Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Đồng Thị Thương TIÊU CHUẨN COMPACT TRONG CÁC ĐỊNH LÝ TỒN TẠI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Đồng Thị Thương TIÊU CHUẨN COMPACT TRONG CÁC ĐỊNH LÝ TỒN TẠI Chuyên ngành: Toán giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Bùi Trọng Kiên Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung báo cáo thực tập chuyên ngành, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Trọng Kiên tận tình hướng dẫn để hoàn thành đề tài Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, đặc biệt thầy cô giáo tổ Giải tích Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tạo điều kiện để hoàn thành khóa luận Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Đồng Thị Thương Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận hoàn thành nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân với hướng dẫn tận tình TS Bùi Trọng Kiên quan tâm thầy, cô giáo tổ Giải tích khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nộị Kết nghiên cứu khóa luận trung thực không trùng lặp với đề tài khác thông tin thu trích dẫn khóa luận rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên Đồng Thị Thương Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục lục Lời mở đầu 1 Tiêu chuẩn compact không gian tôpô 1.1 Một số khái niệm 1.2 Không gian compact compact đếm 1.3 Tính compact không gian mêtric 14 Một số định lý tồn 2.1 2.2 20 Các định lý tồn nghiệm tối ưu 20 2.1.1 Định lý Weierstrass 20 2.1.2 Tập lồi 23 2.1.3 Compact yếu 24 2.1.4 Một số định lý tồn 28 Điều kiện compact định lý điểm bất động 33 2.2.1 Định lý điểm bất động Brouwer 33 2.2.2 Toán tử compact 35 Kết luận chung 38 Tài liệu tham khảo 39 ii Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đồng Thị Thương Lời mở đầu Lí chọn đề tài Giải tích hàm ngành toán học xây dựng vào khoảng nửa đầu kỉ XX xem ngành toán học cổ điển Nội dung hợp lí thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng số khái niệm kết Giải tích, Đại số, Trong trình phát triển từ đến nay, giải tích hàm chứa đựng nội dung phong phú, phương pháp kết giải tích hàm xâm nhập vào ngành toán học khác có liên quan sử dụng đến công cụ giải tích không gian vectơ Lí thuyết compact vấn đề quan trọng giải tích hàm Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu tính compact em chọn đề tài "Tiêu chuẩn compact định lý tồn tại" Nghiên cứu vấn đề có hội tìm hiểu sâu tiêu chuẩn compact không gian hàm, vai trò tính compact định lý tồn lý thuyết tối ưu lý thuyết điểm bất động Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu vai trò tính compact định lý tồn lý thuyết tối ưu lý thuyết điểm bất động Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đồng Thị Thương Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu vai trò tính compact định lý tồn lý thuyết tối ưu lý thuyết điểm bất động Đối tượng nghiên cứu gồm Giải tích hàm Giải tích phi tuyến Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lý luận, nghiên cứu tài liệu tham khảo, phân tích, tổng hợp, so sánh, Cấu trúc Ngoài mục lục, phần mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, khóa luận gồm hai chương: Chương 1: Tiêu chuẩn compact không gian Tôpô Chương 2: Một số định lý tồn Footer Page of 161 Header Page of 161 Chương Tiêu chuẩn compact không gian tôpô 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1 (không gian tôpô) Cho X tập hợp Họ τ ⊆ 2X (họ tất tập X) gọi tôpô X {Ø, X} ∈ τ Hợp vô hạn tập thuộc τ tập thuộc τ Giao hữu hạn tập thuộc τ tập thuộc τ Khi (X, τ ) gọi không gian tôpô Ví dụ 1.1.1 Cho X không gian mêtric với mêtric d(x, y) Ta nói A ⊂ X d-mở ∀a ∈ A, ∃B(a, ) ⊂ A Quy ước Ø, X tập mở Gọi τ họ tất tập d-mở X, τ tôpô X Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đồng Thị Thương Cho không gian định chuẩn (X, ) Ta nói A ⊂ X tập mở ∀a ∈ A, ∃B(a, ) ⊂ A với B(a, ) = {x ∈ X : x − a < } Gọi τ họ tập mở X, τ tôpô X Định nghĩa 1.2 Cho không gian tôpô (X, τ ) Tập U ⊂ X gọi tập đóng X phần bù U C = X \ U tập mở X Tập U ⊂ X gọi lân cận x0 ∈ X ∃G ∈ τ thỏa mãn x0 ∈ G ⊂ U Kí hiệu U (x0 ) Tập hợp tất lân cận điểm x0 họ lân cận x0 Kí hiệu N (x0 ) Mệnh đề 1.1 Trong không gian tôpô (X, τ ), tập G ⊂ X tập mở G lân cận điểm thuộc Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử G tập mở điểm x0 ∈ G bất kì.Khi ta có x0 ∈ G ⊂ G Suy G lân cận điểm x0 Vì x0 G nên ta có G lân cận điểm thuộc Điều kiện đủ: Giả sử G lân cận điểm thuộc G Ta cần chứng minh G tập mở Thật vậy: ∀x ∈ G, ∃Ax ∈ τ : x ∈ Ax ⊂ G Do Ax ∈ τ G= x∈G Vậy G tập mở Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Định nghĩa 1.3 Đồng Thị Thương Ánh xạ x : N −→ X n −→ x(n) gọi dãy không gian tôpô X Kí hiệu xn thay cho x(n) (xn ) {xn } kí hiệu dãy cho Nếu tồn dãy tăng n1 < n2 < < nk < dãy (xnk ) gọi dãy dãy (xn ) Dãy (xn ) gọi hội tụ tới x0 ∀U ⊂ N (x0 ), ∃n0 : ∀n ≥ n0 ⇒ xn ∈ U Khi ta nói x0 giới hạn dãy (xn ) Dãy (xn ) gọi lũy tiến tới x0 ∀U ⊂ N (x0 ), ∀m : ∃n ≥ m ⇒ xn ∈ U Khi điểm x0 gọi điểm tụ dãy (xn ) Mệnh đề 1.2 Cho (X, d) không gian mêtric (xn ) dãy X Khi x0 điểm tụ (xn ) tồn dãy (xnk ) hội tụ đến điểm x0 k → ∞ Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử x0 điểm tụ (xn ) X Xét dãy hình cầu B(x0 , ) Khi với m = k, ∃nk > k k xnk ∈ B(x0 , ) k Footer Page 10 of 161 Header Page 30 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đồng Thị Thương iii) Tập A ⊂ X gọi tập mở yếu ∀x0 ∈ A, ∃U (x0 , f1 , , fk , , , k ) ⊂ A Đặt τ họ tập mở yếu X Khi τ tôpô X, gọi tôpô yếu Kí hiệu σ(X, X ∗ ) Mệnh đề 2.3 Tôpô yếu σ(X, X ∗ ) yếu tôpô mạnh Σ X Chứng minh Giả sử A ∈ σ(X, X ∗ ) Ta cần chứng minh A ∈ Σ Lấy x0 ∈ A Vì A ∈ σ(X, X ∗ ) nên ∃U (x0 , f1 , , fk , , , k ) = {x ∈ X : | fi , x − x0 | < i Đặt = min{ , , , k } Khi | fi , x − x | < (i = 1, 2, , k) Xét hình cầu B(x0 , γ) = {x ∈ X : x − x0 < γ} với γ = max( f1 , f2 , , fk ) Lấy x ∈ B(x0 , γ) tùy ý ta có x − x0 < γ Khi | fi , x − x0 | ≤ fi x − x0 < fi γ < (i = 1, 2, , k) Do | fi , x − x0 | < Footer Page 30 of 161 i 25 (i = 1, 2, , k) (i = 1, 2, , k)} ⊂ A Header Page 31 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đồng Thị Thương Suy x ∈ U (x0 , f1 , , fk , , , k ) Hay B(x0 , γ) ⊂ U (x0 , f1 , , fk , , , k ) Do B(x0 , γ) ⊂ A Vậy A tập mở tôpô mạnh Σ Mệnh đề 2.4 a) Dãy (xn ) hội tụ yếu đến x0 σ(X, X ∗ ) f, xn hội tụ đến f, x0 ∀f ∈ X ∗ b) Nếu f ∈ X ∗ f liên tục X σ(X, X ∗ ) Chứng minh a) Vì dãy (xn ) hội tụ yếu đến x0 σ(X, X ∗ ) nên ∀U (x0 , f, ), ∃N, ∀n ≥ N : xn ∈ U (x0 , f, ) Từ ta có | f, xn − x0 | < ⇔ | f, xn − f, x0 | < Suy f, xn hội tụ yếu tới f, x0 Vậy f, xn hội tụ yếu tới f, x0 ∀f ∈ X ∗ b) Giả sử f ∈ X ∗ lấy x0 ∈ X > Ta cần chứng minh ∃U (x0 ) ∈ σ(X, X ∗ ) : |f (x) − f (x0 )| < Footer Page 31 of 161 26 ∀x ∈ U (x0 ) Header Page 32 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đồng Thị Thương Đặt U = U (x0 , f, ) Khi ∀x ∈ U ta có | f, x − x0 | < ⇔ | f, x − f, x0 | < Suy f liên tục σ(X, X ∗ ) Nhận xét 2.1 Khi X = Rn định nghĩa tôpô yếu tương đương với định nghĩa tôpô mạnh Hệ 2.1 Nếu A tập đóng yếu A tâp đóng mạnh Chứng minh Giả sử A tập đóng σ(X, X ∗ ) Khi AC ∈ σ(X, X ∗ ) Theo Mệnh đề 2.2 ta có AC ∈ Σ Suy A tập đóng tôpô mạnh Σ Vậy A tập đóng mạnh Câu hỏi đặt ra: Khi tập đóng mạnh tập đóng yếu? Định lý 2.2 ([2, Theorem 3.7, p 60]) Nếu C tập lồi C tập đóng mạnh C tập đóng yếu Hệ 2.2 Cho X không gian Banach, f : X −→ R hàm lồi nửa liên tục tôpô mạnh Khi f nửa liên tục với tôpô yếu σ(X, X ∗ ) Chứng minh Vì f hàm lồi nửa liên tục tôpô mạnh nên theo mệnh đề 2.1 mệnh đề 2.2 ta có ∀γ ∈ R tập L(f, γ) = {x ∈ X : f (x) ≤ γ} Footer Page 32 of 161 27 Header Page 33 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đồng Thị Thương tập lồi đóng tôpô mạnh Σ Áp dụng định lý 2.2 ta có tập L(f, γ) tập đóng yếu với σ(X, X ∗ ) Suy f nửa liên tục σ(X, X ∗ ) Vậy f nửa liên tục σ(X, X ∗ ) 2.1.4 Một số định lý tồn Định nghĩa 2.4 Không gian Banach X gọi phản xạ X ≡ X ∗∗ Định lý 2.3 ([2, Theorem 3.17-Kakutani, p 67]) Không gian Banach X phản xạ hình cầu đóng ¯ γ) = {x ∈ X : x ≤ γ} B(0, compact tôpô yếu σ(X, X ∗ ) Định lý 2.4 ([3, Theorem 3.17-Eberlein-Shmulyan, p 141]) Không gian Banach X phản xạ dãy bị chặn trích dãy hội tụ yếu tới phần tử thuộc X Định lý 2.5 Cho X không gian Banach phản xạ, M tập lồi, đóng bị chặn theo tôpô mạnh X Khi f : M −→ R liên tục yếu ∃x0 ∈ M : f (x0 ) = inf f (x) x∈M Chứng minh Giả sử X không gian phản xạ M tập lồi đóng bị chặn tôpô mạnh X Khi theo định lý 2.3 ta có tập M tập compact yếu σ(X, X ∗ ) Mặt khác theo giả thiết ta có f nửa liên tục σ(X, X ∗ ) Footer Page 33 of 161 28 Header Page 34 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đồng Thị Thương Do áp dụng Định lý Weierstrass ta có ∃x0 ∈ M cho : f (x0 ) = inf f (x) x∈M Như định lý chứng minh Hệ 2.3 Cho X không gian Banach phản xạ, M tập lồi đóng bị chặn X Hàm f : M −→ R hàm lồi nửa liên tục mạnh Khi ∃x0 ∈ M : f (x0 ) = inf f (x) x∈M Chứng minh Giả sử X không gian Banach phản xạ, M tập lồi đóng bị chặn X hàm f : M −→ R hàm lồi nửa liên tục tôpô mạnh Σ Khẳng định rằng: f nửa liên tục theo tôpô yếu σ(X, X ∗ ) Thật ∀γ ∈ R tập L(f, γ) = {x ∈ X : f (x) ≤ γ} tập lồi đóng với tôpô mạnh Khi theo Định lý 2.2 tập L(f, γ) tập đóng với tôpô yếu σ(X, X ∗ ) Suy f nửa liên tục theo tôpô yếu σ(X, X ∗ ) (Mệnh đề 2.1) Khi áp dụng định lý 2.5 ta ∃x0 ∈ X : f (x0 ) = inf f (x) x∈M Vậy toán (P ) có nghiệm Định nghĩa 2.5 Cho X không gian Banach, f : X −→ R gọi thỏa mãn điều kiện Ví dụ 2.1.3 lim f (x) = +∞ x →+∞ Hàm f (x) = x thỏa mãn điều kiện Thật vậy: lim x →+∞ Footer Page 34 of 161 = lim x →+∞ 29 x = +∞ Header Page 35 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hàm f (x) = x p Đồng Thị Thương (p > 1) thỏa mãn điều kiện Thật vậy: lim x →+∞ = lim x →+∞ x p = +∞ Định lý 2.6 Cho X không gian Banach phản xạ, C tập lồi, đóng X Nếu f : X −→ R hàm lồi, nửa liên tục thỏa mãn điều kiện ∃x0 ∈ C : f (x0 ) = inf f (x) x∈C Chứng minh Lấy x ∈ C Vì f thỏa mãn điều kiện nên lim x →+∞ = +∞ Suy tồn R = f (x) cho ∀x ∈ X : x > R ⇒ f (x) > f (x) = R Trước tiên ta chứng minh inf f (x) = x∈C inf f (x) inf f (x) inf f (x) x∈C ¯ B(x,R+ x ) x∈C ¯ B(x,R+ x ) x∈C ¯ B(x,R+ x ) - Hiển nhiên ta có inf f (x) ≤ x∈C - Giả sử phản chứng inf f (x) < x∈C Footer Page 35 of 161 30 (2.1) Header Page 36 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đồng Thị Thương Khi ∃x1 ∈ C cho f (x1 ) < inf x∈C ¯ B(x,R+ x ) ¯ R + x ) x1 ∈ C +) Nếu x1 ∈ B(x, f (x1 ) < inf x∈C ¯ B(x,R+ x ) f (x) ¯ R + x ) Suy B(x, f (x) ≤ f (x1 ) (vô lý) ¯ R + x ) +) Nếu x1 ∈ / B(x, x1 − x > R + x Suy x1 + x > x1 − x > R + x ⇒ x1 > R Khi theo (2.1) ta có f (x1 ) > f (¯ x) ≥ inf ¯ B(x,R+ x ) x∈C f (x) > f (x1 ).(vô lý) Suy inf f (x) = x∈C Vì C inf x∈C ¯ B(x,R+ x ) f (x) ¯ R + x ) tập đóng bị chặn nên C B(x, tập compact tôpô yếu σ(X, X ∗ ) Từ hệ 2.3 ta có ∃x0 ∈ C f (x0 ) = Footer Page 36 of 161 ¯ R + x ) cho B(x, inf x∈C ¯ B(x,R+ x ) 31 f (x) ¯ R+ x ) B(x, Header Page 37 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đồng Thị Thương Suy ∃x0 ∈ C cho f (x0 ) = inf f (x) x∈C Vậy toán (P ) có nghiệm Định lý 2.7 Cho X không gian Banach phản xạ, C tập lồi đóng X x0 ∈ X Khi ∃x1 ∈ C cho x0 − x1 = inf x0 − y y∈C Điểm x1 gọi chân hình chiếu vuông góc x0 C Kí hiệu x1 = PC (x0 ) Chứng minh Xét hàm số f (x) = x0 − x ∀x ∈ X Khi +) f hàm liên tục +) f hàm lồi Thật vậy: ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1] ta có f (λx + (1 − λ)y) = x0 − (λx + (1 − λ)y) = (λx0 − λx) + ((1 − λ)x0 − (1 − λ)y) ≤ λx0 − λx + (1 − λ)x0 − (1 − λ)y = λ x0 − x + (1 − λ) x0 − y = λf (x) + (1 − λ)f (y) Vậy f hàm lồi +) f thỏa mãn điều kiện Thật : lim f (x) = x →+∞ Footer Page 37 of 161 lim x →+∞ 32 x0 − x = +∞ Header Page 38 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đồng Thị Thương Khi áp dụng Định lý 2.6 ta được: ∃x1 ∈ C cho f (x1 ) = inf f (y) y∈C Hay x0 − x1 = inf x0 − y y∈C Như định lý chứng minh 2.2 Điều kiện compact định lý điểm bất động 2.2.1 Định lý điểm bất động Brouwer Định nghĩa 2.6 Cho ánh xạ T : X −→ X, nghiệm x phương trình Tx = x gọi điểm bất động T Kí hiệu: F ix(T ) tập hợp tất điểm bất động T Định lý 2.8 Nếu f : [a, b] ⊂ R −→ [a, b] ánh xạ liên tục ∃x ∈ [a, b] : f (x) = x Chứng minh Đặt ϕ(x) = f (x) − x ∀x ∈ [a, b] Khi ta có ϕ(a) = f (a) − a ≥ ϕ(b) = f (b) − b ≤ +)Nếu ϕ(a) = ta có f (a) − a = ⇒ f (a) = a Footer Page 38 of 161 33 Header Page 39 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đồng Thị Thương Suy x = a điểm bất động f +) Nếu ϕ(b) = f (b) − b = ⇒ f (b) = b Suy x = b điểm bất động f Do giả sử:     ϕ(a) = (a) − a >   ϕ(b) = (b) − b < Suy ϕ(a).ϕ(b) < Mặt khác ta có ϕ hàm liên tục Do ∃x ∈ (a, b): ϕ(x) = ⇔ f (x) − x = ⇔ f (x) = x Suy x = x điểm bất động f Như định lý chứng minh Định lý 2.9 ([3, Proposition 2.6- Brouwer Fixed -Point Theorem, p 51]) Cho M tập lồi khác rỗng compact Rn ánh xạ liên tục f : M −→ M Khi f có điểm bất động Ví dụ 2.2.1 Cho f : [0, 1] −→ [0, 1] hàm liên tục có đồ thị cắt đường thẳng y=x điểm Khi theo Định lý 2.9, đồ thị f cắt đường chéo giao điểm, điểm bất động f Dễ thấy điểm bất động Footer Page 39 of 161 34 Header Page 40 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2.2 Đồng Thị Thương Toán tử compact Định nghĩa 2.7 Cho X, Y không gian Banach T : D(T ) ⊂ X −→ Y toán tử T gọi compact i) T liên tục, ii) Với tập bị chặn M ⊂ X T (M ) tập compact Kí hiệu K(X, Y ) tập hợp tất toán tử từ X vào Y Nếu X = Y ta viết K(X, X) = K(X) Ví dụ 2.2.2 Trong không gian Banach hữu hạn chiều toán tử liên tục toán tử compact tương đương Thật vậy: Giả sử M tập bị chặn X Vì X hữu hạn chiều nên M tập compact Suy T (M ) tập compact Do T (M ) tập compact tương đối Vậy T toán tử compact Định lý 2.10 ([3, Proposition 2.12, p 55]) Cho X, Y không gian Banach, M tập khác rỗng, bị chặn X T : M ⊆ X −→ Y toán tử Khi T toán tử compact ∀n ∈ N, tồn toán tử compact Pn : X −→ Y cho: sup T (x) − Pn (x) ≤ x∈M Footer Page 40 of 161 35 n Header Page 41 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đồng Thị Thương dim(spanPn (M )) < ∞ (2.2) Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử T toán tử compact Vì M tập bị chặn nên T (M ) tập compact tương đối Khi với n ∈ N, ∃yi ∈ T (M ), i = 1, 2, , N thỏa mãn n T x − yi < i ∀x ∈ M (2.3) Toán tử Schauder toán tử định nghĩa : N (x)yi Pn (x) = i=1 N (2.4) (x) i=1 (x) = max(n−1 − T x − yi , 0), có tất tính chất cần thiết, với hàm liên tục không đồng thời không với x ∈ M cho (2.3) − T x) i (x) i (x)(yi Pn (x) − T (x) = −1 i (x)n ≤ i (x) ≤ n−1 ∀x ∈ M Tính bị chặn T (x) kéo theo tính bị chặn Pn (M ) Khi Pn (M ) tập compact tương đối Suy Pn (x) toán tử compact Điều kiện đủ: Giả sử (2.2) Khi toán tử T liên tục Footer Page 41 of 161 36 Header Page 42 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đồng Thị Thương Từ (2.2) ta có với n ∈ N đủ lớn ∀x, y ∈ M : x − y < δ( ) T (x) − T (y) = T (x) − Pn (x) + Pn (x) − Pn (y) + Pn (y) − T (y) ≤ T (x) − Pn (x) + Pn (x) − Pn (y) + T (y) − Pn (y) 1 ≤ + Pn (x) − Pn (y) + < n n Hơn T(M) compact tương đối, từ (2.2) kéo theo T(M) có − lưới hữu hạn Suy T(M) tập hoàn toàn bị chặn n Vậy T toán tử compact Định lý 2.11 ([3, Theorem 2.A, p 56]) Cho M tập lồi, đóng bị chặn khác rỗng không gian Banach X, T : M −→ M toán tử compact Khi T có điểm bất động Hệ 2.4 Cho M tập compact, lồi khác rỗng không gian Banach X, T : M −→ M toán tử liên tục Khi T có điểm bất động Footer Page 42 of 161 37 Header Page 43 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đồng Thị Thương Kết luận chung Khóa luận nghiên cứu tiêu chuẩn compact định lý tồn lý thuyết tối ưu lý thuyết điểm bất động Đây định lý có nhiều ứng dụng thực tế nhiều quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học Cụ thể, khóa luận thực công việc sau: i) Trình bày định nghĩa tính chất không gian compact, compact đếm tính compact số không gian hàm ii) Trình bày compact yếu: tính đóng, bị chặn mối quan hệ compact mạnh compact yếu iii) Nghiên cứu trình bày số định lý tồn lý thuyết tối ưu lý thuyết điểm bất động từ thấy vai trò tính compact Mặc dù cố gắng song hạn chế thời gian, kiến thức kinh nghiệm nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận quan tâm đóng góp ý kiến thầy cô bạn để khóa luận hoàn thiện Trân trọng cảm ơn Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Đồng Thị Thương Footer Page 43 of 161 38 Header Page 44 of 161 Tài liệu tham khảo [1] A N Kolmogorov, S V Fomin, Introductory Real Analysis, Dover Publications, INC New York, 1970 [2] H Brezis, Function Analysis, Sobolev spaces and Partial Differential equations, Springer, 2011 [3] E Zeidler, Nonlinear functional Analysis and its Applications I - Fixed-Point Theorem, Springer-Verlag, New York, Berlin Heidelberg, Tokyo, 1986 [4] K Yosida, Functional Analysis, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1980 [5] H Tụy, Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 [6] N P Hy, Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật, 2006 Footer Page 44 of 161 39 ... tiêu chuẩn compact không gian hàm, vai trò tính compact định lý tồn lý thuyết tối ưu lý thuyết điểm bất động Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu vai trò tính compact định lý tồn lý thuyết tối ưu lý thuyết... thuyết compact vấn đề quan trọng giải tích hàm Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu tính compact em chọn đề tài "Tiêu chuẩn compact định lý tồn tại" Nghiên cứu vấn đề có hội tìm hiểu sâu tiêu chuẩn. .. 20 Các định lý tồn nghiệm tối ưu 20 2.1.1 Định lý Weierstrass 20 2.1.2 Tập lồi 23 2.1.3 Compact yếu 24 2.1.4 Một số định lý tồn