TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRẦN THỊ HƯỜNG ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số HÀ NỘI - 2016 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRẦN THỊ HƯỜNG ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ KIỀU NGA HÀ NỘI - 2016 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga , người tận tình giúp đỡ, bảo cung cấp cho kiến thức tảng để em hoàn thành khóa luận Cô người giúp em ngày tiếp cận có niềm say mê khoa học suốt thời gian làm việc cô Em xin chân thành cảm ơn thầy, cô tổ đại số khoa Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè tạo điều kiện thuân lợi cho em trình thực khóa luận Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu lực thân hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận ý kiến đóng góp từ thầy cô, bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Trần Thị Hường Lời cam đoan Em xin cam đoan khóa luận "Ứng dụng đồng dư thức" hoàn thành hướng dẫn cô giáo Nguyễn Thị Kiều Nga nỗ lực thân Khóa luận không trùng với đề tài nghiên cứu khác Trong trình hoàn thành khóa luận, em thừa kế thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Trần Thị Hường Mục lục Lời mở đầu Chương 1: Đồng dư thức 1.1 1.2 Đồng dư thức 1.1.1 Định nghĩa đồng dư thức 1.1.2 Các điều kiện tương đương với định nghĩa 1.1.3 Các tính chất đồng dư thức Một số định lý đồng dư thức 1.2.1 Hàm Ơ-le 1.2.2 Hệ thặng dư đầy đủ 1.2.3 Hệ thặng dư thu gọn 1.2.4 Định lý Ơ-le 1.2.5 Định lý Phec-ma 1.2.6 Định lý Vin-sơn 4 9 10 12 13 13 14 Chương 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC 15 2.1 2.2 Ứng dụng đồng dư thức tìm số dư phép chia 2.1.1 Sử dụng tính chất đồng dư thức 2.1.2 Sử dụng định lý Ơ-le, định lý Phec-ma 2.1.3 Sử dụng định lý Vin-sơn Ứng dụng đồng dư thức chứng minh tính chia hết 2.2.1 Sử dụng tính chất đồng dư thức 2.2.2 Sử dụng định lý Ơ-le Phec-ma chứng minh tính chia hết 15 15 16 18 20 20 23 2.2.3 Sử dụng định lý Vin-sơn chứng minh tính chia hết 26 2.3 Tìm chữ số tận lũy thừa 26 2.3.1 Tìm hai chữ số tận lũy thừa 30 2.3.2 Tìm ba chữ số tận lũy thừa 34 2.4 Ứng dụng đồng dư thức nhận biết dấu hiệu chia hết 37 2.4.1 Các dấu hiệu chia hết đơn giản 37 2.4.2 Một số dấu hiệu chia hết khác 39 2.5 Ứng dụng đồng dư thức giải phương trình nghiệm nguyên 43 2.6 Ứng dụng đồng dư thức giải phương trình đồng dư phương trình vô định 45 2.6.1 Giải phương trình đồng dư bậc ẩn 45 2.6.2 Giải phương trình vô định ax + by = c 47 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 Lời mở đầu Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học trừu tượng, có suy luận lôgic tảng cho việc nghiên cứu môn khoa học khác Đại số ngành chiếm vị trí quan trọng toán học Nó góp phần thúc đẩy phát triển toán học đại Số học phần thiếu chiếm vai trò quan trọng môn này.Các toán số học hấp dẫn hút người Từ nhà toán học lỗi lạc thời đại đến đông đảo bạn trẻ yêu toán Thế giới số quen thuộc sống hàng ngày, giới kỳ lạ đầy bí ẩn Loài người phát tính chất, quy luật đồng thời gặp khó khăn chưa thể chứng minh số dự đoán toán học Các toán số học có mặt đề thi chọn học sinh giỏi toán tất cấp học hầu giới Là phần kiến thức số học, đồng dư thức có vai trò quan trọng toán học có nhiều ứng dụng Sử dụng đồng dư thức giải dễ dàng nhiều toán môn học khác nhiều toán thực tiễn sống Với lòng yêu thích, niềm say mê muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu số học nói chung đồng dư thức nói riêng, em chọn đề tài "Ứng dụng đồng dư thức" để nghiên cứu Nội dung khóa luận gồm chương: Trần Thị Hường - K38C SP Toán MỤC LỤC Chương 1: Trình bày kiến thức lý thuyết đồng dư, định lý đồng dư thức Định lý Ơ-le, định lý Phec-ma, định lý Vin-sơn, Hệ thặng dư đầy đủ - Hệ thặng dư thu gọn Chương 2: Trình bày số ứng dụng đồng dư thức qua ví dụ tập áp dụng như: Tìm số dư phép chia, chứng minh tính chia hết, tìm chữ số tận lũy thừa, tìm dấu hiệu chia hết, giải phương trình vô định, nghiệm nguyên Mục đích - Yêu cầu + Đây dịp để tập dượt nghiên cứu (với định hướng giáo viên hướng dẫn) nội dung khoa học + Nắm bắt nội dung lý thuyết đồng dư (Các khái niệm, tính chất, định lý bản, số ứng dụng, ) + Biết cách thể hiểu biết Cơ sở lý luận Lý thuyết đồng dư xây dựng tảng phép chia vành số nguyên Đồng dư nội dung suy luận cách lôgic, chặt chẽ Trên sở tính chất, định lý tiếng hai nhà bác học Ơ-le Phec-ma đồng dư thức có tính ứng dụng cao việc giải toán số học Cơ sở thực tiễn Đồng dư phương pháp có kĩ thuật Nó coi công cụ giúp ta đạt kết sâu sắc (ví dụ vấn đề chia hết hay vấn đề phương trình nghiệm nguyên) mà dùng phương pháp khác việc giải cồng kềnh Đề tài giúp cho học sinh phổ thông có phương pháp định hướng kĩ cần thiết trình giải toán số học chương trình phổ thông Trần Thị Hường - K38C SP Toán MỤC LỤC Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống lý thuyết, phân loại, đưa tập chi tiết liên quan đến Đồng dư thức Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu - Trong môn toán có nhiều dạng tập giải phương pháp đồng dư thức Tuy nhiên khóa luận em đưa số ứng dụng sau: + Tìm số dư phép chia + Chứng minh chia hết + Tìm chữ số tận lũy thừa + Tìm dấu hiệu chia hết + Giải phương trình nghiệm nguyên + Giải phương trình vô định Phương pháp nghiên cứu • Thu thập đọc tài liệu tìm từ nhiều nguồn khác để phân tích, nghiên cứu • Phương pháp quan sát, đọc sách • Trao đổi với thầy cô, bạn bè Trần Thị Hường - K38C SP Toán Chương Đồng dư thức 1.1 1.1.1 Đồng dư thức Định nghĩa đồng dư thức Định nghĩa 1.1.1 Cho m số nguyên dương Ta nói hai số nguyên a b đồng dư với theo môđun m phép chia a b cho m ta số dư Khi a b đồng dư với theo môđun ta viết a ≡ b(mod m) Hệ thức a ≡ b(modm) gọi đồng dư thức 1.1.2 Các điều kiện tương đương với định nghĩa Các khẳng định sau tương đương: i) a b đồng dư với theo môđun m ii) m chia hết a − b iii) tồn số nguyên t cho a = b + mt Trần Thị Hường - K38C SP Toán CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC Ta có N = an an−1 · · · a1 a0 = 10n an + 10n−1 an−1 + · · · + 10.a1 + a0 Vì 10 ≡ 0(mod 2) nên N = an an−1 · · · a1 a0 ≡ 0(mod 2) a0 ≡ 0(mod 2) tương đương a0 ∈ {0, 2, 4, 6, 8} b) Dấu hiệu chia hết cho N = an an−1 · · · a1 a0 a0 ∈ {0, 5} Chứng minh Ta có N = an an−1 · · · a1 a0 = 10n an + 10n−1 an−1 + · · · + 10.a1 + a0 Vì 10 ≡ 0(mod5) nên N = an an−1 · · · a1 a0 ≡ 0(mod5) a0 ≡ 0(mod5) tương đương a0 ∈ {0, 5} c) Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 25) N = an an−1 · · · a1 a0 a1 a0 N = an an−1 · · · a1 a0 25 a1 a0 25 Chứng minh N = an an−1 · · · a1 a0 = 100.an an−1 · · · a2 + a1 a0 Vì 100 ≡ 0(mod 4) 100 ≡ 0(mod 25) nên N ≡ 0(mod 4) a1 a0 ≡ 0(mod 4) N ≡ 0(mod 25) a1 a0 ≡ 0(mod 25) d) Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 125) N = an an−1 · · · a1 a0 a2 a1 a0 N = an an−1 · · · a1 a0 125 a2 a1 a0 125 Chứng minh Ta có N = an an−1 · · · a1 a0 = 1000.an an−1 · · · a3 + a2 a1 a0 Vì 1000 ≡ 0(mod 8) 1000 ≡ 0(mod 125) nên: Trần Thị Hường - K38C SP Toán 38 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC N ≡ 0(mod 8) a2 a1 a0 ≡ 0(mod 8) N ≡ 0(mod 125) a2 a1 a0 ≡ 0(mod 125) e) Dấu hiệu chia hết cho N = an an−1 · · · a1 a0 (an + an−1 + · · · + a1 + a0 ) N = an an−1 · · · a1 a0 (an + an−1 + · · · + a1 + a0 ) .3 .9 Chứng minh Ta có N = an an−1 · · · a1 a0 = 10n an + 10n−1 an−1 + · · · + 10.a1 + a0 = 10.10n−1 an + 10.10n−2 an−1 + · · · + 10.a1 + a0 = 9.(10n−1 an + 10n−2 an−1 + · · · + a1 ) + (10n−1 an + 10n−2 an−1 + · · · + a1 + a0 ) = 9.(10n−1 an + 10n−2 an−1 + · · · + a1 ) + 9.(10n−2 an + · · · + a2 ) + · · · + 9an + (an + an−1 + · · · + a0 ) Vì ≡ 0(mod 3) nên N ≡ 0(mod 3) tương đương(an + an−1 + · · · + a1 + a0 ) ≡ 0(mod 3) Tương tự ta tìm dấu hiệu chia hết cho 2.4.2 Một số dấu hiệu chia hết khác a) Dấu hiệu chia hết cho 11 N = an an−1 · · · a1 a0 11 chi (a0 + a2 + a4 + · · · ) − (a1 + a3 + a5 + · · · ) 11 Chứng minh Ta có 10 ≡ −1(mod 11) suy 10i ≡ (−1)i (mod 11) với i = 1, 2, , n Suy Trần Thị Hường - K38C SP Toán 39 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC 10i ≡ 1(mod 11)nếu i chẵn 10i ≡ −1(mod 11)nếu i lẻ Nên N ≡ a0 − a1 + a2 − · · · + (−1)n an (mod 11) ⇒ N ≡ (a0 + a2 + a4 + · · · ) − (a1 + a3 + a5 + · · · )(mod 11) b) Dấu hiệu chia hết cho 101 N = an an−1 · · · a1 a0 101 (a1 a0 + a5 a4 + · · · ) − (a3 a2 + a7 a6 + · · · ) 101 Chứng minh Ta có 100 ≡ −1(mod 101) ⇒ 10i ≡ (−1)i (mod 101); i = 1, 2, , n Do N = an an−1 · · · a1 a0 = a1 a0 + a3 a2 102 + a5 a4 104 + · · · ≡ a1 a0 − a3 a2 + a5 a4 − · · · (mod 101) ≡ (a1 a0 + a5 a4 + · · · ) − (a3 a2 + a7 a6 + · · · )(mod 101) c) Dấu hiệu chia hết cho 7,13 N = an an−1 · · · a1 a0 (a2 a1 a0 + a8 a7 a6 + · · · ) − (a5 a4 a3 + · · · ) N = an an−1 · · · a1 a0 13 (a2 a1 a0 + a8 a7 a6 + · · · ) − (a5 a4 a3 + · · · ) .7 13 Chứng minh Ta có 1001 = 7.13.11 ⇒ 1000 ≡ −1(mod7) N = an an−1 · · · a1 a0 = a2 a1 a0 + 103 a5 a4 a3 + 106 a8 a7 a6 + · · · Suy N ≡ a2 a1 a0 − a5 a4 a3 + a8 a7 a6 − · · · (mod7) Tương tự 13 Trần Thị Hường - K38C SP Toán 40 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC d) Dấu hiệu chia hết cho 37 N = an an−1 · · · a1 a0 37 a2 a1 a0 + a5 a4 a3 + a8 a7 a6 + · · · 37 Chứng minh Ta có 999 = 27.37 ⇒ 1000 ≡ 1(mod 37) suy N ≡ a2 a1 a0 + a5 a4 a3 + a8 a7 a6 + · · · (mod 37) e) Dấu hiệu chia hết cho 19 N = an an−1 · · · a1 a0 19 M = an + 2.an−1 + 22 an−2 + · · · + 2n a0 19 Chứng minh Ta có 10n M −N = 10n an +20.10n−1 an−1 +202 10n−2 an−2 +· · ·+20n a0 − (10n an + 10n−1 an−1 + 10n−2 an−2 + · · · + a0 ) = 10n (20 − 1).an−1 + 10n−2 (202 − 1).an−2 + · · · + (20n − 1).a0 19 Vì (10n , 19) = nên M chia hết cho 19 N chia hết cho 19 Ví dụ 2.4.1 Tìm chữ số x,y để 135x4y 45 Giải Ta có 135x4y 5y ∈ {0, 5} Vì 45 = 9.5 nên 135x4y (1 + + + x + + y) Hay (13 + x + y) tương đương (4 + x + y) Với y = suy x = x = Vậy ta có cặp x,y thỏa mãn :(5, 0); (0, 5); (9, 5) Ví dụ 2.4.2 Tổng chữ số số không thay đổi nhân số với Chứng minh số chia hết cho Giải Gọi số n kí hiệu S(N) tổng chữ số N Trần Thị Hường - K38C SP Toán 41 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC Ta có N ≡ S(N )(mod 9) 5N ≡ S(5N )(mod 9) Theo giả thiết S(N ) = S(5N ) 5N − N ≡ 0(mod 9) Suy 4N nên N Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2.4.3 Tổng chữ số số có ba chữ số chia hết cho Chứng minh số chia hết cho chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục Giải Gọi số cho là: abc Theo giả thiết ta có abc = 100a + 10b + c a + b + c = 7k ⇒ abc = 100(7k − b − c) = 700k − 90b − 99c ≡ b − c(mod 7) Ta có abc ≡ 0(mod 7) Mà abc ≡ b − c(mod 7) nên ta suy abc ≡ 0(mod7) tương đương b − c = Suy b = c Vậy ta có điều phải chứng minh Bài tập áp dụng Bài Cho N = bcba Chứng minh N a + 2b + 4c N a + 2b Hướng dẫn: Sử dụng dấu hiệu chia hết cho Bài 2.Tìm chữ số để 2x78 17 Hướng dẫn: Ta có 2x78 = 17.(122 + 6x) + 2.(2 − x) 17 suy x = Bài Chứng minh tổng bình phương số nguyên liên tiếp không số phương Hướng dẫn: Ta có (n − 2)2 + (n − 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = 5(n2 + 2) không chia hết cho 25 Trần Thị Hường - K38C SP Toán 42 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC 2.5 Ứng dụng đồng dư thức giải phương trình nghiệm nguyên Cơ sở lý luận : Để giải phương trình nghiệm nguyên ta Sử dụng tính chất đồng dư thức Các định lý Ơ-le, định lý Phec-ma, định lý Vin-sơn Định lý Phec-ma-Ơ-le: Nếu p = 4k + tồn số nguyên dương a,b cho p = a2 + b2 Ví dụ 2.5.1 Tìm nghiệm nguyên phương trình 25|x +2x+3| + 17|y Giải Theo định lý Ơ-le ta có 52 ≡ 1(mod 4) suy (52 )|x +2x+3| ≡ 1(mod 4) 17 ≡ 1(mod 4) suy 17|y +2y−7| ≡ 2(mod 4) 2 Do 25|x +2x+3| + 17|y +2y−7| ≡ 2(mod 4) Mà 96 ≡ 0(mod 4) nên 96xy ≡ 0(mod 4) Vậy phương trình cho vô nghiệm +2y−7| = 96xy Ví dụ 2.5.2 Giải phương trình nghiệm nguyên x2 + y = 3z Giải Gọi (x0 , y0 , z0 ) nghiệm phương trình Ta chứng minh x0 , y0 chia hết cho Thật vậy, vế phải chia hết cho suy x20 + y02 Ta có x20 ≡ 0, 1(mod 3), y02 ≡ 0, 1(mod 3) Do x20 + y02 x0 , y0 chia hết cho Đặt x0 = 3x1 , y0 = 3y1 Suy 3(x21 + y12 ) = z02 nên z0 3, đặt z0 = 3z1 suy x21 + y12 = 3z12 Do (x0 , y0 , z0 ) nghiệm phương trình (x1 , y1 , z1 ) Trần Thị Hường - K38C SP Toán 43 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC nghiệm phương trình Tiếp tục lí luận x1 , y1 , z1 chia hết cho Ta lại tìm nghiệm thứ hai (x2 , y2 , z2 ) với x2 , y2 , z2 chia hết cho Tiếp tục trình dẫn đến: x0 ; y0 ; z0 3k Điều xảy x0 = y0 = z0 = Ví dụ 2.5.3 Tìm nghiệm nguyên phương trình x7 + y = 7z Giải Vì số nguyên tố, x, y ∈ Z nên theo định lý Phec-ma ta có x7 − x 7, y − y Ta viết lại phương trình cho dạng : (x7 − x) + (y − y) + (x + y) = 7z Do x + y Đặt x + y = 7k, k ∈ Z Vậy phương trình cho có nghiệm t7 + (7k − t)7 x = t, y = 7k − t, z = ; ∀t, k ∈ Z Ví dụ 2.5.4 Giải phương trình nghiệm nguyên sau 9x + = y + y(∗) Giải Ta có vế trái 9x + ≡ 2(mod 3) suy vế phải y + y ≡ 2(mod 3) hay y(y + 1) ≡ 2(mod 3) suy y ≡ 1(mod3) y = 3k y = 3k + V P ≡ 0(mod3) đặt y = 3k + 1, k ∈ Z thay vào phương trình (*) ta có 9x + = (3k + 1)2 + (3k + 1) hay 9x = 9k + 9k x = k + k x = k2 + k Vậy , k ∈ Z y = 3k + Ví dụ 2.5.5 Giải phương trình nghiệm nguyên sau 30 19x + 5y + 1890 = 19754 + 2013 Giải Ta có x,y nguyên dương nên 5y 5, 1890 Suy V T = 19x + 5y + 1890 ≡ 19x (mod 5) Mà 19 ≡ −1(mod 5) nên suy 19x ≡ (−1)x (mod 5) Trần Thị Hường - K38C SP Toán 44 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC Nếu x chẵn 19x ≡ 1(mod 5), x lẻ 19x ≡ −1(mod 5) ≡ 4(mod 5) suy V T ≡ 1; 4(mod 5) V P ≡ 3(mod 5) Vậy phương trình cho vô nghiệm Bài tập áp dụng Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình x53 + y 53 = 53z Hướng dẫn đáp số Áp dụng định lý Phec-ma ta có: x53 − x 53, y 53 − y 53 u53 + (53t − u)53 Đáp số x = u, y = 53t − u, z = , với t, u ∈ Z 53 Bài 2.Giải phương trình nghiệm nguyên sau: a) 11991 + 21991 + · · · + 19911991 = xy, x ∈ P b) 9|x| + = 100y Hướng dẫn đáp số a, Theo định lý Phec-ma ta có: Vế trái + + · · · + 1991 ≡ 1991.1996 ≡ 0(mod 11) nên xy ≡ 0(mod 11) Đáp số: (11, t); (x, 11t), x ∈ P, t ∈ Z b, V T ≡ 2(mod 4) Đáp số: Phương trình vô nghiệm 2.6 Ứng dụng đồng dư thức giải phương trình đồng dư phương trình vô định 2.6.1 Giải phương trình đồng dư bậc ẩn Xét phương trình đồng dư bậc ẩn có dạng: ax ≡ b(mod m) Trần Thị Hường - K38C SP Toán (1) 45 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC a ≡ 0(modm) Cách xác định nghiệm: Cách thứ Xét phương trình ax ≡ b(modm), (a, m) = 1, ≤ a < m • Nếu a ước b ta nghiệm phương trình (1) b x ≡ (modm) a • Nếu a không ước b (a, m) = suy tồn số k (k ∈ Z, ≤ k ≤ a − 1) để b + km ≡ 0(mod m) Khi phương trình (1) tương đương với ax ≡ b + km(mod m) nên phương trình (1) có nghiệm x≡ b + km (mod m) a Ví dụ 2.6.1 Giải phương trình 3x ≡ 5(mod 8) Giải Phương trình cho tương đương với phương trình: 3x ≡ + 2.8(mod 8) hay 3x ≡ 21(mod 8) suy x ≡ 7(mod 8) Vậy phương trình cho có nghiệm x ≡ 7(mod 8) Cách thứ 2: Dựa vào định lý Ơ-le Xét phương trình ax ≡ b(mod m), giả thiết (a, m) = Theo định lý Ơ-le ta có aϕ(m) ≡ 1(mod m) Nhân hai vế đồng dư thức với b viết a[b.aϕ(m)−1 ] ≡ b(mod m) Trần Thị Hường - K38C SP Toán 46 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC ta được: x ≡ b.aϕ(m)−1 (mod m) nghiệm phương trình (1) Cách thứ 3: Thử hệ thặng dư đầy đủ mod m Khi môđun m không lớn, ta giải phương trình đồng dư (1) cách cho x chạy qua hệ thặng dư đầy đủ ( thường hệ thặng dư đầy đủ không âm nhỏ giá trị tuyệt đối nhỏ nhất) Ví dụ 2.6.2 Giải phương trình 7x ≡ 3(mod12) Giải Ta có (7, 12) = Theo định lý Ơ-le ta có 7ϕ(12) ≡ 1(mod 12) Nhân vế đồng dư thức với ta có x ≡ 7ϕ(12)−1 3(mod 12) Do ⇒ x ≡ 73 3(mod 12) Ta có 73 ≡ 7(mod 12) ⇒ 73 ≡ 9(mod 12) Vậy nghiệm phương trình cho x ≡ 9(mod 12) Ví dụ 2.6.3 Giải phương trình đồng dư 6x ≡ 9(mod 15) Giải Ta thấy (6, 15) = 39 Vậy phương trình cho có nghiệm tương đương với phương trình 2x ≡ 3(mod 5) Cho x chạy qua hệ TDĐĐ {0, 1, 2, 3, 4} ta thấy x = nghiệm phương trình Vậy lớp x ≡ 4(mod 5)là nghiệm phương trình 2x ≡ 3(mod 5) Vậy phương trình cho có nghiệm là: x ≡ 4(mod 15), x ≡ 9(mod 15), x ≡ 14(mod 15) 2.6.2 Giải phương trình vô định ax + by = c Mối liên hệ phương trình đồng dư bậc phương trình vô định ax + by = c Trần Thị Hường - K38C SP Toán 47 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC Chúng ta giả thiết b > Khi phương trình vô định ax + by = c có nghiệm nguyên (x0 , y0 ) nghĩa ta có đẳng thức c − ax0 a.x0 + b.y0 = c suy a.x0 ≡ c(mod b) y0 = b Đảo lại, có số nguyên x0 cho có đồng dư thức a.x0 ≡ c(mod b) c−ax0 ≡ 0(mod b) nghĩa có số nguyên y0 để c−ax0 = b.y0 Từ suy a.x0 +b.y0 = c Nói cách khác phương trình vô định ax+by = c có nghiệm (x0 , y0 ) Ví dụ 2.6.4 Giải phương trình 107x + 43y = Giải Ta có 107x ≡ 5(mod 43) Hay 21x ≡ 5(mod 43) Vì (21, 43) = ϕ(43) = 42 Theo định lý Ơle ta có 2142 ≡ 1(mod 43) suy 21.(2141 5) ≡ 5(mod 43) Vậy nghiệm phương trình đồng dư : x ≡ 5.2141 (mod 43) hay x ≡ −10(mod 43) Từ suy x = −10 + 43t y = 25 − 107t , t ∈ Z Vậy nghiệm phương trình cho x = −10 + 43t ,t ∈ Z y = 25 − 107t Ví dụ 2.6.5 Tìm nghiệm nguyên phương trình 270x − 138y = 15m + 27 với m số nguyên cho trước Giải Ta có (270, 138) = nên điều kiện để phương trình cho có nghiệm nguyên 15m + 27 ≡ 0(mod 6) Hay 3m − ≡ 0(mod 2) m ≡ 1(mod 2) ⇒ m = 2k + 1, k ∈ Z Khi phương trình cho tương đương với phương trình: 45x − 23y = 5k + Trần Thị Hường - K38C SP Toán 48 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC Trước hết ta thấy 45x ≡ 5x + 7(mod 23) nên suy 45x ≡ −45.(5k + 7)(mod 23) hay x ≡ −5k − 7(mod 23) Do x ≡ −5k − + 23t, t ∈ Z 45x − 5k − 45.(−5k − + 2t) − 5k − Từ ta y = = 23 23 hay y = −10k − 14 + 45t x = −5k − + 2t ,t∈Z Vậy y = −10k − 14 + 45t • Nếu m = 2k + 1, k ∈ Z phương trình cho có nghiệm tổng quát x = −5k − + 2t ,t∈Z y = −10k − 14 + 45t • Nếu m = 2k, k ∈ Z phương trình cho nghiệm nguyên Bài tập áp dụng Bài 1.Giải phương trình đồng dư sau: a) 19x ≡ 3(mod 37) b) 3x ≡ 11(mod 14) c) 5x ≡ 2(mod 11) Hướng dẫn: a) Ta có (19, 37) = nên x ≡ 19ϕ(37)−1 3(mod 37) hay x ≡ 1935 3(mod 37) Đáp số: x ≡ 6(mod 37) b) Ta có ϕ(14) = suy x ≡ 35 11(mod 14) hay x ≡ 3(mod 14) c) Ta có ϕ(11) = 10 suy x ≡ 510 2(mod 11) hay x ≡ 2(mod 11) Trần Thị Hường - K38C SP Toán 49 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC Bài 2.Tìm nghiệm nguyên phương trình 2013x − 1009y = 459 x = −293 + 1009t , t ∈ Z Đáp số y = −285 + 2013t Bài 3.Giải phương trình vô định sau: a) 47x + 101y = b) −85x + 230y = 100 Đáp số a) x = 86 − 101t ,t ∈ Z y = −40 + 47t b) x = −150 + 230t ,t ∈ Z y = −55 + 85t Bài Giải phương trình vô định phương pháp đồng dư 65x − 200y = 7m + 24 Đáp số • Nếu m = 5k + 3, k ∈ Z, phương trình có nghiệm nguyên x = −(7x + 9) + 13t ,t ∈ Z y = −3.(7k + 9) + 40t • Nếu m ≡ 3(mod5) phương trình nghiệm nguyên Trần Thị Hường - K38C SP Toán 50 Kết luận Lý thuyết đồng dư tổng quát lý thuyết chia hết Nhưng nhiều toán giải lý thuyết chia hết cồng kềnh phức tạp Đồng dư thức phần kiến thức quan trọng lý thuyết đồng dư kiến thức quan trọng số học Hơn đồng dư thức có nhiều ứng dụng quan toán học thực tế sống hàng ngày Trong khóa luận em trình bày số ứng dụng đồng dư thức như: Ứng dụng đồng dư thức tìm số dư phép chia , chứng minh chia hết, phát dấu hiệu chia hết, ứng dụng đồng dư thức giải phương trình nghiệm nguyên, phương trình vô định, phương trình đồng dư, Tuy nhiên lần đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học nên trình hoàn thành khóa luận em tránh khỏi thiếu xót Em kính mong thầy cô bạn đóng góp ý kiến để khóa luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Trần Thị Hường - K38C SP Toán 51 Tài liệu tham khảo [1] Bùi Huy Hiền - Nguyễn Hữu Hoan, Bài tập đại số số học, Nhà xuất sư phạm 2005 [2] Nguyễn Hữu Hoan, Lý thuyết số, Nhà xuất đại học sư phạm 2010 [3] Nguyễn Tiến Quang, Bài tập số học, Nhà xuất Giáo dục, 2009 [4] Nguyễn Tiến Tài, Số học, Nhà xuất Giáo dục, 2007 [5] Nguyễn Vũ Thanh, Chuyên đề bồi dưỡng chuyên toán cấp 2-3 Số học, Nhà xuất trẻ, 2001 [6] Lại Đức Thịnh, Giáo trình số học, Nhà xuất Giáo dục, 1997 [7] Toán học tuổi trẻ 2009 [8] Các tài liệu khác, nguồn internet, Trần Thị Hường - K38C SP Toán 52 ... MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC 15 2.1 2.2 Ứng dụng đồng dư thức tìm số dư phép chia 2.1.1 Sử dụng tính chất đồng dư thức 2.1.2 Sử dụng định lý Ơ-le, định lý Phec-ma 2.1.3 Sử dụng định... Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC 2.1 Ứng dụng đồng dư thức tìm số dư phép chia Cơ sở lý luận Cho a, m ∈ Z, m > Giả sử a = mq + r(∗), ≤ r < m Theo điều kiện tương đương đồng dư thức ta có... DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC + Nếu m = 4k + 3m + chia hết cho 4, suy số dư 3m + = 3k + 2.2 2.2.1 Ứng dụng đồng dư thức chứng minh tính chia hết Sử dụng tính chất đồng dư thức Ví dụ 2.2.1 Chứng minh