BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Hường PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT TRONG TỔ HỢP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Hường PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT TRONG TỔ HỢP Chuyên ngành: Toán ứng dụng KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Trần Vĩnh Đức Hà Nội – Năm 2016 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Vĩnh Đức - Giảng viên trường Đại học Bách khoa Hà Nội - người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Hường LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đề tài "Phương pháp xác suất tổ hợp" hoàn thành, hướng dẫn thầy Trần Vĩnh Đức, không trùng với đề tài khác Trong trình hoàn thành đề tài, em thừa kế thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Hường Mục lục Lời mở đầu 1 CHỨNG MINH BẰNG CÁCH ĐẾM 1.1 Ví dụ mở đầu 1.2 Hàm Boolean 1.3 Bài toán tô hai màu KHÔNG GIAN XÁC SUẤT HỮU HẠN 13 2.1 Không gian xác suất hữu hạn 13 2.2 Dãy ngẫu nhiên n số số 17 2.3 Hoán vị ngẫu nhiên 18 2.4 Đồ thị ngẫu nhiên 21 2.5 Biến cố độc lập 24 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ KỲ VỌNG 29 3.1 Biến ngẫu nhiên 29 3.2 Kỳ vọng 31 MỘT SỐ ỨNG DỤNG 4.1 37 Sự tồn đồ thị hai phần lớn i 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hường 4.2 Tập độc lập 39 4.3 Số giao điểm mức ≤ k 41 4.4 Số phép so sánh trung bình thuật toán QUICKSORT 45 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hường Lời mở đầu Lý chọn đề tài Xác suất nhánh toán học phát triển mạnh mẽ sử dụng rộng rãi sống Tuy nhiên phương pháp xác suất ứng dụng tổ hợp phát triển khoảng 50 năm trở lại đây, khởi xướng nhà toán học Paul Erd¨os Hiện nay, trở thành phương pháp mạnh Lý thuyết đồ thị tổ hợp để giải toán tồn tại; phương pháp dùng phổ biến phân tích thuật toán Vì vậy, em chọn đề tài "Phương pháp xác suất tổ hợp" cho khóa luận nhằm tìm hiểu phần ứng dụng phương pháp xác suất giải toán tổ hợp Mục đích nghiên cứu • Giới thiệu phương pháp chứng minh cách đếm đưa ví dụ điển hình; • Tìm hiểu khái niệm không gian xác suất hữu hạn số kiến thức có liên quan; • Tìm hiểu biến ngẫu nhiên kỳ vọng; • Đưa số ví dụ ứng dụng Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hường Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu phương pháp xác suất giải toán tổ hợp Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tương nghiên cứu: Các toán tổ hợp • Phạm vi nghiên cứu: Xác suất tổ hợp toán không gian xác suất hữu hạn Cấu trúc đề tài Phần lớn nội dung luận văn tham khảo từ chương 10 sách Invitation to Discrete Mathematics Jiri Matousek Jaroslav Nesetril Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo đề tài bao gồm chương: • Chương Chứng minh cách đếm • Chương Không gian xác suất hữu hạn • Chương Biến ngẫu nhiên kỳ vọng • Chương Một số ứng dụng Chương CHỨNG MINH BẰNG CÁCH ĐẾM Chương trình bày ví dụ điển hình dùng phương pháp chứng minh cách đếm Hai ví dụ không sử dụng ngôn ngữ xác suất, mà thay vào sử dụng kỹ thuật đếm đơn giản Các ví dụ sau nhằm mô tả phát triển tự nhiên từ phương pháp đếm đến phương pháp xác suất 1.1 Ví dụ mở đầu Chúng ta bắt đầu ví dụ mô tả phương pháp đếm để chứng minh toán tồn Ví dụ 1.1 Xét tây gồm 52 (các quân xếp theo thứ tự đó) Chúng ta xáo trộn “dovetail shuffling”: chia thành hai phần nhau, xen kẽ quân phần với quân từ phần khác, cho thứ tự quân Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hường phần không đổi (xem hình 1.1) Chúng ta chứng minh lặp lại thủ tục nhiều lần có tất khả thứ tự có quân bài, với lần trộn “dovetail shuffing” chắn cho tất thứ tự ngẫu nhiên quân Hình 1.1: Xáo kiểu Dovetail shuffling Chứng minh Có tất 52! cách thứ tự quân Chúng ta đếm số cách thứ tự khác có thủ tục xếp mô tả Có cách để trộn hai phần riêng biệt (ta gọi phần trái phần phải)? Nếu biết cách xếp quân hai phần trái phải, định rõ quân xếp thứ tự đến từ phần trái hay phần phải xây dựng lại thứ tự khác sau hai phần trộn lẫn ( ) Do đó, sau lần chia trộn thứ nhất, có 52 26 cách thứ tự xảy Và với lần lặp lại vậy, đạt nhiều (52)4 cách thứ tự Số bé 52!, với lần lặp 26 tồn vài cách thứ tự mà không nhắc tới Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG Trong phần này, trình bày ví dụ cách sử dụng phương pháp xác suất tuyến tính kỳ vọng cách cụ thể Chúng ví dụ điển hình viên kim cương nhỏ toán học 4.1 Sự tồn đồ thị hai phần lớn Cho đồ thị G = (V, E), ta mong muốn chia tập đỉnh thành hai tập không giao cho phần có nhiều cạnh tốt Hơn nữa, muốn phần có số phần tử Định lý sau cho thấy ta làm để có nửa số cạnh nối phần và, nữa, hai tập đỉnh lựa chọn có số phần tử (nếu số đỉnh chẵn) Định lý 4.1 Cho G đồ thị với số đỉnh chẵn, 2n, số cạnh m > Tập V = V (G) chia thành hai tập không giao A 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hường B mà tập gồm n phần tử cho có nhiều m cạnh nối từ A tới B Chứng minh Chọn ngẫu nhiên tập A gồm n phần tử ( ) V , có tất 2n n tập với xác suất nhau, ta đặt B = V \ A Gọi X số cạnh G "từ A tới B", tức cạnh {a, b} với a ∈ A b ∈ B Chúng ta tính kỳ vọng E[X] X Đối với cạnh e = {u, v} ∈ E(G), ta xác định biến cố Ce xảy ( ) cạnh e từ A đến B; mặt hình thức, Ce = {A ∈ Vn : |A ∩ e| = 1} ta có X = Σe∈E(G) ICe , E[X] = Σe∈E(G) P (Ce ) Vì cần xác định xác suất P (Ce ) ( ) Tóm lại ta có 2n n lựa chọn có A Nếu ta đưa điều kiện u ∈ A v ∈ / A, lại n − phần tử A lựa chọn (2n−2) n−1 cách Lý luận tương tự cho trường hợp đối xứng u ∈ / A v ∈ A Do P (Ce ) = Từ ta có E[X] = 2(2n−2 n−1 ) (2nn) ∑ e∈E(G) = n 2n−1 > 21 P (Ce ) > m Kỳ vọng X giá trị trung bình cộng X tất lựa chọn từ tập A Một trung bình lớn cực đại tất giá trị này, đó, có tồn cách chọn A để có nửa số cạnh từ A tới B 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 4.2 Nguyễn Thị Hường Tập độc lập Chúng ta khảo sát số cạnh tối đa có đồ thị n đỉnh mà không chứa ba đỉnh lập thành tam giác Tổng quát hơn, cho k ≥ 3, ta xem xét số cạnh tối đa đồ thị n đỉnh mà không chứa đồ thị đẳng cấu với Kk , có nghĩa là, đồ thị đầy đủ với k đỉnh Câu hỏi trả lời định lý Turán, kết tiếng lý thuyết đồ thị Định lý xây dựng nhiều cách Ở ta có chứng minh xác suất đẹp Chúng ta đưa chặn cho số cạnh Với số công việc nhiều hơn, người ta tìm cấu trúc đồ thị với số lượng cạnh tối đa, bỏ qua phần Định lý Turán thường áp dụng dạng "ngược": Nếu đồ thị n đỉnh với số cạnh nhiều số phải chứa Kk Định nghĩa 4.1 Tập độc lập đồ thị G tập đỉnh S G thỏa mãn cặp đỉnh S có cạnh nối Nếu ta xét đồ thị bù đồ thị G, tức đồ thị có cạnh vị trí mà G cạnh, định lý Turán nói đồ thị n đỉnh có số cạnh chứa tập độc lập có kích thước k Đây có lẽ phiên hữu ích cho ứng dụng, cách mà phát biểu chứng minh Định lý 4.2 (Định lý Turán) Cho đồ thị G có n đỉnh, ta có n2 α(G) ≥ , 2|E(G)| + n 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hường α(G) kích thước tập độc lập cực đại đồ thị G Phương pháp xác suất sử dụng chứng minh bổ đề sau: Bổ đề 4.1 Cho đồ thị G bất kỳ, ta có α(G) ≥ ∑ v∈V (G) degG (v) + (với degG (v) bậc đỉnh v đồ thị G) Chứng minh Giả sử đỉnh G đánh số 1, 2, , n, ta chọn hoán vị ngẫu nhiên π đỉnh Ta định nghĩa tập hợp M = M (π) ⊆ V (G) bao gồm tất đỉnh v mà tất đỉnh lân cận u v thỏa mãn π(u) > π(v); có nghĩa là, đỉnh v đặt trước tất đỉnh lân cận hoán vị π Lưu ý tập M (π) tập độc lập G, nên |M (π)| ≤ α(G) với hoán vị π Do E[|M |] ≤ α(G) Bây tính kỳ vọng M theo cách khác Với đỉnh v, gọi Av biến cố "v ∈ M (π)" Nếu Nv biểu thị tập hợp tất điểm lân cận v tất thứ tự tập Nv ∪ {v} hoán vị π có xác suất, xác suất mà v phần tử nhỏ 1/(|Nv | + 1) = 1/(degG (v) + 1) Do P (Av ) = 1/(degG (v) + 1), tính 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hường làm nhiều lần trước đây: ∑ α(G) ≥ E[|M |] = = ∑ E[IAv ] v∈V (G) P (Av ) = v∈V (G) ∑ v∈V (G) degG (v) + Chứng minh (Định lí Turán) Bây ta cần tính toán bất đẳng thức Số cạnh e = |E(G)| nửa tổng bậc đỉnh Vì vậy, có tình sau đây: với số thực không âm d1 , d2 , , dn , biết n ∑ di = 2e i=1 ta đặt câu hỏi giá trị nhỏ tổng n ∑ i=1 di + Ta có chứng minh tổng đạt cực tiểu d1 = d2 = · · · = dn = 2e/n, giá trị n2 /(2e + n) định lý 4.3 Số giao điểm mức ≤ k Đây vấn đề hình học phát sinh việc phân tích thuật toán hình học Chúng ta xem xét tập hợp L gồm n đường thẳng mặt phẳng, mà ba đường L đồng quy hai đường số song song Lấy o điểm không 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hường nằm đường L Chúng ta xem xét giao điểm cặp đường thẳng L Mỗi cặp đường thẳng có giao điểm ( ) nên ta có tất n2 giao điểm Chúng ta nói giao điểm v có mức k đoạn thẳng ov cắt xác k đường L (không tính hai đường xác định giao điểm v) Hình 4.1 mô tả tất giao điểm mức Hình 4.1: Các giao điểm mức tập đường thẳng Vậy số giao điểm lớn có mức không k cho biết n k? Định lý sau cho ước lượng hợp lý: Định lý 4.3 Cho tập gồm n đường thẳng, tồn nhiều 3(k + 1)n giao điểm có mức không k Chứng minh Đầu tiên xét trường hợp đặc biệt k = Ta thấy giao điểm mức đỉnh đa giác lồi chứa điểm o bên Vì đường xác định nhiều cạnh đa giác nên số cạnh nhiều n, số giao điểm mức lớn có n Chúng ta sử dụng chứng minh cho số k tùy ý Cho p số nằm khoảng (0, 1), giá trị xác định cuối chứng minh Xét phép thử sau: ta chọn tập 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hường R ⊆ L cách ngẫu nhiên, tập xây dựng cách lấy đường l ∈ L với xác suất p, lựa chọn độc lập đường thẳng l khác Ở có lẽ nên nói thêm chút không gian xác suất Đó tổng quát không gian Cn từ Định nghĩa 2.2 Ví dụ tung đồng xu đối xứng đồng chất, xác suất xuất mặt ngửa mặt sấp Tương tự ta tung đồng xu loại khác với xác suất xuất mặt ngửa p mặt sấp − p Với l ∈ L, ta tung đồng xu lần, đồng xu ngửa ta cho l vào mẫu R Về mặt hình thức, không gian xác suất tập tất tập L, xác suất tập gồm r phần tử R ⊆ L pr (1 − p)n−r , r = |R| (ta xác định tập R cách tung đồng xu, có r lần xuất mặt ngửa có n − r lần lại xuất mặt sấp) Đây ví dụ không gian xác suất mà biến cố sơ cấp không thiết phải có xác suất Trở lại toán hình học Ta chọn ngẫu nhiên tập đường thẳng R ⊆ L tưởng tượng có đường thẳng R vẽ mặt phẳng Ta định nghĩa biến ngẫu nhiên f = f (R) số lượng tất giao điểm có mức nằm đường thẳng thuộc R; nghĩa là, giao điểm đường R với o không qua đường R Chúng ta ước lượng kỳ vọng E[f ] hai cách Cách một, nhận xét phần đầu chứng minh, ta có f (R) ⊆ |R| với 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hường tập R bất kỳ, E[f ] ≤ E[|R|] Không khó để tính E[|R|] = pn Bây tính E[f ] theo cách khác Với giao điểm v đường thẳng L, ta gọi biến cố Av xảy v giao điểm mức với đường R, tức là, thêm vào giá trị f (R) Biến cố A xảy có hai điều kiện sau đây: • hai đường thẳng xác định v nằm R • đường thẳng giao với đoạn ov điểm (và từ v đến o không bị cắt đường nào) nằm R Từ đó, suy P (Av ) = p2 (1 − p)l(v) , l(v) mức giao điểm v Cho M tập tất giao điểm đường thẳng L, gọi Mk ⊆ M tập giao điểm có mức nhỏ k Chúng ta có E[f ] = ∑ E[IAv ] = v∈M = ∑ ∑ P (Av ) ≥ v∈M p2 (1 − p)l(v) ≥ v∈Mk ∑ ∑ P (Av ) v∈Mk p2 (1 − p)k = |Mk |p2 (1 − p)k v∈Mk Tóm lại, ta np ≥ E[f ] ≥ |Mk |p2 (1 − p)k , hay |Mk | ≤ n p(1 − p)k Chọn p cho giá trị vế phải nhỏ Ví dụ p = 1/(k + 1) Ta có (1− (k+1) )k ≥ e−1 > với k ≥ Điều dẫn đến |Mk | ≤ 3(k+1)n 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hường định lý Ta nhận xét ước tính số giao điểm lớn có bậc xác k khó chưa giải Một nhánh toán học nghiên cứu vấn đề tính chất tương tự (tức tổ hợp câu hỏi cấu hình hình học) gọi hình học tổ hợp 4.4 Số phép so sánh trung bình thuật toán QUICKSORT Thuật toán QUICKSORT nhận đầu vào dãy (x1 , x2 , , xn ), xử lý sau Các số x2 , x3 , , xn so sánh với x1 chia thành hai nhóm: nhóm nhỏ x1 nhóm lớn x1 Trong hai nhóm, thứ tự số giữ nguyên dãy đầu vào Sau nhóm xếp cách đệ quy theo phương pháp tương tự Thuật toán đệ quy kết thúc với nhóm nhỏ (ví dụ, nhóm có nhiều phần tử) Ví dụ, dãy đầu vào (4, 3, 6, 1, 5, 2, 7) xếp hình 4.2 Thuật toán cần khoảng n2 bước trường hợp xấu (trường hợp tệ thuật toán chạy dãy thứ tự) Tuy nhiên, thực tế, QUICKSORT dùng phổ biến, coi thuật toán xếp nhanh Nó chạy 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hường Hình 4.2: hiệu trường hợp "trung bình" Điều thể định lý sau Định lý 4.4 Cho x1 < x2 < · · · < xn dãy số thực xếp theo thứ tự tăng dần cho π hoán vị tập {1, 2, , n}, gọi T (π) số phép so sánh (của cặp phần tử) mà thuật toán QUICKSORT sử dụng với dãy đầu vào (xπ(1) , xπ(2) , , xπ(n) ) Khi kỳ vọng T (π) cho hoán vị ngẫu nhiên π không 2n ln n Ta có nhận xét thuật toán xếp n số thực khác sử dụng phép so sánh cặp số cần log2 n! phép so sánh trường hợp xấu Đó thuật toán phải lựa chọn n! hoán vị có theo kết so sánh, k so sánh có 2k kết khác Như biết, n! ≥ ( ne )n , log2 n! = (log2 e) ln n! ≥ (log2 e)(n − 1) ln n ≈ 1, 443(n − 1) ln n Do đó, số phép so sánh trung bình thuật toán QUICKSORT định lý 4.4 tốt 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hường Lý để O(n log n) bước thực trung bình thuật toán QUICKSORT không khó để nhìn thấy Khi phần tử đầu vào đặt ngẫu nhiên, hy vọng phần tử thường chia phần tử lại thành hai nhóm có kích thước tương đương — nhóm có kích thước nhỏ so với nhóm lại Nếu điều xảy hầu hết trường hợp, đệ quy thuật toán có khoảng log n cấp, cấp đệ quy cần tổng cộng O(n) lần so sánh Điều nghe thuyết phục, chắn chứng minh Tiếp theo, cung cấp chứng minh chặt chẽ hơn, dựa ý tưởng khác Chứng minh Định lý 4.4 Cho Ti = Ti (π) số phần tử so sánh với phần tử xπ(i) thời điểm xπ(i) phần tử chia Ví dụ, ta có T1 = n − 1, xπ(1) phần tử dãy đầu vào, tất phần tử khác so sánh với Nếu π(2) < π(1), T2 π(1) − 2, cho π(2) > π(1) ta có T2 = n − π(1) − Nói chung, Ti mô tả theo sơ đồ sau: Các chấm nhỏ sơ đồ mô tả phần tử x1 , x2 , , xn theo thứ tự xếp Các chấm đen phần tử ứng với số π(1), π(2), , π(i − 1), tức i − phần tử dãy đầu vào Phần tử xπ(i) đánh dấu chấm tròn có thêm vòng bao 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hường ngoài, phần tử lại chấm trắng Dễ thấy Ti xác số chấm trắng "nhìn thấy" phần tử xπ(i) , chấm đen coi không suốt Chúng ta tìm kỳ vọng Ti Ý tưởng để cách làm thuật toán chạy ngược trở lại, xem phim quay ngược Tưởng tượng ta xét số i thứ tự nhỏ dần n, n − 1, , 1, thấy tương ứng với hình ảnh với chấm đen chấm trắng Ban đầu, tất chấm đen Hoán vị ngẫu nhiên π chưa xác định, xác định việc chọn ngẫu nhiên trình làm Đầu tiên chọn ngẫu nhiên chấm đen làm cho thành chấm trắng Các số chấm nhỏ trở thành π(n) Sau đó, ta chọn ngẫu nhiên chấm đen tiếp làm cho thành chấm trắng, ta xác định π(n − 1), tiếp tục vậy; cách tạo hoán vị ngẫu nhiên hình Tại thời điểm với i chấm đen lại, ta chọn số chúng cách ngẫu nhiên, tương ứng xπ(i) Số lượng Ti số chấm trắng nhìn thấy xπ(i) thời điểm Để ước lượng giá trị kỳ vọng Ti sử phương pháp lặp Với n − i chấm trắng thấy không chấm đen Vì tổng số cặp (chấm trắng, chấm đen) mà có phần tử giao không 2(n − i) Về giá trị trung bình, số i chấm đen thấy không 48 2(n−i) i chấm Khóa luận tốt nghiệp Đại học trắng, E[Ti ] ≤ Nguyễn Thị Hường 2(n−i) i E[T ] = Khi đó, T (π) = Σni=1 Ti (π), ta có n ∑ E[Ti ] ≤ i=1 = 2n n ∑ i=1 i n ∑ 2(n − i) i=1 i − 2n ≤ 2n ln n 49 Kết luận Khóa luận trình bày lại số kết phương pháp xác suất, ứng dụng để giải toán tổ hợp Khóa luận kết Việc trình bày khóa luận dựa chương 10 sách Invitation to Discrete Mathematics Jiri Matousek Jaroslav Nesetril Do kiến thức hạn hẹp, thực tập chuyên nghành khó tránh khỏi sai sót, em mong nhận đóng góp tận tình thầy, cô bạn đọc để thực tập chuyên nghành em hoàn chỉnh 50 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Đặng Hùng Thắng (2005), Mở đầu lí thuyết xác suất ứng dụng, NXB Giáo dục Việt Nam [2] Ngô Đắc Tân (2004), Lý thuyết tổ hợp đồ thị, Bộ sách toán cao cấp-Viện Toán học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tô Thành (2009), Toán rời rạc, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [4] Jiri Matousek Jaroslav Nesetril (2008), Invitation to Discrete Mathematics, 2nd edition, Oxford University Press 51 ... gỡ v núchỳng ta ch bit rng nú tn ti Trong Vớ d 1.1, chỳng ta thy mt vi cỏch sp th t ca cỏc quõn bi khụng c cp ti, nhng chỳng ta khụng k bt k trng hp no c th Trong chng minh ca Mnh 1.1, chỳng... khoa hc xó hi, vớ d nh cỏc mụ hỡnh dch bnh Trong nh ngha 2.4, ta gi s rng tt c cỏc th u cú cựng xỏc sut, hay núi cỏch khỏc, xỏc sut mt cnh l 12 Trong mt s v ng dng thỳ v, xỏc sut cnh thng... chng trỡnh mỏy tớnh mt s ngụn ng lp trỡnh c nh hoc bng mch tớch hp bao gm hp ca mt s thnh phn Trong mi trng hp nh vy, chng minh ging trờn chỳng ta thy tn ti cỏc hm ca bin s n khụng c nh ngha