Header Page of 161 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TẠ THANH TÂM MỘT VÀI CÁCH CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ BẰNG CÔNG CỤ ĐẠI SỐ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Hà Nội – 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TẠ THANH TÂM MỘT VÀI CÁCH CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ BẰNG CÔNG CỤ ĐẠI SỐ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Ths Đỗ Văn Kiên Hà Nội – 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ths Đỗ Văn Kiên người tận tình hướng dẫn để hoàn thành khóa luận Tôi xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy cô giáo khoa Toán giúp đỡ trình học tập trường tạo điều kiện cho hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp Trong trình nghiên cứu, không tránh khỏi thiếu sót hạn chế, kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo toàn thể bạn đọc để khóa luận hoàn thiện Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Tạ Thanh Tâm Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan hướng dẫn thầy giáo Đỗ Văn Kiên khóa luận hoàn thành không trùng với đề tài khác Trong làm khóa luận này, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Tạ Thanh Tâm Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục lục MỞ ĐẦU 1 Vành đa thức chứng minh thứ 1.1 Vành đa thức 1.1.1 Đa thức trường 1.1.2 Nghiệm đa thức 1.1.3 Đa thức bất khả quy 1.1.4 Đa thức đối xứng 1.2 Định lý Đại số chứng minh thứ 12 1.3 Bài tập 15 Mở rộng trường chứng minh thứ hai 2.1 18 Mở rộng trường 18 2.1.1 Đặc số vành 18 2.1.2 Mở rộng bậc hữu hạn 19 2.1.3 Mở rộng đơn 20 2.1.4 Mở rộng đại số 22 2.1.5 Trường phân rã đa thức 24 2.1.6 Mở rộng chuẩn tắc 28 2.1.7 Trường đóng đại số 30 i Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.1.8 TẠ THANH TÂM Mở rộng tách 31 2.2 Định lý Đại số chứng minh thứ hai 34 2.3 Một số ứng dụng tập 36 2.3.1 Một số ứng dụng 36 2.3.2 Bài tập 41 Lý thuyết Galois chứng minh thứ ba 3.1 45 Một số kiến thức lý thuyết Galois 45 3.1.1 Một vài trọng điểm nhóm 45 3.1.2 Nhóm Galois 47 3.1.3 Mở rộng Galois 50 3.1.4 Định lý lý thuyết Galois 52 3.2 Định lý Đại số chứng minh thứ ba 54 3.3 Bài tập 56 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 58 ii Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TẠ THANH TÂM Lời mở đầu Lý chọn đề tài Trong Toán học, Định lý Đại số phát biểu đa thức biến khác với hệ số phức có nghiệm phức Mặc dù với tên gọi "Định lý Đại số" chứng minh tuý đại số cho định lý Tên định lý đặt vào thời điểm mà việc nghiên cứu đại số chủ yếu để giải phương trình đa thức Peter Roth người phát biểu gợi mở Định lý Đại số sách Arithmetica Philosophica công bố năm 1608: "Một đa thức bậc n với hệ số thực có không n nghiệm" Tiếp đến khẳng định Albert Giard sách L’invention nouvelle en l’Algèbre năm 1629: "Phương trình đa thức bậc n có n nghiệm, trừ phương trình bị khuyết" Nhiều nhà Toán học tin Định lý đúng, họ tin đa thức với hệ số thực khác viết dạng tích đa thức với hệ số thực bậc bậc hai Bên cạnh đó, Gottfried Wilhelm Leibiz, Nikolaus II Bernoulli tìm đa thức bậc với hệ số thực không tích đa thức bậc bậc Tuy nhiên phản ví dụ họ Leonhard Euler phản bác, điều làm cho nhà Toán học thời tin tưởng tính đắn Định lý Chứng minh cho Định lý thuộc D’Alembert vào năm 1746 chứng minh không hoàn chỉnh Euler 1749 có chứng minh cho Định lý trường hợp bậc đa thức nhỏ Các chứng minh khác thực Euler 1749, Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TẠ THANH TÂM De Foncenex 1759, Lagrange 1772 Laplace 1795 có nhiều chưa chặt chẽ Kể chứng minh Gauss năm 1799 không đầy đủ Mãi đến năm 1816, Gauss đưa chứng minh xác cho Định lý Được hướng dẫn tận tình thầy giáo Ths Đỗ Văn Kiên mong muốn tìm hiểu Định lý Đại số, chọn đề tài "Một vài cách chứng minh Định lý Đại số công cụ đại số số ứng dụng định lý" để làm khóa luận tốt nghiệp hi vọng giúp ích cho bạn yêu thích môn Đại số có thêm tài liệu tham khảo Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu trình bày ba cách chứng minh Định lý Đại số công cụ đại số số ứng dụng định lý Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng - Trường số phức - Một số cấu trúc đại số như: nhóm, vành, trường, mở rộng trường, lý thuyết Galois 3.2 Phạm vi nghiên cứu - Vành đa thức - Mở rộng trường - Lý thuyết Galois - Một vài cách chứng minh Định lý Đại số Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu, hệ thống hóa, khái quát hóa Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TẠ THANH TÂM Bố cục khóa luận Ngoài phần mở đầu kết luận, nội dung khóa luận gồm chương: Chương 1: Vành đa thức chứng minh thứ Chương 2: Mở rộng trường chứng minh thứ hai Chương 3: Lý thuyết Galois chứng minh thứ ba Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 Chương Vành đa thức chứng minh thứ Trong chương này, trình bày kiến thức vành đa thức chứng minh thứ định lý Đại số 1.1 1.1.1 Vành đa thức Đa thức trường Định nghĩa 1.1 Một tập K với hai phép toán cộng nhân gọi trường vành giao hoán có đơn vị, có nhiều phần tử phần tử khác không khả nghịch Ví dụ 1.1.1 Q, R, C trường với phép toán cộng nhân thông thường √ √ Tập Q[ 3] = {a + b | a, b ∈ Q} trường √ √ Q[ q] = {a + b q | a, b ∈ Q} trường q số nguyên tố Định nghĩa 1.2 Cho K trường Footer Page 10 of 161 Header Page 51 of 161 Chương Lý thuyết Galois chứng minh thứ ba 3.1 3.1.1 Một số kiến thức lý thuyết Galois Một vài trọng điểm nhóm Định nghĩa 3.1 Giả sử H nhóm nhóm G Khi tập aH = {ah | h ∈ H} gọi lớp ghép trái H G Tương tự, tập Ha = {ha | h ∈ H} gọi lớp ghép phải H G Bổ đề 3.1 Giả sử H nhóm nhóm G Khi hai lớp ghép trái H G giao rỗng Chứng minh Giả sử aH bH hai lớp ghép trái H G giao chúng khác rỗng Khi tồn c ∈ aH c ∈ bH Do c = ah c = bh với h, h ∈ H Bởi ah = bh , dẫn đến a = bh h−1 Suy aH ⊂ bH, tương tự ta nhận bH ⊂ aH Vậy aH = bH Định lý 3.1 Giả sử H nhóm nhóm G Khi Footer Page 51 of 161 45 Header Page 52 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học (i) G = TẠ THANH TÂM aH a∈G (ii) Với a ∈ G ánh xạ f : H → aH cho x → ax song ánh (iii) Nếu H hữu hạn lớp ghép H G có số phần tử Chứng minh Vì a ∈ aH nên (i) hiển nhiên Với y ∈ aH, tồn x ∈ H để y = ax, f (x) = ax = y, f toàn ánh Từ f (u) = f (v), ta rút au = av Bởi luật giản ước nhóm, ta nhận u = v, f đơn ánh Suy f song ánh, ta có (ii) Từ (ii) ta có (iii) Định nghĩa 3.2 Giả sử H nhóm nhóm G Số lớp ghép trái khác H G gọi số H G kí hiệu [G : H] Định lý 3.2 (Định lý Lagrange) Giả sử H nhóm nhóm hữu hạn G Khi cấp H ước cấp G Hơn nữa, |G| = |H|[G : H] Chứng minh Vì G nhóm hữu hạn nên số lớp ghép trái H G hữu hạn Giả sử a1 H, a2 H, , an H n lớp ghép trái khác G Theo định lý 3.1, G = a1 H ∪ a2 H ∪ ∪ an H cấp G |G| = |a1 H| + |a2 H| + + |an H| = |H| + |H| + + |H| = n|H| = |H|[G : H] Footer Page 52 of 161 46 Header Page 53 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TẠ THANH TÂM Hệ 3.1 Giả sử G nhóm hữu hạn a ∈ G Khi cấp a ước cấp G Đặc biệt, G có cấp nguyên tố G nhóm cyclic Định nghĩa 3.3 Một nhóm H nhóm G gọi nhóm chuẩn tắc G aH = Ha với a ∈ G Định nghĩa 3.4 Cho p số nguyên tố Một nhóm hữu hạn G gọi p−nhóm cấp luỹ thừa p Định lý 3.3 Giả sử G p−nhóm cấp pn với n Khi G chứa nhóm chuẩn tắc cấp pn−1 Định nghĩa 3.5 Giả sử G nhóm hữu hạn p số nguyên tố ước |G| Một p−nhóm Sylow H G nhóm G mà cấp pk , k số nguyên lớn cho pk ước |G| 3.1.2 Nhóm Galois Định nghĩa 3.6 Giả sử F mở rộng trường K Khi tập tất tự đẳng cấu F giữ nguyên phần tử K lập thành nhóm với phép nhân ánh xạ Nhóm gọi nhóm Galois F K kí hiệu Gal(F, K) Trong trường hợp F trường phân rã đa thức f (x) ∈ K[x] nhóm Gal(F, K) gọi nhóm Galois f (x) hay phương trình f (x) = Footer Page 53 of 161 47 Header Page 54 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TẠ THANH TÂM Ví dụ 3.1.1 Nhóm Galois trường số phức C trường số thực R gồm hai phần tử Đó ánh xạ đồng id tự đẳng cấu σ C biến số phức thành số phức liên hợp Định lý 3.4 Giả sử F trường phân rã đa thức f (x) trường K u, v ∈ F Khi tồn phần tử σ ∈ Gal(F, K) cho σ(u) = v u v có đa thức tối tiểu K Nhận xét 3.1 Nếu trường F mở rộng đại số trường K u ∈ F , tập {σ(u) | σ ∈ Gal(F, K)} chứa tập nghiệm đa thức tối tiểu u, tập hữu hạn Định lý 3.5 Cho F = K(u1 , u2 , , un ) mở rộng đại số trường K Khi σ, τ ∈ Gal(F, K) σ(ui ) = τ (ui ) với i = 1, 2, , n σ = τ Hay nói cách khác, tự đẳng cấu σ ∈ Gal(F, K) hoàn toàn xác định tác động vào phần tử u1 , u2 , , un Mệnh đề 3.1 Cho F mở rộng trường K H nhóm nhóm Galois Gal(F, K) Khi EH = {a ∈ F | σ(a) = a với σ ∈ H} trường trung gian mở rộng F K Chứng minh Giả sử a, b ∈ EH σ ∈ H Khi ta có σ(a + b) = σ(a) + σ(b) = a + b σ(ab) = σ(a)σ(b) = ab Footer Page 54 of 161 48 Header Page 55 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TẠ THANH TÂM Do (a + b) ab ∈ EH , EH đóng phép cộng phép nhân Rõ ràng thuộc EH Nếu c phần tử khác không EH σ(−c) = −σ(c) = −c σ(c−1 ) = [σ(c)]−1 = c−1 Do −c, c−1 ∈ EH Vậy EH trường F Vì H nhóm Gal(F, K) nên σ(a) = a với a ∈ K σ ∈ H Ta có K ⊂ EH Vậy EH trường trung gian mở rộng F K Trường EH mệnh đề 3.1 gọi trường bất động nhóm H Định lý 3.6 Cho F mở rộng bậc hữu hạn trường K Khi H nhóm nhóm Galois Gal(F, K) E trường bất động nhóm H F mở rộng đơn, chuẩn tắc tách E Chứng minh Trước hết ta chứng minh F mở rộng tách E Giả sử u ∈ F Khi u phần tử đại số E (do bậc F E hữu hạn) Gọi p(x) đa thức tối tiểu u E Giả sử {σ(u) | σ ∈ H} = {u1 , u2 , , um } Vì H chứa ánh xạ đồng nên u ∈ {u1 , u2 , , um } Chú ý với τ ∈ H τ (u) nghiệm p(x) Từ suy u1 , u2 , , um nghiệm p(x) Đặt q(x) = (x − u1 )(x − u2 ) · · · (x − um ) q(x) tách Vì hệ tử q(x) đa thức đối xứng u1 , u2 , , um nên ta suy chúng bất động qua H, q(x) ∈ E[x] Theo định lý 2.2, ta có q(x) chia hết cho p(x) Mặt khác, nghiệm q(x) nghiệm p(x), nên p(x) chia hết cho q(x) Vậy p(x) q(x) liên kết Do p(x) đa thức tách u phần tử tách Footer Page 55 of 161 49 Header Page 56 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TẠ THANH TÂM K Như F mở rộng tách E Chú ý mở rộng bậc hữu hạn mở rộng hữu hạn sinh kết hợp với định lý 2.10, F mở rộng đơn E Khi tồn u ∈ F cho F = E(u) Lại đặt q(x) giống q(x) chẻ F , nghĩa tất nghiệm q(x) thuộc F Do F = E(u) trường phân rã q(x) E Theo định lý 2.9, ta có F mở rộng chuẩn tắc E 3.1.3 Mở rộng Galois Định nghĩa 3.7 Cho F mở rộng trường K Trường F gọi mở rộng Galois trường K mở rộng bậc hữu hạn, chuẩn tắc tách K Ví dụ 3.1.2 Trường số phức C mở rộng Galois trường số thực R, nhiên trường số phức C không mở rộng Galois trường số hữu tỷ Q Định lý 3.7 Giả sử F mở rộng bậc hữu hạn trường K Khi H nhóm nhóm Galois Gal(F, K) E trường bất động nhóm H F mở rộng Galois E Hơn nữa, H = Gal(F, E) |H| = [F : E] Chứng minh Theo định lý 3.6, F mở rộng đơn, chuẩn tắc tách E Do F mở rộng Galois E Ta viết F = E(u) với u ∈ F Giả sử {σ(u) | σ ∈ H} = {u1 , u2 , , um } = T q(x) = (x − u1 )(x − u2 ) · · · (x − um ), từ chứng minh định lý 3.6, ta suy q(x) Footer Page 56 of 161 50 Header Page 57 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TẠ THANH TÂM đa thức tối tiểu u E Dễ thấy tương ứng ϕ : Gal(F, E) → T cho ϕ(σ) = σ(u) đơn ánh Vậy |Gal(F, E)| |T | = m Do E trường bất động nhóm H nên H ⊂ Gal(F, E) |H| |Gal(F, E)| m = [F : E] = degq(x) = m |H| Từ bất đẳng thức ta nhận |H| |Gal(F, E)| [F : E] |H| Do H = Gal(F, E) |H| = [F : E] Định lý 3.8 Giả sử F mở rộng Galois K E trường trung gian mở rộng Khi E trường bất động nhóm Gal(F, E) Chứng minh Giả sử E0 trường bất động nhóm Gal(F, E) Theo định nghĩa trường bất động, ta có E ⊂ E0 Để chứng minh E0 ⊂ E, ta lấy phần tử u ∈ E0 chứng tỏ u ∈ E Gọi p(x) đa thức tối tiểu u E Nếu p(x) có bậc lớn p(x) có nghiệm v ∈ F v = u Khi tồn đẳng cấu σ ∗ từ E(u) đến E(v) giữ nguyên phần tử E σ ∗ (u) = v hệ 2.2 Vì F mở rộng Galois K, nên F trường phân rã đa thức f (x) K Ta thấy F trường phân rã f (x) E(u) E(v) Vì vậy, định lý 2.8, σ ∗ mở rộng thành σ ∈ Gal(F, E), tất nhiên σ(u) = v Vậy u ∈ / E0 Điều dẫn tới mâu thuẫn Như p(x) phải đa thức bậc Ta thấy u ∈ E Vậy E = E0 trường bất động nhóm Gal(F, E) Footer Page 57 of 161 51 Header Page 58 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TẠ THANH TÂM Từ định lý 3.7 3.8, ta nhận hệ sau Hệ 3.2 Giả sử F mở rộng bậc hữu hạn trường K Khi F mở rộng Galois K K trường bất động nhóm Gal(F, K) Trong trường hợp ta có [F : K] = |Gal(F, K)| Bổ đề 3.2 Cho trường K ⊂ E ⊂ F Khi F mở rộng bậc hữu hạn, chuẩn tắc K E mở rộng chuẩn tắc K Gal(F, E) nhóm chuẩn tắc Gal(F, K) Hơn nữa, Gal(F, K)/Gal(F, E) ∼ = Gal(E, K) 3.1.4 Định lý lý thuyết Galois Định lý 3.9 Giả sử F mở rộng Galois trường K Khi (i) Có song ánh từ tập tất trường trung gian mở rộng F K lên tập tất nhóm Gal(F, K) cách cho tương ứng trường trung gian E mở rộng với nhóm Gal(F, E) Gal(F, K) Hơn nữa, [F : E] = |Gal(F, E)| [E : K] = [Gal(F, K) : Gal(F, E)] (ii) Trường trung gian E mở rộng chuẩn tắc K Gal(F, E) nhóm chuẩn tắc Gal(F, K) Trong trường hợp ta có đẳng cấu Gal(F, K)/Gal(F, E) ∼ = Gal(E, K) Footer Page 58 of 161 52 Header Page 59 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TẠ THANH TÂM Chứng minh (i) Đặt S tập tất trường trung gian mở rộng F K T tập tất nhóm nhóm Gal(F, K) Khi φ : S → T cho E → Gal(F, E) ánh xạ Nếu E L hai trường trung gian mở rộng F K cho Gal(F, E) = Gal(F, L) E L trường bất động nhóm Gal(F, E) định lý 3.8 Do E = L φ đơn ánh Để chứng minh φ toàn ánh, ta lấy H nhóm nhóm Galois Gal(F, K) Khi trường bất động EH nhóm H trường trung gian mở rộng F K Theo định lý 3.7, H = Gal(F, EH ) = φ(EH ) Vậy φ toàn ánh φ song ánh Ta ý trường trung gian E mở rộng F K trường bất động nhóm Gal(F, E) Theo định lý 3.7, |Gal(F, E)| = [F : E] Đặc biệt lấy E = K, ta có |Gal(F, K)| = [F : K] Theo định lý 2.1 định lý Lagrange, ta có [E : K] = [Gal(F, K) : Gal(F, E)] (ii) Giả sử Gal(F, E) nhóm chuẩn tắc nhóm Gal(F, K) Ta cần phải chứng minh E mở rộng chuẩn tắc K Đương nhiên E mở rộng đại số K Với u ∈ E giả sử p(x) đa thức tối tiểu u K Khi p(x) chẻ F (do F mở rộng chuẩn tắc K) Như vậy, để chứng minh E mở rộng chuẩn tắc K, ta cần chứng minh nghiệm v ∈ F đa thức p(x) thuộc E Thật vậy, u v hai nghiệm đa thức tối tiểu p(x) K nên tồn σ ∈ Gal(F, K) cho σ(u) = v Vì Gal(F, E) nhóm chuẩn tắc Gal(F, K) nên σ −1 τ σ ∈ Gal(F, E) với τ ∈ Gal(F, E) Footer Page 59 of 161 53 Header Page 60 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TẠ THANH TÂM Đặt σ −1 τ σ = τ1 ∈ Gal(F, E) hay τ σ = στ1 Vì u ∈ E nên τ (v) = τ σ(u) = στ1 (u) = σ(u) = v v thuộc vào trường bất động Gal(F, E) Theo định lý 3.8, trường bất động nhóm Gal(F, E) E Vậy v ∈ E Ngược lại, giả sử E mở rộng chuẩn tắc K Khi điều cần chứng minh nêu trực tiếp bổ đề 3.2 Dựa vào kiến thức Lý thuyết Galois, sau trình bày chứng minh thứ ba Định lý Đại số 3.2 Định lý Đại số chứng minh thứ ba Định lý 3.10 Trường số phức C đóng đại số Chứng minh Nếu f (x) ∈ C[x], ta thành lập trường phân rã F f (x) C Nó mở rộng Galois C, mở rộng Galois R C mở rộng bậc hữu hạn R Thật vậy, giả sử F trường phân rã đa thức f (x) = (a0 + b0 i) + (a1 + b1 i)x + + (an + bn i)xn ∈ C[x], , bi ∈ R = g(x) + ih(x), g(x), h(x) ∈ R[x] Nếu h(x) = F trường phân rã f (x) R Nếu h(x) = Đặt p(x) = f (x)f (x) = g (x) + h2 (x) ∈ R[x] Suy F trường phân rã đa thức p(x) R Footer Page 60 of 161 54 Header Page 61 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TẠ THANH TÂM Gọi E ⊇ R chứa tất nghiệm p(x) Giả sử h(x) = b0 + b1 x + + bn xn , bj = Khi theo định lý Vi-ét ta có (−1)j aj + ibj ∈E an + ibn mà aj , bj , an , bn ∈ E suy i ∈ E nên E ⊇ C dẫn đến E ⊇ F Định lý Đại số khẳng định F phải C, tương đương với phần mở rộng Galois không tầm thường C phải C Cho F mở rộng bậc hữu hạn R với [F : R] = 2m q, (2, q) = Nếu m = F mở rộng bậc lẻ R Vì F tách R, mở rộng đơn nên F = R(α), irr(α, R) có bậc lẻ Tuy nhiên đa thức thực bậc lẻ có nghiệm thực, nên irr(α, R) bất khả quy có bậc Nhưng sau đó, α ∈ R F = R Do đó, F mở rộng không tầm thường R, m > không mở rộng hữu hạn bậc lẻ R Giả sử F mở rộng bậc hai C F = C(α) với deg(irr(α, C)) = Nhưng đa thức bậc hai có nghiệm C nên mâu thuẫn Do C mở rộng bậc hai Cho F mở rộng Galois C Thì F Galois R Giả sử [F : R] = 2m q, (2, q) = Từ lập luận ta phải có m > Cho G = Gal(F, R) nhóm Galois Thì |G| = 2m q, m > 0, (2, q) = Do G có 2−nhóm Sylow cấp 2m số q Nó tương ứng với trường trung gian E với [F : E] = 2m [E : R] = q Tuy nhiên, E mở rộng hữu hạn bậc lẻ R Suy q = E = R Do [F : R] = 2m |G| = 2m Footer Page 61 of 161 55 Header Page 62 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TẠ THANH TÂM Khi [F : C] = 2m−1 giả sử G1 = Gal(F, C) Đây 2−nhóm Nếu không tầm thường theo định lý 3.3 tồn nhóm cấp 2m−2 số Nó tương ứng với trường trung gian E bậc hai C Từ lập luận trên, C mở rộng bậc hai Suy G1 tầm thường, nghĩa |G1 | = nên [F : C] = F = C điều phải chứng minh 3.3 Bài tập Bài tập 3.3.1 Cho F mở rộng trường K, f (x) ∈ K[x] σ ∈ Gal(F, K) Chứng minh u ∈ F nghiệm f (x) σ(u) nghiệm f (x) Lời giải Giả sử f (x) = a0 + a1 x + + an xn , với ∈ K, i = 0, 1, , n Vì σ giữ nguyên phần tử K nên σ(ai ) = , với i Từ đó, σ đồng cấu trường nên σ(f (u)) = σ(a0 + a1 u + + an un ) = a0 + a1 σ(u) + + an (σ(u))n = f (σ(u)) Nếu u nghiệm f (x) từ đẳng thức suy f (σ(u)) = σ(f (u)) = f (0) = Do σ(u) nghiệm f (x) Bài tập 3.3.2 Chứng minh xây dựng cho R3 cấu trúc trường mở rộng trường số phức C Footer Page 62 of 161 56 Header Page 63 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TẠ THANH TÂM Lời giải Giả sử ngược lại trang bị cho R3 cấu trúc trường mở rộng trường số phức C Khi ta có trường R ⊂ C ⊂ R3 Từ suy = [R3 : R] = [R3 : C][C : R] = 2[R3 : C] Suy chia hết cho (mâu thuẫn) Bài tập 3.3.3 Chứng minh mở rộng đại số thực R đẳng cấu với C Lời giải Giả sử F mở rộng đại số thực R Khi đó, α ∈ F đại số R Giả sử f (x) đa thức tối tiểu α R Do C đóng đại số nên nghiệm f (x) thuộc C, nói riêng α ∈ C, suy F ⊂ C Từ R ⊂ F ⊂ C, ta có = [C : R] = [C : F ][F : R] ý [F : R] Footer Page 63 of 161 Suy [C : F ] = hay C = F 57 Header Page 64 of 161 Kết luận Trong khóa luận trình bày cách chứng minh Định lý đại số công cụ Đại số ứng dụng định lý Cụ thể Một vài kiến thức sở Ba cách chứng minh Định lý Đại số công cụ đại số Ứng dụng Định lý Đại số Cụ thể: tính siêu việt π, e phân loại đa thức bất khả quy R C Tuy nhiên thời gian thực khóa luận không nhiều có sai sót, mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc Footer Page 64 of 161 58 Header Page 65 of 161 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tiến Quang (2010), Cơ sở lý thuyết trường lý thuyết Galoa, Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội [2] Dương Quốc Việt, Lê Văn Chua (2010), Cơ sở lý thuyết Galoa, Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội [3] Benjamin Fine, Gerhard Rosenberger (1997), The Fundamental theorem of algebra, Verlag New York Footer Page 65 of 161 59 ... ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TẠ THANH TÂM MỘT VÀI CÁCH CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ BẰNG CÔNG CỤ ĐẠI SỐ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại. .. tìm hiểu Định lý Đại số, chọn đề tài "Một vài cách chứng minh Định lý Đại số công cụ đại số số ứng dụng định lý" để làm khóa luận tốt nghiệp hi vọng giúp ích cho bạn yêu thích môn Đại số có thêm... hiểu trình bày ba cách chứng minh Định lý Đại số công cụ đại số số ứng dụng định lý Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng - Trường số phức - Một số cấu trúc đại số như: nhóm, vành, trường, mở