Ubnd huyện vũ th phòng GIáo Dục & ĐàO Tạo Đề khảo sát chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2015 - 2016 Môn: Toán (Thời gian làm bài: 120 phút ) Bài (4 điểm): Tính giá trị biểu thức sau: 1) A = - - + + - - + + - - 10 + 11 + 12 - - 2013 - 2014 + 2015 + 2016 2) B = 1ữ : 1ữ : ữ : ữ : : 1ữ : 1ữ : 1ữ 98 99 100 Bài ( điểm): 1) Cho C = + 42 + 43 + 44 + 45 + 46 + + 42014 + 42015 + 42016 Chứng minh C M21 v C M105 2) Chứng minh với số tự nhiên khác 0, có số lợng ớc t nhiờn số lẻ số tự nhiên số phơng Bài ( điểm): 1) Tìm số d phép chia chia số tự nhiên cho 91 Biết lấy số tự nhiên chia cho đợc d chia cho 13 đợc d x +1= 2) Tìm cặp số nguyên (x, y) biết: y-1 Bài (2 điểm): 1 1 1 1 Cho E = F = + + + + + + + + 1.101 2.102 3.103 10.110 1.11 2.12 3.13 100.110 E Tính tỉ số: F Bài ( điểm): ã ã Cho tam giác ABC có BAC = 1200 Điểm E nằm B C cho BAE = 300 ã Trên mặt phẳng có bờ AC chứa điểm B kẻ tia Ax cho CAx = 300 , tia Ax cắt BC F ã a) Chứng minh F nằm E C Tính số đo EAF ã ã b) Gọi AI tia phân giác BAC Chứng minh AI tia phân giác EAF Bài (2 điểm): Cho biểu thức: D = ( 2!) ( 2!) ( 2!) ( 2!) ( 2!) + + + + + 12 20152 So sánh D với Biết n! = 1.2.3 n; n N -Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Đáp án biểu điểm Đề khảo sát chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2015 - 2016 Môn Toán lớp Bài ý Nội dung Điểm Bài (4 điểm) A = - - + + - - + + - - 10 + 11 + 12 - - 2013 - 2014 + 2015 + 2016 A = (- - + + 4)+(- - + + 8)+(- - 10 + 11 + 12)+ +(-2013 - 2014 + 2015 + 2016) có tổng A có 2016 số hạng nên có 2016 : = 504 nhóm Ta A = + + + + (tổng có 504 số 4) A = 504 A = 2016 Vậy A = 2016 B = 1ữ : ữ : 1ữ : ữ : : ữ : ữ : 1ữ 98 99 100 97 98 99 B = ữ : ữ : ữ : ữ : : ữ : ữ : ữ 98 99 100 98 99 100 B = ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ 97 98 99 Ta thấy tích B có 99 thừa số âm nên tích mang dấu âm 1.3.4.5.6 98.99.100 2.2.3.4.5 97.98.99 100 B=2.2 2,0 điểm 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 2,0 điểm 0,5 0,5 0,5 B=- 0,5 B = - 25 Vậy B = - 25 Bài Cho C = + 42 + 43 + 44 + 45 + 46 + + 42014 + 42015 + 42016 (4điểm) Chứng minh C M21 v C M105 Chứng minh C M21 Ta có: C = + 42 + 43 + 44 + 45 + 46 + + 42014 + 42015 + 42016 2,0 điểm 0,75 C = 4.( + + 42 ) + 44 ( + + 42 ) + + 2014 ( + + ) 0,25 C = ( + 42 + 43 ) + ( 44 + 45 + 46 ) + + ( 42014 + 42015 + 42016 ) C = 4.21 + 44 21 + + 42014 21 C = 21.( + 44 + + 42014 ) Do đó: C M21 Chứng minh C M105 0,25 1,25 điểm 0,75 Chứng minh C M5 C = + 42 + 43 + 4 + 45 + 46 + + 2014 + 42015 + 2016 C = ( + ) + ( 43 + 44 ) + ( 45 + 46 ) + + ( 2013 + 2014 ) + ( 42015 + 2016 ) C = ( + ) + ( + ) + ( + ) + + C = 5.( + + + + + ) Do đó: C M5 Ta có C M5 C M21 mà (5 ; 21 ) = 2013 0,25 2015 ( + ) + 2013 ( + ) 0,25 2015 0,25 0,25 0,5 Do C M5.21 hay C M105 Chứng minh với số tự nhiên khác 0, có số lợng ớc số lẻ số tự nhiên số phơng Gọi số tự nhiên P (P 0) Nếu P = ta có = 12 ị P số phơng Nếu P > Phân tích P thừa số nguyên tố ta có P = a x b y .c z (với a, b, , c số nguyên tố) Khi số lợng ớc P (x + 1).(y + 1) (z + 1) Theo (x + 1).(y + 1) (z + 1) số lẻ ị x + , y + , , z + số lẻ ị x, y , , z số chẵn Do x = 2.m ; y = 2.n ; ; z = 2.t Nên P = a 2.m b 2.n .c 2.t = ( a m b n .c t ) ị P số phơng Vậy chứng tỏ với số tự nhiên khác 0, có số lợng ớc số lẻ số tự nhiên số phơng Bài Tìm số d phép chia chia số tự nhiên cho 91 Biết lấy số tự nhiên chia cho đợc d chia cho 13 đợc d Gọi số tự nhiên a Theo ta có: a = 7.p + a = 13.q + (với p, q ẻ N ) Suy ra: a + = 7.p + 14 = 7.(p + 2) M7 a + = 13.q + 13 = 13.(q + 1) M13 Ta có a + M7 a+ M13 mà (7 ; 13) = Do a + M7 13 hay a + M91 Vậy a + = 91.k (với k ẻ N ) ị a = 91.k = 91.k 91 + 82 = 91.(k-1) + 82 Nên a chia cho 91 có số d 82 x +1= Tìm cặp số nguyên (x; y) biết: y -1 x x +5 +1= = Ta có: ( x + 5) ( y - 1) = 5.1 y -1 y- ( x + 5) ( y - 1) = 5.1 = 1.5 = - (-1) = - (-5) Nên ta có bảng sau x+5 -5 -1 y-1 -1 -5 x -4 -10 -6 y -4 Vậy cặp số nguyên (x;y) là: (0;2) ; (- 4; 6) ; (- 10; 0) ; (- 6;- 4) Bài 1 1 1 1 Cho E = F = + + + + + + + + điểm 1.101 2.102 3.103 10.110 1.11 2.12 3.13 100.110 E Tính tỉ số: F Ta có (4điểm) 2,0 điểm 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2,0 điểm 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 2,0 điểm 0,5 0,25 0,75 0,5 2,0 điểm 0,75 1 1 + + + + 1.101 2.102 3.103 10.110 ổ 100 100 100 100 ữ E= ỗ + + + + ữ ỗ ữ ố1.101 2.102 3.103 100 ỗ 10.110 ứ ổ 1 1 1 ữ E= ỗ + + + + ữ ỗ ỗ ố ứ 100 101 102 103 10 110 ữ ự ộổ 1 1ử ổ 1 1 ữ ỗ ỳ E= ờỗ + + + + ữ + + + + ữ ữ ỗ ỗ ữ ỗ ữỳ ỗ ố ứ ố ứ 100 10 101 102 103 110 ỷ E= 1 1 + + + + 1.11 2.12 3.13 100.110 ổ10 10 10 10 ữ F = ỗ + + + + ữ ỗ ố1.11 2.12 3.13 ứ 10 ỗ 100.110 ữ ổ 1 1 1 ữ F = ỗ 1+ + + + ữ ỗ ố 11 12 13 ứ 10 ỗ 100 110 ữ ự ổ1 ộổ 1 ữ 1 ữ ỗ ỳ F = ờỗ + + + + + + + + ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ11 12 13 ứ ố ứỳ 10 100 ữ 110 ữ ởố ỷ ổ1 ửự ộổ 1 1ữ 1 ữ ỗ ỳ F = ờỗ + + + + + + + + ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ỳ ố ứ ố ứ 10 10 101 102 103 110 ỷ Ta có E 100 10 = = = F 100 10 10 E Vậy tỉ số = F 10 Cho tam giác ABC có góc BAC = 1200 Điểm E nằm B C cho góc BAE = 300 Trên mặt phẳng có bờ AC chứa điểm B kẻ tia Ax cho góc CAx = 300, tia Ax cắt BC F a) Chứng minh F nằm E C Tính số đo góc EAF c) Gọi AI tia phân giác góc BAC Chứng minh AI tia phân giác góc EAF F= Bài điểm C 0,5 x F I E 300 A 0,75 300 B 2,0 điểm Bài điểm Theo ta có điểm E nằm hai điểm B C Nên tia AE nằm hai tia AB AC Ta có: góc BAE + góc EAC = góc BAC ị 300 + góc EAC = 1200 ị góc EAC = 1200 300 = 900 Xét nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B Ta có: góc CAF = 300 góc CAE = 900 ị góc CAF < góc CAE (vì 300 < 900) Do tia AF nằm hai tia AC AE Vậy điểm F nằm hai điểm C E ị góc CAF + góc FAE = góc CAE ị 300 + góc FAE = 900 ị góc FAE = 600 Ta có: AI tia phân giác góc BAC Nên góc BAI = góc CAI = gúcBAC = 120 = 600 2 *) Xét nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B Có góc CAF < góc CAI (vì 300 < 600) Suy tia AF nằm hai tia AC AI ị góc CAF + góc FAI = góc CAI ị 300 + góc FAI = 600 ị góc FAI = 300 *) Xét nửa mặt phẳng bờ AF có chứa điểm B Ta có: góc FAE = 600 góc FAI = 300 ị góc FAI < góc FAE (vì 300 < 600) ị Tia AI nằm hai tia AF AE 60 Hơn góc FAI = góc FAE (vì 30 = ) 2 Do AI phân giác góc FAE 2 2 2! 2! 2! 2! 2! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cho biểu thức D = + + + + + 12 20152 So sánh D với Biết n! = 1.2.3 n Ta có 2 2 ( 2!) ( 2!) ( 2!) ( 2!) ( 2!) D = + + + + + 20152 22 22 22 22 22 D = + + + + + 20152 ổ2 2 ữ D = + 2.ỗ + + + + ữ ỗ ữ ỗ ố32 52 72 20152 ứ 2 Ta thấy = < =1 3.3 1.3 2 1 = < = 5.5 3.5 0,75 0,5 0,25 0,5 2,0 điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 2,0 điểm 0,5 Do 2 1 = < = 7.7 5.7 2 1 = < = 2015 2015.2015 2013.2015 2013 2015 0,5 0,5 ổ 1 1 1 1 ữ D < + 2.ỗ - + - + - + + ữ ỗ ữ ỗ ố1 3 5 2013 2015 ứ ổ ữ D < + 2.ỗ 0,5 ữ ỗ ữ ỗ ố 2015 ứ D