Đang tải... (xem toàn văn)
“Bài tập lí thuyết mô đun” chia sẽ với các bạn các bài tập, cách giải và một số bài tập mở rộng về môn lí thuyết môđun Chương 1: Phạm trù môđun Chương 2: Các hàm tử Hom và ten xơ Chương 3: Bài tập mở rộng.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH PHỊNG SAU ĐẠI HỌC f g ¾¾ ® J ¾¾ ® B ¾¾ ® C ¾¾ ®0 i2 ¾¾ ® X ¾¾ ®M N ϕ P2 ¾¾ ® Z ¾¾ ® Tiểu luận giữa kỳ BÀI TẬP LÍ THÚT i1 P1 ¾¾ ® N1 ¾¾ ® N1 Å N ¾¾ ® N ¾¾ ®0 f ¾¾ ® A ¾¾ ® g B ¾¾ ® C ¾¾ ® MƠ ĐUN Người hướng dẫn: TS Trần Hun Học viên thực hiện: Trịnh Thị Kim Phượng Chun ngành: Đại số lí thuyết số, khóa 25 Thành phố HỜ CHÍ MINH, 04/2015 - - LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy Trần Hun vì thầy giảng hay, có câu chuyện, ví dụ ấn tượng Nhờ đó mà em cảm giác hứng thú những mơn học khác Em thật cám ơn thầy thầy đã đưa cho chúng em cách học mới, cách nhìn nhận vấn đề, trình bày nợi dung ở nhiều góc đợ, khía cạnh khác Đặc biệt là giúp em thấy được cách làm cho toán học hay hơn, dễ nhớ chủn nó thành những thứ xung quanh, những ngơn ngữ toán học của riêng mình Cám ơn thầy giúp em có thêm nhiều kiến thức về mơn đại sớ và đã tạo điều kiện cho em làm bài tiểu ḷn này Trịnh Thị Kim Phượng 09 tháng 04 năm 2015 - - MỤC LỤC MỞ ĐẦ U Do bản thân em thích sự suy ḷn, tư và khơng thích học tḥc lòng nên toán là mơn học mà em cảm thấy hay và thú vị so với những mơn học khác Vì vậy được dịp nghiên cứu để làm bài tiểu ḷn giữa kỳ này em rất thích Qua tiểu luận: “Bài tập lí thút mơ đun” em ḿn chia sẽ với các bạn các bài tập, cách giải và mợt sớ bài tập mở rợng về mơn lí thút mơđun Tuy nhiên, sự giới hạn về thời gian tương đới ít nên khơng thể tránh khỏi sai sót bài tiểu ḷn - - Ngồi phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, lời cảm ơn tiểu luận bao gồm chương sau: Chương 1: Phạm trù mơđun Chương 2: Các hàm tử Hom và ten xơ Chương 3: Bài tập mở rợng CHƯƠNG I PHẠM TRÙ MƠĐUN Bài 1.1 Cho R vành có đơn vị 1, X nhóm cộng giao hốn Hom Z ( X , X ) vành tự đồng cấu nhóm X Chứng minh X R-mơđun - trái tồn đồng cấu 1X - j : R ® Hom Z (X ; X ) cho j (1) = 1X với đồng cấu đồng nhóm X Giải Điều kiện cần: Giả sử X R-mơđun trái, ta xây dựng đồng cấu vành ϕ từ R vào HomZ ( X , X ) Xét tương ứng thỏa mãn j (1) = 1X j : R ® Hom Z ( X ; X ) r a fr : fr ( x ) = rx , " x Ỵ X • ϕ ánh xạ với r ∈ R, f r tự đồng cấu nhóm X : " x , y Ỵ X : fr (x + y ) = r (x + y ) = rx + ry = fr (x ) + fr (y ) • ϕ đồng cấu vành, ∀r , s ∈ R : " x Ỵ X : j (r + s ) ( x ) = fr + s ( x ) = ( r + s ) x = rx + sx = fr ( x ) + fs ( x ) = j ( r ) ( x ) + j (s ) ( x ) = ( j (r) + j (s ) ) ( x ) Tức j (r + s ) = j (r) + j (s ) ( ) ( " x Ỵ X : j (rs ) ( x ) = frs ( x ) = ( rs ) x = r ( sx ) = fr fs ( x ) = fr j (s ) ( x ) ( = j (r ) j (s ) ( x ) ) = j (r ) o j (s ) ( x ) ) - Tức - j (rs ) = j (r ) o j (s ) • Đồng cấu vành j thỏa , j (1) = 1X " x Ỵ X : j (1) ( x ) = 1x = x = 1X ( x ) Vậy tồn đồng cấu vành thỏa u cầu tốn Điều kiện đủ: Giả sử tồn đồng cấu vành j (1) = 1X sau: j : R ® Hom Z ( X , X ) thỏa Ta chứng minh X R-mơđun với phép nhân ngồi định nghĩa " x Ỵ X , " r Ỵ R : rx = j (r )(x ) Khi ∀x, y ∈ X ; ∀r , s ∈ R , ta có M1: 1.x = j (1)(x ) = 1X (x ) = x M2: ù= j (r )(sx ) = r (sx ) (rs )x = j (rs )(x ) = ( j (r ) o j (s ) ) ( x ) = j (r ) é ê ëj (s )(x ) ú û é ù (r + s )x = j (r + s )(x ) = ë êj (r ) + j (s ) û ú(x ) = j (r )(x ) + j (s )( x ) = rx + sx r (x + y ) = j (r )(x + y ) = j (r ) ( x ) + j (r ) ( y ) = rx + ry M3: M4: Vậy X R-mơđun trái Bài 1.2 Chứng minh tám tiên đề định nghĩa R-mơđun trái, gồm bốn tiên đề nhóm cộng giao hốn tiên đề M – M4, ta bỏ tiên đề giao hốn phép cộng Nói cách khác, tiên đề suy từ bảy tiên đề lại Giải Giả sử ta có bảy tiên đề trừ tiên đề giao hốn phép cộng Khi " x, y Ỵ X : - - (x + y ) + ( x + y ) = 1.(x + y ) + 1.(x + y ) = ( + 1) ( x + y ) = ( x + y ) Þ x + y + x + y = 2x + 2y Þ x + y+ x + y =x+ x+ y+ y Þ Vậy y+x x+y = " x, y Ỵ X : y + x = x + y , tức phép cộng có tính giao hốn Bài 1.3 Cho X R-mơđun K iđêan hai phía R Chứng minh với xỴ X Kx = {rx : r Ỵ K } mơđun X Giải Ta cần sử dụng tính iđêan trái K, : • • Kx ¹ Ỉ K ¹ Ỉ , " r Ỵ R " sx , tx Ỵ Kx , s, t Ỵ K iđêan trái R nên s+t Ỵ K rs Ỵ K , đó: sx + tx = ( s + t ) x ∈ Kx r ( sx ) = ( rs ) x ∈ Kx Vậy Kx < X Bài 1.4 Cho R miền ngunvà X R-mơđun Phần tử phần tử xoắn tồn r Ỵ R \ {0} cho rx = Đặt x∈X τ (X ) gọi là tập hợp tất - phần tử xoắn X Nếu τ (X ) = X a) τ (X ) τ (X ) - = X gọi mơdun khơng xoắn, X gọi mơđun xoắn Chứng minh : mơđun X b) Mọi mơđun mơđun xoắn R mơđun xoắn R c) Mọi mơđun mơđun khơng xoắn R mơđun khơng xoắn R d/ Mơđun thương e/ ¢ -mơđun ¤ X có phải mơđun khơng xoắn hay khơng? τ(X ) có phải mơđun xoắn hay khơng? ¢ Giải a) τ (X ) ln chứa nên hiển nhiên khác Ta cần chứng minh • τ (X ) +τ (X ) ⊂ τ (X ) " r Ỵ R , " x , y Ỵ t (X ) , ∅ Rτ ( X ) ⊂ τ ( X ) ∃λ , µ ∈ R, λ ≠ 0, µ ≠ : λ x = 0, µ y = l m(x + y ) = l m(x ) + l m(y ) = ml ( x ) + l ( my ) = Suy x + y ∈τ ( X ) λµ ≠ l (rx ) = r (l x ) = Suy Vậy rx Ỵ t (X ) τ (X ) (do R giao hốn) (do R khơng có ước 0) (do R giao hốn) λ≠0 mơđun X - b) Cho X mơđun xoắn R Khi Lấy A * * - τ (X ) = X X, ta chứng minh A xoắn, hay τ ( A) = A τ ( A) = { a ∈ A : ∃λ ∈ R , λ ≠ 0, λa = 0} ⊂ A (x " x ỴÞỴA X = t (X )) Þ$Ỵ¹ ( l R, l : l x = 0) ÞỴ x t (A ) A ⊂ τ ( A) Vậy τ ( A) = A c) Giả sử X mơđun khơng xoắn Khi Lấy A< X Xét Vậy Ta chứng minh A mơđun khơng xoắn hay τ (A) = x Ỵ t (A ) Þ ( l Ỵ R , l ¹ : l x = 0) Þ x Ỵ t (X ) Þ x = τ ( A) = d) Mơđun thương Lấy X ( mơđun khơng xoắn Thật : τ(X ) x = x + τ ( X ) ∈τ X Þ Þ Þ Þ τ (X ) = τ (X ) ) $l Ỵ R , l ¹ : l x = Þ l x = Þ l x Ỵ t (X ) $mỴ R , m¹ : ml x = x Ỵ t (X ) ml ¹ x =0 e) Mơđun ¤ mơđun xoắn Thật vậy: ¢ hay - 10 - Lấy x Ỵ ¤ ¢ Vậy τ (¤ ¢ ¢ (m Ỵ Z , n Ỵ Z * ) m =m = n Þ nx = nx = n Þ x Ỵ t (¤ m n , x = ) )=¤ hay ¢ ¤ mơđun xoắn ¢ Bài 1.5 Cho R miền ngun X R-mơđun Phần tử phần tử chia nếuvới Đặt λ ∈ R \ {0} , tồn phần tử x∈X y∈X tập hợp tất phần tử chia X Nếu δ ( X) gọi cho x = λy δ ( X) = X gọi mơđun chia Chứng minh rằng: a) δ ( X) mơđun X b) Mơđun thương mơđun chia mơđun chia c) Các ¢ -mơđun ¤ ¤ mơđun chia ¢ Giải a) δ (X ) ln chứa nên hiển nhiên khác Ta cần chứng minh • Lấy x, y ∈ δ ( X ) δ (X ) + δ (X) ⊂ δ (X) , r ∈R ∅ Kδ ( X ) ⊂ δ ( X ) ∀ λ ∈ R, λ ≠ 0, ∃ x ', y ' ∈ X : x = λ x '; y = λ y ' X - - Nếu f ( x) phần tử xoắn −1 −1 z = q ⊗ x = qk ⊗ kx = qk ⊗ = Tóm lại 1Q ⊗ f đơn cấu Vậy Q mơ đun dẹt 75 - ∃k ∈ Z * : kf ( x ) = ⇒ f ( kx ) = ⇒ kx = - 76 - CHƯƠNG III BÀI TẬP MỞ RỘNG Bài Một số tập liên quan tới mơđun Noether Nhắc lại mơđun X gọi mơđun Noether mơđun X hữu hạn sinh Chứng minh rằng: 1) Mơđun mơđun thương mơđun Noether X mơđun Noether 2) Cho A mơđun X Nếu A X/A mơđun Noether X mơđun Noether 3) Cho A B hai mơđun X Nếu đồng thời X/A X/B mơđun Noether X A ∩ B mơđun Noether Chứng minh 1) Lấy M mơđun X, ta chứng minh M mơđun Noether Với N mơđun M, M mơđun X nên N mơđun X X mơđun Noether suy N mơđun hữu hạn sinh Vậy M mơđun Noether 2) Xét tồn cấu f :X →X A , lấy M mơđun X, suy f(M) mơđun X/A, X/A mơđun Noether nên f(M) mơđun hữu hạn sinh Gọi { xi + A} , xi ∈ M , ∀i = 1, n hệ sinh f(M) Lấy y nằm M, ta có y+A thuộc f(M), suy n n i =1 i =1 y + A = ∑ ri ( xi + A) = ∑ ri xi + A n ⇒ y − ∑ ri xi ∈ A i =1 n Mặt khác, ta có {z } j j =1, m Do y − ∑ ri xi ∈ M i =1 77 n nên y − ∑ ri xi ∈ A ∩ M i =1 hệ sinh A ∩ M Khi ta có {x1 ,K , xn , z1 ,K , zm } - mơđun A, gọi n m n m i =1 j =1 i =1 j =1 y − ∑ ri xi = ∑ t j z j ⇒ y = ∑ ri xi + ∑ t j z j hệ sinh M Vậy M mơđun hữu hạn sinh Vậy X mơđun Noether f g → B → C → A C 3) Ta xét Bổ đề sau: Cho dãy khớp ngắn → A mơđun Noether B mơđun Noether f g → B → C → dạy khớp nên ta có f đơn cấu Chứng minh Do → A g tồn cấu Do g tồn cấu nên B/Imf=B/kerg đẳng cấu với C (Imf=Kerg), mà C mơđun Noether suy B/imf mơđun Noether Do f đơn cấu nên A đẳng cấu với Imf, mà A mơđun Noether suy Imf mơđun Noether Áp dụng 2) ta có B mơđun Noether Quay lại chứng minh Xét dãy đồng cấu sau f :A g:X 0→A A∩ B A∩ B A∩B →X →X f →X A∩ B A A∩B g →X A →0 , , f ( a + A ∩ B) = a + A ∩ B , g ( x + A ∩ B) = x + A , Dãy khớp ta kiểm tra f đơn cấu, g tồn cấu Imf=Kerg Vậy dãy dạy khớp ngắn Xét đồng cấu u: A→ X B , u (a ) = a + B , kiểm tra u đơn cấu ker u = A ∩ B , A/Keru đẳng cấu với Imu Ta có Imu mơđun X/B, mà X/B mơđun Noether, suy Imu mơđun - Noether theo 1) Dẫn đến X A∩B A 78 - A ∩ B mơđun Noether Theo Bổ đề mơđun Noether Bài Về cách chứng minh khác 1.19 Cho dãy khớp ® A ® X ® C ® , A C mơđun hữu hạn sinh Chứng minh X mơđun hữu hạn sinh Giải f g ® A ¾¾® X ¾¾® C ®0 Vì dãy khớp nên f đơn cấu, g tồn cấu Im f = Kerg Giả sử {ci}i∈I họ hữu hạn sinh C ; {aj}j∈J họ hữu hạn sinh A Khi với x∈X ta có g(x)∈C Suy g ( x) = ∑ ri xi i∈I , ri∈R, ci∈C, ∀i∈I (do C mơđun hữu hạn sinh) ∀i∈I, ci∈C g tồn cấu nên ∃xi∈X : g(xi)=ci g ( x) = ∑ ri g ( xi ) = g ∑ ri xi ÷ i∈I i∈I Suy ⇒ g x − ∑ ri xi ÷ = x − ∑ ri xi ∈ Kegg = Im f i∈I i∈I hay Nên ∃a∈A, a= ∑r a j∈J ' j j , r’j∈R, aj∈C, ∀j∈J để f(a)= x − ∑ ri xi i∈I - 79 - ⇒ f (∑ rj' a j ) = x − ∑ ri xi ⇒ ∑ rj' f ( a j ) = x − ∑ ri xi ⇒ x = ∑ rj' f (a j ) + ∑ ri xi i∈I i∈I ⇒ x ∈ { f (a j )},{xi } i∈I hay i∈I X ⊂ { f (a j )},{xi } i∈I i∈I Vậy X hữu hạn sinh Bài Tìm hiểu vài trường hợp khác tập 1.11 chương I Cho h : X → X tự đồng cấu mơđun X thỏa mãn điều kiện h =h Ta chứng minh X = Im h ⊕ Kerh 3 Một câu hỏi đặt h =h h =h điều cần chứng minh khơng? Để có khẳng định xét trường hợp: a) Nếu h =h, điều cần chứng minh ∀x ∈ X , x = h ( x) + x − h ( x) x − h ( x) ∈ Kerh x − h ( x ) ∈ Kerh , rõ ràng h ( x) = h ( h( x ) ) ∈Im h ( , ta cần chứng minh ) h x − h ( x) = h( x) − h ( x) = Thật vậy, Hiển nhiên Tiếp theo ta chứng minh ta có Im h + Kerh ⊂ X Im h ∩ Kerh = Do X = Im h + Kerh nên ( 1) - 80 - x ∈Im h ⇒∃y ∈ X : x = h( y ) ∀x ∈Im h ∩ Kerh = ⇒ x ∈ Kerh ⇒ h( x ) = ⇒ h ( x ) = x = h( y ) = h3 ( y ) = h ( x ) = Từ (1) (2) suy Vậy Im h ∩ Kerh = X = Im h ⊕ Kerh ( 2) Theo đề ta có b) Nếu h =h , khẳng định khơng Ta xét phản thí dụ sau: Xét Z- mơđun Z , đặt h:¢ →¢ x a 2x Ta kiểm tra h đồng câu mơđun Thật vậy, • • ( ∀ x, y ∈ ¢ , ∀ z ∈ ¢ ta có ) ( ) ( ) h ( z x ) = ( z x ) = z x = z ( x ) = zh ( x ) h( x + y ) = x + y = x + y = h x + h y ( ) ( ( ) ) = h ( x ) = x = ⇒h ( x ) = h ( x ) = ∀x ∈¢ , h x = h h x Ta có 3 { } Im h = Kerh = 0; 2 Suy h =h đồng cấu khơng Dễ kiểm tra thấy Im h + Kerh ≠ ¢ Bài Tổng mơđun xạ ảnh mơđun xạ ảnh Giải nên - 81 - Giả sử ( Ai )I họ mơđun xạ ảnh mơđun X Ta chứng minh ∑A i I mơđun xạ ảnh Ta biết rằng: ∑ A = {∑ a : a ∈ A , i ∈ I (a ) i I với t ∈ I , Để chứng minh i I i i có giá hữu hạn} i I jt : At → ∑ Ai , jt (at ) = at , ∀at ∈ At I phép nhúng ∑A i mơđun xạ ảnh ta chứng minh: với tồn cấu f : ∑ Ai → B ϕ : ∑ Ai → A g : A → B đồng cấu I I , tồn đồng cấu cho gϕ = f Với t ∈ I , xét biểu đồ sau: I αt ϕ At ↓ jt ∑A i I ↓f A →B g Do Ai mơđun xạ ảnh nên có đồng cấu αt : At → A cho gα = fjt Xét tương ứng ϕ : ∑ Ai → A a ϕ (∑ ) = ∑ α i (ai ) I ∑a i I (tổng ∑ α (a ) I i i Khi ϕ ánh xạ Thật vậy, I có nghĩa I ∑a i I tổng hữu hạn) ∀x = ∑ , y = ∑ ai' ∈ ∑ Ai I I giả sử x = y I x − y = ⇔ ∑ (ai − ai' ) = ⇔ φ ( x − y) = ϕ [∑ ( − ai' )] = I I ⇔ ∑ α (ai − ai' ) = ⇔ ∑ [α (ai ) − α (ai' )] = ⇔ ∑ α (ai ) = ∑α (ai' ) I I I I - 82 - ϕ ( x) = ϕ (y) Hơn nữa, αi đồng cấu nên ϕ đồng cấu Cuối ta phải x = ∑ ∈ ∑ Ai ⇒ x = ∑ ji (ai ) g ϕ = f I I I chứng minh Với , ta có: gϕ ( x ) = g[∑ α i (ai )] = ∑ g[α i (ai )] = ∑ gα i (ai ) I I I = ∑ fji (ai ) = f [∑ ji (ai )] (do ∑ tổng hữu hạn) I I I = f (x) ⇔ gϕ = f Bài 5: Tổng trực tiếp mơđun hữu hạn sinh n Cho M R-mơđun M i , i = 1, n mơ đun M cho Lúc M hữu hạn sinh ( M i i = 1, n Chứng minh Giả sử M R-mơ đun ) cho i =1 i =1 hữu hạn sinh M i , i = 1, n mơ đun M n M = ⊕Mi M = ⊕ Mi Với x thuộc M, tồn ( xi ∈ M i , i = 1, n ) N cho x = ∑ xi i =1 Khi xét quy tắc sau: ϕ i : N i := M → Mi M ⊕ L ⊕ M i −1 ⊕ M i +1 ⊕ L ⊕ M n n xác định x = ∑ xi = xi a xi , i = 1, n nên ϕi ánh xạ i =1 Do tồn xi ∈ M , i = 1, n - 83 - Hơn nữa, ϕi , i = 1, n đồng cấu Thật vậy, với x, x’ thuộc Ni tồn xk, x’k với k=1, ,n cho ( ) ( n n k =1 k =1 x = ∑ xk , x ' = ∑ x 'k ⇒ x = xi , x ' = x 'i ) ( ) ( ) Suy ( ) ϕ i x + x ' = ϕ i xi + xi ' = ϕ i xi + x 'i = xi + x 'i = ϕ i x + ϕ i x ' Với Với Nên ( ) ( ) ( ) ( ) λ ∈ R, ϕ i λ x = ϕ i λ xi = ϕ i λ xi = λ xi = λ ϕ i x ( ) ( ) x ∈ Kerϕ i ⇒ ϕ i x = ϕ i xi = xi = Kerϕ i = {0} hay Rõ ràng với Do đó x = x1 + L + xi −1 + xi +1 + L + xn = ∈ N i ϕ i đơn cấu xi ∈ M i ta có ( ) ϕ i xi = xi nên ϕ i tồn cấu ϕ i đẳng cấu Mặt khác Ni mơđun thương mơđun hữu hạn sinh M nên Ni mơđun hữu hạn sinh Từ suy M mơđun hữu hạn sinh Bài (Mơ tả tổng trực tiếp A ⊕ B sử dụng chiếu) Cho mơđun A, B, C Nếu tồn đồng cấu p1 : C → A; p2 : C → B thỏa: với mơđun X hai đồng cấu f1 : X → A; f : X → B tồn đồng cấu f : X → C để f1 = p1 f f = p f C ≅ A ⊕ B Chứng minh Xét A ⊕ B hai phép chiếu p A : A ⊕ B → A; p B : A ⊕ B → B , theo giả thiết, tồn đồng cấu f : A ⊕ B → C để p A = p1 f p B = p f (1) - 84 - Mặt khác, sử dụng tính phổ dụng họ phép chiếu { p A : A ⊕ B → A; p B : A ⊕ B → B} họ đồng cấu { p1 : C → A; p : C → B} ta suy tồn đồng cấu g : C → A ⊕ B để p1 = p A g p = p B g (2) Thay (2) vào (1) ta được: p A = ( p A g ) f = p A ( gf ) p B = ( p B g ) f = p B ( gf ) Xét sơ A ⊕ B A B A⊕ B pA pB pA pB đồ sau: Do tính phổ dụng họ phép chiếu { p A : A ⊕ B → A; p B : A ⊕ B → B} họ đồng cấu { p A : A ⊕ B → A; p B : A ⊕ B → B} nên tồn đồng cấu từ A ⊕ B đến A ⊕ B để hai tam giác giao hốn, mà 1A⊕ B gf đồng cấu làm hai tam giác giao hốn, suy 1A⊕ B = gf Do f đơn ánh p1 = ( p1 f ) g = p1 ( fg ) Thay (1) vào (2) ta được: p = ( p f ) g = p ( fg ) Xét sơ C A - 85 - B p1 p2 p1 p2 đồ sau: C Theo giả thiết, tồn đồng cấu từ C đến C để hai tam giác giao hốn, mà 1C fg đồng cấu làm hai tam giác giao hốn, suy 1C = fg Do f tồn ánh Như vậy, f đẳng cấu Vậy C ≅ A ⊕ B Từ kết trên, ta xem C tổng trực tiếp hai mơđun A, B Bài (Mơ tả tổng trực tiếp A ⊕ B sử dụng nhúng) Cho mơđun A, B, C Nếu tồn đồng cấu j1 : A → C ; j2 : B → C thỏa: với mơđun X hai đồng cấu f1 : A → X ; f : B → X tồn đồng cấu f : C → X để f1 = fj1 f = fj2 C ≅ A ⊕ B Chứng minh - 86 - Xét A ⊕ B hai phép nhúng j A : A → A ⊕ B; j B : B → A ⊕ B , theo giả thiết, tồn đồng cấu f : C → A ⊕ B để j A = fj1 j B = fj (1) Mặt khác, sử dụng tính phổ dụng họ phép nhúng j A : A → A ⊕ B; j B : B → A ⊕ B họ đồng cấu j1 : A → C ; j : B → C ta suy tồn đồng cấu g : A ⊕ B → C để j1 = gj A j2 = gj B (2) Thay (2) vào (1) ta được: j A = f ( gj A ) = ( fg ) j A j B = f ( gjB ) = ( fg ) j B Xét sơ A ⊕ B A B A⊕ B jA jB jA jB đồ sau: Do tính phổ dụng họ phép nhúng { j A : A → A ⊕ B; j B : B → A ⊕ B} họ đồng cấu { j A : A → A ⊕ B; j B : B → A ⊕ B} nên tồn đồng cấu từ A ⊕ B đến A ⊕ B để hai tam giác giao hốn, mà 1A⊕ B fg đồng cấu làm hai tam giác giao hốn, suy 1A⊕ B = fg Do f tồn ánh - 87 - Thay (1) vào (2) ta được: j1 = g ( fj1 ) = ( gf ) j1 j = g ( fj2 ) = ( gf ) j Xét sơ đồ sau: C A B j1 j2 j1 j2 C Theo giả thiết, tồn đồng cấu từ C đến C để hai tam giác giao hốn, mà 1C gf đồng cấu làm hai tam giác giao hốn, suy 1C = gf Do f đơn ánh Như vậy, f đẳng cấu Vậy C ≅ A ⊕ B Từ kết trên, ta xem C tổng trực tiếp hai mơđun A, B - 88 - KẾ T Ḷ N Qua việc làm tiểu ḷn này và qua các bài tập trên, em thấy có rất nhiều dạng bài tập mợt chương, mỡi bài tập có nhiều cách giải khác Trong mỡi cách giải, cách trình bày đều có cái hay và dở riêng, mợt cách giải khơng thể nào hoàn mỹ, ngẵn ngọn cho mọi bài tập Vì vậy, giải bài tập, chúng ta nên tìm nhiều cách giải, lời giải khác để vận dụng tư duy, để so sánh và tìm những cách giải tới ưu cho nhiều bài, để rút nhiều kinh nghiệm vận dụng Trong sách, phần thầy viết có rất nhiều điểm trình bày khác sách khác, và đưa những cách giải, cách trình bày mới giúp cho em thấy được nhiều khía cạnh mới của nợi dung học - 89 - Theo em, người học toán, dạy toán giỏi khơng nhất thiết phải làm toán cực giỏi mà phải biết chủn ngơn ngữ, hình ảnh toán học thành ngơn ngữ, hình ảnh thực tế xung quanh để mọi người hiểu được nợi dung toán học đó Cám ơn thấy vì đã cho em thấy mợt phong cách dạy mới, cách học toán, dạy toán mới DANH MỤ C TÀ I LIỆ U THAM KHẢ O [1] Nguyễn Viết Đơng - Trần Hun (2006), Đại số đồng điều, NXB Đại học Q́c Gia thành phớ Hờ Chí Minh [2] Nguyễn Viết Đơng - Trần Hun - Ngũn Văn Thìn (2003), Bài tập Đại số đồng điều, NXB Đại học Q́c Gia thành phớ Hờ Chí Minh [3] Ngơ Trúc Lanh, Giáo trình Đại sớ, NXB Q́c Gia Hà Nợi ... ton ỏnh, tht vy: (a + b) + A ( A + B ) , tn ti A f (b) = b + A = ( a + b) + A ( A + B ) Theo nh lý Noether ton cu Mt khỏc: f b B cho: A cm sinh ng cu B Ker f ( A + B) Kerf = { x B : f ( x) =... M = r ( x + M ) = rf ( x + N ) f l ton ỏnh vỡ x + M X thỡ M , x+NX tha N f (x+N)=x+M Theo nh lý Noether ton cu cm sinh nht mt ng cu X N Ker f X M Kerf = {x + N X N : f (x + N ) = + M } = {x... iu kin mg = h Khi ú, ta cú mg = j g Vỡ g l ton cu nờn m= j Do ú j l nht * Cỏch khỏc: p dng nh lý Nte v ton cu v h qu ca nú Cho ton cu g : B đ C v ng cu h : B đ X ta cú ng cu g ' : B / Kerg @C