I NGUN HÀM Phương pháp: 3x 3x + C = 3sinx +C ln 3 ln Bài 2: Tìm ngun hàm F(x) hàm số f(x) = 3x2 – + 4ex biết F(1) = x x Giải: Ta có: F(x) = ∫ (3x − + 4e )dx x x = 3∫ x dx − ∫ dx + ∫ e dx = x3 – ln|x| + 4ex + C x Mà F(1) = ⇔ 13 – ln|1| + 4e1 + C = ⇔ C = – – 4e Vậy: F(x) = x3 – ln|x| + 4ex – – 4e Bài 3: Cho f(x) = tan2x, tìm ngun hàm F(x) π biết F( ) = Giải: Ta có: F(x) = ∫ tan xdx = 3sinx – Các cơng thức cần nhớ a ∫ kf(x)dx = k ∫ f(x)dx b ∫ [f(x) + g(x)]dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx F(x) ngun hàm f(x) ⇔ F′(x) = f(x) Bảng ngun hàm: a ∫ 0dx = C b ∫ cos xdx = sin x + C x α+1 + C d ∫ sin xdx = − cos x + C α +1 x x e ∫ e dx = e + C f ∫ dx = ln x + C x ax g ∫ dx = x + C h ∫ ax dx = +C ln a dx = ∫ (1 + tan x) = tan x + C i ∫ cos x j ∫ dx = ∫ (1 + cot x) = − co t x + C sin x c ∫ x α dx = Bài tập mẫu: Bài 1: Tính: a) ∫ ( x − 2)dx 2 = ∫ (1 + tan x − 1)dx = ∫ (1 + tan x)dx − ∫ dx = tanx – x + C π π π π Mà: F( ) = ⇔ tan − + C = ⇔ C = – 4 4 Vậy: F(x) = tanx – x + – BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính a) ∫ (4x − 3cos x)dx (x4 – sinx) = (x − 2)dx = x dx − dx ∫ ∫ ∫ b) 2 1 − x + x +1 x x = + + = x + x + x 3 3 x x x x )dx (tanx – cotx + C) HD: c) ∫ ( sin x.cos2 x sin x + cos2 x 1 = = + 2 2 2 sin x.cos x sin x.cos x cos x sin x x2 x3 d) ∫ xdx ( ) e) ∫ xdx ( ) dx f ) ∫ (− ) x 3x x3 d) ∫ (x + 2x − 4)dx ( + x − 4x ) x )dx ( e x + tan x ) e) ∫ (e + cos2 x g) ∫ (3 cos x − )dx ( sin x − ln x ) x x − 2x + x − x2 h) ∫ ( dx − 2x + ln x + ) x x Bài 2: Cho f(x) = sinx + cosx Tìm ngun hàm F(x) biết F( ) = -1(ĐS: F(x) = sinx – cosx – 2) Bài 3: Cho f(x) = sin2x Tìm ngun hàm F(x) biết F( ) = (ĐS: F(x) = - cos2x + ) x 23 x3 − 2x + C = − 2x + C = x − 2x + C = 3 dx b) ∫ x x −4 1 = ∫ x −5dx = + C = − x −4 + C = − + C −4 4x c) ∫ (3 sin x + )dx x dx = ∫ 3sin xdx + ∫ dx = 3∫ sin xdx + ∫ x x = – 3cosx + 2ln|x| + C d) ∫ (2x + )dx x − 2 2x dx + dx = x dx + x = ∫ ∫ ∫ ∫ dx x3 HD: 1 x3 x 2x3 2x 3 + + C = + 3x + C = + 33 x + C = 3 3 x −1 e) ∫ (3 cos x − )dx = ∫ 3cos xdx − ∫ x + x +1 53 67 23 dx ( x + x + x + C) ∫ 3x 3x dx = 3∫ cos xdx − ∫ 3x dx 3 du du du = = u′ (2 − 3x)′ −3 u u du Khi đó: I = ∫ e = − ∫ e du −3 e2−3x = − e u + C = − +C 3 2x + dx e I = ∫ x−2 )dx = ∫ dx + 5∫ dx = ∫ (2 + x−2 x−2 = 2x + 5ln|x – 2| + C Bài 4: Cho f(x) = cosxcos3x Tìm ngun hàm sin 4x sin 2x + F(x) biết f(x) x = ( ) II TÌM NGUN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Phương pháp: Đặt: u = – 3x ⇒ dx = Dùng bảng ngun hàm đặc biệt: 1 dx = ln ax + b + C a ∫ ax + b a (ax + b)α+1 b ∫ (ax + b)α dx = +C a α +1 aax + b c ∫ aax + b dx = +C a ln a ax + b ax + b +C d ∫ e dx = e a e ∫ sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C a f ∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C a A A dx = ln ax + b + C g ∫ ax + b a ax + b a A dx = ∫ dx + ∫ dx h ∫ cx + d c cx + d Ghi nhớ du dx = u′ a ln x dx x dx ∫ x ln x ln x + dx Đặt u = lnx + x (ln x − 2)4 e ∫ dx Đặt u = lnx – x d ∫ Bài 2: Tính: ln x dx a I = ∫ x du du du = = = xdu Đặt: u = lnx ⇒ dx = u′ (ln x)′ x u u ln x Khi đó: I = ∫ xdu = ∫ udu = +C= +C x 2 (ln x + 3)2 b I = ∫ dx x du du = = xdu Đặt: u = lnx + ⇒ dx = u′ x u Khi đó: I = ∫ xdu = ∫ u2 du x u (ln x + 3)3 = +C= +C 3 dx c I = ∫ x ln x du du = = xdu Đặt: u = lnx ⇒ dx = u′ x xdu du = = ln u + C = ln ln x + C Khi đó: I = ∫ xu ∫ u Bài tập mẫu: Bài 1: Tính: a I = ∫ sin(3x + 1)dx du du du = = u′ (3x + 1)′ du Khi đó: I = ∫ sin u = ∫ sin udu 3 1 = − cos u + C = − cos(3x + 1) + C 3 b I = ∫ cos(2 − x)dx Đặt: u = 3x + ⇒ dx = Đặt: u = – x ⇒ dx = ∫ Ghi nhớ ln x b ∫ dx c 2x Đặt u = lnx du du du = = = −du u′ (2 − x)′ −1 Khi đó: I = ∫ cos u.(−du) = − ∫ cos udu = – sinu + C = – sin(2 – x) + C 2010 c) I = ∫ (1 − 2x) dx du du du = = u′ (1 − 2x)′ −2 2010 du = − ∫ u2010 du Khi đó: I = ∫ u −2 2011 u (1 − 2x)2011 =− +C= − +C 2011 4022 − 3x d I = ∫ e dx Đặt: u = – 2x ⇒ dx = e) I = ∫ x − 2x dx = x(3 − 2x ) dx ∫ Ghi nhớ a ∫ 2x(3x − 5) dx Đặt u = 3x2 – (vì bậc u′ = 6x bậc 2x) 3x b ∫ dx Đặt u = x3 + x +4 (vì bậc u′ = 3x2 bậc 3x2) 4x dx Đặt u = x2 – c ∫ (x − 3)5 (vì bậc u′ = 2x bậc 4x) d ∫ x e x4 −2 du du = u′ −4x du 1 Khi đó: I = ∫ x.u = − ∫ u du −4x Đặt: u = – 2x2 ⇒ dx = u u3 − 2x − + C = − + C = − +C = 6 Ghi nhớ Gặp dạng: a ∫ cos x.sin xdx Đặt u = cosx (vì u′ = – sinx chứa thừa số sinx) b ∫ sin x.cos x dx Đặt u = sinx (vì u′ = cosx chứa thừa số cosx) cos x dx Đặt u = sinx + c ∫ sin x + (vì u′ = cosx chứa cosx tử) 3sin x dx Đặt u = 2cosx – d ∫ (2 cos x − 5)3 (vì u′ = – 2sinx chứa sinx tử) e ∫ sin x − 3cos xdx Đặt u = – 3cosx (vì u′ = 3sinx chứa thừa số sinx) sin x dx Đặt u = cosx f ∫ cos4 x (vì u′ = – sinx chứa sinx tử) dx Đặt u = 5x + g ∫ 5x + (vì bậc u′ = bậc tử 3x0 (bậc 0)) x dx Đặt u = – 3x2 h ∫ − 3x (vì bậc u′ = – 6x bậc x tử) sin x dx Đặt u = cosx + i ∫ cos x + (vì u′ = – sinx chứa sinx tử) dx Đặt u = x – (vì bậc u′ = 4x3 bậc x3) e ∫ x − 2x dx Đặt u = – 2x2 (vì bậc u′ = – 4x bậc x) Bài 3: Tính: 10 a) I = ∫ x(3x + 2) dx du du = u′ 6x 10 du = ∫ u10 du Khi đó: I = ∫ x.u 6x 11 u (3x + 2)11 = +C= +C 11 66 3x dx b) I = ∫ x −5 du du = Đặt: u = x2 – ⇒ dx = u′ 2x 3x du du = Khi đó: I = ∫ u 2x ∫ u 3ln x − = ln u + C = +C 2 3x dx c) I = ∫ (1 − x )5 du du = Đặt: u = – x3 ⇒ dx = u′ −3x du = − ∫ du Khi đó: I = ∫ 3x u −3x u 1 +C= +C = 4u 4(1 − x )4 Đặt: u = 3x2 + ⇒ dx = 2x d) I = ∫ x e −3 Bài 4: Tính: a) I = ∫ sin x cos xdx du du = u′ cos x du = udu Khi đó: I = ∫ u.cos x cos x ∫ u2 sin x = +C= +C 2 b) I = ∫ cos x sin xdx Đặt: u = sinx ⇒ dx = dx du du = u′ 6x2 u u du Khi đó: I = ∫ x e = ∫ e du 6x 2x3 − e = e u + C = +C 6 Đặt: u = 2x3 – ⇒ dx = Đặt: u = cosx ⇒ dx = du du = u′ − sin x du = − ∫ u3du − sin x u cos x = − +C= − +C 4 sin x dx c) I = ∫ cos x du du = Đặt: u = cosx ⇒ dx = u′ − sin x 2sin x du du = −2 ∫ Khi đó: I = ∫ u − sin x u − ln u + C = − ln cos x + C = cos x dx d) I = ∫ (1 − sin x)3 du du = Đặt: u = – 2sinx ⇒ dx = u′ −2 cos x du Khi đó: I = ∫ 3cos x u −2 cos x 3 = − ∫ du = + C = + C u 2u 4u +C = 4(1 − 2sin x)2 cos x dx e) I = ∫ sin x du du = Đặt: u = sinx ⇒ dx = u′ cos x du = ∫ du Khi đó: I = ∫ cos x u cos x u 1 +C = − +C=− 4u 4sin x dx − f) I = ∫ = (3x − 2) dx ∫ 3x − du du = Đặt: u = 3x – ⇒ dx = u′ 1 − du − Khi đó: I = ∫ u = ∫ u du = u + C 3 du du = u′ cos x − du −1 ⇒ I = ∫ cos.u = ∫ u du cos x Khi đó: I = ∫ u sin x Đặt: u = 2sinx + ⇒ dx = 1 u2 = + C = u + C = 2sin x + + C 2 Bài 5: Tính: a) I = ∫ sin xdx 1 (1 − cos 2x)dx = ∫ dx − ∫ cos 2xdx ∫ 2 1 1 = x − sin 2x + C = x − sin 2x + C 2 2 4 b) I = ∫ cos xdx = 2 = ∫ (cos x) dx = ∫ [ (1 + cos 2x)] dx 1 = ∫ (1 + cos 2x) dx = ∫ (1 + cos2x + cos2 2x)dx 4 1 = ∫ dx + ∫ cos 2xdx + ∫ cos 2xdx 4 1 = x + sin 2x + ∫ (1 + cos 4x)dx 4 1 1 = x + sin 2x + x + sin 4x + C 4 32 1 = x + sin 2x + sin 4x + C 32 c) I = ∫ cos xdx (3x − 2) u +C= +C 3 2x dx = 2x(3 − x )− dx g) I = ∫ ∫ − x2 du du = Đặt: u = – x2 ⇒ dx = u′ −2x 1 − − du Khi đó: I = ∫ 2x.u = − ∫ u du −2x = 2 h) I = ∫ Ghi nhớ sin x = (1 − cos 2x) cos2 x = (1 + cos 2x) sin3 x = (3sin x − sin 3x) cos3 x = (3cos x + cos3x) sin a.sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] cos a.cos b = [cos(a − b) + cos(a + b)] sin a.cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)] cos a.sin b = [sin(a + b) − sin(a − b)] sin x + cos2 x = u2 − = + C = −2 u + C = −2 − x + C cos x dx = cos x.(2sin x + 3)− dx ∫ sin x + 2 = ∫ cos x.cos xdx = ∫ (1 − sin x) cos xdx du du = u′ cos x du = ∫ (1 − u2 )du Khi đó: I = ∫ (1 − u ).cos x cos x u sin x = ∫ du − ∫ u du = u − + C = sin x − +C 3 d) I = ∫ sin xdx Đặt: u = sinx ⇒ dx = Ghi nhớ ax + bx + c C dx = ∫ (Ax + B)dx + ∫ dx dx + e dx + e P(x) dx Nếu bậc P(x) < bậc Q(x): ∫ Q(x) P(x) P(x) A B = = + a Q(x) (x − a)(x − b) x − a x − b P(x) P(x) = b Q(x) (x − α)(ax + bx + c) A Bx + C + = với ax2 + bx + c = 0: VN x − α ax + bx + c P(x) P(x) A B = = + c 2 Q(x) (x − a) (x − a) x − a P(x) P(x) = d Q(x) (x − a)(x − b)3 A B C D + + + = x − a (x − b) (x − b) x − b 2 = ∫ sin x.sin xdx = ∫ (1 − cos x) sin xdx du du = u′ − sin x du ⇒ I = ∫ (1 − u2 )2 sin x = − ∫ (1 − u2 )2 du − sin x 4 = − ∫ (1 − 2u + u )du = − ∫ du + ∫ u du − ∫ u du Đặt: u = cosx ⇒ dx = u2 2u3 u + − +C cos x cos3 x cos5 x =− + − +C e) I = ∫ sin x cos xdx =− Bài 6: Tính: x − 3x + a) I = ∫ dx x−2 )dx = ∫ xdx − ∫ dx + ∫ dx = ∫ (x − + x−2 x−2 x2 = − x + ln x − + C − 2x dx b) I = ∫ x − 5x + − 2x dx Đặt: = ∫ (x − 2)(x − 3) − 2x A B A(x − 3) B(x − 2) = + = + (x − 2)(x − 3) x − x − x −2 x −3 ⇒ – 2x = A(x – 3) + B(x – 2) • Chọn: x = ⇒ –5 = B ⇔ B = –5 • Chọn: x = ⇒ –3 = – A ⇔ A = 3 − )dx Khi đó: I = ∫ ( x−2 x−3 = 3ln x − + 5ln x − + C 2 2 = ∫ sin x cos x cosxdx = ∫ sin x(1 − sin x)cosxdx du du = u′ cos x du ⇒ I = ∫ u2 (1 − u2 ).cos x = u2 (1 − u )du cos x ∫ 4 = − ∫ (u − u )du = ∫ u du − ∫ u du Đặt: u = sinx ⇒ dx = u3 u sin3 x sin x = − +C= − +C 5 e) I = ∫ sin 3x cos 2xdx 1 (sin 5x + sin x)dx = ∫ sin 5xdx + ∫ sin xdx ∫ 2 1 = − cos 5x − cos x + C 10 f) I = ∫ cos 3x cos 7xdx = = ∫ cos 7x cos3xdx = ∫ (cos 4x + cos10x)dx 2∫ 1 cos 4xdx + ∫ cos10xdx ∫ 2 1 = sin 4x + sin10 + C 20 = b) I = 5x − ∫ (x − 1) dx 5x − A B C = + + 3 (x − 1) (x − 1) (x − 1) x − A B(x − 1) C(x − 1)2 + + = (x − 1)3 (x − 1)2 x −1 ⇒ 5x – = A + B(x – 1) + C(x – 1) • Chọn: x = ⇒ = A ⇔ A = • Chọn: x = 0: ⇒ – = A – B + C • Chọn: x = 2: ⇒ = A + B + C Suy ra: A = 4, B = 5, C = Đặt: Khi đó: I = ∫ (x − 1) dx + ∫ dx (x − 1)2 Bài 5: Tính a) ∫ cos(3x − 5)dx ( sin(3x − 5) ) π  π  b) ∫ sin  − x ÷dx ( cos  − x ÷ ) 4  4  2 c) ∫ 2x sin(x )dx (- cos(x )) −3 −2 = ∫ (x − 1) dx + 5∫ (x − 1) dx −2 4(x − 1)−2 5(x − 1)−1 − +C + +C = (x − 1) x − −2 −1 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính a) ∫ ( 4x − 3) dx ( (4x − 3) ) 28 (2 − x )6 b) ∫ x(2 − x ) dx ( − ) 12 ln x ln x dx ( c) ∫ ) x ln x ln x d) ∫ ) dx ( x sin x cos2 x sin x.cos xdx e) ∫ ( ) hay − 2 sin3 x f) ∫ sin x.cos xdx ( ) cos5 x g) ∫ cos x.sin xdx ( − ) Bài 2: Tính 3dx a) ∫ ( ln 4x − ) 4x − x dx ( ln x − ) b) ∫ x −3 2 x dx ( − c) ∫ ) 6(2x3 + 1) (2x + 1) = 1 d) ∫ sin 2x.cos xdx ( − cos 2x + cos 4x ) 16 Bài 6: Tính x −1 x −1 a) ∫ e dx ( e ) x2 + x2 + b) ∫ xe dx ( e ) cosx c) ∫ e sin xdx ( −ecosx ) Bài 7: Tính 1 a) ∫ cos xdx ( x + sin 2x ) 3 b) ∫ sin xdx ( cos x − cos x ) sin x sin5 x c) ∫ cos xdx ( sin x − ) + 1 d) ∫ sin xdx ( x − sin 2x + sin 4x ) 32 Bài 8: Tính 1 a) ∫ sin 5x.sin 3xdx ( sin 2x − sin 8x ) 16 1 b) ∫ sin 5x.cos 3xdx ( − cos 8x − cos 2x ) 1 1+ x dx ( ln c) ∫ ) (1 + x)(1 − 2x) − 2x x−3 dx ( ln d) ∫ ) x +1 x − 2x − dx e) ∫ (tanx – cotx) cos x.sin x x  1 dx ( − ) f) ∫  (x + 1) (x + 1)  4(x + 1)  d) ∫ tan xdx ( − ln cos x ) e) ∫ cot xdx ( ln sin x ) cos x dx ( − ) x 2sin x sin x dx ( − ln cos x + ) g) ∫ cos x + Bài 3: Tính f) a) ∫ sin ∫ 5x + 3dx ( (5x + 3) ) 15 b) ∫ 2x x − 5dx ( (x − 5) ) c) ∫ cos x sin x + 1dx ( (3 sin x + 1) ) Bài 4: Tính dx a) ∫ ( − (2 − 3x) − 3x xdx b) ∫ ( x2 + ) x +3 sin xdx c) ∫ ( −2 cos x + ) cos x + Khi đó: I = xsinx – ∫ sin xdx = xe2x + cosx + C III TÌM NGUN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN Phương pháp: d) I = ∫ (2 − x) cos 2xdx Đặt: du = (2 − x)′dx du = −dx u = − x ⇒ ⇒  dv = cos 2xdx v = ∫ cos 2xdx  v = sin 2x 1 Khi đó: I = (2 – x)sin2x – ∫ sin 2xdx 2 1 = (2 – x)sin2x + cos2x + C Cách 2: I = ∫ cos 2xdx − ∫ x cos 2xdx = I1 – I2 Ghi nhớ Cơng thức: ∫ udv = uv − ∫ vdu Nếu ∫ P(x)sin(ax + b)dx  u = P(x) đặt:  dv = sin(ax + b)dx Nếu ∫ P(x) cos(ax + b)dx  u = P(x) đặt:  dv = cos(ax + b)dx ax + b dx Nếu ∫ P(x)e * Tính I1 = ∫ cos 2xdx = ∫ cos 2xdx = sin 2x + C * Tính I2 = ∫ x cos 2xdx Đặt: du = dx du = x′dx u = x  ⇒ ⇒  dv = cos 2xdx v = ∫ cos 2xdx v = sin 2x  1 Khi đó: I2 = xsin2x – ∫ sin 2xdx 2 1 = xsin2x + cos2x + C 1 Vậy: I = I1 – I2 = sin2x – xsin2x + cos2x + C 1 = (1 – x)sin2x + cos2x + C e) I = ∫ (x + 1) sin xdx Đặt:  u = P(x) đặt:  ax + b dv = e dx Nếu ∫ P(x) ln(ax + b)dx  u = ln(ax + b) đặt:  dv = P(x)dx ax + b sin(ax + b)dx Nếu ∫ e  u = eax + b đặt:  dv = sin(ax + b)dx ax + b cos(ax + b)dx Nếu ∫ e  u = eax + b đặt:  dv = cos(ax + b)dx du = (x + 1)′dx du = 2xdx u = x2 + ⇒ ⇒   v = − cos x dv = sin xdx  v = ∫ sin xdx Khi đó: I = – (x2 + 1)cosx + ∫ x cos xdx = – (x2 + 1)cosx + 2I1 * Tính I1 = ∫ x cos xdx Bài tập mẫu: Bài 1: Tính: x a) I = ∫ xe dx du = x′dx u = x du = dx ⇒ ⇒ Đặt:  dv = cos xdx v = ∫ cos xdx v = sin x du = x′dx u = x du = dx ⇒ ⇒ Đặt:    x x x dv = e dx v = ∫ e dx v = e Khi đó: I1 = xsinx – ∫ sin xdx = xsinx + cosx + C Vậy: I = – (x2 + 1)cosx + 2I1 = – (x2 + 1)cosx + 2xsinx + 2cosx + C = – x2cosx + cosx + 2xsinx + C Cách 2: I = ∫ x sin xdx + ∫ sin xdx = I1 – I2 x Khi đó: I = xex – ∫ e dx = xex – ex + C 2x b) I = ∫ 2xe dx du = (2x)′dx du = 2dx  u = 2x ⇒ ⇒ Đặt:  2x 2x 2x dv = e dx v = ∫ e dx  v = e 2x 2x Khi đó: I = xe2x – ∫ e dx = xe2x – e + C c) I = ∫ x cos xdx * Tính I1 = ∫ x sin xdx Đặt: du = (x )′dx du = 2xdx u = x2 ⇒ ⇒  dv = sin xdx  v = ∫ sin xdx v = − cos x Khi đó: I1 = – x2cosx + ∫ x cos xdx = – x2cosx + 2I3 * Tính I3 = ∫ x cos xdx (ở trên) du = x′dx u = x du = dx ⇒ ⇒ Đặt:   dv = cos xdx v = ∫ cos xdx v = sin x b) ∫ x cos xdx (xsinx + cosx) Suy ra: I1 = – x2cosx + 2xsinx + 2cosx + C * Tính I2 = ∫ sin xdx = – cosx + C Vậy:I = I1 – I2 = – x2cosx + 2xsinx + 2cosx – cosx = – x2cosx + cosx + 2xsinx + C f) I = ∫ ln xdx c) ∫ 2x ln xdx (x2lnx – x d) ∫ (1 + x)e dx (xex) x e) ∫ (1 + e )xdx (   u = ln x du = (ln x)′dx du = dx ⇒ ⇒ x Đặt:  dv = dx  v = ∫ dx  v = x x2 ) x2 + xe x − e x ) Bài 2: Tính a) ∫ 2x cos xdx (2xsinx + 2cosx) Khi đó: I = xlnx – ∫ dx = xlnx – x + C 2x 2x 2x b) ∫ xe dx ( xe − e ) g) I = ∫ 2x ln(1 − x)dx  u = ln(1 − x) du = [ln(1 − x)]′dx ⇒ Đặt:  dv = 2xdx v = ∫ 2xdx c) ∫ (2x − 1) ln xdx ( (x − x) ln x − x2 +x) 1 d) ∫ x sin 2xdx ( − x cos 2x + sin 2x ) e) ∫ (x + 1)sin xdx (– (x + 1)cosx + sinx) −1  dx du = ⇒ 1− x v = x  f) ∫ (1 − x) cos xdx ((1 – x)sinx – cosx) Bài 3: Tính 1 2x 2x 2x a) ∫ (1 + x) e dx ( (1 + x)e − e + C ) 2 2 b) ∫ ln xdx (xln x – xlnx + x + C) x2 Khi đó: I = x2ln(1 – x) + ∫ dx 1− x )dx = x2ln(1 – x) + ∫ (−x − + 1− x dx = x2ln(1 – x) – ∫ xdx − ∫ dx + ∫ 1− x x2 = x2ln(1 – x) – – x – ln|1 – x| + C x h) I = ∫ e sin xdx −x c) ∫ e cos xdx ( -x e (sinx – cosx) + C) du = (e x )′dx u = ex ⇒ Đặt:  dv = sin xdx v = ∫ sin xdx du = e x dx ⇒ v = − cos x x Khi đó: I = – excosx + ∫ e cosx dx IV TÍCH PHÂN Phương pháp: Ghi nhớ = – excosx + I1 x * Tính I1 = ∫ e cosx dx b = F(b) − F(a) a a (gọi cơng thức Niutơn – Lepnit) b Cơng thức: ∫ f(x)dx = F(x) du = (ex )′dx  u = ex ⇒ Đặt:  dv = cos xdx v = ∫ cos xdx b b a a ∫ kf(x)dx = k ∫ f(x)dx x du = e dx ⇒ v = sin x x Khi đó: I1 = exsinx – ∫ e sin x dx b b b a a a ∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx a ∫ f(x)dx = = exsinx – I + C Vậy: I = – excosx + exsinx – I + C ⇒ 2I = – excosx + exsinx + C ⇒ I = ex (sinx – cosx ) + C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính x a) ∫ xe dx (xex – ex) a b a ∫ f(x)dx = − ∫ f(x)dx a b b c b a a c ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx (a < c < b) Bài tập mẫu: Bài 1: Tính tích phân sau: a) I = ∫ (x + 1)dx −1 = 3 −1 −1 ∫ x dx + ∫ dx = x4 +x −1 −1 81 − + − (−1) = 24 4 b) I = ∫ (2x − )dx x 2 1 −3x 1 1 = − (e −1 − e2 ) = − ( − e2 ) =− e 3 e dx = ∫ x dx − ∫ x −3dx x 1 1 −2 x x 2x 2 − = + = −2 2x 64 1 481 − + − = = 5 40 c) I = ∫ (4x − )dx x 8 8 1 − 23 = ∫ xdx − ∫ dx = ∫ xdx − ∫ x dx 31 31 1 x π e) I = sin 2xdx ∫ π 1 π = − cos 2x = − (cos − cos 0) = 2 2 2π π x 2π π 2π π = −4[sin( − ) − sin( − )] = – 4sin( − ) 4 4 4 = 2 − (−2 2) = Bài 3: Tính tích phân sau: π + sin x)dx cos x π π −π −π π π – 2tan0 – (3cos – 3cos0) = − 4 Bài 2: Tính tích phân sau: dx dx a) I = ∫ 4x + −2 c) I = ∫ 2 ∫ −π π ∫ = −π sin 2x sin 7xdx π sin 7x.sin 2xdx = ∫ (cos 5x − cos 9x)dx −π π 1 2 − (− ) = = ( sin 5x − sin 9x) = π 45 45 45 − dx (11 + 5x)−2 −1 −3 (11 + 5x) dx = = ∫ −2 −2 −2 −1 1 − (− ) = =− =− 10(11 + 5x) −2 360 10 72 π b) I = −1 2 cos 5x.cos3xdx = ∫ (cos 2x + cos8x)dx −π π 1 1 = ln 4x + = (ln − ln1) = ln 4 dx cos 3x cos 5xdx π 1 = ( sin 2x + sin 8x) =0 π 2 − = 2tan ∫ (11 + 5x) ∫ = π π dx + 3∫ sin xdx = tan x − cos x = 2∫ cos x 0 0 −1 ∫ a) I = π d) I = ( ∫ x π π ∫ cos ( − )dx f) I = 8 x2 x − = 2x − x = 1 1 3 = 128 – – ( − ) = 125 b) I = − 3x d) I = ∫ e dx = = ∫ x dx − ∫ 3 (1 − x)5 (1 − x) (1 − x) dx = − = − = ∫ 0 3 3 5 = − ( − 1) − (1 − 0) ) = − (− ) = 5 π c) I = ∫ (sin 2x cos 3x + 2)dx π = (1 − x) dx 2 ∫ cos3x.sin 2xdx + ∫ dx 0 π = π π 2 b) I = 2x + x ≥ −1 Ta có: 2x + =   −2x − x < −1 Vậy: I = c) I = x + 3x + dx b) I = ∫ x+3 0 −1 ∫ (−2x − 2)dx + ∫ (2x + 2)dx ∫x − dx 2 Vậy: I = ∫ (−x + 1)dx + ∫ (x − 1)dx 1 x x + x) + ( − x) 3 2 = − + − (− ) = = 3 3 Bài 6: Tính tích phân sau: = (− 2 1 + )dx = ∫ dx + 3∫ dx x−3 x+2 x−3 x+2 1 2 = ln x − + 3ln x + 1 = 2(ln1 − ln 2) + 3(ln − ln 3) = 4ln2 – 3ln3 π a) I = ∫ cos xdx = π ∫0 (1 + cos 2x)dx = 2 π ∫0 dx + 2 π ∫ cos 2xdx π π 1 π π = x + sin 2x = − + − = 4 0 Ghi nhớ A A ≥ A =  − A A < 2.Nếu f(x) = ax2 + bx + c có n0 phân biệt x1, x2 * Trường hợp 1: a > + f(x) > ⇔ x < x1 x > x2 (x1 < x2) + f(x) < ⇔ x1 < x < x2 (x1 < x2) * Trường hợp 2: a < + f(x) > ⇔ x1 < x < x2 (x1 < x2) + f(x) < ⇔ x < x1 x > x2 (x1 < x2) π b) I = ∫ sin xdx Cách 1: I = = π π ∫ (3sin x − sin 3x)dx π ∫0 sin xdx − ∫0 sin 3xdx π π = − cos x + cos3x 12 0 Bài 5: Tính tích phân sau: a) I = −2  x − x ≤ −1 ∨ x ≥ Ta có: x − =   −x + − < x < 1 x2 + ln x + = 1 = − + 2(ln − ln 3) = + ln 2 5x − dx c) I = ∫ x −x−6 2 )dx = ∫ xdx + ∫ dx x+3 x+3 0 = ∫( −1 −1 2 = (− x − 2x) + (x + 2x) −2 −1 = – + – (– 1) = 10 1 = x − ln x + = − − (ln − ln1) = − ln 0 = ∫ (x + ∫ 2x + dx −2 1 )dx = ∫ dx − ∫ dx = ∫ (1 − x +1 x +1 0 1 x x2 1 = (x − ) + (− x + ) = – + – (– ) = 2 2 2 = – + π– = – + π 5 Bài 4: Tính tích phân sau: x dx a) I = ∫ x +1 π π 1 = (− cos 5x + cos x) + 2x 2 0 Vậy: I = ∫ (1 − x)dx + ∫ (−1 + x)dx ∫ (sin 5x − sin x)dx + ∫ dx ∫ − x dx 1 − x x ≤ Ta có: − x =  −1 + x x > = – (– 10 )+0– = 12 dx π ( ) d) ∫ 4+x 3 Khi đó: I = ∫ u V TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Phương pháp: b) I = ∫ x(x − 2) dx du du = (x − 2)′ 2x  x =  u = −1 ⇒ Đổi cận:  x =  u = Đặt: u = x2 – ⇒ dx = Ghi nhớ b I = ∫ f ( x)dx a * Nếu f(x)dx = g[ ϕ (x)] ϕ′ (x)dx thì: Đặt u = ϕ (x) du ⇒ du = ϕ′(x)dx ⇒ dx = ϕ′(x)  x = a  u = ϕ(a) ⇒ Đổi cận:   x = b  u = ϕ(b) ϕ(b) Vậy: I = ∫ du = ∫ u du 21 4 u u 81 80 = = − = = 10 = 8 8  π π HD: Đặt: x = tant, t ∈  − ; ÷  2 Khi đó: I = ∫ xu −1 2 du = u du 2x −∫1 u u5 16 33 = = − (− ) = −1 10 −1 10 10 = 1 0 2 c) I = ∫ 2x x + dx = ∫ 2x(x + 3) dx du du = (x + 3)′ 2x x = u = ⇒ Đổi cận:  x = u = g(u)du Đặt: u = x2 + ⇒ dx = ϕ(a) Chú ý: Nếu hàm số có chứa dấu ngoặc kèm theo lũy thừa đặt u phần bên dấu ngoặc Nếu hàm số có chứa mẫu số đặt u mẫu số Nếu hàm số có chứa thức đặt u phần bên dấu thức thức dx Nếu tích phân có chứa đặt u = lnx x Nếu tích phân có chứa exdx đặt u = ex dx Nếu tích phân có chứa đặt u = x x dx Nếu tích phân có chứa đặt u = x x Nếu t.phân có chứa sinxdx đặt u = cosx Nếu t.phân có chứa cosxdx đặt u = sinx dx 10 Nếu có chứa đặt u = tanx cos2 x dx 11 Nếu có chứa đặt u = cotx sin x Khi đó: I = ∫ 2xu 2 du = ∫ u du 2x −1 u u3 2 = ( 64 − 27) = (8 − 3) = 3= 3 3 ∫ d) I = 4x x2 + dx = − ∫ 4x(x + 1) dx Đặt: u = x2 + ⇒ dx = du du = (x + 1)′ 2x u =  x = ⇒ Đổi cận:   x =  u = 4 2 − du = ∫ u du Khi đó: I = ∫ 4x.u 2x 1 − u = 1 = u = 4( − 1) = 4(2 − 1) = x2 dx e) I = ∫ x +2 −1 du du = Đặt: u = x3 + ⇒ dx = (x + 2)′ 3x  x = −1  u = ⇒ Đổi cận:  x = u = Bài 1: Tính tích phân sau: a) I = ∫ (2x + 1) dx du du = (2x + 1)′ x = u = ⇒ Đổi cận:  x = u = Đặt: u = 2x + ⇒ dx = 13 u u2 1 xdu = udu = = Khi đó: I = ∫ ∫ x 2 0 x du du Khi đó: I = ∫ = ∫ u 3x 31 u 1 = ln u = (ln − ln1) = ln 3 3 e 4x dx f) I = ∫ (x + 1)2 du du = (x + 1)′ 4x x = u = ⇒ Đổi cận:  x = u = 2 Khi đó: I = ∫ 4x f) I = ∫ x(1 − x) dx e2 du = −du x = – u (1 − x)′ x = u = ⇒ Đổi cận:  x = u = Đặt: u = – x ⇒ dx = 5 Khi đó: I = ∫ (1 − u).u (−du) = − ∫ (u − u )du u u 1 = −( − ) = − ( − ) = 42 42 7 g) I = x +1 ∫ 3x + − e2 − 1 − Khi đó: I = u xdu = u du ∫3 x ∫3 u = u = − =2− 3 Bài 3: Tính tích phân sau: dx = 3x + ⇒ u3 = 3x + ⇒ 3u2du = 3dx u3 − ⇒ dx = u2du x =  x = u = ⇒ Đổi cận:    x =  u = u3 − +1 2 Khi đó: I = ∫1 u u du = ∫1 (u + 2u)du u5 52 46 2 − = = ( +u ) = 15 15 Bài 2: Tính tích phân sau: e ln x dx a) I = ∫ x du du dx = = = xdu Đặt: u = lnx ⇒ (ln x)′ x x =  u = ⇒ Đổi cận:  x = e  u = Đặt: u = dx c) I = ∫ = (2 + ln x) dx ∫e x e 2x + ln x du du dx = = = xdu Đặt: u = + lnx ⇒ (2 + ln x)′ x x = e u = ⇒ Đổi cận:  u = x = e u 2 u3 2 = ( − 1) = 1= 3 12 1 = −( − 1) = =− u1 2 ∫ Khi đó: I = u xdu = u du ∫1 x ∫1 du = ∫ du u 4x u 1 2 e (1 + ln x) dx x 1 du du dx = = = xdu Đặt: u = + lnx ⇒ (1 + ln x)′ x x =  u = ⇒ Đổi cận:  x = e  u = ∫ b) I = Đặt: u = x4 + ⇒ dx = + ln x dx = x 3x − dx a) I = ∫ e du du = (3x − 2)′  x =  u = −2 ⇒ Đổi cận:  x = u = Đặt: u = 3x – ⇒ dx = u ∫e ⇒ I= −2 = du u = e du 3 −∫2 u e = (e4 − e −2 ) −2 x b) I = ∫ xe dx du du = (x )′ 2x x = u = ⇒ Đổi cận:  x = u = Đặt: u = x2 ⇒ dx = 14 ⇒ I = ∫ xe u ln 1 du u = ∫ e du = e u = e1 − e = e − 2x ∫ (3 + e ) e c) I = x x π dx Đặt: u = sinx ⇒ dx = du du = x x (3 + e )′ e x = u = ⇒ Đổi cận:   x = ln  u = Khi đó: I = ∫ u cos x du Khi đó: I = ∫ u e x = ∫ u du e 4 u 625 369 = − 64 = = 4 4 ln ∫ d) I = x π du du = (cos x)′ − sin x  x =  u = ⇒ Đổi cận:   x=π u=   ex dx + ex Khi đó: I = ∫ ∫ π e x (3 − e x ) dx c) I = du du = x x (3 − e )′ −e x = u = ⇒ Đổi cận:   x = ln  u = 1 x Khi đó: I = ∫ e u = ∫ (1 + 4sin x)2 cos xdx du du = (1 + sin x)′ cos x  x = u = ⇒ Đổi cận:   π  x =  u = 3 du 21 = u du Khi đó: I = ∫ u cos x cos x ∫1 u2 3 u = ( 27 − 1) = 1= 6 cos x ∫ e sin x dx du du = (cos x)′ − sin x π d) I =  x = u = ⇒ Đổi cận:   π  x =  u = 0 Đặt: u = + 4sinx ⇒ dx = 1 du = − u ∫2 du −e x Đặt: u = cosx ⇒ dx = + sin x cos xdx f) I = ∫ π u2 u3 2 − = − = − (1 − 8) = ( − 1) = 3 3 π Đặt: u = – ex ⇒ dx = ∫ sin x du du = − ∫ u − sin x u4 1 = 2= − = 3u 3 5 ex du du ⇒ I= ∫ x =∫ = ln u = ln − ln = ln u e u 3 ln 2 ex − ex dx = sin x dx x Đặt: u = cosx ⇒ dx = du du = x x (2 + e )′ e x = u = ⇒ Đổi cận:   x = ln  u = ln du u4 1 = ∫ u3du = = cos x 4 ∫ cos b) I = Đặt: u = + ex ⇒ dx = e) I = du du = (sin x)′ cos x  x = u = ⇒ Đổi cận:  π  x =  u = Đặt: u = + ex ⇒ dx = x cos x dx 0 ∫ sin a) I = ∫ sin x cos xdx π = du u = − ∫ e udu Khi đó: I = ∫ e sin x − sin x 1 u 0 = −e = −(e − e ) = −(1 − e) = e − 1 Bài 4: Tính tích phân sau: ∫ π 2 sin x.cos x.sin xdx = Đặt: u = sinx ⇒ dx = ∫ sin x(1 − sin x).sin xdx du du = (sin x)′ cos x  x = u = ⇒ Đổi cận:   π  x =  u = 15 2 Khi đó: I = ∫ u (1 − u ).cos x x = u = ⇒ Đổi cận:  x = u = 3 u u2 2udu = du Khi đó: I = ∫ ∫ u − u − 2 du = ∫ (u − u )du cos x u3 u =( − ) = 15 π e) I = u2 )du = 2( + u + ln u − 1) = ∫ (u + + u −1 2 = + + 2ln2 – – – 2ln1 = + 2ln2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính tích phân sau: 1 127 (3x − 2) dx ( − ) ) a) ∫ b) ∫ x(x + 1) dx ( 14 0 ∫ cos xdx π = π ∫ cos x.cos xdx = ∫ (1 − sin 2 x).cos xdx du du = (sin x)′ cos x Đặt: u = sinx ⇒ dx =  x = u = ⇒ Đổi cận:  π  x =  u = 1 du = ∫ (1 − u2 )du ⇒ I = ∫ (1 − u2 ).cosx cosx 0 = (u − π f) I = ∫ sin e) = i) 2 ∫ (1 − cos x) sin xdx f) x dx ( ln ) +2 2 6x + 13 dx (ln ) + x −1 ∫ 3x − ) 3 ∫ −1 ) 2012.2011 Bài 2: Tính tích phân sau: e2 a) ∫ e2 ln x dx (2) x e + ln x dx ( ) c) ∫ x e2 e) ∫x e dx ∫ x ln x (ln 2) b) e e + ln x dx ( ) d) ∫ x dx (2 − 2) + ln x e (1 + ln x)2 dx ( ) f) ∫ x e g) sin(ln x) dx (1 − cos1) x ∫ e + ln x dx (6 − 3 6) x Bài 3: Tính tích phân sau: 1 2x +1 a) ∫ e dx ( (e − e)) h) + u3 ∫1 u2 6u du = 6∫1 (u + u )du u u 936 33 1839 − = = 6( + ) = 7 14 14 ∫ 2 2010 j) ∫ x(1 − x) dx ( ∫ Khi đó: I = b) ex 1+ e ∫0 + ex dx (ln ) d) ∫ 2xe x ln c) π x2 +1 dx (e − e) e) ∫e sin x x ) ex dx ( 175 ) cos xdx (e − 1) 1 x4 f) ∫ x e dx( (e − 1)) 16 ∫ (2 + e 0 dx x − Đặt: u = x ⇒ u2 = x ⇒ dx = 2udu b) I = ∫x (2 − 2) x2 + 2x + dx (6 − 3) x2 + x + 0 2u3 u5 8 + ) = − (− ) = = −(u − 15 15 Bài 5: Tính tích phân sau: 64 1+ x dx a) I = ∫ x Đặt: u = x ⇒ u6 = x ⇒ dx = 6u5du ⇒ x = u3, x = u2 x = u = ⇒ Đổi cận:   x = 64  u = dx ( ln 2) d) 2xdx ∫ du du = Đặt: u = cosx ⇒ dx = (cos x)′ − sin x  x = u = ⇒ Đổi cận:   π  x =  u = 0 du 2 (1 − u ) sin x = − (1 − 2u2 + u )du ⇒ I= ∫ ∫ − sin x 1 h) π ∫ sin x.sin xdx = ∫ 2−x g) ∫ x x + 1dx ( xdx 2 π x u3 ) = 3 243 ) c) ∫ (x − 1) xdx ( g) e x ∫1 x dx (e − e) ln ex ∫ h) + ex ln3 VI TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN Phương pháp: dx (2 − 2) 2 + e x dx ( ( 125 − 27)) Bài 4: Tính tích phân sau: i) ∫e π x a) ∫ tan xdx (− ln ) HD: π π π π d) ∫ cos3 x sin xdx ( ) π f) h) π ∫ π = ∫ π π thành dạng I = ∫ udv a ∫0 cos xdx ( 15 )  u = du = (tính vi phân được) ⇒ * Đặt:  dv = v = (tính tích phân được) * Vận dụng cơng thức tích phân phần: b b b ∫a udv = uv a − ∫a vdu * Chú ý:  P(x)sin(ax + b)  Nếu f(x) có dạng:  P(x) cos(ax + b)  P(x)eax + b  sin(ax + b)dx  đặt: u = P(x); dv =  cos(ax + b)dx eax + b dx  Nếu f(x) có dạng: P(x)ln(ax + b)  u = ln x đặt:  dv = P(x)dx cos x g) ∫ cos x sin xdx ( π ∫ ) 15 sin x sin x dx cos2 x (1 − cos2 x) sin x dx Đặt: u = cosx cos2 x i) ∫ cos x sin xdx ( ) b π cos x dx ( ) x sin3 x dx ( )HD : cos x π a sin x dx cos x ∫ + sin x dx (ln 2) e) ∫ sin π 2 Phân tích I = ∫ f ( x)dx ∫ tan xdx = ∫ 15 b) ∫ (1 + sin x)3 cos xdx ( ) c) π Ghi nhớ b π j) ∫ sin xdx ( ) + cos x.sin xdx ( (2 − 1)) Bài 4: Tính tích phân sau: 64 dx dx (2 − ln 2) (11 − ln ) a) ∫ b) ∫ 3 + x x + x k) ∫ Bài tập mẫu: Bài 1: Tính tích phân sau: π a) I = ∫ x sin xdx u = x du = dx ⇒ Đặt:  dv = sin xdx v = − cos x π π2 Khi đó: I = − x cos x + ∫ cos xdx 0 π π π = − cos − (−0 cos 0) + sin x 2 = + sin π b) I = π – sin = 2 ∫ x cos 2xdx du = dx u = x  ⇒ Đặt:  dv = cos 2xdx v = sin 2x  17 u = x du = dx ⇒ Đặt:   x x dv = e dx v = e x x Khi đó: I = xe − ∫ e dx 0 π π 1 Khi đó: I = x sin 2x − ∫ sin 2xdx 2 0 π π 1 = sin π − ( 0.sin 0) + cos 2x 2 2 =0+ 1 1 cos π – cos = − – = – 4 4 π c) I = x = 1.e − 0.e − e = e – (e1 – e0) = 3x b) I = ∫ xe dx ∫ (1 − x) cos xdx du = dx u = x  ⇒ Đặt:  3x 3x dv = e dx v = e  3x 3x − e dx Khi đó: I = xe ∫0 u = − x du = −dx ⇒ * Cách 1: Đặt:  dv = cos xdx v = sin x π π2 Khi đó: I = (1 − x)sin x + ∫ sin xdx 0 = π π π = (1 − )sin − [(1 − 0)sin 0] − cos x 2 2 1 2.e6 − 0.e − e3x 3 = 2e6 2e6 e6 5e6 −( e − e ) = − + = − 9 9 9 π π π π =1– – (cos – cos0) = – + = – 2 2 −x c) I = ∫ (2x − 1)e dx π * Cách 2: I =  u = 2x − du = 2dx ⇒ * Cách 1: Đặt:  −x −x dv = e dx v = −e −x + ∫ e − x dx Khi đó: I = −(2x − 1)e 0 ∫ (1 − x)cosxdx π = π ∫ (cosx − x cosx)dx = π ∫ cosxdx − ∫ x cosxdx 0 −x = – (2.1 – 1) e −1 – [– (2.0 – 1)e0] – 2e π π Tính I1 = ∫ cosxdx = sin x = sin − sin = 0 π π Tính I2 = = – e −1 – – (2 e −1 – 2e0) = – e −1 + 1 1 0 −x −x −x * Cách 2: I = ∫ (2x − 1)e dx = ∫ 2xe dx − ∫ e dx ∫ x cosxdx −x Tính I1 = ∫ 2xe dx u = x du = dx ⇒ Đặt:  dv = cos xdx v = sin x π π2 Khi đó: I2 = x sin x − ∫ sin xdx 0  u = 2x du = 2dx ⇒ Đặt:   −x −x dv = e dx v = −e −x + ∫ e− x dx Khi đó: I = −2xe 0 π π π = sin − (0sin 0) + cos x 2 −x = – 2.1 e −1 – (– 2.0.e0) – 2e = – e −1 – (2 e −1 – 2e0) = – e −1 + −x −x = −(e −1 − e ) = −e−1 + Tính I2 = ∫ e dx = −e 0 π π π = + (cos – cos0) = –1 2 π π Vậy: I = I1 – I2 = – + = – 2 Bài 2: Tính tích phân sau: Vậy: I = I1 – I2 = – e −1 + + e −1 – = – e −1 + 1 x a) I = ∫ xe dx 18   u = ln x du = dx ⇒ x Đặt:  dv = (4x + 1)dx v = 2x + x  e e (2x + x) ln x − (2x + 1)dx Khi đó: I = ∫1 e = (2e2 + e)lne – (2 + 1)ln1 – (x + x) 2 = 2e + e – [e + e – (1 + 1)] = e – Bài 4: Tính tích phân sau: Ghi nhớ b  u = ln x ∫ ln xdx đặt:  dv = dx a  u = ln(x + 1) ln(1 + x)  dx đặt:  ∫ x a  dv = x dx b Bài 3: Tính tích phân sau: e π a) I = ∫ ln xdx a) I = b) I = ∫ π = cosxdx + ∫ x cosxdx = I1 + I2 ∫e sin x cosxdx Đặt: u = sinx ⇒ dx = du du = u′ cosx x = u =  Đổi cận:  π⇒ u =  x = 1 du u = ∫ e u du Khi đó: I1 = ∫ e cosx cosx 0 u =e = e1 − e = e − π * Tính I2 = e2 1 = − ln e − (− ln1) – 4x 2e 2.1 1 1 1 = − −( − ) = − − + = − e 4e 4.1 e 4e 4 4e ∫ x cosxdx u = x du = dx ⇒ Đặt:  dv = cos xdx v = sin x π π2 Khi đó: I = x sin x − ∫ sin xdx 0 c) I = ∫ ln(1 + x)dx  dx  u = ln(1 + x) du = ⇒ 1+ x Đặt:  dv = dx  v = x 1 x x.ln(1 + x) + dx Khi đó: I = ∫0 + x = ln2 – (x – ln|1 + x|) ∫e e2 e 1 ln x + dx 2x 2 ∫1 x3 + x) cos xdx π sin x * Tính I1 = = 1.ln2 – 0.ln1 – ∫ (1 − sin x π  du = dx  u = ln x    x ⇒ Đặt:  dv = x3 dx v = − 2x  ln x dx x3 Khi đó: I = − ∫ (e   u = ln x du = dx ⇒ x Đặt:  dv = dx v = x  e e Khi đó: I = x ln x − ∫ dx 1 e = elne – 1.ln1 – x = e – (e – 1) = 1 e2 π π π = sin – 0sin0 + cos x 2 π π π + cos – cos0 = – 2 π π Vậy: I = I1 + I2 = e – + – = e – + 2 = )dx 1+ x x b) I = ∫ 2x(e − x)dx 0 1 = ∫ 2xe dx − ∫ 2x dx = I1 – I2 = ln2 – [1 – ln2 – (0 + ln1)] = 2ln2 – x 0 e x * Tính I1 = ∫ 2xe dx d) I = ∫ (4x + 1) ln xdx 19  u = 2x du = 2dx ⇒ Đặt:   x x dv = e dx v = e x x x Khi đó: I1 = 2xe − ∫ e dx = 2e – 2e 0 = 2e – (2e – 2e0) = 2e – 2e + = 1 31 2 * Tính I2 = ∫ 2x dx = ∫ x dx = x = 3 0 VII ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Phương pháp: Ghi nhớ Diện tích hình phẳng: a) Dạng 1: Diện tích hình thang cong giới hạn y = f(x) liên tục [a; b]  đường: y = (trục hoành 0x) = 3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính tích phân sau: x = a; x = b  Vậy: I = I1 – I2 = – π c) b) ∫ 2x cos xdx (−4) π π π d) π ∫ x cos 2xdx ( − ) HD: sinxcosx = sin2x π e) ∫ x sin x cos xdx ( ) π π a b α b a a α b) Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn y = f(x) liên tục [a; b] g) a S = ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx ∫ (x − 1) cos xdx ( − 2) π b + Nếu (*) có nghiệm α ∈ [a; b] b S = ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx ∫ x sin 2xdx ( ) f) a * Cách tính diện tích: B.1: Giải p trình: f(x) = (*) B.2: + Nếu (*) VN (*) có n0 ∉ [a; b] π π a) ∫ x cos xdx ( − 1) π b S = ∫ f(x)dx  ∫ (2 − x)sin 3xdx ( ) đường: y = g(x) liên tục [a; b] Bài 2: Tính tích phân sau: x a) ∫ xe dx (e + 1) b 1 2x b) ∫ xe dx ( (e + 1)) S = ∫ f(x)−g(x) dx a * Cách tính diện tích: B.1: Giải p trình: f(x) – g(x) = (**) B.2: + Nếu (**) VN (**) có n0 ∉ [a; b] e 2x −1 x c) ∫ xe dx ( + ) d) ∫ (x + 1)e dx (e) 4e 0 Bài 3: Tính tích phân sau: e e2 x ln xdx ( + ) a) ∫ 4 ln x 15 ln dx ( − ) x 256 64 Bài 3: Tính tích phân sau: ∫ ∫ x(2 + sin x)dx ( e π c) ∫ (e cos x α b a α Bài tập mẫu: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3, trục hồnh hai đường thẳng x = – 1, x = Giải: Ta có: x3 = ⇔ x = ∈ [– 1; 2] Diện tích hình phẳng là: π2 + 1) b) ∫ 2x(3x + ln x)dx (2e + a Chú ý: Nếu chưa có cận tìm cận cách: a) Giải PT: f(x) = g(y) = ⇒ x = a; x = b y = a; y = b b) Giải PT: f(x) = g(x) ⇒ x = a; x = b c) ∫ (2x − 1) ln xdx (2 ln − ) 2 a S = ∫ [ f(x) − g(x)] dx + ∫ [ f(x) − g(x)] dx a) b + Nếu (**) có n0 α ∈ [a; b] 17 b) ∫ (3x + 2) ln xdx (10 ln − ) π b S = ∫ f(x)−g(x) dx = ∫ [ f(x) − g(x)] dx d) x = a; x = b  e2 − ) 2 + x)sin xdx (e − + π) e S= ∫x −1 20 dx = ∫ x dx + ∫ x dx −1 3 x4 x4 1 17 + = 0− + 4−0 = +4 = = −1 4 4 Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = 5x4 + 3x2 + 3, y = 0, x = 0, x = Giải: Ta có: 5x4 + 3x2 + = 0: VN Diện tích hình phẳng là: S= Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = – x2 + 6x – 8, tiếp tuyến điểm I(3; 1) trục tung 0y (x = 0) Giải: PTTT điểm I(3; 1) có dạng: y = y′ (x0)(x – x0) + y0 * y′ = – 2x + ⇒ y′ (x0) = y′ (3) = Vậy: PTTT cần tìm là: y = Ta có: – x2 + 6x – = ⇔ – x2 + 6x – = ⇔ x = Diện tích hình phẳng là: 5x + 3x + 3dx = ∫ (5x + 3x + 3)dx ∫ 0 = 1+1+ − = Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x2 – 4x + 4, y = 0, x = 1, x = Giải: Ta có: x2 – 4x + = ⇔ x = ∈ [1; 3] Diện tích hình phẳng là: = (x + x + 3x) S= ∫x S= x + 3x − 9x) = −9 − = Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y2 – 2y + x = x + y = Giải: * y2 – 2y + x = ⇔ x = – y2 + 2y *x+y=0 ⇔x=–y y = Ta có: – y2 + 2y = – y ⇔ – y2 + 3y = ⇔  y = Diện tích hình phẳng là: − 4x + 4dx = ∫ (x − 4x + 4)dx + = ( ∫ (x − 4x + 4)dx 2 x3 x3 − 2x + 4x) + ( − 2x + 4x) 3 S= 8 1 − + 3− = + = 3 3 3 Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x3 – 3x + 2, x – y + = 0, x = – 1, x = Giải: x – y + = ⇔ y = x + Ta có: x3 – 3x + = x + x = ⇔ x3 – 4x = ⇔  x =  x = −2∉ [−1; 2] = S= ∫ x − 4x dx = −1 = ( −1 S= ∫ = ( −y + 3y dx = ∫ (−y + 3y)dx y 3y 9 + ) = −0 = 2 Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn 2 đường: y = − x y = x − 3x 2 Giải: Ta có: − x = x − 3x x = ⇔ 3x2 – 12x = ⇔  x = Diện tích hình phẳng là: 4 2 S = ∫ − x − ( x − 3x)dx = ∫ (− x + 3x)dx 4 0 3 ∫ (x − 4x)dx + ∫ (x − 4x)dx x4 x4 − 2x ) + ( − 2x ) −1 4 x 3x ) = 8−0 = = (− + Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn x đường: y = , trục hồnh Ox (y = 0) x +1 x=1 x Giải: Ta có: =0 ⇔x=0 x +1 Diện tích hình phẳng là: 1 x dx = (1 − )dx S= ∫ ∫ x + x + 0 x(x − 3)2 dx = ∫ (x3 − 6x + 9x)dx x 9x 27 27 − 2x3 + ) = −0 = 4 4 = (− 7 23 = − − + −4 − = + = 4 Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x(x – 3)2 trục hồnh x = x = ⇔ Giải: Ta có: x(x – 3)2 = ⇔  x − = x = Diện tích hình phẳng là: ∫ Diện tích hình phẳng là: = (− ∫ −x + 6x − 9dx = ∫ (− x + 6x − 9)dx = (x − ln x + 1) 21 = − ln − (0 − ln1) = − ln x = ⇔ x(x3 – 8) = ⇔  x = Bài 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn ln x đường: y = , y = x = 1, x = e x ln x Giải: Ta có: = ⇔ lnx = x ⇔ x = e0 = ∈ [1; e] Diện tích hình phẳng là: e e ln x ln x S = ∫ dx = ∫ dx x x 1 * Từ y2 = 2x ⇒ y = x x3 2 x3 x3 − ) = ( − ) = ( 3 4 = −0 = 3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: 125 a) y = x2 – 2, y = – 3x + ( ) 1192 b) y = x4 + 2x2 + 3, y = 0, x = – 1, x = ( ) 15 c) y = x2 – 12x + 36, y = 6x – x2 (9) d) y = x2, y = x + ( ) e) y = x2 – 4x + 3, y = – x + ( ) 27 f) y = – x3 + 3x2, y = ( ) 31 g) y = 2x2 – x2, y = x – 2, x = – 2, x = ( ) 27 h) y = x3 – 6x2 + 9x, trục hồnh ( ) 27 i) y = 2x3 + 3x2 – 1, trục hồnh ( ) 32 x4 16 j) y = ) − x − , trục hồnh ( 2 16 k) 2x + – y2 = 0, x – y – = ( ) Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a) y = lnx, y = 0, x = e (1) ln x − 1 b) y = , y = 0, x = 1, x = e ( ) x 3π c) y = cosx, y = 0, x = 0, x = (3) ln x dx x ∫  du = dx  u = ln x    x ⇒ Đặt:  dv = dx  v = − x2  x e e 1 Khi đó: S1 = − ln x + ∫ dx 1x x 1e 1 = − − ( − 1) = − + = − ln e − (−1ln1) − e x1 e e e Bài 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x + sin2x, y = x x = 0, x = π Giải: x + sin2x = x ⇔ sin2x = ⇔ sinx = ⇔ x = kπ ( k ∈ ¢ ) Mà x ∈ [0; π ] ⇒ x = 0, x = π Diện tích hình phẳng là: π π π 2 sin xdx = sin xdx = (1 − cos 2x)dx S= ∫ ∫ ∫ 0 π π 1 π (x − sin 2x) = − = 2 2 Bài 12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = sin2x, y = x = 0, x = π kπ Giải: sin2x = ⇔ 2x = k π ⇔ x = ( k ∈¢ ) π Mà: x ∈ [0; π ] ⇒ x = Diện tích hình phẳng là: = π S= π π ∫ sin 2x dx = ∫ sin 2xdx + ∫ sin 2xdx 0 π x2 Diện tích hình phẳng là: 2 x2 2 2x − dx = x dx − x dx S= ∫ ∫ ∫ 2 0 e * Tính S1 = 2x , 2y = x2 ⇒ y = π π 1 = − cos 2x + − cos 2x π 2 1 1 = − (− ) + − (− ) = + = 2 2 Bài 13: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y2 = 2x, x2 = 2y x ≥ Giải: Điều kiện:  y ≥ Ta có: x = 2y ⇔ x4 = 4y2 = 8x ⇔ x4 – 8x = x d) y = xe , y = 0, x = 0, x = ( − e ) e) y = ex, y = 2, x = (e – + 2ln2) Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: 22 4x3 x5 16 16π − x4 + ) = π ( − ) = 15 15 Bài 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường: y = sinx, trục hồnh Ox x = 0, x = π Giải: Ta có: sinx = ⇔ k π ( k ∈ ¢ ) Mà: x ∈ [0; π ] ⇒ x = 0, x = π Thể tích vật thể là: π π π V = π∫ sin xdx = ∫ (1 − cos 2x)dx 20 a) (C): y = x2 – 2x + 2, tiếp tuyến (C) điểm 32 M(3; 5) trục tung ( ) x2 b) y = 2x,y = ( ) Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: x − 2x − 15 a) y = , trục tọa độ (y = 0, x = 0) x −3 2x − b) y = , y = 0, x = (8ln5 – ln4 – 2) x+2 = π( π π2 π (x − sin 2x) = = 2 Bài 3: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường: y= , y = x = 0, x = 2, quay quanh x−4 trục Ox Giải: Thể tích vật thể là: Thể tích vật thể tròn xoay: a) Dạng 1: Thể tích vật thể tròn xoay hình thang y = f(x)  cong: y = (trục hoành 0x) x = a; x = b quay quanh trục 0x  b b) Dạng 2: Thể tích vật thể tròn xoay hình thang cong: x = f(y) 16π = 8π − 4π = 4π x−4 0 Bài 4: Tính t.tích vật thể tròn xoay sinh −2 = 16π ∫ (x − 4) dx = −  x = (trục tung 0y) y = a; y = b quay quanh trục 0y  1 a c) Dạng 3: Thể tích vật thể tròn xoay hình phẳng: y = f(x) 2 x * Tính V1 = ∫ xe dx u = x du = dx ⇒ Đặt:   x x dv = e v = e x x Khi đó: V1 = xe − ∫ e dx 1 x = 2e2 – e – e = 2e2 – e – e2 + e = e2 π Vậy: V = V1 = π e2 Bài 5: Tính t.tích vật thể tròn xoay sinh h phẳng giới hạn đường: y = , x y = – x + 5, quay quanh trục Ox Giải: Ta có: = – x + ⇔ x2 – 5x + = x x = ⇔ x = Chú ý: Nếu chưa có cận tìm cận cách: a) Giải PT: f(x) = g(y) = ⇒ x = a; x = b y = a; y = b b) Giải PT: f(x) = g(x) ⇒ x = a; x = b Bài 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường: y = 2x – x2, y = quay quanh trục Ox x = Giải: Ta có: 2x – x2 = ⇔  x = Thể tích vật thể là: V = π ∫ f (x) − g (x) dx a 1 2 x V = π∫ (x e ) dx = π∫ xe dx = π V1  y = g(x) x = a; x = b quay quanh 0x  x Giải: Ta có: x e = ⇔ x = ⇔ x = ⇔ x = ∉ [1; 2] Thể tích vật thể là: 2 x h phẳng giới hạn đường: y = x e , y = x = 1, x = 2, quay quanh trục Ox V = π ∫ f (y)dy b 16   dx V = π∫  ÷ dx = π∫ x−4 (x − 4)2 0 a b 2 V = π ∫ f (x)dx 2 V = π∫ (2x − x ) dx = π ∫ (4x − 4x + x )dx 23 b) y = – x2, y = + x2 (24 π ) Thể tích vật thể là: 4 x x 2 2 V = π ∫ ( ) − (−x + 5) dx = π ∫ [( ) − (−x + 5) ]dx = π ∫( 1 16 − x + 10x − 25)dx x2 VIII SỐ PHỨC Phương pháp: 16 x3 = π (− − + 5x − 25x) x Các cơng thức cần nhớ Cho số phức: z = a + bi, đó: a: phần thực, b: phần ảo đơn vị ảo: i2 = -1 Hai số phức nhau: a = c a + bi = c + di ⇔  b = d 136 109 − (− ) = 9π 3 Bài 6: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường: x+2 y= , y = 0, x = 3, x = 5, quanh trục Ox x −1 Giải: Thể tích vật thể là: = =π− 5 Mơđun số phức: z = a + bi = a2 + b2 Số phức liên hợp: z = a – bi   x+2  V = π∫  ÷ dx = π∫  + ÷ dx x −1  x −1  3 3 Bài tập mẫu: Bài 1: Tìm phần thực phần ảo số phức z a) z = – 3i Phần thực: a = 2, phần ảo: b = – b) z = 7i Phần thực: a = 0, phần ảo: b = c) z = Phần thực: a = 5, phần ảo: b = Bài 2: Tìm mơdun số phức sau: a) z = – + i   + dx = π∫  + x − (x − 1)2 ÷  3 5  = π  x + ln x − − ÷ x −1   9 = π [5 +6ln4 – – (3 + 6ln2 – )] 17 = π( + ln 2) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường quay quanh trục Ox: 16π a) y = – x2, y = ( ) 15 23π b) y = + x3, y = 0, x = 0, x = ( ) 14 c) y = , y = 0, x = 0, x = ( 4π ) x−4 d) y = x e x , y = 0, x = 1, x = (e2) e) y = 2x ln x , y = 0, x = 1, x = ( π(4 ln − ) ) x π f) y = sin , y = 0, x = 0, x = ( π( − 2) ) π π g) y = sinx, y = 0, x = 0, x = ( π( − ) ) π π h) y = cosx, y = 0, x = 0, x = ( π( + ) ) i) y = lnx, y = 0, x = e (e – 2) Bài 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường quay quanh trục Ox: 162π a) y = x2, y = 3x ( ) ⇒ z = −2 + i = (−2)2 + ( 3)2 = b) z = − 3i ⇒ z = − 3i = ( 2)2 + (−3)2 = 11 c) z = – ⇒ z = −5 = d) z = i ⇒ z = i = (0)2 + ( 3)2 = Bài 3: Tìm số phức liên hợp số phức sau: a) z = – 2i ⇒ z = + 2i b) z = – i ⇒ z = + i c) z = ⇒ z = d) z = 7i ⇒ z = – 7i Bài 4: Tìm số thực x y, biết: a) (3x – 2) + (2y + 1)i = (x + 1) – (y – 5)i b) (1 – 2x) – i = + (1 – 3y)i c) (2x + y) + (2y – x)i = (x –2y + 3) + (y +2x + 1)i Giải: 3x − = x + 3x − x = + ⇔ a) Ta có:  2y + = −(y − 5) 2y + = −y +  x=  2x = x =  ⇔ ⇔ ⇔ 2y + y = − 3y = y =   24 4 + 7i = + i 13 13 13 b) + 2i + (6 + i)(5 + i) = 32 + 13i + 4i (4 − 3i)(3 + 6i) + (5 + 4i) c) − 3i + = + 6i + 6i 35 + 19i (35 + 19i)(3 − 6i) = = + 6i (3 + 6i)(3 − 6i) 219 − 153i 219 153 = − i = 45 45 45 Bài 9: Tìm phần thực phần ảo số phức z a) z = (0 – i) – (2 – 3i) + (7 + 8i) = + 10i Vậy: Phần thực: a = 5, phần ảo: b = 10 (6 − i)(3 − 2i) 6−i b) z = = (3 + 2i)(3 − 2i) + 2i 16 − 15i 16 15 = − i = 13 13 13 16 15 Vậy: Phần thực: a = , phần ảo: b = − 13 13 c) z = (7 – 3i)2 – (2 – i)2 = 37 – 38i Vậy: Phần thực: a = 37, phần ảo: b = – 38 Bài 10: Tìm mơđun số phức z −8 − 3i (−8 − 3i)(1 + i) a) z = = (1 − i)(1 + i) 1−i −5 − 11i 11 =− − i = 2 11 11 73 Suy ra: z = − − i = (− )2 + (− )2 = 2 2 b) z = (4 – 2i) + (1 + 4i) – 3i = – i 1 − 2x = −2x = − ⇔ b) Ta có:   − = − 3y 3y = +  −1 x =  −2 ⇔ y = +  2x + y = x − 2y + x + 3y = ⇔ c) Ta có:  2y − x = y + 2x + −3x + y = x = ⇔ y = Bài 5: Trên mp tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: a) z = b) z + ≤ Giải: a) Cho z = x + iy, ta có: 2 z = ⇔ x + iy = ⇔ x + y = = Vậy: Tập hợp số phức mặt phẳng tọa độ phương trình đường tròn bán kính có tâm (0; 0) b) Cho z = x + iy, ta có: 2 z + ≤ ⇔ x + iy + ≤ ⇔ (x + 2) + iy ≤ ⇔ (x + 2) + y ≤ Vậy: Tập hợp số phức mặt phẳng tọa độ phương trình hình tròn bán kính có tâm (– 2; 0) (kể biên hình tròn) Ghi nhớ Cộng – Trừ số phức máy tính bỏ túi VD: Tính: (2 + 3i) + (– + 7i) 1) 570MS: MODE Ấn: (2 + SHIFT i ) + (– + SHIFT i) = – (phần thực) Ấn tiếp: SHIFT (Re Im) 10.i (phần ảo) Vậy: (2 + 3i) + (– + 7i) = – + 10i 2) 570ES: MODE Ấn: (2 + SHIFT i ) + (– + SHIFT i) = – + 10i Suy ra: z = − i = (5)2 + (−1)2 = 26 Bài 11: Tìm nghịch đảo số phức z, biết: z a) z = + 2i 1 − 2i = Suy ra: = z + 2i (1 + 2i)(1 − 2i) − 2i = − i = 5 b) z = – 3i 1 + 3i = Suy ra: = z − 3i ( − 3i)( + 3i) Bài 6: Thực phép tính sau: a) (3 – 5i) + (2 + 4i) = – i b) (– – 3i) + (– – 7i) = –3 – 10i c) + 2i – 3(– + 6i) = 26 – 16i Bài 7: Thực phép tính sau: a) ( – 2i)(2 – 3i) = – 13i 3 b) (2 − i 3)( + i 3) = + i 2 c) (2 + 3i)2 = – + 12i Bài 8: Thực phép tính sau: (2 + i)(3 + 2i) 2+i a) = (3 − 2i)(3 + 2i) − 2i + 3i = + i 11 11 11 Bài 12: Giải phương trình sau: a) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = + 3i ⇔ (3 – 2i)z = + 3i – (4 + 5i) ⇔ (3 – 2i)z = – 2i − 2i = ⇔ z= − 2i b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z ⇔ (1 + 3i)z – (2 + i)z = + 5i ⇔ (– + 2i)z = + 5i = 25 + 5i (2 + 5i)(−1 − 2i) = −1 + 2i (−1 + 2i)(−1 − 2i) − 9i = − i = 5 z + (2 − 3i) = − 2i c) − 3i ⇔ z + (2 – 3i)(4 – 3i) = (5 – 2i)(4 – 3i) ⇔ z = (5 – 2i)(4 – 3i) – (2 – 3i)(4 – 3i) = 15 – 5i −b ± i ∆ ± i 56 2a 2.5 ± 2i 14 14 = = ± i 10 5 f) 7z2 + 3z + = Ta có: ∆ = (3)2 – 4.7.2 = – 47 = 47i2 Vậy: PT có hai nghiệm phức là: − b ± i ∆ −3 ± i 47 x1,2 = = 2a 2.7 −3 ± i 47 −3 47 = = ± i 14 14 14 g) – 3z2 + 5z – 11 = Ta có: ∆ = (5)2 – 4.( – 3).( – 11) = – 107 = 107i2 Vậy: PT có hai nghiệm phức là: − b ± i ∆ −5 ± i 107 x1,2 = = 2a 2.(−3) ⇔ z= x1,2 = Ghi nhớ Giải PT bậc hai với hệ số thực tập hợp số phức ( £ ) Căn bậc hai – là: ±i 2 PT bậc hai: ax2 + bx + c = (1), có biệt thức: ∆ = b2 – 4ac b a) Khi ∆ = 0: PT (1) có 1n0 thực: x = − 2a b) Khi ∆ > 0: PT (1) có n0 thực phân biệt −b ± ∆ x1,2 = 2a c) Khi ∆ < 0: PT (1) có n0 phức −b ± i ∆ x1,2 = 2a = −5 ± i 107 ± i 107 107 = = ± i −6 6 Bài 15: Giải phương trình sau: a) z4 + z2 – = (1) Đặt: Z = z2, PT (1) trở thành: Z = Z2 + Z – = ⇔   Z = −3 * Với Z = ⇒ z2 = ⇔ z = ± * Với Z = – ⇒ z2 = – ⇔ z = ±i b) z4 – 2z2 – 15 = (1) Đặt: Z = z2, PT (1) trở thành: Z = Z2 – 2Z – 15 = ⇔   Z = −3 * Với Z = ⇒ z2 = ⇔ z = ± * Với Z = – ⇒ z2 = – ⇔ z = ±i BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm phần thực phần ảo số phức sau: a) z = – + 5i (a = – 3, b = 5) b) z = 5i (a = 0; b = 5) c) z = – 13 (a = – 13, b = 0) Bài 2: Tìm phần thực phần ảo số phức sau: a) z = (2 + 3i)(3 – i) + (2 –3i)(3 + i) (a = 18, b = 0) b) z = (2 + 3i)2 – (2 – 3i)2 (a = 0, b = 24) − 15i 24 49 c) z = (a = − , b = − ) + 2i 13 13 Bài 3: Tìm mơđun số phức sau: a) z = – i (3 ) b) z = – 3i (4) c) z = – 17 (17) −1 + 4i 85 d) z = ( ) + 2i e) z = i – (2 + 4i) – (1 + 2i) ( 34 ) Bài 5: Tìm số phức liên hợp số phức sau: a) z = – + 7i (– – 7i) = Bài 13: Tìm bậc hai phức số sau: – 7; – 8; – 12; – 20; – 121 Giải: * Căn bậc hai phức – là: ±i * Căn bậc hai phức – là: ±i = ±2i * Căn bậc hai phức – 12 là: ±i 12 = ±2i * Căn bậc hai phức – 20 là: ±i 20 = ±2i * Căn bậc hai phức – 121 là: ±i 121 = ±11i Bài 14: Giải phương trình sau: a) x2 + = ⇔ x2 = – = 9i2 ⇔ x = ± 3i b) z2 + 13 = ⇔ x2 = – 13 = 13i2 ⇔ x = ± ±i 13 c) x – 2x + = Ta có: ∆ = (– 2)2 – 4.1.5 = – 16 = 16i2 Vậy: PT có hai nghiệm phức là: − b ± i ∆ ± i 16 ± 4i x1,2 = = = = ± 2i 2a 2.1 d) x2 + 5x + = Ta có: ∆ = 52 – 4.1.7 = – = 3i2 Vậy: PT có hai nghiệm phức là: − b ± i ∆ −5 ± i x1,2 = = 2a 2.1 −5 ± i −5 = = ± i 2 e) 5z2 – 2z + = Ta có: ∆ = (– 2)2 – 4.5.3 = – 56 = 56i2 Vậy: PT có hai nghiệm phức là: 26 b) z = – 12i (12i) c) z = 23 (23) d) z = (2 + 6i)(5 – 8i) (58 – 14i) Bài 6: Tìm số thực x y, biết: a) (x + 1) + 3(y – 1)i = – 6i (x = 4, y = – 1) b) (2x + 3y + 1) + (– x + 2y)i = = (3x – 2y + 2) + (4x – y – 3)i (x = ,y= ) 11 11 c) x + 2y + (2x – y)i = 2x + y + (x + 2y)i (x = y = 0) d) 2x + + (1 – 2y)i = – x + (3y – 2)i (x = , y = ) Bài 7: Trên mp tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: a) z ≤ (là hình tròn có tâm (0; 0) bán kính (kể biên ) b) z − i = (là đường tròn có tâm (0; 1) bán kính 1) c) z − − i < (là hình tròn có tâm (1; 1) bán kính (khơng kể biên) Bài 7: Thực phép tính sau: a) (2 + 4i)(3 – 5i) + 7(4 – 3i) (54 – 19i) b) (1 – 2i)2 – (2 – 3i)(3 + 2i) (– 15 + i) c) (3 + 2i)[(2 – i) + (3 – 2i)] (21 + i) d) (1 + i)2 – (1 – i)2 (4i) Bài 8: Thực phép tính sau: + i 23 14 a) (4 – 3i) + ( − i) 2+i 5 + i − 3i − b) (− + i ) 2+i 2−i 5 (1 + i)(2 + i) (1 + i)(2 − i) 6 + c) ( + i) 2−i 2+i 5 Bài 9: Tìm nghịch đảo số phức z, biết: z a) z = – + 12i ( − − i ) 51 51 b) z = + 2i ( − i) 7 c) z = – 8i ( i ) Bài 10: Giải phương trình sau: a) (1 + 2i)z – (4 – 5i) = – + 3i ( − + i ) 5 42 19 b) (3 + 4i)z = (1+ 2i)(4 + i) ( + i ) 25 25 23 14 c) 2iz + = 5z + 4i ( − i ) 29 29 18 13 d) (4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6zi ( − i ) 17 17 Bài 11: Tìm bậc hai phức số sau: – 5; – 15; – 27; – 144; – 108; – 48; – 225 ĐS: ±i ; ±i 15 ; ±3i ; ±12i ; ±i6 ; ±4i ; ±15i Bài 12: Giải phương trình sau: a) x2 + 16 = ( ±4i ) b) x2 – 2x + = (1 ± i ) −1 ± i 27 3 c) x2 + x + = ( =− ± i) 2 ± i 23 23 d) 2z2 – 3z + = ( = ± i) 4 −1 ± i 20 e) 3z2 + 2z + = ( =− ± i) 3 f) – 3z2 + 2z – = −2 ± i −2 ± i ± i = = = ± i) ( 2.(−3) −6 3 Bài 13: Giải phương trình sau: a) x4 + 7x2 + 10 = ( ±i ; ±i ) b) x4 – x2 – = ( ± ; ±i ) c) z4 + 2z2 – = ( ± ; ±2i ) d) 2z4 + 3z2 – = ( ± 1; ±i ) e) z4 – = ( ± ; ±i ) f) z4 – = ( ±1 ; ±i ) Hết 27