Đang tải... (xem toàn văn)
w hai ánh xạ tuyến tín h Ta gọi tổng ậ ip m ột ánh xạ, kí hiệu ộ + ip xác định bởi: ệ + : V — > w ă I— » (ậ + w ánh xạ tuyến tín h , ta gọi tích ánh xạ ậ với vô hướng A m ột ánh xạ, kí hiệu Xậ xác định bởi: Xệ : V — >w ấ I— > (Xệ)(ấ) = Xệ(ấ) Đ ịn h lý 1 Giả sử V m ột không gian vector n — chiều Khi đó, ánh xạ tuyến tính từ V vào w hoàn to àn xác định ảnh trê n m ột sở Nói rõ hơn, giả sử (e) = {ẽi, ¿2, , ẽ^} m ột sở V (/3) = {/?1, /?2, , /3n} n vector w K hi có m ột m ột ánh xạ tuyến tín h (ị) : V — > w cho ộ 1,2, ,71 C h ứ n g m in h • Sự tồn tại: Nếu ã = Xiẽ[ + x 2ẽ2 + ■■■+ x nẽ*n € V , ta đặt: ậ( ã) = x 1ặ + x 2ặ + — h x np n e w Nguyễn Thị Ngọc K38ASPT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng Khi đó: ệ :V — >w m ột ánh xạ tuyến tín h ậ(Ei) — Pi, i — 1, 2, , n • Sự nhất: Nếu tồn ánh xạ / : V — > w th õ a m ãn định lí ệ(ẽ\) = f( ẽ \) = 1, Pi, ì = , n th ì với ã = ?=1 XịEị ta có: n n n n ậ( đ) = ậ ( J x iZi) = x i(?ì) = X ] x i ĩ ( t i ) = f ( ĩ i=1 i=1 i=1 i=1 = / ( “ )• Suy ậ = / Vậy ậ tồn tạ i n h ất Đ ịn h n g h ĩa 1 Cho ộ : V — > w ánh xạ tuyến tín h trê n trường K đó: • ậ m ột đơn cấu ậ đơn ánh • ậ m ột to àn cấu (ị) to àn ánh • ệ m ột đẳng cấu ệ song ánh Nếu có m ột đẳng cấu ệ : V — > w th ì ta nói V đẳng cấu với w viết V — w Đ ịn h lý 1 w hai không gian vector hữu hạn với w d i m V = d i m W Cho V đẳng cấu chiều trê n trường K K hi V C h ứ n g m in h G iả sử V đẳng cấu với w, có m ột đẳng cấu ệ : V — > w Tức là, {¿{,¿*2 , , ể*n} m ột sở V th ì hệ ậ(E2) , , m ột sở w T h ậ t vậy: Nguyễn Thị Ngọc K38ASPT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng /(tti) = « ! • » ( / - /d jỉJ (u i) = (2.1) f ( u 2) = A C - x c = hay (A - X I ) C = y = AX đây, I m a trậ n đơn vị cấp n T để tìm nghiệm phương trìn h x ' = A X ta cần tìm vector c Ỷ từ phương trìn h (A — X I ) C = G iá trị A th ỏ a m ãn phương trìn h (A — X I ) C = gọi giá trị riêng m a trậ n A Vector c ^ tìm gọi vector riêng ứng với A Ta lại có kết Đại số tuyến tín h biết: a) Điều kiện cần đủ để phương trìn h (A —X I ) C = có nghiệm không tầm thường det ( A — XI) = b) de t ( A — XI) m ột đa thức bậc n phương trìn h det ( A — XI) = gọi phương trìn h đặc trư ng m a trậ n A Giải phương trìn h đặc trư ng m a trậ n A tìm giá trị riêng, th ay vào phương trìn h (A — X I ) C = ta tìm vector riêng tương ứng N hư vậy, vấn đề phức tạ p hệ phương trìn h vi phân đưa vấn đề đơn giản Đại số tuyến tính Tập nghiệm phương trìn h X — A X m ột không gian vector n chiều Do Nguyễn Thị Ngọc 42 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng để tìm nghiệm tổng qu át phương trìn h X — A X ta cần tìm n nghiệm riêng độc lập tuyến tín h n nghiệm riêng độc lập tuyến tín h gọi tậ p nghiệm phương trìn h X — A X nghiệm tổng q u t phương trìn h X —AX tổ hợp tuyến tín h n nghiệm V í dụ 2.3 Giải phương trình: - 1 _/ X = 1 -1 X - Ta có - 1 A = 1 - - 1- A det ( A - X I ) — -1 1 - A -1 -1 =-(A + 1)(A — 1)(A — 2) -A T ta có giá trị riêng A = 2,1, —1 Với A = ta có: (A - X I ) C = -1 -1 c1 -1 -1 c2 - = c3 Sử dụng phương pháp G auss ta tìm nghiệm không tầm thường c= T -1 2t Xr = Nguyễn Thị Ngọc 43 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng m ột nghiệm phương trìn h Hoàn to àn tương tự: Với A = ta tìm c= 1 từ = Với A = ta tìm -1 từ -1 X Vì X 1, X 2, X độc lập tuyến tín h nên: - X — c iX i + C2 X + C X — Ci 1 e 2i , „ + c2 - e* + C3 2.2.2.2 H ệ phương trình không Trước khảo sát phương trìn h không th u ần n h ấ t x ' = A X + F, ta nhắc lại phương trìn h th u ần n h ấ t X = Ả X A m a trậ n vuông cấp n, x 1, x 2, X n nghiệm độc lập tuyến tín h phương trìn h x ' = A X Khi đó: ậ = (X 1X Xn) gọi m a trậ n sở có tính chất sau: Nguyễn Thị Ngọc 44 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng a) det ệ = W { X u X 2, , X n) (W: định thức W ronski) b) ộ =Aộ c) c1 CiXi + C2X2 + • ■■+ cnX n — ậ c2 = ỘC C71 T đó, nghiệm phương trìn h th u ần n h ấ t x ' = A X ỘC, sử dụng phương pháp hệ số biến thiên ta có th ể viết ậ(t)u(t) nghiệm phương trìn h X = A X + F Do đạo hàm m a trậ n đạo hàm th n h phần nên ta có: (ỘU)' = ệ' u + ệ T hay X = ỘU vào phương trìn h x ' = A X + F ta th u được: ệ ‘u + ỘUắ = AậU + F Sử dụng tín h chất (2) —» ậ = F Sử dụng công thức C ram er ta tín h từ tín h u K hi u' nghiệm phương trìn h là: X = ỘC + ỘU V í dụ 2 Giải phương trình: t X = X + e2t 2e2t Ta có: A = 2 det ( A - XI) = ( X - 4)(A - 1) Nguyễn Thị Ngọc 45 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng T giá trị riêng A = 4,1 suy nghiệm riêng của phương trìn h th u ần n h ấ t V" e í Ao - *1 = 1 eí -1 Do m a trậ n sở 2e t gt D4 í —e Đ ặt u1 u= -» ộu' — F u2 trở th àn h e4í e* uí e2t e4t -e* u2 2e2t Sử dụng công thức C ram er giải phương trìn h trê n ta thu được: < Ui = - Ị c 2t u2 = - c Vậy nghiệm tổng qu át phương trìn h cho là: 2e4í e* X = ỘC+ỘU = C l 2e4t e* zT p -2t 2° e4t —e* — e* + e4t -e* c2 = 2cie4t + 026* —2e2t Cie4t - c2e* + ị e 2t B i tậ p 2.1 Chứng m inh m a trậ n vuông cấp n : A = (ãịj ) (trên trường K ) có ãịj = với i < j th ì A n — B i t ậ p 2.2 Nguyễn Thị Ngọc 46 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng Cho ip ĩị> hai tự đồng cấu giao hoán K — không gian vector hữu hạn chiều V Chứng m inh rằng: a) Nếu ip ĩp lũy linh th ì ip + ĩp lũy linh b) Nếu ip ĩp chéo hóa th ì ip + ĩỊ} ip ■ĩp chéo hóa B i t ậ p 2.3 Đưa m a trậ n sau (trên trường số thực) dạng chuẩn tắc Jordan: a) A -1 11 -5 -6 b) n 0 •• n —1 n •• n •• n —2 n —1 n B i t ậ p 2.4 0 -1 ■• • 0 ■• • 0 • ••• -1 ••• 0 0 1 ■ ■ 1 • • 0 • • 1 o * o h-1 ••• o -o Nguyễn Thị Ngọc -1 * Chứng m inh hai m a trậ n vuông cấp n sau đồng dạng với 0 • • 47 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng B i t ậ p 2.5 Hãy mô tả dạng chuẩn tắc Jo rd an m a trậ n cấp có đa thức cực tiểu (t + 1)2(í2 + 2) R B i t ậ p 2.6 Chứng m inh hai m a trậ n vuông cấp đồng dạng với chúng có đa thức cực tiểu đa thức đặc trưng Nếu trù n g đa thức cực tiểu đa thức đặc trư ng th ì có không? B i t ậ p 2.7 Giải phương trình: -1 0 B i tậ p 2.8 Giải phương trình: x" Nguyễn Thị Ngọc -1 -2 = 48 X K38ASPT-ĐHSP Hà Nội K ết luận Trong trìn h tìm hiểu nghiên cứu khóa luận, bước đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu Q ua đó, khóa luận trìn h bày sơ lược kiến thức chuẩn bị có liên quan tậ p tru n g nghiên cứu dạng chuẩn tắc Jo rd an phạm vi Đại số tuyến tín h Sau khái niêm có ví dụ m inh họa chi tiế t Hầu hết, định lý, hệ khóa luận giới thiệu thêm phần chứng m inh Cuối chương tậ p củng cố Đây có th ể xem m ột tà i liệu th am khảo dành cho người quan tâm đến dạng chuẩn tắc Jo rd an nói riêng Đại số tuyến tín h nói chung Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn T hị Ngọc 49 ... chuẩn tắc Jo rd an ứng dụng" M ục đích nghiên cứu đề tài Nghiên cứu dạng chuẩn Jo rd an ứng dụng Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng 3.Đ ối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài D ạng chuẩn. .. không gian vector V Dạng Jo rd an (Ị) dạng m m a trậ n biểu diễn dạng: Jk J k•»m 0 Nguyễn Thị Ngọc 23 n K38ASPT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng • •• 0 • •• 0 •... trậ n dạng chuẩn tắc Jo rd an ậ, hai m a trậ n khác th ứ tự khối Jo rd an trê n đường chéo Đ ịn h lý Nguyễn Thị Ngọc 28 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng