Header Page of 161 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ********** PHẠM THỊ HỒNG THẮM DẠNG CƠ BẢN THỨ NHẤT TRÊN CÁC MẶT CONG TRƠN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI - 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ********** PHẠM THỊ HỒNG THẮM DẠNG CƠ BẢN THỨ NHẤT TRÊN CÁC MẶT CONG TRƠN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thạc Dũng HÀ NỘI - 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, xin bày tỏ lòng biết ơn kính trọng sâu sắc tới thầy - Tiến sĩ Nguyễn Thạc Dũng - Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ động viên suốt trình làm khóa luận tốt nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ Hình Học, thầy cô giáo khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập trường bốn năm vừa qua giúp đỡ thực khóa luận Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè nhiệt tình giúp đỡ, động viên, quan tâm, tiếp thêm niềm tin nghị lực cho suốt thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành khóa luận Trong trình nghiên cứu, không tránh khỏi điều thiếu sót hạn chế Kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Phạm Thị Hồng Thắm Footer Page of 161 Header Page of 161 Lời cam đoan Khóa luận hoàn thành sau trình tự tìm hiểu, nghiên cứu thân hướng dẫn Tiến sĩ Nguyễn Thạc Dũng Trong khóa luận có tham khảo kết nghiên cứu sách chuyên khảo "Elementary Differential Geometry" tác giả Andrew Pressley nhà xuất Springer ấn hành năm 2010 Tôi xin cam đoan kết khóa luận trình bày lại theo kiến thức học từ sách trên, hoàn toàn không trùng với kết tác giả khác Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Phạm Thị Hồng Thắm i Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đường cong tham số 1.2 Đường cong quy độ dài cung 1.3 Tham số hóa lại 1.4 Mặt cong 1.5 Mặt cong trơn 12 1.6 Tiếp tuyến đạo hàm 13 Dạng thứ mặt cong trơn 16 2.1 Độ dài đường cong mặt cong 16 2.2 Đẳng cự mặt cong 20 2.3 Ánh xạ bảo giác mặt cong 25 2.4 Ánh xạ bảo toàn diện tích định lý Ac-si-met 31 2.5 Hình học cầu 44 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán Lời mở đầu Hình học môn khoa học nghiên cứu tính chất định tính định lượng hình Tùy vào phương pháp nghiên cứu khác mà có ngành hình học khác Hình học Afin, Hình học xạ ảnh, Hình học Vi phân, Hình học Giải tích, Hình học Đại số, Tôpô Hình học Vi phân nhánh hình học sử dụng công cụ phương pháp phép tính vi phân tích phân để nghiên cứu vấn đề hình học Việc nghiên cứu Hình học đường cong mặt cong không gian Euclide ba chiều trở thành sở cho phát triển ban đầu Hình học Vi phân Rất nhiều kết đường cong mặt cong dạng sơ khai kết tổng quát trường hợp chiều cao Việc nghiên cứu quan hệ tạo mảng Toán học Khóa luận đề cập đến lý thuyết mặt cong trơn liên quan đến dạng thứ Với mong muốn tìm hiểu sâu đối tượng nói định hướng thầy hướng dẫn, định chọn đề tài Dạng thứ mặt cong trơn để trình bày khóa luận tốt nghiệp đại học Khóa luận gồm chương Chương "Kiến thức chuẩn bị" trình bày số khái niệm đường cong tham số, đường cong quy độ dài cung, tham số hóa lại, mặt cong, mặt cong trơn, tiếp tuyến điểm mặt cong Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán đạo hàm để nghiên cứu cho phần sau Chương tập trung nghiên cứu "Dạng thứ mặt cong trơn" Dựa vào dạng đó, xác định độ dài đường cong mặt cong, ánh xạ đẳng cự ánh xạ bảo giác đồng thời thấy mối quan hệ ánh xạ Bên cạnh đó, khóa luận trình bày ánh xạ bảo toàn diện tích ví dụ tiếng ánh xạ bảo toàn diện tích ví dụ tìm Ac-si-met Và ứng dụng định lý Ac-si-met vận dụng vào tam giác cầu hình học cầu Footer Page of 161 Header Page of 161 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đường cong tham số Ký hiệu R3 không gian vectơ 3-chiều gồm ba số thực (x, y, z) Mục tiêu phần mô tả xác tập đặc biệt R3 (được gọi đường cong) gì? Để nghiên cứu đối tượng này, cần biết phép tính vi - tích phân không gian chiều Chúng ta thường đòi hỏi đường cong "trơn" cách tự nhiên xét lớp hàm khả vi Trong toàn khóa luận này, ta nói hàm số biến thực khả vi (hoặc trơn) miền D ⊂ R có đạo hàm cấp điểm x ∈ D Định nghĩa 1.1 Một đường cong tham số ánh xạ liên tục γ : I → R3 khoảng mở I = (α, β) đường thẳng thực R vào R3 Nếu ánh xạ γ hàm khả vi (trơn) γ gọi đường cong tham số khả vi (Đường cong tham số trơn) Từ khả vi định nghĩa hiểu γ ánh xạ tương ứng với t ∈ I điểm γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3 , Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán hàm số x(t), y(t), z(t) khả vi Biến số t gọi tham số đường cong Từ khoảng lấy trường hợp tổng quát để ta không loại trường hợp α = −∞; β = +∞ Nếu ta biểu thị x(t) ˙ đạo hàm bậc x điểm t đạo hàm hàm số y z biểu thị giống vậy, vectơ (x(t), ˙ y(t), ˙ z(t)) ˙ = γ(t) ˙ ∈ R3 gọi vectơ tiếp xúc (hoặc vectơ vận tốc) đường cong γ t Tập ảnh γ(I) ⊂ R3 gọi vết γ Lưu ý ta cần phân biệt khái niệm đường cong tham số với vết Đường cong tham số ánh xạ vết tập R3 1.2 Đường cong quy độ dài cung Định nghĩa 1.2 Cho γ : (α, β) → R3 đường cong tham số khả vi Điểm γ(t) gọi điểm quy γ(t) ˙ = 0, ngược lại gọi điểm kì dị Một đường cong gọi quy điểm quy Định nghĩa 1.3 Độ dài cung đường cong quy γ : (α, β) → R3 xuất phát từ điểm γ(to ) hàm số s(t) cho t s(t) = γ(t) ˙ dt to γ(t) ˙ độ dài vectơ γ(t) ˙ Vì γ(t) hàm khả vi nên độ dài cung s hàm số khả vi t ds dt = γ(t) ˙ Xem γ(t) vị trí điểm chuyển động thời điểm t, Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ds dt Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán vận tốc điểm Với lí này, đến định nghĩa sau: Định nghĩa 1.4 Giả sử γ : (α, β) → R3 đường cong quy, vận tốc điểm γ(t) γ(t) ˙ γ gọi đường cong có vận tốc đơn vị γ(t) ˙ = với t ∈ (α, β) 1.3 Tham số hóa lại ˜ → R3 tham số Định nghĩa 1.5 Đường cong tham số γ˜ : (˜ α, β) hóa lại đường cong tham số γ : (α, β) → R3 có song ánh ˜ → (α, β) (được gọi ánh xạ tham số hóa lại) cho trơn φ : (˜ α, β) ˜ ánh xạ trơn γ˜ (t˜) = γ(φ(t˜)) với φ−1 : (α, β) → (˜ α, β) ˜ t˜ ∈ (˜ α, β) Do ánh xạ ngược φ ánh xạ trơn, nên γ tham số hóa lại γ˜ γ˜ (φ−1 (t)) = γ(φ(φ−1 (t))) = γ(t) với t ∈ (α, β) Hai đường cong tham số hóa lại với có ảnh, chúng có tính chất hình học giống Bởi định nghĩa phép tham số lại, ta dễ dàng chứng minh mệnh đề sau Mệnh đề 1.1 Mọi tham số hóa lại đường cong quy quy 1.4 Mặt cong Một mặt cong S R3 tập R3 mà lân cận điểm p ∈ S giống mảnh R2 , chẳng hạn bề Footer Page 10 of 161 Header Page 47 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Footer Page 47 of 161 Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán 42 Header Page 48 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Footer Page 48 of 161 Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán 43 Header Page 49 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán Các tam giác ABC, AB’C, AB’C’ ABC’ tạo thành bán cầu (bán cầu có chứa đỉnh A với biên vòng tròn lớn qua B C ), nên: S(ABC) + S(AB’C) + S(AB’C’) + S(ABC’) = 2π (2.5) Cuối từ ánh xạ mà điểm S cho điểm đối cực đẳng cự, bảo toàn diện tích, ta có: S(A’BC) = S(AB’C’) Thay vào phương trình (2.5), ta thấy số hạng {} vế trái (2.4) 2π Thu gọn lại ta điều phải chứng minh 2.5 Hình học cầu Để đơn giản, làm việc với hình cầu đơn vị S Nếu p q hai điểm phân biệt S có đường tròn lớn qua p q Để nhìn thấy điều này, ý p q điểm xuyên tâm đối (điểm đối cực), nghĩa p = −q, giao điểm S với mặt phẳng chứa đường kính vòng tròn lớn qua p q Nếu p q điểm xuyên tâm đối, mặt phẳng qua gốc tọa độ vuông góc với vectơ p × q (vectơ khác không ) giao với S vòng tròn lớn qua p q Ngược lại thực tế, p q không xuyên tâm đối có vòng tròn lớn qua chúng, trường hợp p q chia vòng tròn lớn thành hai cung tròn, có cung ngắn Footer Page 49 of 161 44 Header Page 50 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán lại Nếu p q xuyên tâm đối, có vô số vòng tròn lớn qua điểm đó, vòng chia p q thành hai nửa đường tròn Mệnh đề 2.3 Cho p q hai điểm phân biệt S Nếu p = -q vòng tròn lớn qua p q đường cong có chiều dài ngắn nối p q Nếu p = -q nửa đường tròn lớn qua p q đường cong ngắn nối điểm Footer Page 50 of 161 45 Header Page 51 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán Chứng minh Bằng cách sử dụng phép quay S (đó phép đẳng cự), giả sử p(0, 0, 1) điểm cực bắc, sử dụng phép quay cho trục Oz, giả sử q điểm nửa vòng tròn lớn C qua cực bắc, cực nam điểm (1, 0, 0) Khi đó, q = (cosα, sinα, 0), ≤ α ≤ π Do vậy, khoảng cách từ p đến q dọc theo cung π vòng tròn lớn ngắn nối hai điểm −α Chúng ta biết dạng thứ tham số hóa theo tọa độ σ(ϕ, θ) S cos2 θdϕ2 + dθ2 (ví dụ 2.1.2) nên chiều dài đường cong γ(t) qua p t = to qua q t = t1 t1 (cos2 θϕ˙ + θ˙2 ) dt to Hàm dấu tích phân không nhỏ θ˙ , nên độ dài phần γ p q không nhỏ hơn: t1 to π θ˙ dt = dθ = α π −α độ dài vòng tròn lớn ngắn qua p q Ngược lại, γ có độ dài cos2 θϕ˙ + θ˙2 = θ˙ cosθϕ˙ = với to ≤ t ≤ t1 Do cosθ = hai điểm cực bắc cực nam (0, 0, ±1), ta phải có ϕ˙ = điểm γ, điều có nghĩa ϕ số Tuy nhiên, số phải γ qua p Do vậy, γ C Do đó, vòng tròn lớn tương tự hình cầu đường thẳng hình học Euclide Một khác biệt hình học cầu hình học phẳng hình học cầu đường thẳng song song, vòng tròn lớn hình cầu luôn cắt (hai mặt phẳng chứa Footer Page 51 of 161 46 Header Page 52 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán vòng tròn lớn cắt theo đường kính S , điểm đầu mút điểm giao vòng tròn đó) Một đối tượng quan trọng hình học Euclide nghiên cứu tích chất tam giác Tương tự vậy, hình học cầu, quan tâm đến tam giác cầu Mệnh đề 2.4 Giả sử tam giác cầu với cạnh có độ dài A,B,C α, β, γ góc (α góc đối diện cạnh có độ dài A, tương tự với góc lại ≤ α, β, γ < π ) Khi cosC − cosAcosB sinAsinB sinβ sinγ sinα = = sinA sinB sinC (i) cosγ = (ii) Hai công thức tương tự (i) thu cách hoán vị vòng quanh A → B → C → A, α → β → γ → α Phần (i) gọi quy tắc cosin cho tam giác cầu trở thành quy tắc cosin A,B,C nhỏ, lưu ý trường hợp A, B, C nhỏ, tam giác cầu gần tam giác phẳng Sử dụng xấp xỉ cosA = − 12 A2 sinA = A C = A2 + B − 2ABcosγ Chứng minh Cho a, b, c đỉnh tam giác, α góc đỉnh a, tương tự với góc lại Do A góc (đo đơn vị radian) vectơ đơn vị b c, tương tự với trường hợp lại, nên có cosA = b · c, cosB = c · a, cosC = a · b (2.6) Lưu ý rằng, cạnh tam giác với độ dài C cung đường tròn lớn tạo giao mặt cầu S với mặt phẳng ΠC qua gốc tọa Footer Page 52 of 161 47 Header Page 53 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán độ vuông góc với vectơ a × b Tương tự với cạnh lại Gọi Πc mặt phẳng qua đỉnh c song song với mặt phẳng tiếp xúc S c Khi Πc giao với mặt phẳng ΠA ΠB theo hai đường thẳng, chúng tiếp xúc với cạnh tam giác qua đỉnh c Điều suy γ góc hai đường thẳng với góc ΠA ΠB , nghĩa góc b × c a × c Do vậy, cosγ = (b × c) · (a × c) b×c a×c (2.7) Tương tự với cosα cosβ Mặt khác b×c = b c sinA = sinA a×c = a c sinB = sinB a×b = a b sinC = sinC Hơn (b × c) · (a × c) = (a · b)(c · c) − (b · c)(a · c) Theo (2.6) (b × c) · (a × c) = cosC − cosAcosB Thay vào phương trình (2.7) ta cosγ = cosC − cosAcosB sinAsinB Để chứng minh (ii), ta nhận thấy (a × c) × (a × b) (a × c) × (a × b) = a×c a×b sinBsinC ((a × c) · b) · a − ((a × c) · a) · b |(a × c) · b| = = sinBsinC sinBsinC sinα = Do đó: sinα |(a × c) · b| = (2.8) sinA sinAsinBsinC Lưu ý rằng, tích hỗn tạp (a × c) · b không thay đổi mặt độ lớn mà đổi dấu hoán vị vectơ a, b, c nên vế trái công thức Footer Page 53 of 161 48 Header Page 54 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán (2.8) không thay đổi hoán vị đỉnh tam giác Ta có điều phải chứng minh Như trường hợp đặc biệt kết trên, thu định lý tương tự định lý Pitago hình học cầu (với γ = π2 ) Hệ 2.4 Giả sử tam giác cầu với cạnh có độ dài A,B,C góc đối diện cạnh có độ dài C góc vuông Khi cosC = cosAcosB Sự tương tự mặt hình thức công thức (2.6) (2.7), gợi ý ta nên xem xét tam giác cầu với đỉnh sau a∗ = b×c , b×c b∗ = c×a , c×a c∗ = a×b a×b Chú ý rằng, thứ tự a → b → c → a đỉnh bảo toàn công thức, thứ tự bị đảo ngược dấu vectơ bị thay đổi Các tam giác với đỉnh a∗ , b∗ , c∗ −a∗ , −b∗ , −c∗ gọi tam giác đối ngẫu tam giác với đỉnh a, b, c Chú ý tam giác đối ngẫu thu từ tam giác đỗi ngẫu lại cách áp dụng ánh xạ đối cực v → −v S , ánh xạ đối cực đẳng cự R3 nên ánh xạ đẳng cự S , vậy, hai tam giác đối ngẫu có góc cạnh có độ dài Về mặt hình học, ±a∗ điểm đầu mút đường kính S vuông góc với mặt phẳng xác định cho mặt phẳng giao với S theo vòng tròn lớn qua b c, chúng gọi cực vòng tròn lớn (do đó, cực bắc nam S cực đường xích đạo) Chúng ta lưu ý a vuông góc với b∗ c∗ nên ±a cực Footer Page 54 of 161 49 Header Page 55 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán vòng tròn lớn qua b∗ c∗ Điều suy tam giác đối ngẫu tam giác với đỉnh a∗ , b∗ , c∗ tam giác ban đầu với đỉnh a, b, c ảnh qua ánh xạ đối cực Điều chứng minh cách đại số sau b∗ × c∗ = ((c × a) · b)a (c × a) × (a × b) = c×a a×b c×a a×b Do vậy, b∗ × c∗ = ±a b∗ × c∗ Ở đây, dấu lấy dấu tích hỗn tạp (c × a) · b = a · (b × c) Vì vậy, a · (b × c) > tam giác đối ngẫu tam giác với đỉnh a∗ , b∗ , c∗ tam giác ban đầu ảnh qua ánh xạ đối cực a · (b × c) < Mệnh đề 2.5 Cho tam giác cầu với cạnh có độ dài cạnh A,B,C độ lớn góc α, β, γ (α góc đối diện với cạnh có độ dài A, tương tự với góc lại) Gọi α∗ , β ∗ , γ ∗ , A∗ , B ∗ , C ∗ đại lượng tương ứng tam giác đối ngẫu Khi đó, ta có α∗ = π − A, β ∗ = π − B, γ ∗ = π − C A∗ = π − α, B ∗ = π − β, C ∗ = π − γ Chứng minh Kí hiệu đỉnh tam giác a, b, c trên, từ công thức (2.6) ta thu cosA∗ = b∗ · c∗ = (c × a) · (a × b) = −cosα c×a a×b mặt khác α A∗ nằm π nên A∗ = π − α Footer Page 55 of 161 50 (2.9) Header Page 56 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán Áp dụng công thức (2.9) cho tam giác đối ngẫu, ta nhận α∗ = π−A Tương tự, ta chứng minh công thức lại Đó điều phải chứng minh Hệ 2.5 Với khái niệm mệnh đề 2.4 ta có cosA = cosα + cosβcosγ sinβsinγ với hai công thức thu cách hoán vị A → B → C → A, α → β → γ → α Chứng minh Áp dụng phần (ii) mệnh đề 2.4 vào tam giác đối ngẫu sử dụng mệnh đề 2.5 ta có điều cần chứng minh Ví dụ 2.5.1 Tìm góc độ dài cạnh tam giác cầu mà diện tích phần tư diện tích hình cầu Lời giải Cho tam giác cầu với cạnh có độ dài A,B,C α, β, γ góc (α góc đối diện cạnh có độ dài A, tương tự với góc lại) Tam giác cầu tam giác với cạnh có độ dài góc Diện tích tam giác phần tư diện tích hình cầu nên có diện tích π Theo định lý 2.5, diện tích tam giác cầu hình cầu đơn vị S với góc α, β, γ α + β + γ − π diện tích tam giác cầu 3α − π = π ⇒α= Footer Page 56 of 161 51 2π Header Page 57 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán Áp dụng hệ 2.5 cosA = cosα + cosβcosγ sinβsinγ ta tính A = π Vậy tam giác cầu có diện tích phần tư diện tích hình cầu có số đo góc 2π độ dài cạnh π Công thức quan trọng thể cạnh tam giác cầu xác định góc nó, điều khác với trường hợp hình học phẳng Trong hình học phẳng, có tam giác đồng dạng với góc chúng tam giác khác kích thước Lý dẫn tới khác biệt hình học cầu có độ dài chuẩn tuyệt đối không thay đổi bán kính hình cầu Đa số hình học Euclide có liên quan tới câu hỏi hai yếu tố hình học (ví dụ tam giác) tương đẳng, nghĩa yếu tố hình học dịch chuyển cho trùng với yếu tố hình học khác Các phép dịch chuyển mà không làm thay đổi hình dạng kích thước tam giác phép đẳng cự mặt phẳng Vì thế, cần xác định phép đẳng cự hình cầu Chúng ta biết đẳng cự R3 mà bảo toàn S phép đẳng cự S Mệnh đề sau cho thấy thu tất đẳng cự S theo cách Mệnh đề 2.6 Mọi đẳng cự S hợp phép đối xứng qua mặt phẳng qua gốc tọa độ Trên thực tế, phép đẳng cự S hợp thành nhiều phép đối xứng Footer Page 57 of 161 52 Header Page 58 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán Chứng minh Điều để ý phép đẳng cự S phải biến vòng tròn lớn thành vòng tròn lớn Sở dĩ có điều vòng tròn lớn đường cong có độ dài ngắn phép đẳng cự bảo toàn độ dài Cho F đẳng cự S , cho e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) Nếu F (e1 ) = e1 ta chọn G1 ánh xạ đồng Ngược lại, ta chọn G1 phép đối xứng qua mặt phẳng Π1 xác định Π1 vuông góc với đoạn thẳng nối e1 F (e1 ), đồng thời qua trung điểm đoạn thẳng nói Chú ý rằng, e1 = F (e1 ) nên mặt phẳng Π1 qua gốc tọa độ Do G1 phép đẳng cự S Dễ thấy trường hợp, ta có G1 ◦ F cố định e1 , tức G1 ◦ F (e1 ) = e1 Tương tự vậy, e2 = G1 (F (e2 )) ta chọn G2 ánh xạ đồng Ngược lại, ta chọn G2 phép đối xứng qua mặt phẳng Π2 xác định Π2 vuông góc với đoạn thẳng nối e2 G1 (F (e2 )) qua trung điểm đoạn thẳng Do G1 F ánh xạ đẳng cự, ta có e2 = G1 (F (e2 )) Vì thế, mặt phẳng Π2 phải qua gốc tọa độ nên G2 phép đẳng cự S Ngoài ra, ta có e1 − G1 (F (e2 )) = G1 (F (e1 )) − G1 (F (e2 )) = e1 − e2 nên e1 nằm mặt phẳng trung trực đoạn nối e2 G1 (F (e2 )), tức e1 ∈ Π2 Do đó, G2 cố định e1 , tức G2 (e1 ) = e1 Khi đó, G2 ◦ G1 ◦ F cố định e1 e2 Cuối cùng, điểm cực bắc cực nam ±e3 hai điểm mà khoảng cách cầu từ chúng tới e1 e2 π2 , nên G2 ◦ G1 ◦ F cố định e3 −e3 Trong trường hợp đầu tiên, ta chọn G3 đồng Footer Page 58 of 161 53 Header Page 59 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán Nếu trường hợp thứ hai xảy ra, ta chọn G3 phép đối xứng qua mặt phẳng Oxy Khi đó, H = G3 ◦ G2 ◦ G1 ◦ F đẳng cự S , cố định e1 , e2 e3 Do H cố định e1 e2 , phải cố định điểm đường xích đạo Sở dĩ có điều đường xích đạo vòng tròn lớn qua hai điểm điểm đường xích đạo xác định khoảng cách cầu chúng với e1 e2 Tương tự, H cố định điểm vòng tròn lớn qua e1 e3 Nếu a điểm S khác điểm cực ±e3 vòng tròn lớn C qua a cực phải cắt đường xích đạo điểm b Theo lập luận tương tự trên, H cố định b cực, nên cố định điểm C Đặc biệt, H cố định a Do a điểm tùy ý hình cầu nên H phải ánh xạ đồng Do đó, F = G1 ◦ G2 ◦ G3 Tức F hợp nhiều phép đối xứng Bằng lập luận tương tự chứng minh định lý trên, ta có kết sau Mệnh đề 2.7 Trong hình học cầu, tam giác đồng dạng tương đẳng Footer Page 59 of 161 54 Header Page 60 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán Kết luận Trước hết khóa luận trình bày có hệ thống kiến thức đại cương đường cong mặt cong làm sở cho việc nghiên cứu đối tượng "Dạng thứ mặt cong trơn" Tiếp đó, khóa luận tập trung nghiên cứu dạng thứ mặt cong trơn, vận dụng dạng thứ để xem xét độ dài đường cong mặt cong, ánh xạ đẳng cự, ánh xạ bảo giác, ánh xạ bảo toàn diện tích định lý Ac-si-met, với việc nghiên cứu tam giác cầu hình học cầu Qua việc nghiên cứu dạng thấy mối quan hệ ánh xạ bảo toàn độ dài, ánh xạ bảo toàn góc ánh xạ bảo toàn diện tích, đồng thời thấy khác hình học cầu hình học phẳng Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian lực hạn chế nên khóa luận tránh thiếu sót Vì vậy, tác giả mong nhận quan tâm đóng góp ý kiến từ phía thầy cô bạn để khóa luận hoàn thiện Trân trọng cảm ơn! Footer Page 60 of 161 55 Header Page 61 of 161 Tài liệu tham khảo [1] Andrew Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer London Dordrecht Heidelberg, New York, 2010 Footer Page 61 of 161 56 ... Page 21 of 161 Chương Dạng thứ mặt cong trơn 2.1 Độ dài đường cong mặt cong Định nghĩa 2.1 Cho p điểm mặt cong trơn S v, w ∈ Tp S - không gian vectơ tiếp xúc Khi đó, dạng mặt cong S kết hợp với... tích phân dạng thứ Do đó, thấy dạng mặt phẳng mặt trụ "cần" phải có dạng Trong suốt phần này, không nói thêm, ta giả sử mặt cong trơn Định nghĩa 2.2 Giả sử S1 , S2 mặt cong, ánh xạ trơn f : S1... 1.5 Mặt cong trơn 12 1.6 Tiếp tuyến đạo hàm 13 Dạng thứ mặt cong trơn 16 2.1 Độ dài đường cong mặt cong 16 2.2 Đẳng cự mặt cong