ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC THÂN THẾLUÂN PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNGTRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨCTRUNG BÌNH CỘNG -TRUNG BÌNH NHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC(BỘMÔN TOÁN) Mã số: 60 14 01 11 Hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn HÀ NỘI –2016 iiMỤC LỤC Lời cảm ơn .i Mục lục .ii Danh mục bảng v Mở đầu 51 Lý chọn đề tài 52 Mục đích nghiên cứu .73 Nhiệm vụ nghiên cứu 74 Giả thuyết nghiên cứu 75 Phƣơng pháp nghiên cứu 86 Phạm vi nghiên cứu .87 Cấu trúc luận văn Chương Cơ sở lý luận thực tiễn .9 1.1 Tƣ 1.2 Tƣ sáng tạo 10 1.2.1 Khái niệm sáng tạo 10 1.2.2 Đặc trưng tư sáng tạo .12 1.3 Dạy học Bất đẳng thức chƣơng trình phổ thông 15 1.3.1 Chương trình sách giáo khoa 15 1.3.2 Thực trạng việc học Bất đẳng thức trường Trung học phổ thông .15 1.3.3 Một số nhận xét giáo viên dạy học chủ đề bất đẳng thức trung bình cộng –trung bình nhân 16 1.4 Một số biện pháp phát triển tƣ sáng tạo cho học sinh 17 1.4.1 Chú trọng bồi dưỡng thao tác trang bị cho học sinh tri thức phương pháp hoạt động nhận thức .17 1.4.2 Bồi dưỡng yếu tố cụ thể tư sáng tạo cho học sinh 18 1.4.3 Rèn luyện bồi dưỡng lực phát vấn đề cho học sinh 18 1.4.4 Phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh trình lâu dài cần tiến hành tất khâu trình dạy học 20 Kết luận chƣơng 21 Chương 2Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chủ đề bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân 22 2.1 Bất đẳng thức trung bình cộng –trung bình nhân 22 2.2 Một số kĩ thuật thƣờng sử dụng .23 2.2.1 Kĩ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức AM-GM 23 2.2.2 Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng .29 iii2.2.3 Kỹ thuật nhân thêmhằng số đánh giá trung bình nhân sang trung bình cộng .31 2.2.4 Kỹ thuật ghép đối xứng .Error! Bookmark not defined 2.2.5 Kỹ thuật ghép cặp nghịchđảo .Error! Bookmark not defined 2.2.6 Kĩ thuật đổi biến số .Error! Bookmark not defined 2.2.7 Kĩ thuật Cauchy ngược dấu .Error! Bookmark not defined 2.3 Phát triển tƣ sáng tạo học sinh thông qua việc rèn luyện thao tác tƣ Error! Bookmark not defined 2.4 Phát triển tƣ sáng tạo cho học sinh thông qua việc phát triển yếu tố tƣ sáng tạo Error! Bookmark not defined 2.4.1 Phát triển tính mềm dẻo thông qua việc giải bất đẳng thức Error! Bookmark not defined 2.4.2 Phát triển tính nhuần nhuyễn thông qua việc giải bất đẳng thức .Error! Bookmark not defined 2.4.3 Phát triển tính độc đáo thông qua việc giải bất đẳng thức Error! Bookmark not defined 2.4.4 Phát triển tính trau chuốt thông qua việc giải bất đẳng thức.Error! Bookmark not defined 2.5 Phát triển tƣ sáng tạo học sinh thông qua việc vận dụng bất đẳng thức AM-GM để giải toán khácError! Bookmark not defined 2.5.1 Ứng dụng bất đẳng thức trung bình cộng –trung bình nhânđể giải phương trình Error! Bookmark not defined 2.5.2 Ứng dụng bất đẳng thức trung bình cộng –trung bình nhânđể giải hệ phương trình .Error! Bookmark not defined Kết luận chƣơng .Error! Bookmark not defined Chương Thực nghiệm sư phạm Error! Bookmark not defined 3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệmError! Bookmark not defined 3.2 Tổ chức nội dung thực nghiệm Error! Bookmark not defined 3.4 Đánh giá thực nghiệm Error! Bookmark not defined 3.5 Kết luận chung thực nghiệm sƣ phạmError! Bookmarknot defined Kết luận chƣơng .Error! Bookmark not defined Kết luận kiến nghị .Error! Bookmark not defined.Tài liệu tham khảo .33 ivDANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 3.1 Kết kiểm tra sau thực nghiệm Error! Bookmark not defined Bảng 3.2 Xử lí số liệu .Error! Bookmark not defined Bảng 3.3 Tỉ lệ kiểm tra .Error! Bookmark not defined Biểu đồ 3.1 Biểu đồ kết tỉ lệ kiểm tra Error! Bookmark not defined MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Chúng ta sống làm việc kỷ XXI, với phát triển vũ bão khoa học công nghệ Có thành tựu đó, phấn đấu học hỏi không ngừng cá thể với lãnh đạo, quản lý định hướng đắn cấp lãnh đạo Tri thức thành tố quan trọng định nề kinh tế đất nước Con người yếu tố trung tâm xã hội tri thức, chủ thể kiến tạo không ngừng Giáo dục đóng vai trò thên chốt việc đào tạo người vàsự pháttriển xã hội Trong hiến pháp nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam khẳng định: “Giáo dục quốc sách hàng đầu”.Bất đẳng thứctrong kì thi tuyểnsinh vào lớp 10, tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, chọn Học sinh giỏiTỉnh, Học sinh giỏiQuốc gia, Học sinh giỏikhu vực Quốc tế coi “điểm nóng”, thường trở thành đề tài giành nhiều lời giải thảo luận nhiều diễn đàn tạp chí Toán học.Bất đẳng thức trung bình cộngtrung bình nhân (Arithmetic Means-GeometricMeans(AM-GM)), phần kiến thức quan trọng thiếu nhiều toán đại số bất đẳng thức Nó thực công cụhiệu có ứng dụng rộng rãi giải toán, phương pháp chuẩn mực ta gặp phải bất đẳng thứcthông thường.Các tài liệu viết Bất đẳng thứchiện nhiều, nhiên số chuyên đề viết riêng việc vận dụng đạo hàmvào chứng minh bất đẳng thứcvà giải toán tìm giá trị lớn giá trị nhỏ có tính hệ thốngvà tính phân loại tínhsát thực phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏivà ôn luyện cho học sinh thi Đại học cao đẳng cần thiết Do chọn chuyên đề nhằm phần đáp ứng yêu cầu góp phần nâng cao 66chất lượng bồi dưỡng Học sinh giỏicủa tỉnh nhà.Hiênnayvấnđề“Rènluyệnvàpháttriểnnănglựctưduysángtạo”đanglàmộtlĩnh vực nghiêncứumớimevàmangtínhthựctiễncao Nó nhằm tìm phương án, biện pháp thích hợp để kích hoạt khả sáng tạo để rèn luyện, tăng cường khả tư cá nhân hay tập thể cộng đồng làm việc chung vấn đề hay lĩnh vực Do đó, yêu cầu cấp thiết đặt hoạt động giáo dục phổ thông phải đổi phương pháp dạy học, đổi phương pháp dạy học Toán vấn đề quan tâm nhiều Sư phạm học đại đề cao nguyên lý học công việccủa cá thể, thực chất trình tiếp nhận tri thức phải trình tư bên thân chủ thể Vì nhiệm vụ người giáo viên mở rộng trí tuệ, hình thành lực, kỹ cho học sinh làm đầy trí tuệ em cách truyền thụ tri thức có Việc mở rộng trí tuệ đòi hỏi giáo viên phải biết cách dạy cho học sinh tự suy nghĩ, phát huy hết khả năng, lực thân để giải vấn đề mà học sinh gặp phải trình học tập sống Hơn thời đại bùng nổ công nghệ thông tin theo hướng ngày đại hóa, người ngày sử dụng nhiều phương tiện khoa học kĩ thuật đại lực suy luận, tư sáng tạo giải vấn đề trở nên khẩn thiết trước Không có nhà giáo dục lại từ chối việc dạy cho học sinh tư Nhưng làm để đạt điều đó? Do vậy, rèn luyện phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh mục tiêu mà nhà giáo dục phải lưu tâm hướngđến Bên cạnh đó, thực tiễn cho thấy trình học Toán, nhiều học sinh bộc lộ yếu kém, hạn chế lực tư sáng tạo: Nhìn đối tượng toán học cách rời rạc, chưa thấy mối liên hệ yếu tố toán học, không linh hoạt điều chỉnh hướng suy nghĩ gặp trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập khuôn, áp dụng cách máy móc kinh nghiệm có vào hoàn cảnh mới, điều kiện chứa đựng yếu tố thay 77đổi, học sinh chưa có tính độc đáo tìm lời giải toán Từ dẫn đến hệ nhiều học sinh gặp khó khăn giải toán, đặc biệt toán đòi hỏi phải có sáng tạo lời giải tập bất đẳng thức Do vậy, việc rèn luyện phát triển lực tư cho học sinh nói chung lực tư sáng tạo cho học sinh phổ thông qua dạy học toán nói riêng yêu cầu cấp bách.Từ trước đến có nhiều tác giả nước quan tâm đến vấn đề bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh Nhà toán học tiếng Polya sâu nghiên cứu chất trình giải toán, trình sáng tạo toán học cho mắt tác phẩm Sáng tạo toán học Vì vậy, chọn đề tài nghiên cứu luận văn là“Phát triển tư sáng tạo cho học sinh Trung học phổ thông dạy học bất đẳngthức trung bình cộng –trung bình nhân”.2 Mục đíchnghiên cứu Đề xuất phương án dạy học bất đẳng thức trung bình cộng –trung bình nhântheo định hướng sáng tạo nhằm bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh, nâng cao hiệu trình dạy học.3Nhiệm vụ nghiên cứu -Làm rõ sở lí luận tư duy, tư sáng tạo rèn tư duy.-Nghiên cứu nội dung dạy học vềchủ đề bất đẳng thức trung bình cộng –trung bình nhân.-Đề xuất biện pháp dạy học giải tập bất đẳng thức theo định hướngbồi dưỡng tư duysáng tạocho học sinh.-Thực nghiệm sư phạm để tìm hiểu khó khăn giáo viên học sinh dạy học giải tập bất đẳng thức, kiểm chứng giả thuyết khoa học dạy học giải tập toán bất đẳng thức theo định hướng sáng tạo trường Trung học phổ thông.4Giả thuyết nghiên cứu 88Khi tổ chức hoạt động dạy hoạt động học bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân cho học sinh Trung học phổ thông theo định hướng sáng tạo luận văn rèn luyện tính sáng tạo học sinh, qua nâng cao chất lượng dạy học trường Trung học phổ thông.5 Phƣơng pháp nghiên cứu 5.1 Nghiên cứu lí luậnNghiên cứu tài liệu líluận tư duy, tư sáng tạo tưduy toán học Nghiên cứu sách giáo khoa, sách giáo viên, sách nâng cao, sách chuẩn kiến thức cóliên quan đến bất đẳng thức trung bình cộng –trung bình nhân.5.2 Nghiên cứu thực tiễnDự giờ, tổng kết, rút kinh nghiệm dạy theo chủ đề này.Phỏng vấn, điều tra ý kiến học sinh, giáo viên việc dạy học phần này.5.3 Thực nghiệm sư phạmTiến hành thực nghiệm sư phạm vớicác lớp 10trường Trung học phổ thông Lạng Giang số 3-Bắc Giang.6 Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tập bất đẳng thứctrung bình cộng –trung bình nhântrong chương trìnhtoán Trung học phổ thôngvà dạng toán nâng cao.7Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chươngChương 1Cơ sở lí luận thực tiễn.Chương 2Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chủ đề bất đẳng thức trung bình cộng –trung bình nhân.Chương 3Thực nghiệm sư phạm MỞ ĐẦU1 Lý chọn đề tài Chúng ta sống làm việc kỷ XXI, với phát triển vũ bão khoa học công nghệ Có thành tựu đó, phấn đấu học hỏi không ngừng cá thể với lãnh đạo, quản lý định hướng đắn cấp lãnh đạo Tri thức thành tố quan trọng định nề kinh tế đất nước Con người yếu tố trung tâm xã hội tri thức, chủ thể kiến tạo không ngừng Giáo dục đóng vai trò thên chốt việc đào tạo người vàsự pháttriển xã hội Trong hiến pháp nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam khẳng định: “Giáo dục quốc sách hàng đầu”.Bất đẳng thứctrong kì thi tuyểnsinh vào lớp 10, tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, chọn Học sinh giỏiTỉnh, Học sinh giỏiQuốc gia, Học sinh giỏikhu vực Quốc tế coi “điểm nóng”, thường trở thành đề tài giành nhiều lời giải thảo luận nhiều diễn đàn tạp chí Toán học.Bất đẳng thức trung bình cộng-trung bình nhân (Arithmetic Means-GeometricMeans(AMGM)), phần kiến thức quan trọng thiếu nhiều toán đại số bất đẳng thức Nó thực công cụhiệu có ứng dụng rộng rãi giải toán, phương pháp chuẩn mực ta gặp phải bất đẳng thứcthông thường.Các tài liệu viết Bất đẳng thứchiện nhiều, nhiên số chuyên đề viết riêng việc vận dụng đạo hàmvào chứng minh bất đẳng thứcvà giải toán tìm giá trị lớn giá trị nhỏ có tính hệ thốngvà tính phân loại tínhsát thực phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏivà ôn luyện cho học sinh thi Đại học cao đẳng cần thiết Do chọn chuyên đề nhằm phần đáp ứng yêu cầu góp phần nâng cao 66chất lượng bồi dưỡng Học sinh giỏicủa tỉnh nhà.Hiênnayvấnđề“Rènluyệnvàpháttriểnnănglựctưduysángtạo”đanglàmộtlĩnh vực nghiêncứumớimevàmangtínhthựctiễncao Nó nhằm tìm phương án, biện pháp thích hợp để kích hoạt khả sáng tạo để rèn luyện, tăng cường khả tư cá nhân hay tập thể cộng đồng làm việc chung vấn đề hay lĩnh vực Do đó, yêu cầu cấp thiết đặt hoạt động giáo dục phổ thông phải đổi phương pháp dạy học, đổi phương pháp dạy học Toán vấn đề quan tâm nhiều Sư phạm học đại đề cao nguyên lý học công việccủa cá thể, thực chất trình tiếp nhận tri thức phải trình tư bên thân chủ thể Vì nhiệm vụ người giáo viên mở rộng trí tuệ, hình thành lực, kỹ cho học sinh làm đầy trí tuệ em cách truyền thụ tri thức có Việc mở rộng trí tuệ đòi hỏi giáo viên phải biết cách dạy cho học sinh tự suy nghĩ, phát huy hết khả năng, lực thân để giải vấn đề mà học sinh gặp phải trình học tập sống Hơn thời đại bùng nổ công nghệ thông tin theo hướng ngày đại hóa, người ngày sử dụng nhiều phương tiện khoa học kĩ thuật đại lực suy luận, tư sáng tạo giải vấn đề trở nên khẩn thiết trước Không có nhà giáo dục lại từ chối việc dạy cho học sinh tư Nhưng làm để đạt điều đó? Do vậy, rèn luyện phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh mục tiêu mà nhà giáo dục phải lưu tâm hướngđến Bên cạnh đó, thực tiễn cho thấy trình học Toán, nhiều học sinh bộc lộ yếu kém, hạn chế lực tư sáng tạo: Nhìn đối tượng toán học cách rời rạc, chưa thấy mối liên hệ yếu tố toán học, không linh hoạt điều chỉnh hướng suy nghĩ gặp trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập khuôn, áp dụng cách máy móc kinh nghiệm có vào hoàn cảnh mới, điều kiện chứa đựng yếu tố thay 77đổi, học sinh chưa có tính độc đáo tìm lời giải toán Từ dẫn đến hệ nhiều học sinh gặp khó khăn giải toán, đặc biệt toán đòi hỏi phải có sáng tạo lời giải tập bất đẳng thức Do vậy, việc rèn luyện phát triển lực tư cho học sinh nói chung lực tư sáng tạo cho học sinh phổ thông qua dạy học toán nói riêng yêu cầu cấp bách.Từ trước đến có nhiều tác giả nước quan tâm đến vấn đề bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh Nhà toán học tiếng Polya sâu nghiên cứu chất trình giải toán, trình sáng tạo toán học cho mắt tác phẩm Sáng tạo toán học Vì vậy, chọn đề tài nghiên cứu luận văn là“Phát triển tư sáng tạo cho học sinh Trung học phổ thông dạy học bất đẳngthức trung bình cộng –trung bình nhân”.2 Mục đíchnghiên cứu Đề xuất phương án dạy học bất đẳng thức trung bình cộng –trung bình nhântheo định hướng sáng tạo nhằm bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh, nâng cao hiệu trình dạy học.3Nhiệm vụ nghiên cứu -Làm rõ sở lí luận tư duy, tư sáng tạo rèn tư duy.-Nghiên cứu nội dung dạy học vềchủ đề bất đẳng thức trung bình cộng –trung bình nhân.-Đề xuất biện pháp dạy học giải tập bất đẳng thức theo định hướngbồi dưỡng tư duysáng tạocho học sinh.-Thực nghiệm sư phạm để tìm hiểu khó khăn giáo viên học sinh dạy học giải tập bất đẳng thức, kiểm chứng giả thuyết khoa học dạy học giải tập toán bất đẳng thức theo định hướng sáng tạo trường Trung học phổ thông.4Giả thuyết nghiên cứu 88Khi tổ chức hoạt động dạy hoạt động học bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân cho học sinh Trung học phổ thông theo định hướng sáng tạo luận văn rèn luyện tính sáng tạo học sinh, qua nâng cao chất lượng dạy học trường Trung học phổ thông.5 Phƣơng pháp nghiên cứu 5.1 Nghiên cứu lí luậnNghiên cứu tài liệu líluận tư duy, tư sáng tạo tưduy toán học Nghiên cứu sách giáo khoa, sách giáo viên, sách nâng cao, sách chuẩn kiến thức cóliên quan đến bất đẳng thức trung bình cộng –trung bình nhân.5.2 Nghiên cứu thực tiễnDự giờ, tổng kết, rút kinh nghiệm dạy theo chủ đề này.Phỏng vấn, điều tra ý kiến học sinh, giáo viên việc dạy học phần này.5.3 Thực nghiệm sư phạmTiến hành thực nghiệm sư phạm vớicác lớp 10trường Trung học phổ thông Lạng Giang số 3-Bắc Giang.6 Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tập bất đẳng thứctrung bình cộng –trung bình nhântrong chương trìnhtoán Trung học phổ thôngvà dạng toán nâng cao.7Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chươngChương 1Cơ sở lí luận thực tiễn.Chương 2Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chủ đề bất đẳng thức trung bình cộng –trung bình nhân.Chương 3Thực nghiệm sư phạm 99Chƣơng 1CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN1.1 Tƣ Tư trình tâm lý phản ánh thuộc tính, chất mối liên hệ quan hệ bên cótính quy luậtcủa vật tượngtrong thực khách quan mà trướcđó ta chưa biết [29]Theo từ điển triết học“Tư duy, sản phẩm cao vật chất tổ chức cách đặc biệt não, trình phản ánh tích cực giới khách quan khái niệm, phán đoán, lý luận Tư xuất trình hoạt động sản xuất xã hội người đảm bảo phản ánh thực cách gián tiếp, phát mối liên hệ hợp quy luật Tư tồn mối liên hệ tách rời khỏi hoạt động lao động lời nói, hoạt động tiêu biểu cho xã hội loài người tư người thực mối liên hệ chặt chẽ với lời nói kết tư ghi nhận ngôn ngữ Tiêu biểu cho tư trình trừu tượng hoá, phân tích tổng hợp, việc nêu lên vấn đề định tìm cách giải chúng, việc đề xuất giả thiết, ý niệm Kết cuối tư ý nghĩ đó”.Từ rút đặc điểmcủa tư duy.-Tư sản phẩm não người trình phản ánh tích cực giới khách quan.-Kết trình tư ý nghĩ thể qua ngôn ngữ.-Bản chất tư phân biệt, tồn độc lập đối tượng đuợc phản ánh với hình ảnh nhận thức qua khả hoạt động người nhằm phản ánh đối tượng.-Tư trình phát triển động sáng tạo.-Khách thể tư phản ánh với nhiều góc độ khác từ thuộc 1010tính đến thuộc tính khác, phụ thuộc vào chủ thể người.Tư hình thức nhận thức lí tính người Về mặt tâm lí tư trình tâm lí phản ánh thuộc tính chất, mối liên hệ quan hệ bên có tính chất quy luật vật tượng thực khác quan mà trước người chưa biết.1.2 Tƣ sáng tạo 1.2.1Khái niệm sáng tạoCác nhà nghiên cứu đưa nhiều quan điểm khác tư sáng tạo Theo tác giả [12]“Tính linh hoạt, tính độc lập, tính phê phán điều kiện cần thiết tư sáng tạo, đặc điểm mặt khác sáng tạo tư sáng tạo Tính sáng tạo tưduy thể rõ nét khả tạo mới, phát vấn đề mới, tìm hướng mới, tạo kết Nhấn mạnh nghĩa coi nhẹ cũ” Tư sáng tạo dạng tư độc lập, tạo ý tưởng độc đáo có hiệu giải vấn đề cao Ý tưởng thề chỗ phát vấn đề mới, tìm hướng mới, tạo kết Tính độc đáo ý tưởng thể giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc nhất.Tùy theo mức độ tư duy, người ta chia thành ba loại hình: Tư tích cực, tư độc lập, tư sáng tạo, mức độ tư trước tiền đề tạo nên mức độ tư sau.Có thể biểu thị mối quan hệ ba loại hình tư sau 1111Các nhà nghiên cứu đưa nhiều quan điểm khác tư sáng tạo Theo [20]“Tính linh hoạt, tính độc lập tính phê phán nhữngđiều kiện cần thiết cho tư sáng tạo, đặc điểm mặt khác của tư sáng tạo Tính sáng tạo tư thể rõ nét khả tạo mới, phát vấn đề mới, tìm hướng mới, tạo kết Nhấn mạnh mớikhông có nghĩa coi nhẹ cáicũ” Theo [10]Tư sáng tạo kiểu tư duy, đặc trưng sản sinh sản phẩm xác lập thành phần hoạt động nhận thức nhằm tạo Các thành phần có lên quan đến miền động cơ, mục đích, đánh giá, ý tưởng chủ thể sáng tạo.Tư sáng tạo phân biệt với áp dụng tri thức kỹ sẵn có.Tâm lý học người Đức Mehlhowcho “Tư sáng tạo hạt nhân sáng tạo cá nhân, đồng thời mục tiêu giáo dục” Theo ông, tư sáng tạo đặc trưng mức độ cao chất lượng, hoạt động trí tuệ tính mềm dẻo, tính nhạy cảm, tính kế hoạch, tính xác Trong đó, Tác giả [24]lại cho “Tư sáng tạo lực tìm thấy ý nghĩa mới, tìm thấy mối quan hệ, chức kiến thức, trí tưởng tượng đánh giá, trình, cách dạy học bao gồm chuỗi phiêu lưu, chứa đựng điều như: khám phá, phát sinh, đổi mới, trí tưởng tượng, thí nghiệm, thám hiểm”.Trong cuốn“Sáng tạo Toán học”, G.Polya[26] cho rằng: “Một tư gọi có hiệu tư dẫn đến lời giải toán cụ thể Có thể coi sáng tạo tư tạo tư liệu, phương tiện giải toán sau Các toán vận dụng tư liệu phương tiện có số lượng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, mức độ sáng tạo tư cao, thí dụ: Lúc cố gắng người giải vạch phương thức giải áp dụng cho 1212những toán khác Việc làm người giải sáng tạo cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại toán không giải tốt gợi cho người khác suy nghĩ có hiệu quả”.Tác giả[11] Sáng tạo hoạt động tạo rabất gìcóđồng thời tính tính ích lợi(trong phạm vi áp dụng cụ thể).Bất gì: lĩnh vực giới vật chất tinh thần.-Tính mới: khác biệt đối tượng cho trước so với đối tượng loại đời trước mặt thời gian.-Tính ích lợi: tăng suất, tăng hiệu quả, tiết kiệm, giảm giá thành, thuận tiện sử dụng, thân thiện với môi trường , tính ích lợi mang đến cho thân, cho gia đình, cho cộng đồng, cho nhân loại.-Phạm vi áp dụng: không gian, thời gian, hoàn cảnh , điều kiện cụ thể, vượt biến lợi thành hại.Như vậy,để biếtbất gìcó sáng tạo hay không, bạn phải so sánh với trước nó, thay đổi nghĩa nómới hơnso với cũ đồng thời mang lạitính ích lợicho bạn, cho cộng đồng hay cho nhân loại trongphạm vị áp dụng cụ thểthìbất đóđã sáng tạo.Như có nhiều cách định nghĩa khác về tư sáng tạo, có điểm chung cốt lõi là: Tư sáng tạo dạng tư cá nhân, phân biệt khác với tư tái tạo chất, tư sáng tạo mẻ tư (đồng thời điểm phân biệt tư sáng tạo với tư tái tạo) Sự khác biệt tư sáng tạo với tư duytái tạo sản sinh mới.1.2.2 Đặc trưngcủa tư sáng tạoa)Tính mềm dẻo 1313Là lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự hệ thống tri thức, chuyển từ góc độ quan niệm sang góc độ quan niệm khác, định nghĩa lại vật tượng,xây dựng phương pháp tư mới, tạo vật mối quan hệ chuyển đổi quan hệ, nhận chất vật nhiều phán đoán Tính mềm dẻo tư làm thay đổi cách dễ dàng thái độ cố hữu hoạt động trí tuệ người.Tính mềm dẻo tư có đặc trưng bật sau:-Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ sang hoạt động trí tuệ khác, vận dụng linh hoạt hoạtđộng phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá phương pháp suy luận như: quy nạp, suy diễn tương tự Dễ dàng chuyển từ giải pháp sang giải pháp khác Điều chỉnh kịp thời hướng suynghĩ gặp trở ngại -Suy nghĩ không dập khuôn, không máy móc áp dụng kinh nghiệm,kiến thức, kỹ có vào hoàn cảnh mới,điều kiện có yếutố thay đổi Có khả thoát khỏi ảnh hưởng kinhnghiệm, phương pháp, cách nghĩ có từ trước.-Nhận vấn đề điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức đối tượng quen biết.b)Tính nhuần nhuyễnĐó lực tạo cách nhanh chóng tổ hợp yếu tố riêng lẻ tình hoàn cảnh, đưa giả thuyết ý tưởng Là khả tìm nhiều giải pháp nhiều góc độ tình khác Tính nhuần nhuyễn đặc trưng khả tạo số lượng định ý tưởng Số ý tưởng nhiều có nhiều khả xuất ý tưởng độc đáo Trong trường hợp nói số lượng làm nảy sinh chất lượng.Tính nhuần nhuyễn có đặc trưng sau:-Tính đa dạng cách sử lý giải toán, khả tìm nhiều giải 1414pháp nhiều góc độ tình khác Đứng trước vấn đề cần giải quyết, người có tư nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm đề xuất nhiều phương án khác từ tìm phương án tối ưu.-Khả xem xét đối tượng nhiều khía cạnh khác nhau, có nhìn sinh động từ nhiều phía vật tượng nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc.c)Tính độc đáoLà khả tìm kiếm giải phương thức lạ Các đặc trưng tính độc đáo:-Khả tìm liên tưởng kết hợp mới.-Khả tìm mối quan hệ bên kiện bên tưởng mối liên hệ với nhau.-Khả tìm giải pháp lạ biết giải pháp khác.d)Tính hoàn thiệnLà khả lập kế hoạch, phối hợp ý nghĩ hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra chứng minh ý tưởng.e)Tính nhạy cảm vấn đề Là lực nhanh chóng phát vấn đề, mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu, từ đưa đề xuất hướng giải quyết, tạo mới.Ngoài tư sáng tạo có yếu tố quan trọng khác như: Tính xác, lực định giá trị, lực định nghĩa lại, khả phán đoán.Các yếu tố nói không tách rời mà trái lại chúng có quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho Khả dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo)tạo điều kiện cho việc tìm nhiều giải pháp nhiều góc độ tình khác (tính nhuần nhuyễn) nhờ đề xuất nhiều phương án khác mà tìm phương án lạ, đặc sắc 1515(tính độc đáo) Các yếu tố lại có mối quan hệ khăng khít với yếu tố khác như: Tính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề Tất yếu tố đặc trưng nói góp phần tạo nên tư sáng tạo, đỉnh cao hoạt động trí tuệ người.1.3 Dạy học Bất đẳng thức chƣơng trình phổ thông1.3.1 Chương trình sách giáo khoa Sách chỉnh lí hợp năm 2000,nội dung bất đẳng thức dạy tiết gồm tiết lí thuyết tiết tập.Bài tập sách gồm có bài, tập ứng dụng vào thực tiễn Bài tập làm thêm gồm 14,15,16,17trang 42 sách tập.Sách giáo khoa nâng cao năm 2007, nội dung bất đẳng thức dạy tiết gồm tiết lí thuyết tiết tập.Bài tập sách gồm có 20 tập thức 10 tập làm thêm.Bài tập có tính ứng dụng vào thực tiễn nhiều.Sách giáokhoa năm 2007 có nhiều ví dụ hơn, trình bày dễ hiểu nhằm khuyến khích học sinh tự học, nhiên có vất vả hơn.1.3.2Thực trạng việc học Bất đẳng thức trường Trung học phổ thông-Trong chương trình toán Trung học phổ thông, bất đẳng thức chuyên đề khó Tuy nhiên nội dung đưa vào giảng dạy bản, học sinh tiếp cận với khái niệm bất đẳng thức tính chất bất đẳng thức Ngoài học sinh giới thiệu thêm bất đẳng thức AM-GM bất đẳng thức Cauchy –Schwarz Với lí thuyết học sinh lớp 10 khó vận dụng linh hoạt để giải toán bất đẳng thức -Để tìm hiểu cụ thể thực trạng việc học bất đẳng thức họcsinh trường Trung học phổ thông, trình giảng dạy sử dụng phương pháp điều tra phiếu để biết thuận lợi khó khăn từ phía học sinh từ 1616điều chỉnh phương pháp cho phù hợp với đối tượng -Theo sách giáo khoa đưa vào sử dụng năm 2007 theo chương trình cải cách giáo dục, phần bất đẳng thức đưa vào chương IV Đại số lớp 10 Đây phần kiến thức khó học sinh thường xuất đề thi tuyển sinh chọn học sinh giỏi Chính mà dạy nội dungnày trở nên khó khăn số nội dung khác, người giáo viên cần cố gắng giúp học sinh tìm hướng giải toán cách đơn giản nhất, giúp học sinh hứng thúvà chủ động học tập.-Để tìm hiểu rõ thực trạng dạy học bất đẳng thức trường Trung học phổ thông Tôi tiến hành quan sát, dự lấy ý kiến đồng nghiệp, sau điều tra phân tích thu kết thực tế nhiều học sinh cho bất đẳng thức chủ đề khó, đặc biệt việc áp dụng giải toán.1.3.3Một số nhận xét củagiáo viên dạy học chủ đề bất đẳng thức trung bình cộng –trung bình nhânNhìn chung bất đẳng thức phần khó học sinh.Thời gian dành cho việc luyện tập bất đẳng thức Đối với lớp học sinh đại trà, sức học yếu có giáo viên dạy cho có không hy vọng học sinh làm loại này.Bất đẳng thức dạy cho họcsinh từ lớp Trung học sở, dạy tập chung ởchươngtrình đại số lớp 10 Trung học phổ thông.Các tập sách giáo khoa nhằm mục đích giới thiệu số dạng toán điển hình việc chứng minh bất đẳng thức tập dạng gây khó khăn cho học sinh làm bài.Phần tập, học sinh chuẩn bị nhà chuẩn bị phút trước lên lớp sau giáo viên gọi học sinh lên chữa bài.Như mô hình chung giáo viên bỏ qua lớp học sinh có lực học trung bình 1717và yếu Do học sinh yếu ngày sợ học hơn, ngày bị bỏ rơi.Một số toán phát triển theo hướng khái quát hoá đặc biệt hoá cho đối tượng học sinh học sinh giỏi.Việc rèn luyện tư lôgic cho học sinh chưa đầy đủ, thường thầy cô ý đến việc rèn luyện khả suy diễn, chưa ý đến khả quy nạp cho học sinh.Thời gian không cho phép dạy học toán nói chung dạy học bất đẳng thức nói riêng cách tổ chức tình có vấn đề đòi hỏi có dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận ý kiến trái ngược hay tình có chứa số điều kiện xuất phát yêu cầu học sinh đề xuất giải pháp.Hình thức học nói chung chưa đa dạng, phong phú, cách truyền đạt đôi lúc chưa hút học sinh vào học Học sinh tiếp nhận kiến thức thụ động.Vai trò giáo viên chủ yếu thông báo kiến thức, cao dạy cách chứng minh, cách phán đoán số kĩ định chưa làm vai trò người khơi nguồn sáng tạo, kích thích học sinh tìm tòi.Thuận lợi cho việc dạy học bất đẳng thức chỗ toán có mặt rấtthường xuyên đề thi đại học phần lớn học sinh muốn tìm hiểu nắm kiến thức bất đẳng thức.1.4 Một số biện pháp phát triển tƣ sáng tạo cho học sinh1.4.1 Chú trọng bồi dưỡng thao tác trang bị cho học sinh trithức phương pháp hoạt động nhận thứcQuan điểm cho để phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh, giáo viên cần dạy cho học sinh thành thạo tư duy,phân tích, tổng hợp, so sánh, quy nạp, tương tự, trừu tượng hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa, Trong phân tích tổng hợp đóng vai trò trọng tâm Quan điểm rõ trình dạy học giáo viên phải cung cấp cho học sinh tri thức phương pháp để học sinh tìm tòi, tự phát phát biểu vấn đề, dự đoán kết quả, tìm hướng giải toán, hướng chứng minh định lý, giúp học sinh hiểu sâu sắc khái niệm mệnh đề, ý nghĩa nội dung công thức, chứng minh, từ mà nhớ lâu công thức toán học quên tìm lại được.1.4.2 Bồi dưỡng yếu tố cụ thể tư sáng tạo cho học sinhCác nhà nghiên cứu đưa nhiều yếu tố đặc trưng cho tư sáng tạo cho học sinh Đối với học sinh yếu tố tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn tính nhậy cảm vấn đề Trên sở để phát triển tư sáng tạo cho học sinh trình dạy học, giáo viên cần ý bồi dưỡng yếu tố tư sáng tạo Có thể khai thác nội dung giảng dạy, đề xuất câu hỏi sư phạm nhằm giúp học sinh lật lật lại vấn đề theo khía cạnh khác để học sinh nắm thật vững chất khái niệm, mệnh đề, tránh lối học thuộc lòng máy móc lối vận dụng thiếu sáng tạo.Để phát triển tư sáng tạo cho học sinh, trình dạy học giáo viên cần sử dụng loại câu hỏi tập tác động đến yếu tố tư sáng tạo như: tập có cách giải riêng đơn giản áp dụng công thức tổng quát để khắc phục hành động máy móc, không thay đổi phù hợp với điều kiện mới; có nhiều lời giải khác đòi hỏi học sinh phải biết chuyển từ phương pháp sang phương pháp khác; tập có vấn đề thuận nghịch liền vớinhau, song song nhau, giúp cho việc hình thành liên tưởng ngược xảy đồng thời với việc hình thành liên tưởng thuận.1.4.3 Rèn luyện bồi dưỡng lực phát vấn đề cho học sinh Về giảng dạy lí thuyết, cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu giáo viên tạo tình gợi vấn đề để dẫn dắthọc sinh tìmtòi,khám phá kiến thức Nói cách khác vận dụng tối đa phương pháp dạy học giải 1919vấn đề qua lên lớp.Về thực hành giải toán, cần coi trọng tập chưa rõ điều phải chứng minh, tập mở, học sinh phải tự lập, tìm tòi để phát vấn đề giải vấn đề Cần hướng dẫn học sinh khai thác, khám phá kết từ toán giải 20201.4.4 Phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh trình lâu dài cần tiến hành tất khâucủa trình dạy họcPhát triển nănglực tư sáng tạo trình lâu dài, cần tiến hành thường xuyên hết tiết học sang tiết học khác, năm sang năm khác tất khâu trình dạy học,trong nội khóa hoạt động ngoại khóa Cần tạo điều kiện cho học sinh có dịp rèn luyện khả tư sáng tạo việc toán học hóa tình thực tế, việc viết báo toán với đề toán tương tự sáng tác, cách giải khai thác từ toán giải 2121Kết luận chƣơng 1Luận văn nêu khái niệm tư duy, tư sáng tạo Đưa thực trạng việc học bất đẳng thức trường Trung học phổ thông, từ luận văn đưa số biện pháp phát triển tư sáng tạo cho học sinh 2222Chƣơng RÈN LUYỆN TƢ DUY VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG BÌNH CỘNG TRUNG BÌNH NHÂN2.1Bất đẳng thức trung bình cộng –trung bình nhâna) Các đại lượng trung bình hai số không âmVới hai số không âm ,.abKí hiệu2abAlà trung bình cộng hai số ,.abG ablà trung bình nhân hai số ,.ab222abQlà trung bình toàn phương hai số ,.ab211Hablà trung bình điều hòa hai số dương ,.abTa có bất đẳng thức Q A G H  Chứng minh.Từ20abta suy 2abab,20a ab b  , 2ababhay AG(1)Từ 22 2 20 2a b a ab b a b ab        hay22222222a b a ba b a b    hay QA(2)Mặt khác 21 1 2011aba b a babab       2323hay.GH(3)Kết hợp (1), (2), (3) ta có Q A G H  Dấu “=” bất đẳng thức xảy ab-Mở rộng cho n số không âm 3, , , ,na a a ata có1 na a a aAn   là trung bình cộng n số 3, , , , na a a a1 nnG a a a alà trung bình nhân n số 3, , , , na a a a2 2 21 na a a aQn  là trung bình toàn phương n số1 3, , , , na a a a1 31 1 1nnHa a a a  là trung bình điều hòa n số dương 3, , , , na a a aTa có bất đẳng thức Q A G H  Dấu “=” xảy na a a a   Chú ý., , ,A G Q Htheo thứ tự viết tắt từ arithmetic mean(trung bình cộng), geometric mean(trung bình nhân), quadratic mean(trung bình toàn phương) harmonic mean(trung bình điều hòa).b) Bất đẳng thức trung bình cộng –trung bình nhân Cho nsố thực không âm 3, , , , , , 2na a a a n nta có1 3 nnna a a a n a a a a    Dấu “=” xảy na a a a   2.2Một số kĩ thuật thƣờng sử dụng2.2.1Kĩ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức AM-GMTrong kĩ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “=” bất đẳng thức AM-GMvà quy tắc tính đồng thời dấu “=”, quy tắc biên quy tắc đối xứng sử dụng để tìm điểm rơi biến.Ví dụ 2.2.1Cho 2.aTìm giá trị nhỏ nhấtcủa 24241.SaaSai lầm thường gặp.112 2.S a aaa   Dấu“=” xảy rakhi1aahay 1a, điều nàyvô lí giả thiết 2.aPhân tích Chọn điểm rơi, ta phải tách hạng tử a hạng tử 1ađểsao cho áp dụng bất đẳng thứcCauchy dấu“=” xảy 2.aCó hình thức tách sau1 1 1, ; , ; , ; , ; a a a a aa a a a a                     Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi 11;.aa1 1,.2aaHay212, suy ra4.Lời giải.Ta có1 3 3.2 5214 4 4 2a a a aSaa       .Dấu “=” xảy 2.aBình luận Ta sử dụng điều kiện dấu “=”và điểm rơi 2adựa quy tắc biên để tìm 4.Ởđây ta thấy tính đồng thời dấu“=” trongviệc áp dụng bất đẳng thức AM-GMcho số 1,4aavà34ađạt giá trị lớn 2,atức chúng có điểm rơi 2.aVí dụ 2.2.2 Cho 2.aTìmgiá trị nhỏ biểu thức21.SaaPhân tích.Sơ đồ chọn điểm rơi2a,ta có22 1,.4aaSuyra8.Sai lầm thường gặp phát biểu vấn đề, dự đoán kết quả, tìm hướng giải toán, hướng chứng minh định lý, giúp học sinh hiểu sâu sắc khái niệm mệnh đề, ý nghĩa nội dung công thức, chứng minh, từ mà nhớ lâu công thức toán học quên tìm lại được.1.4.2 Bồi dưỡng yếu tố cụ thể tư sáng tạo cho học sinhCác nhà nghiên cứu đưa nhiều yếu tố đặc trưng cho tư sáng tạo cho học sinh Đối với học sinh yếu tố tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn tính nhậy cảm vấn đề Trên sở để phát triển tư sáng tạo cho học sinh trình dạy học, giáo viên cần ý bồi dưỡng yếu tố tư sáng tạo Có thể khai thác nội dung giảng dạy, đề xuất câu hỏi sư phạm nhằm giúp học sinh lật lật lại vấn đề theo khía cạnh khác để học sinh nắm thật vững chất khái niệm, mệnh đề, tránh lối học thuộc lòng máy móc lối vận dụng thiếu sáng tạo.Để phát triển tư sáng tạo cho học sinh, trình dạy học giáo viên cần sử dụng loại câu hỏi tập tác động đến yếu tố tư sáng tạo như: tập có cách giải riêng đơn giản áp dụng công thức tổng quát để khắc phục hành động máy móc, không thay đổi phù hợp với điều kiện mới; có nhiều lời giải khác đòi hỏi học sinh phải biết chuyển từ phương pháp sang phương pháp khác; tập có vấn đề thuận nghịch liền vớinhau, song song nhau, giúp cho việc hình thành liên tưởng ngược xảy đồng thời với việc hình thành liên tưởng thuận.1.4.3 Rèn luyện bồi dưỡng lực phát vấn đề cho học sinh Về giảng dạy lí thuyết, cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu giáo viên tạo tình gợi vấn đề để dẫn dắthọc sinh tìmtòi,khám phá kiến thức Nói cách khác vận dụng tối đa phương pháp dạy học giải 1919vấn đề qua lên lớp.Về thực hành giải toán, cần coi trọng tập chưa rõ điều phải chứng minh, tập mở, học sinh phải tự lập, tìm tòi để phát vấn đề giải vấn đề Cần hướng dẫn học sinh khai thác, khám phá kết từ toán giải 20201.4.4 Phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh trình lâu dài cần tiến hành tất khâucủa trình dạy họcPhát triển nănglực tư sáng tạo trình lâu dài, cần tiến hành thường xuyên hết tiết học sang tiết học khác, năm sang năm khác tất khâu trình dạy học,trong nội khóa hoạt động ngoại khóa Cần tạo điều kiện cho học sinh có dịp rèn luyện khả tư sáng tạo việc toán học hóa tình thực tế, việc viết báo toán với đề toán tương tự sáng tác, cách giải khai thác từ toán giải 2121Kết luận chƣơng 1Luận văn nêu khái niệm tư duy, tư sáng tạo Đưa thực trạng việc học bất đẳng thức trường Trung học phổ thông, từ luận văn đưa số biện pháp phát triển tư sáng tạo cho học sinh 2222Chƣơng RÈN LUYỆN TƢ DUY VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG BÌNH CỘNG TRUNG BÌNH NHÂN2.1Bất đẳng thức trung bình cộng –trung bình nhâna) Các đại lượng trung bình hai số không âmVới hai số không âm ,.abKí hiệu2abAlà trung bình cộng hai số ,.abG ablà trung bình nhân hai số ,.ab222abQlà trung bình toàn phương hai số ,.ab211Hablà trung bình điều hòa hai số dương ,.abTa có bất đẳng thức Q A G H  Chứng minh.Từ20abta suy 2abab,20a ab b  , 2ababhay AG(1)Từ 22 2 20 2a b a ab b a b ab        hay22222222a b a ba b a b    hay QA(2)Mặt khác 21 1 2011aba b a babab       2323hay.GH(3)Kết hợp (1), (2), (3) ta có Q A G H  Dấu “=” bất đẳng thức xảy ab-Mở rộng cho n số không âm 3, , , ,na a a ata có1 na a a aAn   là trung bình cộng n số 3, , , , na a a a1 nnG a a a alà trung bình nhân n số 3, , , , na a a a2 2 21 na a a aQn  là trung bình toàn phương n số1 3, , , , na a a a1 31 1 1nnHa a a a  là trung bình điều hòa n số dương 3, , , , na a a aTa có bất đẳng thức Q A G H  Dấu “=” xảy na a a a   Chú ý., , ,A G Q Htheo thứ tự viết tắt từ arithmetic mean(trung bình cộng), geometric mean(trung bình nhân), quadratic mean(trung bình toàn phương) harmonic mean(trung bình điều hòa).b) Bất đẳng thức trung bình cộng –trung bình nhân Cho nsố thực không âm 3, , , , , , 2na a a a n nta có1 3 nnna a a a n a a a a    Dấu “=” xảy na a a a   2.2Một số kĩ thuật thƣờng sử dụng2.2.1Kĩ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức AM-GMTrong kĩ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “=” bất đẳng thức AM-GMvà quy tắc tính đồng thời dấu “=”, quy tắc biên quy tắc đối xứng sử dụng để tìm điểm rơi biến.Ví dụ 2.2.1Cho 2.aTìm giá trị nhỏ nhấtcủa 24241.SaaSai lầm thường gặp.112 2.S a aaa   Dấu“=” xảy rakhi1aahay 1a, điều nàyvô lí giả thiết 2.aPhân tích Chọn điểm rơi, ta phải tách hạng tử a hạng tử 1ađểsao cho áp dụng bất đẳng thứcCauchy dấu“=” xảy 2.aCó hình thức tách sau1 1 1, ; , ; , ; , ; a a a a aa a a a a                     Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi 11;.aa1 1,.2aaHay212, suy ra4.Lời giải.Ta có1 3 3.2 5214 4 4 2a a a aSaa       .Dấu “=” xảy 2.aBình luận Ta sử dụng điều kiện dấu “=”và điểm rơi 2adựa quy tắc biên để tìm 4.Ởđây ta thấy tính đồng thời dấu“=” trongviệc áp dụng bất đẳng thức AM-GMcho số 1,4aavà34ađạt giá trị lớn 2,atức chúng có điểm rơi 2.aVí dụ 2.2.2 Cho 2.aTìmgiá trị nhỏ biểu thức21.SaaPhân tích.Sơ đồ chọn điểm rơi2a,ta có22 1,.4aaSuyra8.Sai lầm thường gặp ... triển tư sáng tạo cho học sinh Trung học phổ thông dạy học bất đẳngthức trung bình cộng trung bình nhân .2 Mục đíchnghiên cứu Đề xuất phương án dạy học bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhântheo... triển tư sáng tạo cho học sinh Trung học phổ thông dạy học bất đẳngthức trung bình cộng trung bình nhân .2 Mục đíchnghiên cứu Đề xuất phương án dạy học bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhântheo... 21 Chương 2Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chủ đề bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân 22 2.1 Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân 22 2.2 Một số kĩ