Đang tải... (xem toàn văn)
Một số kinh nghiệm giúp học sinh tự tin giải bài tập giới hạn của hàm số AKIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa giới hạn của hàm số: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn K và xn a , mà lim(xn)=a đều có limf(xn¬)=L.Kí hiệu: . 2. Một số định lý về giới hạn của hàm số: a. Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất. b. Định lý 2:Nếu các giới hạn: thì:
Một số kinh nghiệm giúp học sinh tự tin giải tập giới hạn hàm số A-KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa giới hạn hàm số: Cho hàm số f(x) xác định khoảng K.Ta nói hàm số f(x) có giới hạn L x dần tới a với dãy số (xn), xn ∈ K xn ≠ a , ∀n ∈ ¥ * mà lim(xn)=a có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu: lim f ( x ) = L x →a Một số định lý giới hạn hàm số: a Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn L giới hạn f ( x ) = L , lim g ( x ) = M thì: b Định lý 2:Nếu giới hạn: lim x →a x →a lim f ( x ) ± g ( x ) = lim f ( x ) ± lim g ( x ) = L ± M x →a x →a x →a lim f ( x ) g ( x ) = lim f ( x ) lim g ( x ) = L M x →a x →a x →a f ( x ) L f ( x ) lim = x →a lim = ,M≠0 x →a g x g ( x ) M ( ) lim x →a lim f ( x ) = lim f ( x ) = L ; f ( x ) ≥ 0, L ≥ x →a x →a c) Nguyên lý kẹp: Cho ba hàm số f(x), h(x) g(x) xác định khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ∀x ∈ K , x ≠ a lim g ( x ) = lim h ( x ) = L ⇒ lim f ( x ) = L x →a x →a x →a Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số: a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , với dãy số (xn), lim(xn) = a , có lim[f(xn)]= ∞ ta nói f(x) dần tới vô cực x dần tới a, kí hiệu: lim f ( x ) = ∞ x →a b) Nếu với dãy số (xn) , lim(xn) = ∞ có lim[f(xn)] = L , ta nói f(x) có giới hạn L x dần tới vô cực, kí hiệu: lim f ( x ) = L x →∞ c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số đòi hỏi với dãy số (xn), mà xn > a ∀n ∈ ¥ * , ta nói f(x) có giới hạn bên phải a, kí hiệu : lim+ f ( x ) Nếu x →a * đòi hỏi với dãy số (xn), xn < a ∀n ∈ ¥ ta nói hàm số có giới hạn bên trái a , kí hiệu: lim− f ( x ) x →a B- PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN Trong trình giải tập giới hạn hàm số ta thường gặp trường hợp tìm giới hạn sau: f ( x ) Một : Giới hạn hàm số điểm: lim x →a f ( x ) Hai là: Giới hạn vô cực hàm số : xlim →±∞ f ( x ) , lim− f ( x ) Ba là: Giới hạn bên hàm số: xlim →a+ x →a Hiển nhiên lý phân thành trường hợp lúc không xét tính chất hàm số mà nhận dạng trường hợp cách nhìn vào giá trị mà x tiến đến (một điểm xác định, vô cực, hay giới hạn trái, giới hạn phải) Trong trường hợp nêu lại chia dạng tập định.Ở khái quát trình giải tập giới hạn hàm số theo sơ đồ tư sau: ĐỀ BÀI Quan sát chia trường hợp Giới hạn vô cực Giới hạn điểm: Dạng 1: Dạng 1:Tính trực tiếp Dạng Dạng 2:() Dạng3: Giới hạn bên Dạng 3:() Dạng: lim f ( x ) = f (a) x →a Sau trình bày phương pháp chung để giải dạng tập nêu sơ đồ tư • KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN TẠI MỘT ĐIỂM CỦA f ( x ) HÀM SỐ: lim x→ a f ( x ) = f ( a) Dạng 1: lim x →a Phương pháp: f ( x ) = f ( a) Thay a trực tiếp vào biểu thức f(x) Kết luận: lim x →a Ví dụ 1:Tính giới hạn sau: ( x + 3) 1/ Lim x →2 3/ Lim x→3 x −1 x+2 ( x + − 1) 2/ xLim →−2 2x + 3x +1 Lim 4/ x→-1 ÷ -x + 4x + BÀI GIẢI ( x + 3) = 2.2 + = 1/ Lim x →2 / Lim ( x→ −2 / Lim x →3 x +5 −1) = ( −2) +5 −1 =2 x −1 −1 = = x +2 +2 x + x + 2.( − 1) + 3.( − 1) + = = =0 4/ xLim →−1 − x + x + − ( − 1) + ( − 1) + −3 Bài tập tương tự: Bài tập 1:Tính giới hạn sau: + 2x +1) lim(x x → -1 x +1 ; x →1 2x - lim f ( x) g( x) + x +1) lim(x x →1 ( - 4x ) lim x →3 x + x +1 x →-1 2x + lim 0 → ÷ (ta tính nhẫm dạng cách thay a vào f(x) g(x) Ta 0 f ( x) 0 thấy f(x)=f(a)=0, g(x)=g(a)=0 nên lim lúc có dạng ÷ x →a g ( x ) 0 Phương pháp: Dạng 2: lim x →a Phương pháp 1:Nếu f(x), g(x) hàm đa thức ta chia tử số mẫu số cho (x-a) (x-a)2 Chú ý 1: • Nếu f ( x ) = ax + bx + c có nghiệm x1 , x2 ta phân tích f ( x ) = ax + bx + c = a( x − x1 )( x − x2 ) • Các đẳng thức đáng nhớ: A2 − B = ( A − B ) ( A + B ) ( = ( A + B) ( A A3 − B3 = ( A − B ) A2 + AB + B A3 + B − AB + B ) ) Phương pháp 2: Nếu f(x) , g(x) biểu thức chứa nhân tử mẫu cho biểu thức liên hợp Chú ý 2: Các biểu thức liên hợp thường gặp a −1 a +1 a −1 2/ a +1 = a −1 a−b 3/ a − b = a+ b a−b 4/ a + b = a− b 1/ a − = 5/ a − = 6/ a +1 = a −1 a2 + a + a −1 a2 − a + a−b 7/ a − b = a + ab + b2 a+b 8/ a + b = a − ab + b Ví dụ 2:Tính giới hạn sau: x+3 1/Lim x→3 x + x − ÷ x2 + 2x − / Lim x→1 x − x − ÷ x2 + x − 3/ Lim ÷ x→1 x −1 ( 1+ x) / Lim 4x 5/ Lim x→0 + x − ÷ / Lim x→1 x→0 / Lim x →2 −1 x 2x − x−2 x+2 −2 x+7 −3 Bài giải x+3 −1 x+3 1/ Lim = Lim = ÷= Lim x→−3 x + x − x→−3 ( x − 1) ( x + ) x→−3 x − x2 + x − ( x − 1) ( x + 3) = Lim x + = / Lim = Lim ÷ x→1 x − x − x→1 2( x − 1)( x + ) x→1 2( x + ) 2 x2 + x − ( x − 1) ( x + ) = Lim x + = 3/ Lim = Lim ÷ x→1 x − x→1 ( x − 1) ( x + 1) x→1 x + ( 1+ x) / Lim ( + x − 1) ( + x ) −1 = Lim x →0 x x x( x + 3x + 3) = Lim = Lim ( x + x + 3) = x→0 x→0 x x→0 4x 5/ Lim = Lim x→0 + x − ÷ x→0 = Lim 4x ( x→0 / Lim x →2 9+ x +3 x 2x − = Lim x →2 x−2 ( 2( x − 2) = Lim ( x − 2) ( x →2 2x + ) 4x ( 2x − ( x − 2) ( 9+ x +3 9+ x −3 ) = Lim x→0 ( )( = Lim x →2 ( + ( + x ) + 1 )( ) 9+ x +3 ) = Lim x→0 x→1 x→1 ( 9+ x +3 9+ x−9 ) + x + = 24 2x + 2x + ) ) = Lim x →2 2x − ( x − 2) ( 2x + 2 = 2x + 2 ( x + − ) ( x + + ) ( x + + 3) ( x + − 3) ( x + + 3) ( x + + ) ( x − ) ( x + + 3) x+7 +3 = Lim = Lim = = x+2+2 ( x − 2) ( x + + 2) / Lim 4x x+2 −2 = Lim x + − x→1 x→1 Bài tập tương tự: Bài tập 2:Tính giới hạn sau: ) ) / Lim x→3 x + 2x - 15 x-3 / Lim x→-1 / Lim x→0 2x + 3x +1 x2 - x +4 −2 x x − x −1 / Lim x→1 x −12 x +11 x3 −1 / Lim x→1 x − x +1 x + ) − 27 ( 4/ Lim x x→0 x −1 − x x −1 10 / Lim x→1 x +1 −1 11 / Lim x→0 − x + 5/ Lim x→5 x-5 x− 12 / Lim x→1 x + − x +1 x −1 6/ Lim x→0 1+ 2x −1 2x 13 / Lim x→1 x +3 −2 x −1 x-3 / Lim x→3 x + x −15 15/ Lim x→ 14 / Lim x→6 x3 +1 −1 x2 + x 16 / Lim x→0 x ( + x − −x x +2 − x x −1 − − x 22/ Lim x→2 ) x −2 −2 x −6 23/ Lim x→3 x +1 − 3x −5 x +3 − x +6 24/ Lim x→−2 x +5 −3 x +2 − x −2 −x −3 x +5 − 3x +5 18/ Lim x +3 −2 x→ 25/ Lim − ÷ 1 − x ÷ x→ 1 − x3 − x −3 19/ Lim x→7 x −49 26/ Li m x→ 17/ Lim x→ 20 / Lim x→3 x −2 x +6 − x +2 x −6 x −4 x +3 21/ Lim x→ −x +2 x −1 x −x 27/ Lim x→−2 28/ Lim x→2 x −1 x +3 −2 −x x +7 −3 − x +5 x +2 −2 f ( x) g( x) L → ÷ (với L ≠ ) Ta tính nhẫm dạng cách thay a vào f(x) 0 f ( x) L g(x) Ta thấy f(x)=f(a)=L, g(x)=g(a)=0 nên lim lúc có dạng ÷ x →a g ( x ) 0 Phương pháp: Dạng 3: lim x →a f ( x ) = L (với L ≠ ) Bước 1: Tính lim x →a g( x ) = xét dấu biểu thức g(x) với x ≠ a Bước 2: : Tính lim x →a Bước 3:Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận lim x →a f ( x) g( x) lim f ( x ) = L lim g( x ) = lim L>0 L>0 L g(x) < x →a f ( x) x →a g ( x ) +∞ −∞ −∞ +∞ x →a Ví dụ 3:Tính giới hạn sau: 1/ lim x →4 x+2 ( x − 4) 2/ lim x →3 x−5 ( x − 3) 3x + x →−2 x + ( ) ( x + 8) 3/ lim Bài giải 1/ lim x →4 x+2 ( x − 4) Ta có: lim ( x + ) = > x →4 2 x − ) = va ( x − ) > (∀x ≠ 4) ( lim x →4 x+2 Vay lim = +∞ x →4 ( x − 4) / lim x →3 x −5 ( x − 3) Ta có: lim ( x − 5) = −2 < x →3 2 x − 3) = va ( x − 3) > (∀x ≠ 3) ( lim x →3 x−5 Vay lim = −∞ x →4 ( x − 3) 3x + x →−2 x + ( ) x3 + 3/ lim = lim x →−2 ( 3x + ) ( x + 2) ( x2 − 2x + 4) 3x + x →−2 x + ( ) ( x + 2) x2 − 2x + = lim ( ) Ta có: lim ( x + 1) = −5 < x →−2 2 x + ) x − x + = va ( x + ) x − x + > (∀x ≠ −2) ( lim x →−2 3x + Vay lim = −∞ x →−2 x + ( ) x3 + ( ) ( ( ) ) Bài tập tương tự: Bài tập 3: Tính giới hạn sau: 1/ lim x →2 x+2 ( x − 2) 3/ lim / lim x →−2 2x + x →−2 ( x + 2) x3 + ( x + 2) x +1 x →−3 x + ( ) x2 + 4x + / lim ( ) • KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ: lim f ( x ) x→ ∞ f ( x) ∞ → ÷ g( x) ∞ Phương pháp: Dạng 1: lim x →∞ Chia tử mẫu cho xk với k lũy thừa cao tử mẫu Chú ý x → +∞ coi x>0, x → −∞ coi x < đưa x vào khỏi bậc chẵn Chú ý giới hạn sau: 1/ lim x k = +∞ / lim x k = +∞ x →+∞ 3/ lim x k +1 = −∞ x →−∞ x →−∞ =0 x →±∞ x k / Lim Ví dụ 4:Tính giới hạn sau: 1/ 2x +1 x→−∞ x − Lim x −1 x→+∞ x − 2/ Lim x2 − x +1 3/ Lim x→+∞ 4/ Lim x→−∞ x2 − x +1 BÀI GIẢI 1 x2 + ÷ 2+ 2x +1 x x = =2 = Lim = Lim 1/ Lim x→−∞ x − x→−∞ 2 x→−∞ 1− x 1 − ÷ x x 1 1 x2 − ÷ − x −1 x x x x = =0 = Lim = Lim 2/ xLim →+∞ x − x→+∞ 1 x→+∞ 1− x 1 − ÷ x x x −1 = Lim x→+∞ x +1 3/ Lim x→+∞ x 1 − ÷ x 1 − ÷ x x = Lim x→+∞ x +1 1 x 1 + ÷ x 1 x 1 − ÷ x = Lim = Lim x→+∞ x→+∞ 1 x 1 + ÷ x x −1 = Lim x→−∞ x +1 / Lim x→−∞ 1 − ÷ x = =1 1 1+ x x 1 − ÷ x 1 − ÷ x x = Lim x→−∞ x +1 1 x 1 + ÷ x − x 1 − ÷ − 1 − ÷ x x −1 = Lim = Lim = = −1 x→−∞ x→−∞ 1 1+ x 1 + ÷ x x Bài tập tương tự: Bài tập 4: Tính giới hạn sau: 2x − 1/ Lim x →+∞ − x x + 3x + 3/ Lim x →−∞ x − x + 5 x + 2x2 + 5/ Lim x →+∞ x3 + x2 + 2x + 7/ Lim x →−∞ 9/ Lim x →−∞ x3 − x + 14 − x x − x2 − 11/ Lim x →−∞ 2x + 2x2 + 2x3 − x2 + / Lim x →−∞ x + x + ( x − ) ( x + 1) ( − x ) / Lim x →+∞ ( 3x + ) x + 3x − / Lim x →−∞ x − x + 4x2 + 8/ Lim x →−∞ x − 3x − 10 / Lim x2 − + 2x x →−∞ 12 / Lim x →+∞ ( x4 + x2 + x + ( x − 1) ) ... lim f ( x ) = f (a) x →a Sau trình bày phương pháp chung để giải dạng tập nêu sơ đồ tư • KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN TẠI MỘT ĐIỂM CỦA f ( x ) HÀM SỐ: lim x→ a f ( x ) = f ( a)... / lim x →−2 2x + x →−2 ( x + 2) x3 + ( x + 2) x +1 x →−3 x + ( ) x2 + 4x + / lim ( ) • KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ: lim f ( x ) x→ ∞ f ( x) ∞ → ÷ g( x)