B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌ C s P H Ạ M H À N Ộ I KHOA TOÁN N g u y ễn T h ị X u â n P H Â N LO Ạ I Đ A T Ạ P K H Ả V I M Ộ T C H IÊ U KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC H N ội —N ăm 2016 BỘ GIÁO D Ụ C VÀ Đ À O TẠO T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌ C s P H Ạ M H À N Ộ I KHOA TOÁN N g u y ễn T h ị X u â n P H Â N LO Ạ I Đ A T Ạ P K H Ả V I M Ộ T C H IÊ U C h u y ê n n g àn h : H ìn h H ọ c K H Ó A L U Ậ N T Ố T N G H IỆ P Đ Ạ I H Ọ C NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS N guyễn Tất Thắng H N ội —N ăm 2016 Lời cảm ơn Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy cô giáo khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ đóng góp ý kiến cho em suốt thời gian học tập nghiên cứu trường Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS Nguyễn Tất Thắng trực tiếp hướng dẫn bảo tận tình để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Do lần làm quen với công tác nghiên cứu nên tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận giúp đỡ, đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Một lần em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016 Sinh viên N guyễn T h ị X u ân Lời cam đ oan Khóa luận em hoàn thành hướng dẫn thầy giáo TS Nguyễn Tất Thắng với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu em có tham khảo kết nghiên cứu nhà hoa học với trân trọng biết ơn Em xin khẳng định nội dung đề tài trùng lặp với đề tài khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016 Sinh viên N guyễn T h ị X u ân 11 M ục lục Lời m đ ầ u iv K iến th ứ c ch u ẩ n b ị 1.1 Cấu trúc tuyến tính Rn 1.2 Chuẩn Rn 1.3 Khoảng cách Rn 1.4 Sự tương đương chuẩn Rn 1.5 Sự hội tụ dãy Rn 1.6 Hình cầu mở, hình cầu đóng, lân c ậ n 1.7 Tập đóng, tập m 1.8 Các điểm đặc b i ệ t 1.9 Tập compact 1.10 Tập liên thông Rn Đ a tạ p k h ả vi P h â n loại đ a tạ p k h ả vi 1-chiều 10 2.1 Ánh xạ trơn đa tạp trơn 10 2.2 Không gian tiếp xúc ánh xạ vi p h â n 13 2.3 Phân loại đa tạp khả vi c h iề u 22 Khóa luận tốt nghiệp Đại học N gu y ễ n T hị X uân Đ ờng cong tr o n g M3 26 3.1 Đường cong M3 26 3.1.1 Cung tham s ố 26 3.1.2 Cung M3 27 3.1.3 Cung q u y 28 3.1.4 Cung định h n g 28 3.1.5 Tiếp tuyến, pháp tuyến pháp diện cung 29 3.2 3.3 3.4 3.5 Độ dài cung tham số hóa tự nhiên cung q u y 30 3.2.1 Độ dài c u n g 30 3.2.2 Tham số hóa tự nhiên c u n g 33 Cung song quy Mặt phẳng m ật tiếp điểm song quy c u n g 34 3.3.1 Cung song q u y 34 3.3.2 Mặt phẳng mật tiếp, m ặt phẳng trực đ c 34 Độ congcủa cung q u y 35 3.4.1 Khái niệm độ c o n g 35 3.4.2 Công thức tính độ cong cung M3 35 3.4.3 Cung t h ẳ n g 36 Mục tiêu Frénet độ xoắn cung song quy R3 37 3.5.1 Mục tiêu F ré n e t 37 3.5.2 Độ xoắn công thức Prénet cung song quy định h n g ii 38 N gu y ễ n T hị X uân Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.5.3 3.6 Cung p h ẳ n g 39 Định lý lý thuyết đường R 40 T ài liệu th a m k h ảo 46 iii N gu y ễ n T hị X uân Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lời m đầu L ý ch ọ n đ ề tà i Hình học vi phân môn học yêu thích em Các đa tạp khả vi đối tượng nghiên cứu chủ đề Một toán phân loại đa tạp khả vi Đây vấn đề khó lời giải thú vị Vì em chọn đề tài "Phân loại đa tạp khả vi chiều" làm khóa luận tốt nghiệp M ụ c đ ích n g h iê n cứu Tìm hiều sâu cấu trúc đa tạp khả vi Phân loại đa tạp khả vi chiều Tìm hiểu đường cong R3 Đ ối tư ợ n g n g h iê n cứu Đa tạp khả vi Rn chủ yếu đa tạp khả vi 1-chiều N h iệm v ụ n g h iê n cứu Phân loại đa tạp khả vi 1-chiều nghiên cứu đường cong R P h n g p h p n g h iê n cứu Đọc hiểu lý thuyết đa tạp khả vi Sử dụng lý thuyết hình học vi phân để chứng minh đồng phôi đa tạp trơn C ấ u tr ú c lu ậ n văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận bao gồm iv Khóa luận tốt nghiệp Đại học N gu y ễ n T hị X uân chương: Chương 1: "Kiến thức chuẩn bị” trình bày lại số kiến thức cấu trúc không gian Rn tôpô Rn Chương "Đa tạp khả vi phân loại đa tạp khả vi 1-chiều" trình bày đa tạp khả vi (cấp vô hạn) định lý chủ yếu chương Phân loại đa tạp khả vi chiều Chương "Đường cong R3" trình bày số lý thuyết đường cong R3 chứng minh định lý lý thuyết đường R3 Chương K iến thứ c chuẩn bị Trong chương này, trình bày lại số kiến thức cấu trúc không gian Rn tôpô Mn 1.1 C ấu trú c tu y ế n tín h củ a Mn Kí hiệu Mn = {x — ị x i , x n) : Xị G M, i — , n} Đưa vào Mn phép toán cộng hai phần tử nhân phần tử với vô hướng định nghĩa sau: Nếu X = ( a : i , x n) , y = (yi, ,ỉ/„) G Mn X + y = (Xị + yu ,xn + yn) , Xx = ( Ằ X i , X x n) , A e Dễ thấy Mn với hai phép toán trở thành không gian vectơ thực n-chiều với sở tắc ei = ( , , ) , e2 = (0,1,0, 0), en = ( , , ) N gu y ễ n T hị X uân Khóa luận tốt nghiệp Đại học tính công thức b m =Ị Ii/>'(í)iidía Chứng minh Ta có Ta kí hiệu vế phải A + B + c A ,B ,C ba đại lượng nằm ba dấu ngoặc: thứ nhất, thứ hai, thứ ba Đặt ổ = max (tị — tị-i) Chứng minh đinh lý có nghĩa chứng minh 771 -^ -ỳ tồn lim Ỵ2 P {U -ì)p{ti) = J p'{t) dt á^ ° i = a Ta tiến hành bước sau: • Vì T ĩ t ) liên tục nên IIp' (t\ II lên tục Do tồn tích phân /|| M a Vì dt {tị - íi_i) p' {tt) tổng tích phân hàm i=1 khả tích nên m 1™ i=1 _ ) & “ *0 31 mà hàm N gu y ễ n T hị X uân Khóa luận tốt nghiệp Đại học • Tính lim 0 c p' (t) liên Cho £ > bé tùy ý Vì tục đoạn [a, 6] nên liên tục đoạn Do với £ > cho tìm ổ > để với t , ĩ & [a, 6] mà \ĩ — ¿1 < ỗ — p' (t) Ta lấy phép chia [a, 6] < cho max (tị —tị- i) < ố vừa tìm phân tích m III ị > |C1 < 1ịịp (ti-ị) p (ti) (ti - ti-i) p'(ti) - i= tị = 53 tị Ị p' (*)dí ~ i= Ị p' & )dt 1 F i-1 M -1 m Ị p' (*)dí ~ Ị p' • — h p' (t) - p' (ti) dt 1=1 _ ™ N-l tị / < 53 / - > _ > p' (*) “ P' (*0 dí *= i íi-i „ m tịX < E / & ẻ ^ dí = í=l*_.£i-l Vậy lim c = ổE o ĩĩl Tổng hợp kết ta lim Y2 p (tị-i) p (tị) á_s'°j=1 Vậy định lý chứng minh 32 /1 ^ dt a □ N gu y ễ n T hị X uân Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.2.2 Tham số hóa tự nhiên m ột cung Đ ịnh nghĩa 3.11 Một tham số hóa r : I —>R 3, s !->■ r (s) cung quy r gọi tham số hóa tự nhiên IIr' (s)|| = hay ta gọi tham số hóa độ dài cung (Chuẩn nhắc đến chuẩn Euclide) T ính chất 3.2.1 Mọi cung quy (kể cung quy định hướng) có tham số hóa tự nhiên Chứng minh Cho cung quy r có tham số hóa p ' J —y M3, 1—^ p ( í ) Lấy t0 e J , tữ cố định bất kỳ, ta xét ánh xạ í X: J ^ I = p { J ) , t ^ Ằ{t) = Ị IIp' (k)\\dk to Ta có A' (t ) = IIp' (i)|| > 0, Ví e J nên A vi phôi (bảo toàn hướng) từ J lên khoảng I tập số thực M Vậy có tham số hóa r :I r (hơn r M3, s r (s) = p (A-1 (5 )) p tương đương định hướng) Vì p = r o A nên p' = (r'oA )A ', lip'll = ||(r'o A)|| |A'| = II(r'o A)II lip'll, suy llr'll = Vậy cung quy r có tham 33 số hóa tự nhiên r □ N gu y ễ n T hị X uân Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.3 C u n g son g ch ín h quy M ặ t p h ẳn g m ật tiế p tạ i đ iểm son g ch ín h q u y củ a cu n g 3.3.1 C ung song quy Đ ịnh nghĩa 3.12 Cho cung Điểm to r gọi r có tham số hóa p : J —> R3, t !-»■ p (í) điểm song quy cung hệ hai vectơ {p' (to) , p" (ío)} độc lập tuyến tính Một cung mà điểm điểm song quy gọi cung song quy V í dụ 3.3.1 Cho cung r có tham số hóa p : (0, +oo) —>■R3, t 1—y p (í) = (2í, ln í, t 2) Khi đó, ta có r cung song quy 3.3.2 M ặt phẳng m ật tiếp , m ặt phẳng trực đạc r có tham số hóa p : J —>R3, t\- ^ p { t) cung r Mặt phẳng R3 qua điểm Đ ịnh nghĩa 3.13 Cho cung to điểm song quy p (¿o) nhận không gian vectơ (p1{to), p" {to)) làm không gian vectơ phương gọi mặt phẳng mật tiếp cung r có tham số hóa to điểm song quy cung r Đ ịn h nghĩa 3.14 Cho Pháp tuyến nằm cung r điểm t p : J —> R3, mặt phẳng mật tiếp cung gọi pháp tuyến í p{t) r điểm to r điểm Pháp tuyến vuông góc với m ặt phẳng m ật tiếp cung r điểm to gọi trùng pháp tuyến cung r điểm 34 N gu y ễ n T hị X uân Khóa luận tốt nghiệp Đại học Mặt phẳng tạo tiếp tuyến trùng pháp tuyến điểm p (¿o) gọi m ặt phẳng trực đạc cung r điểm Đ ộ g củ a cu n g ch ín h q u y Từ phần này, chuẩn mà nói đến chuẩn Euclide 3.4.1 K hái niệm độ cong Đ ịnh nghĩa 3.15 Cho cung quy r có tham số hóa tự nhiên r : I —>R3 Đặt T (s) = r' (s) IIT (s)|| = số k = lịT' (s)|| gọi độ cong cung 3.4.2 r điểm s C ông thức tín h độ cong cung R3 M ệnh đề 3.1 Cho cung quy r với tham số hóa p \ J —y R3, 1—^ p ( i ) Lấy r : I —> R3, s H->• r (s) tham số hóa tự nhiên phép đổi tham số từ t sang s X : J —)■ I, t p = r o A, v t € J Khỉ k (t) = IIp' (0 A p" (*)ll l|p'(*)H3 Chứng minh Ta tính đạo hàm p' (t) = A' (t) • r’ (A 01)) = A' (t) • r’ (s ) , 35 r Gọi s = A(í), ta có N gu y ễ n T hị X uân Khóa luận tốt nghiệp Đại học p" (t) = A" (í) • r' {s) + (A' {t)Ỷ • r" 00 Suy IIp' (í)|| = |A' 0)1 • ||r' 0011 = |A' 0)1 (do ||r' 0011 = 1) p' (t) /\p" (t ) —[A' {t)]3 -r' (s)A r" (s) Vì IIr' (s)|| = nên r' (5 ) -Lr" (5 ) Do ||p '( í) A /0" ( í ) |H |A '( í ) |3 | | r '( S) A r " ( S)|| = |A '(í)|3 - ||r '( 5) | | - K ( 5) H s i n ( r '( 5) , r " ( 5))| = |A' (í)|3 • ||r" (S)|| = |A' (t)f • \\r (S)|| = IIp' (í)||3 ■k ( s ) Suy k (A (t )) = ^ ^ ' 3^ ■Viết tắ t k (A (í)) k (t ) :ta có công thức Ip (oll k (t) = I\p' (*)ll y m □ 4.3 C ung thẳn g Đ ịn h nghĩa 3.16 Cung thẳng cung có tập ảnh nằm đường thẳng (có thể đường thẳng đoạn đường thẳng) T ính chất 3.4.1 Cung thẳng có độ cong k = ngược lại cung có độ cong k = ỉà cung thẳng Chứng minh Giả sử r cung quy có độ cong bẳng điểm Lấy r : I —»• R3, s I—^ T (s) tham số hóa tự nhiên r Ta 36 N gu y ễ n T hị X uân Khóa luận tốt nghiệp Đại học có: k (s) = 0, Vs e J rự ) = 0, Vs € J T ~(s) = ~ẩ ,Vs e J, ~ẳ vectơ đơn vị Điều tương đương với ảnh đường thẳng (đi qua điểm o + r nằm có vectơ phương ~ẩ) Vậy cung quy có độ cong điểm cung thẳng 3.5 □ M ụ c tiê u E rénet độ x o ắ n củ a cu n g son g q u y tro n g M3 3.5.1 M ục tiêu Erénet Xét cung song quy đinh hướng M3 r cho tham số hóa tự nhiên: r : I —ì M3, s !->■ r (s) Ta kí hiệu: T (5 ) = r' (s) gọi trường vectơ tiếp xúc đơn vị N( s) = r" (s) ỉf M ỉí T' {s) \\T'{8)\\ gọi trường vectơ pháp tuyến đơn vị B{ s ) = T (s) A N (s) 37 N gu y ễ n T hị X uân Khóa luận tốt nghiệp Đại học gọi trường vectơ trùng pháp tuyến đơn vị Ta có T (s) -LN (s), B (s) _LT (s), B (s ) _LiV (s ) T (s) , N (5), B (s) vectơ đơn vị Đ ịnh nghĩa 3.17 Bộ ba {T (s) , N ( s ) , B (s)} lập thành sở trực chuẩn thuận Tr(s)R3 Ta gọi sở mục tiêu Frénet cung định hướng 3.5.2 r điểm r (s) Đ ộ xoắn công thức Frénet cung song quy định hướng Từ định nghĩa N (s) = p^yiĩ ta suy T ' (s ) = llr ' (*)\ \ - N( s ) = k (s) - N ( s ) Từ B (s) = T (5) A N (s) suy B' (s) = T' (s) A N (s) + T (s) A N f (s) = k (s) ■N (s) A N (5) + T (5) A N' (s) = T (s) A N' ( s ) Do B' (s ) _LT (5), mà ta có B' (s ) -LB (s ) nên B' (s) phương với N (s) Suy tồn số T (s) cho B' (s) = —T (s) • N (s) Từ N (5) = B (5) A T (s) suy N' (s) = ' (s) A T{ s ) + B (s) A T' (s) = —r (s) • N (s) AT (s) + B (s) A (k (s) ■N (s)) = —k (s) T (s) + r (s) £ ( s ) 38 N gu y ễ n T hị X uân Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vậy ta có công thức ' T' (s) — k( s) N ( s ) , < N / (s) = - k ( s ) T ( s ) + T { s ) B ( s ) , K B ' (5) = ~ T (5) N (s) • Công thức gọi công thức Frénet cung quy định hướng r không gian R3 với hướng cho cung định hướng 3.5.3 số T (s) gọi độ xoắn r không gian R3 với hướng cho C ung phẳng Đ ịnh nghĩa 3.18 Cung phẳng cung có ảnh nằm mặt phẳng T ính chất 3.5.1 Cung song quy có độ xoắn cung phẳng Chứng minh Giả sử cung song quy r R3 có hướng, có độ xoắn điểm Xét r : I —»• R3, s I—^ T (s) tham số hóa tự nhiên Ta có r (s) = 0, Vs € J Điều tương đương với B ' {s) = "cf,Vs ẽ J ^ B (s\ = ~ĩì,\/s G J 'rì vectơ đơn vị Do B (s^) ■T (s\ = 0,Vs ẽ J nên l ì ■r' {s) = 0,Vs € J Suy l ì • ịo r = 0,Vs Ễ J (trong o điểm cố định R3) Từ ta có l ì ■ị o r = số Ta suy r có ảnh nằm mặt phẳng nhận 1% làm vectơ pháp tuyến Điều ngược lại hiển nhiên ta chọn B (s|) = ~ề (với ~ề vectơ đơn vị) vectơ pháp tuyến mặt phẳng chứa cung Do B ' (sj = "cf =>- —r (s) • N p ) = l f 39 r (s) = 0, Vs G J □ N gu y ễ n T hị X uân Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.6 Đ ịn h lý b ản củ a lý th u y ế t đường tro n g M3 Ta phát biểu định lý lý thuyết đường M3 [3] Đ ịn h lý 3.2 Cho hai hàm số k T khả vi lớp cl, l > khoảng J c M k có giá trị dương Khi ỉ Có tham số hóa tự nhiên r : J —>M3 (khả vi lớp c l+2) cung song quy định hướng M3 nhận k T làm độ cong độ xoắn Nếu có hai tham số hóa tự nhiên r p hai cung có phép dời hình f : M3 —»■M3 cho r = / o p Chứng minh Ta tiến hành chứng mimh sau • Trong chứng minh, ta sử dụng định lý sau lý thuyết phương trình vi phân gọi định lý tồn nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính: Cho hàm số aị, bị (i , j = 1, 2, n) khả vi lớp c l, l > 0, khoảng J c K cho ¿0 £ J, cho n số Xq, ,X q tùy ý có họ hàm số X1, x 2, ,x n khả vi lớp C l+1 J cho n (x i Ỵ (*) = X! aỉ (*)x j (*) + ( * ) (với Vỉ = 1,2, ,n,V í ẽ J) X1 (tữ) = xị Các hàm số t \-¥ x (t ) gọi nghiệm phương trình vi phân tuyến tính n 40 N gu y ễ n T hị X uân Khóa luận tốt nghiệp Đại học với giá trị ban đầu Xq = X* {tữ) • Xét hệ phương trình (*) sau T ' = kN , N ' = —k T + t B, B ' = - t N hệ phương trình vi phân tuyến tính hàm ẩn hàm tọa độ ba hàm vectơ T, N, B R3 xác định J Lấy sở trực chuẩn thuận tùy ý {T0, N 0,B ữ} K3 lấy So tùy ý thuộc J theo định lý tồn nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ (*) có nghiệm, ta ký hiệu T, N, B, với giá trị ban đầu T (s0) = T0, N (s0) = N ữ, B (s0) = B ữ Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính hàm ẩn, mà ta kí hiệu t2,n 2,b2, tn, nb, tb sau (t2)' = 2k {trì) , {n2Ỵ = {—k {trì) + T (nồ)), (b2)' = —2T (nò), {tnỴ = —k (í2) + k (n2) + T {tb) , {nbỴ — —T (n2) + r {t2) — k {tb) , {tbỴ = —r {tn) + k {nb) Các hàm số T 2, N 2, B 2, T N, N B , T B T, N, B nghiệm hệ (*), thỏa mãn hệ phương trình vi phân với giá trị ban đầu (tức giá trị s0) ,1 ,1 ,0 ,0 ,0 (do {To, /Vo,-Bo} hệ trực chuẩn) hệ phương trình vi phân có lấy đạo hàm T 2, N 2, B 2, T N, N B , T B thay r , N 1, B' biểu 41 N gu y ễ n T hị X uân Khóa luận tốt nghiệp Đại học thức (*) Nhưng hệ phương trình vi phân có nghiệm dễ thử sau đây: t = l , n = 1,62 = l , t n = 0,n& = 0,í6 = với giá trị ban đầu trên, nên tính chất nghiệm hệ với giá trị ban đầu cho trước, {T (s) , N ( s ) , B (s)} cở sở trực chuẩn R3 với Vs E J Hơn thế, hàm số s E J I—^ (T (s) A N (s)) • B (s) hàm số liên tục mà tập giá trị {±1} {T (s) , N ( s ) , B (s)} trực chuẩn, giá trị s0 (vì {T0, N ữ, B ữ} sở trực chuẩn thuận) nên hàm số lấy giá trị 1, tức với Vs € J , sở { T (s ) , N ( s ) , B (s)} thuận Lấy điểm o tùy ý R3 xét cung tham số Vì T : J H->• R3 khả vi lớp c l+1 nên r khả vi lớp c l+2 Do V1(8)\\ = \\T {8)\\ = 1,V8 (do (*)) nên r cung song quy s I—^ N (s) xác định trường vectơ pháp tuyến đơn vị dọc r s I—^ k (5 ) xác định độ cong r 42 N gu y ễ n T hị X uân Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vì T (s) A N (s) = B ( s ) , Vs e J (do {T ( s ) , N ( s ) , B (s)} sở trực chuẩn thuận) nên s !->■ B (s) xác định trường vectơ trùng pháp r Do đó, từ B' (s) = xác định độ xoắn r tuyến đơn vị dọc —T (s) N (s) suy S r (s) • Xét hai tham số hóa tự nhiên r, p : J —>M3 hai cung song quy định hướng M3 nhận k, T làm độ cong độ xoắn trường mục tiêu Frénet {T, N, B } r {t, n, b} p phải xác định hàm vectơ T , N , B , t , n, b J thỏa mãn hệ phương trình vi phân (*) Nếu T (s0) = t (s0) , N (s0) = n (s0) , B (s0) = b (s0) T = t, N = n, B = b Hơn nữa, r (s0) = p (so) suy s (s) = o + s T (s) ds = o + J So Ị t (s) ds = p (s) ,Vs G J So Vậy, tổng quát, xét phép dời hình / M3 biến "tam diện thuận" {p (s0) , t ( s 0) , n ( s 0) ,b (s0)} thành "tam diện thuận" {r (s0) , T (s0) , N (s0) , B (s0)} r / o p thoả mãn điều kiện nên r — f o p 43 N gu y ễ n T hị X uân Khóa luận tốt nghiệp Dại học Ta hoàn thành chứng minh định lý □ 44 N gu y ễ n T hị X uân Khóa luận tốt nghiệp Đại học K ết luận Trong khóa luận, em trình bày vấn đề liên quan đến đa tạp khả vi (cấp vô hạn) Mn, định lý phân loại đa tạp khả vi 1-chiều đường cong M3 Sau trình nghiên cứu, em tìm hiểu thêm nhiều kiến thức mới, đúc rút cho số kiến thức vấn đề nghiên cứu Em hi vọng điều em trình bày khóa luận giúp cho việc nghiên cứu vấn đề khác có liên quan hình học thuận lợi Vì thời gian kiến thức có hạn nên khóa luận nhiều thiếu sót khó tránh khỏi Mong quý thầy cô bạn góp ý để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 45 ... không gian Rn tôpô Rn Chương "Đa tạp khả vi phân loại đa tạp khả vi 1 -chiều" trình bày đa tạp khả vi (cấp vô hạn) định lý chủ yếu chương Phân loại đa tạp khả vi chiều Chương "Đường cong R3" trình... khóa luận tốt nghiệp M ụ c đ ích n g h iê n cứu Tìm hiều sâu cấu trúc đa tạp khả vi Phân loại đa tạp khả vi chiều Tìm hiểu đường cong R3 Đ ối tư ợ n g n g h iê n cứu Đa tạp khả vi Rn chủ yếu đa tạp. .. học vi phân môn học yêu thích em Các đa tạp khả vi đối tượng nghiên cứu chủ đề Một toán phân loại đa tạp khả vi Đây vấn đề khó lời giải thú vị Vì em chọn đề tài "Phân loại đa tạp khả vi chiều"