GC + 2M G.GC Cộng vế theo vế ta : −−→ −→ −−→ −→ M A2 + M B + M C = 3M G2 + GA2 + GB + GC + M G(GA + GB + GC) = 3M G2 + GA2 + GB + GC (do G trọng tâm ABC Từ suy M A2 + M B + M C đạt giá trị nhỏ M G2 = ⇔ M ≡ G Ví dụ 2.32 Cho hình bình hành ABCD đường thẳng d Giả sử hai đường chéo cắt O M điểm di động đường thẳng d Xác định ví trí điểm M để M A2 − M B + M C đạt giá trị nhỏ Giải −−→ −−→ −−→ M A + M C = 2M O −−→ −−→ −−→ −−→ Ta có −−→ −−→ −−→ ⇒ (M A + M B)2 = (M B + M D)2 M B + M D = 2M O −−→ −−→ −−→ −−→ ⇔ M A2 − M B + M C − M D2 = 2(M B.M D − M A.M C) 44 ⇔ M A2 − M B + M C − M D −−→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ = (OB − OM ).(OD − OM ) − (OA − OM ).(OC − OM ) ⇔ M A2 − M B + M C − M D −−→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ = (OB − OM ).(−OB − OM ) − (OA − OM ).(−OA − OM ) ⇔ M A2 − M B + M C − M D −−→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ = −(OB − OM ).(OB + OM ) + (OA − OM ).(OA + OM ) −−→2 −−→2 −→2 −−→2 ⇔ M A2 − M B + M C − M D2 = 2(−OB + OM + OA − OM ) ⇔ M A2 − M B + M C − M D2 = 2(−OB + OA2 ) ⇔ M A2 − M B + M C = M D2 + 2OA2 − 2OB Do M A2 − M B + M c2 đạt giá trị nhỏ ⇔ M D2 nhỏ ⇔ M hình chiêu vuông góc D lên đường thẳng d 45