Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tập quan hệ vuông góc trong không gian (có lời giải chi tiết),Chuyên đề quan hệ vuông góc hình học lớp 11 (đầy đủ các dạngcó lời giải chi tiết)Bài tập quan hệ vuông góc lớp 11 có lời giảibài tập chương 3 hình học 11 có đáp ánBài tập quan hệ vuông góccác bài tập về đường thẳng vuông góc mặt phẳngbài tập 2 mặt phẳng vuông góc có lời giảiTuyển tập các bài tập quan hệ vuông góc hình học 11 có lời giải
Bài 1/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O cạnh a, SA = SB = SC = SD = 2a Gọi M, N trung điểm BC SO Kẻ OP vuông góc với SA a) CMR: SO ⊥ (ABCD), SA ⊥ (PBD) b) CMR: MN ⊥ AD c) Tính góc SA uuurvàuump r uu(ABCD) uu r d) CMR: vec tơ HD BD, SC, MN S E P D N F M O A C đồng phẳng a) CMR: SO ⊥ (ABCD), SA ⊥ (PBD) • SO ⊥ AC, SO ⊥ BD ⇒ SO ⊥ (ABCD) • BD ⊥ AC, BD ⊥ SO ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SA (1) • OP ⊥ SA, OP ⊂ (PBD) (2) Từ (1) (2) ta suy SA ⊥ (PBD) b) CMR: MN ⊥ AD • Đáy ABCD hình vuông nên OB = OC, mà OB OC hình chiếu B ⇒ NB NC (ABCD) NB = NC ⇒ ∆NBC cân N, lại có M trung điểm BC (gt) ⇒ MN ⊥ BC ⇒ MN ⊥ AD (vì AD // BC) c) Tính góc SA mp (ABCD) • SO ⊥ (ABCD) nên AO hình chiếu SA (ABCD) Vậy góc SA mặt phẳng (ABCD) ·SAO a AO · cos SAO = = = SA 2a uuur uur uuuu r BD, SC, MN d) CMR: vec tơ đồng phẳng • Gọi E, F trung điểm SD DC, dễ thấy EN, FM, FE đường trung bình tam giác SDO, CBD, DSC nên đồng thời có EN // BD, FM// BD, FE // SC từ ta có M, M, E, F đồng phẳng uuu r uur uuuu r BD, SC , MN • MN ⊂ (MNEF), BD // (MNEF), SC // (MNEF) ⇒ đồng phẳng Bài 2/Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SAB), (SAC) vuông góc với (ABC), tam giác ABC vuông cân C AC = a, SA = x a) Xác định tính góc SB (ABC), SB (SAC) b) Chứng minh ( SAC) ⊥ (SBC ) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) c) Tinh khoảng cách từ O đến (SBC) (O trung điểm AB) d) Xác định đường vuông góc chung SB AC HD B2 /a) Xác định tính góc SB (ABC), SB (SAC) • (SAB) ⊥ (ABC) SAC) ⊥ (ABC) nên SA ⊥(ABC) SB (ABC) ⇒ AB hình chiếu SA x · · ⇒ ( SB,( ABC ) ) = ( SB, AB ) = ·SBA ⇒ tan ·SBA = = AB a • BC ⊥ AC, BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAC) ⇒ SC hình chiếu SB (SAC) ( SB,(SAC ) ) =·( SB, SC ) =·BSC ⇒ tan ·BSC = BC = · SC a a2 + x ⇒ b) Chứng minh ( SAC ) ⊥ (SBC ) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) • Theo chứng minh ta có BC ⊥ (SAC) ⇒ (SBC) ⊥ (SAC) • Hạ AH ⊥ SC ⇒ AH ⊥ BC (do BC ⊥ (SAC) Vậy AH ⊥ (SBC) ⇒ d ( A,(SBC )) = AH AH = SA2 + AC = x2 + a2 ⇒ AH = ax x + a2 • c) Tính khoảng cách từ O đến (SBC) (O trung điểm AB) Gọi K trung điểm BH ⇒ OK // AH ⇒ OK ⊥ (SBC) OK = d (O ,(SBC ) = OK = ⇒ AH ax x + a2 d) Xác định đường vuông góc chung SB AC • Dựng mặt phẳng (α) qua AC vuông góc với SB P ⇒ CP⊥ SB AP ⊥ SB • Trong tam giác PAC hạ PQ ⊥ AC ⇒ PQ ⊥ SB SB ⊥ ( PAC) Như PQ đường vuông góc chung SB AC Bài 3/ a/Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 300 Tính chiều cao hình chóp b/Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′, có cạnh đáy a, cạnh bên a Tính góc mặt phẳng (A′BC) (ABC) khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A′BC HD 3/ a/Hình chóp S.ABCD chóp tứ giác nên chân đường cao SO hình AC ∩ BD • chóp O = Đáy hình vuông cạnh a nên AC = a ⇒ OC = a 2 OC = • ∆SOC vuông O, có ⇒ S a · , SCO = 30 D a a SO = OC.tan·SCO = = C O A B b/ Tính góc mặt phẳng (A′BC) (ABC) khoảng cách từ A đến (A′BC) • ∆ AA ' B = ∆ AA ' C ( c.g.c ) ⇒ A ' B = A ' C Gọi K trung điểm BC ⇒ AK ⊥ BC A’K ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (AA’K ) ⇒ (A’BC) ⊥(AA’K), ( A ' BC ) ∩ ( AA ' K ) = A ' K , AH ⊥ A ' K ⇒ AH ⊥ ( A ' BC ) ⇒ d ( A,( A′BC )) = AH • AH = A' A + AB = a d ( A,( A ' BC )) = AH = ⇒ + a a 5 = a ⇒ AH = a C A K B H A' C' B' ( ( A′BC ),( ABC )) = ·A′KA · • AK ⊥ BC A’K ⊥ BC ⇒ • Trong ∆A′KA ta có a ′ · ′ AA tan A KA = = = AK a 3 ⇒ · ′ A KA = 300 SA ⊥ ( ABC ), SA = Bài 4/Cho tứ diện S.ABC có ∆ABC cạnh a, trung điểm BC a) Chứng minh: (SBC) vuông góc (SAI) b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) c) Tính góc (SBC) (ABC) HD Bài 4/ S H B A I C AH = AI + SA = 9a + 3a2 a Gọi I a) Chứng minh: (SBC) vuông góc (SAI) • SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC, AI ⊥BC ⇒ BC ⊥ (SAI) ⇒ (SBC) ⊥ (SAI) b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) • Vẽ AH ⊥ SI (1) BC ⊥ (SAI) ⇒ BC ⊥ AH (2) Từ (1) (2) ⇒AH ⊥ (SBC) nên d( A, (SBC)) = AH • = 16 9a ⇒ AH = 3a c) Tính góc (SBC) (ABC) • (SBC ) ∩ ( ABC ) = BC , AI ⊥ BC · ⇒ • ( (SBC ),( ABC )) = ¶SIA , SI ⊥ BC a SA tan¶SIA = = = ⇒¶SIA = 600 IA a Bài 5/Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA = a SA ⊥ ( ABCD ) BD ⊥ SC , (SBD ) ⊥ (SAC ) 1) Chứng minh : 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) 3) Tính góc SC (ABCD HD 5/ BD ⊥ SC ,(SBD ) ⊥ (SAC ) a) Chứng minh : • ABCD hình vuông nên BD ⊥ AC, BD⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥SC • (SBD) chứa BD ⊥ (SAC) nên (SBD) ⊥ (SAC) b) Tính d(A,(SBD)) • Trong ∆SAO hạ AH ⊥ SO, AH ⊥ BD (BD⊥ (SAC)) nên AH ⊥ (SBD) AO = S a 2 a ( gt ) • , SA = ∆SAO vuông A nên AH H B A C hình chiếu SC ·SCA SA2 ⇒ AH = O D = + AO = 6a2 + a2 = 13 6a2 6a2 a 78 ⇒ AH = 13 13 c) Tính góc SC (ABCD) ⊥ • Dế thấy SA (ABCD) nên (ABCD) AC ⇒ góc SC (ABCD) Vậy ta có: tan ·SCA = SA a = = ⇒ ·SCA = 60 AC a Bài 6/ uuu r uuur AB.EG a/Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a Tính b/Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Xác định đường vuông góc chung tính khoảng cách hai đường thẳng chéo BD′ B′C HD 6/ a/ F G E H B C A D Đặt uuu r ur uuur uu r uuu r uu r AB = e1 , AD = e2 , AE = e3 uuu r uuur ur uuu r uuur ur ur uu r ur ur ur uu r ⇒ AB.EG = e1 EF + EH = e1 e1 + e2 = e1.e1 + e1.e2 = a2 ( ) ( ) Cáchuukhác: u r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur AB.EG = EF.EG = EF EG cos ( EF , EG ) = a.a 2.cos 450 = a b/ D’ C’ A’ B’ M D G C O A B Gọi M trung điểm B′C, G trọng tâm ∆AB′C Vì D′.AB′C hình chóp đều, có cạnh bên có độ dài đường cao chóp ⇒ BD′ ⊥ (AB′C) ⇒ BD′ ⊥ GM Mặt khác ∆AB′C nên GM ⊥ B′C ⇒ GM đoạn vuông góc chung BD’ B’C •Tính độ dài GM = 3 a AC = a = 3 6 a , nên BD’ Bài 7/Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC tam giác cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC a Gọi H trung điểm BC, I trung điểm AH 1) Chứng minh đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) DH = a 2) Chứng minh đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC) 3) Tính khoảng cách AD BC HD 7/ 1) CMR: BC ⊥ (ADH) DH = a D ∆ABC đều, H trung điểm BC nên AH ⊥ BC, AD ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DH ⇒ DH = d(D, BC) = a K 2) CMR: DI ⊥ (ABC) ⇒ A • AD = a, DH = a ∆DAH cân D, mặt khác I trung điểm AH nên DI ⊥ AH B I • BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DI H ⇒ DI ⊥ (ABC) C 3) Tính khoảng cách AD BC • Trong ∆ADH vẽ đường cao HK tức HK ⊥ AD (1) Mặt khác BC ⊥ (ADH) nên BC ⊥ HK (2) d ( AD, BC ) = HK Từ (1) (2) ta suy • Xét ∆DIA vuông I ta có: a 3 a2 a DI = AD − AI = a − = ÷ = ÷ • Xét ∆DAH ta AH DI d ( AD , BC ) = HK = = AD có: S = AH DI = AD.HK ⇒ a a 2=a a Bài 8/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc a (ABCD) SA = Gọi (P) mặt phẳng chứa AB vuông góc (SCD) Thiết diên cắt (P) hình chóp hình gì? Tính diện tích thiết diện HD 8/ • S Trong tam giác SAD vẽ đường cao AH ⇒ AH ⊥ SD (1) SA ⊥ (ABCD) ⇒ CD ⊥ SA CD⊥ AD ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ AH (2) Từ (1) (2) ⇒ AH ⊥ (SCD) ⇒ (ABH) ⊥ (SCD) ⇒ (P) (ABH) Vì AB//CD ⇒ AB // (SCD), (P) ⊃ AB nên (P) ∩ (SCD) = HI ⇒ HI // CD ⇒ thiết diện hình thang AHIB • I H • B • A O D C Hơn AB ⊥ (SAD) Vậy thiết diện hình thang vuông AHIB • SD = SA2 + AD = 3a2 + a2 = 2a SA2 = SH SD ⇒ SH = • ⇒ AB ⊥ HA ∆SAD có SA2 3a2 3a = ⇒ SH = SD 2a 3a HI SH 3 3a ⇒ = = = ⇒ HI = CD = CD SD 2a 4 AH = SA + AD = 3a + a = 3a ⇒ AH = S AHIB = • Từ (3) (4) ta có: (3) a (4) ( AB + HI ) AH 3a a 7a2 = a + ÷ = 2 16 Bài 9/Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, SA = SB = SD = a a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD) b) Chứng minh tam giác SAC vuông c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) HD 9/ ·BAD = 600 S A H O B D C a) Vẽ SH ⊥ (ABCD) Vì SA = SB = SC = a nên HA = HB = HD ⇒ H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Mặt khác ∆ABD có AB = AD ·BAD = 600 Do H trọng tâm tam giác ABD nên Như vậy, nên ∆ABD H ∈ AO ⇒ H ∈ AC SH ⊂ (SAC ) ⇒ (SAC ) ⊥ ( ABCD ) SH ⊥ ( ABCD ) AO = b) Ta có ∆ABD cạnh a nên có Tam giác SAC có SA = a, AC = AH = Trong ∆ABC, ta có: a ⇒ AC = a a a a2 AO = AC = ⇒ AH = 3 3 SH = SA2 − AH = a2 − Tam giác SHA vuông H có HC = a2 2a2 = 3 2a 4a2 a 2 a2 AC = ⇒ HC = ⇒ SC = HC + SH = + = 2a2 3 3 SA2 + SC = a2 + 2a2 = 3a2 = AC ⇒ tam giác SCA vuông S SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ d (S,( ABCD )) = SH = a c) Bài 10/ Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, đôi vuông góc OA = OB = OC = a, I trung điểm BC 1) Chứng minh rằng: (OAI) ⊥ ⊥ (ABC) 2) Chứng minh rằng: BC (AOI) 3) Tính góc AB mặt phẳng (AOI) 4) Tính góc đường thẳng AI OB HD 10/ A K O C I B 1) • OA ⊥ OB, OA ⊥ OC ⇒ OA ⊥ BC (1) • ∆OBC cân O, I trung điểm BC ⇒ OI ⊥ BC (2) Từ (1) (2) ⇒ BC ⊥ (OAI) ⇒ (ABC) ⊥ (OAI) 2) Từ câu 1) ⇒ BC ⊥ (OAI) 3) • BC ⊥ (OAI) ⇒ BI = • (·AB,( AOI )) = ·BAI BC a = 2 AI = • ∆ABC ⇒ BC a a = = 2 cos·BAI = • ∆ABI vuông I ⇒ AI · = ⇒ BAI = 300 AB 4) Gọi K trung điểm OC ⇒ IK // OB ⇒ AK = OA2 + OK = • ∆AOK vuông O ⇒ AI = • 6a IK cos·AIK = = AI IK = • a2 • ⇒ (·AB,( AOI )) = 300 (·AI , OB ) = (·AI , IK ) = ·AIK 5a2 ∆AIK vuông K ⇒ Bài 11/ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân C, AC = a; SA ⊥ (ABC), SA = 3a Gọi H, K hình chiếu vuông góc A lên SB, SC 10 • a OF tan·OSF = = = 3a SO · ⇒ ( (α ),( ABCD)) = 300 Bài 25/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA = a, SA vuông góc với (ABCD) Gọi I, K hình chiếu vuông góc A lên SB, SD a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông b) Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK) c) Tính góc SC (SAB) d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD) HD 25/ a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông • SA⊥ (ABCD) nên SA⊥ BC, AB ⊥ BC (gt) ⇒ ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ • SA ⊥ (ABCD) ⇒ ⇒ S I BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông B K SA ⊥ CD, CD ⊥ AD (gt) B ⇒ A CD ⊥ (SAD) CD ⊥ SD ∆SCD vuông D • SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB, SA ⊥ AD O ⇒ D tam giác SAB SAD vuông A b) Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK) • SA ⊥ (ABCD) ⇒ H SA ⊥ BD, BD ⊥ AC • ∆SAB ∆SAD vuông cân A, AK ⇒ ⊥ BD ⊥ (SAC) SA AI nên I K trung điểm AB AD ⇒ ⇒ ⊥ C ⊥ SB IK//BD mà BD (SAC) nên IK ⊥ (SAC) (AIK) ⊥ (SAC) c) Tính góc SC (SAB) • CB ⊥ AB (từ gt),CB ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) nên CB ⊥ (SAB) ⇒ hình chiếu SC (SAB) SB ⇒ ( SC ,(SAB) ) = ( SC , SB ) = ·CSB • Tam giác SAB vuông cân có AB = SA = a d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD) Hạ AH ⊥ SO , AH ⊥ BD BD ⊥ (SAC) ⇒ AH = SA + AO = a + a = a ⇒ ⇒ AH = 24 BC ⇒ SB = a ⇒ tan ·CSB = = SB AH ⊥ (SBD) a ( ) ⇒ d A, ( SBD ) = a 3 Bài 26/ ·AOB = AOC · · = 60 , BOC = 90 Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a, a) Chứng minh ABC tam giác vuông b) Chứng minh OA vuông góc BC c) Gọi I, J trung điểm OA BC Chứng minh IJ đoạn vuông góc chung OA BC HD 26/ a) CMR: ∆ABC vuông • OA = OB = OC = a, ·AOB = ·AOC = 600 nên ∆AOB ∆AOC cạnh a (1) O I A C J B • (2) Có ·BOC = 900 ⇒ ∆BOC vuông O BC = a 2 AB + AC = a + a2 = 2a2 = ( a ) = BC • ∆ABC có ⇒ tam giác ABC vuông A b) CM: OA vuông góc BC • J trung điểm BC, ∆ABC vuông cân A nên ∆OBC vuông cân O nên c) Từ câu b) ta có AJ ⊥ BC OJ ⊥ BC ⇒ BC ⊥ OAJ ⇒ OA ⊥ BC IJ ⊥ BC ∆ ABC = ∆OBC (c.c.c) ⇒ AJ = OJ (3) Từ (3) ta có tam giác JOA cân J, IA = IO (gt) nên IJ ⊥ OA Từ (3) (4) ta có IJ đoạn vuông góc chung OA BC (4) Bài 27/ a Cho tam giác ABC vuông cân B, AB = BC= , I trung điểm cạnh AC, AM đường cao ∆SAB Trên đường thẳng Ix vuông góc với mp(ABC) I, lấy điểm S cho IS = a 25 a) Chứng minh AC ⊥ SB, SB ⊥ (AMC) b) Xác định góc đường thẳng SB mp(ABC) c) Xác định góc đường thẳng SC mp(AMC) HD 27/ S M A I C B a) • AC ⊥ BI, AC ⊥ SI ⇒ AC ⊥ SB • SB ⊥ AM, SB ⊥ AC ⇒ SB ⊥ (AMC) b) SI ⊥ (ABC) ⇒ (·SB,( ABC )) = ·SBI AC = 2a ⇒ BI = a = SI ⇒ ∆SBI vuông cân ⇒ c) SB ⊥ (AMC) ⇒ ( ·SBI = 450 ) ·SC ,( AMC ) = ·SCM Tính SB = SC = ·SCM = 30 a = BC ⇒ ∆SBC ⇒ M trung điểm SB ⇒ Bài 28/ Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a cạnh bên 2a Gọi O tâm đáy ABCD a) Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD), (SBD) ⊥ (ABCD) b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD) từ điểm O đến mp(SBC) c) Dựng đường vuông góc chung tính khoảng cách hai đường thẳng chéo BD SC S K H C D O A M B HD 28/ • Vì S.ABCD chóp tứ giác nên SO ⊥ ( ABCD ) AC ⊥ BD 26 ⇒ • SO ⊥ BD ⇒ BD ⊥ (SAC ) AC ⊥ BD SO ⊥ (ABCD ) SO ⊂ (SBD ) b) • Tính ⇒ (SAC) ⊥ (SBD) ⇒ (SBD) ⊥ (ABCD) d (S ,( ABCD )) SO ⊥ (ABCD) ⇒ d (S,( ABCD )) = SO Xét tam giác SOB có a 7a a 14 2 OB = , SB = 2a ⇒ SO = SA − OB = ⇒ SO = 2 d (O ,(SBC )) • Tính Lấy M trung điểm BC ⇒ OM ⊥ BC, SM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SOM) ⇒ (SBC) ⊥ (SOM) Trong ∆SOM, vẽ OH ⊥ SM ⇒ OH ⊥ (SBC) ⇒ Tính OH: ∆SOM có d (O,(SBC )) = OH a 14 2 SO = ⇒ = + ⇒ OH = OM OS = 7a ⇒ OH = a 210 30 30 OH OM OS OM + OS OM = a d (BD, SC ) c) Tính Trong ∆SOC, vẽ OK ⊥ SC Ta có BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ OK ⇒ OK đường vuông góc chung BD SC ⇒ Tính OK: ∆SOC có d (BD, SC ) = OK a 14 SO = 1 OC OS 7a2 a 2 ⇒ = + ⇒ OK = = ⇒ OK = 2 2 16 OK OC OS OC + OS OC = a Bài 29/ µB Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vuông A, góc = 600 , AB = a; hai mặt bên (SAB) (SBC) vuông góc với đáy; SB = a Hạ BH ⊥ SA (H ∈ SA); BK ⊥ SC (K ∈ SC) 1) Chứng minh: SB ⊥ (ABC) 2) Chứng minh: mp(BHK) ⊥ SC 3) Chứng minh: ∆BHK vuông 4) Tính cosin góc tạo SA (BHK) HD 29/ 1) 27 S K H B C 600 ( SAB ) ⊥ ( ABC ) ( SBC ) ⊥ ( ABC ) ⇒ SB ⊥ ( ABC ) ( SAB ) ∩ ( SBC ) = SB A 2) CA ⊥ AB, CA ⊥ SB ⇒ CA ⊥ (SAB) ⇒ CA ⊥ BH Mặt khác: BH ⊥ SA ⇒ BH ⊥ (SAC) ⇒ BH ⊥ SC Mà BK ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (BHK) 3) Từ câu 2), BH ⊥ (SAC) ⇒ BH ⊥ HK ⇒ ∆BHK vuông H 4) Vì SC ⊥ (BHK) nên KH hình chiếu SA (BHK) ⇒ (·SA,(BHK )) = (·SA, KH ) = ·SHK Trong ∆ABC, có: Trong ∆SBC, có: AC = AB tan µB = a 3; BC = AB + AC = a2 + 3a2 = 4a SC = SB + BC = a2 + 4a2 = 5a2 ⇒ SC = a SH = Trong ∆SAB, có: ; SB a = SC SB a = SA HK = SH − SK = Trong ∆BHK, có: ( SK = 3a2 10 HK = ⇒ a 30 10 ) HK 60 15 cos ·SA,( BHK ) = cos·BHK = = = SH 10 ⇒ Bài 30/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B;AD=2a;AB=BC=a ⊥ ∈ SA (ABCD);SA=a.M AB với AM= ⊥ AB α ( ) mp qua M ⊥ AB a/ Chứng minh BC (SAB) ( · , ( ABCD ) ϕ = SC b/ Gọi ) Tính góc ϕ α c/ Tìm thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mp( ).Tính diện tích thiết diện HD 30/ 28 ⊥ ⊥ a/ Ta có BC AB,BC SA ⇒ b/ Gọi E trung điểm AD ⇒ AC=a ⊥ BC (SAB) ⇒ ABCE hình vuông cạnh a Ta có AC hình chiếu SC (ABCD) ϕ tan = ⇒ ( ) · , ( ABCD) = SCA · ϕ = SC SA a = = AC a 2 ⇒ ϕ ≈ 35 15' ⊥ M ∈ ( α ) ⇒ ( α ) / /( SAD ) c/ Ta có AB (SAD) Dựng MQ//SA cắt SB Q,MN//AD cắt CD N, QP//BC//MN cắt SC P ⇒ Thiết diện hình thang MNPQ Mặt khác Ta có MN / / BC MQ / / SA ⇒ MQ ⊥ MN SA ⊥ BC ⇒ Thiết diện hình thang vuông M,Q MQ BM = ⇒ MQ = a SA BA QP SQ AM 1 = = = ⇒ QP = a BC SB AB 3 ⊥ ∩ Ta lại có CE MN,F=MN CE , MN//AD ⇒ FN CF BM 2 = = = ⇒ FN = a ED CE BA 3 ⇒ MN = MF + FN = a + a = a 3 1 2a ⇒ S = ( MN + QP) MQ = ( a + a) a = 2 3 3 Bài 31/ 29 Cho hình chóp S.ABCD, đáy tam giác ABC vuông cân B SA BC = a ⊥ (ABC) biết SA = a SB ⊥ CB a Chứng minh: b Xác định góc SC (SAB) c Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) HD 31/ a/ SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC (1) Ta có: tam giác ABC vuông B Từ (1) (2) mà b/ ⇒ BC ⊥ (SAB) SB ⊂ (SAB) BC ⊥ (SAB) nên BC ⊥ SB nên SB hình chiếu SC lên (SAB) ^ ^ ^ ⇒ (SC,(SAB)) = ( SC , SB) = BSC c/ Kẻ ⇒ AB ⊥ BC (2) AH ⊥ SB, H ∈ SB ^ cosBSC = , SB = SC BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH SB ⊥ AH ⇒ AH ⊥ (SBC) BC,SB ⊂ (SBC);BC ∩ SB=B Ta có : Khi AH khoảng cách từ A đến (SBC) Tam giác SAB vuông cân A SA = AB = a AH ⊥ SB ⇒ ⇒ AH = ⇒ SB = a H trung điểm SB SB = a 2 Bài 32/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông, SA⊥(ABCD) Gọi I trung điểm cạnh SC a) Chứng minh AI ⊥ BD b) (BID) ⊥ (ABCD) c) Tính diện tích tam giác BID biết SA = AB = a HD 32/ 30 S I A O D B C a/ Do ABCD hình vuông nên BD ⊥AC, mặt khác SA ⊥(ABCD) nên SA ⊥BD, suy BD ⊥(ASC) Vậy AI ⊥ BD b) Gọi O giao điểm AC BD O trung điểm AC nên OI đường trung bình tam giác SAC, ta có OI //SA Theo giả thiết SA ⊥(ABCD) OI ⊥(ABCD) suy (BID) ⊥(ABCD) SA a a OI = = ; BD = =a 2 sin 450 ⇒ SVBID 1 a a2 = OI BD = a = 2 c/ Bài 33/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) a Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông b Gọi M, N trung điểm SB, SD Chứng minh HD 33/ a/ Chứng minh ∆SAB, SAD vuông A Chứng minh ∆SBC vuông B Chứng minh ∆SDC vuông D b/ Chứng minh Mà MN P BD BD ⊥ AC ( hai ® êng chÐo cña h×nh vu«ng ) BD ⊥ ( SAC ) v× BD ⊥ SA ( SA ⊥ ( ABCD ) ) Nên Bài 34/ MN ⊥ ( SAC ) 31 MN P BD MN ⊥ ( SAC ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D.AB = 3a ; AD = DC ⊥ = 2a SA (ABCD) SA = 4a ⊥ a) Chứng minh rằng: (SCD) (SAD) b) Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) HD 34/ a) DC ⊥ AD ⇒ DC ⊥ ( SAD) ⇒ ( SDC ) ⊥ ( SAD) DC ⊥ SA ⊥ b) Vì SA (ABCD) nên AC hình chiếu SC (ABCD) Vậy (SC,(ABCD))=(SC,AC)=SCA Và tanSCA= SA 4a = = AC 2a AC = AD + DC = (2a) + (2a) = 8a = 2a 2 2 2 ⊥ c) Từ A kẻ AH vuông góc với SD H AH (SDC) ta có AH ⊥ SD ⇒ AH ⊥ ( SDC ) AH ⊥ DC Xét tam giác vuông SAD có hay d(A,(SCD))=AH 1 1 = 2+ = + = 2 AH SA AD 16a 4a 16a 4a a = 5 Vậy d(A,(SCD))=AH= Bài 35/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông ABCD cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a 1) (SAB) ⊥ (ABCD); 2) CD ⊥ (SAD); 3) Tính góc [SB, (ABCD)]; [(SBD),(ABCD] 4) Tính khoảng cách d[SA, BD]; d[BD, SC] HD 35/ a) SA ⊥ ( ABCD) ⇒ ( SAB) ⊥ ( ABCD) CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ ( SAD ) CD ⊥ SA b) c) (SB,(ABCD))=(SB,AB)=SBA=450 d) Cã AO ⊥ BD ⇒ AO ⊥ SA ⊥ d(SA,BD)=AO= ⊥ a 2 e) Từ O kẻ OH SC,do BD (SAC) ⇒ ⊥ BD OH 32 Vậy OH đường vuông góc chung SC BD Vậy d(SC,BD)=OH=a/2 Bài 36: Tứ diện S.ABC có ∆ABC cạnh a, SA ⊥ (ABC), SA = a) Cmr (SBC) ⊥ (SAI) b) Tính d[A,(SBC)] c) Tính d[SA, BC] HD 36/ a) 3a Gọi I trung điểm BC BC ⊥ AI ⇒ BC ⊥ ( SAI ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAI ) BC ⊥ SA ⊥ BC AI tam giác ABC có AI trung tuyến b) Tính d[A,(SBC)] Trong mp (SAI) kẻ AH Vì ⊥ BC ⊥ ( SAI ) ⇒ BC ⊥ AH Vậy SI H AH ⊥ SI ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC )) = AH AH ⊥ BC Trong tam giác vuông SAI có 1 = 2+ 2 AH SA AI a 3a a AI = AC − IC = a − ( ) = ⇒ AI = 2 Tam giác vuông AIC có Thay vào (*) có : c) AI ⊥ SA ⇒ AI ⊥ BC (*) 2 1 1 16 9a 3a = + = + = ⇒ AH = = AH SA2 AI ( 3a ) 3a 9a 16 4 AI đường vuông góc chung SA BC d ( SA, BC ) = AI = a Bài 37/ Cho hình chóp S.ABC có AB = Gọi H trực tâm a Chứng minh rằng: ∆ABC a , SA = SB = SC =a, SA, SB, SC đôi vuông góc SA ⊥ BC , SB ⊥ AC SH ⊥ ( ABC ) b Chứng minh rằng: c Tính góc SA mặt phẳng (ABC) 33 HD 37/ a/ Gọi M, N trung điểm AB BC Ta có ⊥ SB =SC suy SN Tương tự AC Ta có ⊥ BC, AH ⊥ BC suy BC ⊥ SA SB SN ⊥ BC ⇒ BC ⊥ SH AH ⊥ BC ⊥ Tương tự AB SH SH ⊥ ( ABC ) b/ Từ câu a Suy c Tính góc SA mặt phẳng (ABC) HS ⊥ ( ABC ) Ta có suy AH hình chiếu AS lên (ABC) Suy góc SA mặt phẳng (ABC) góc AH SA b AH b cos ( SAH ) = = = a SA 2a Bài 38/ SA ⊥ ( ABCD ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a, a Tính số đo góc BD SC b Gọi H trung điểm SC Chứng minh rằng: c Tính số đo góc SB CD HD 38/ a/ Vì ABCD hình thoi suy OH ⊥ ( ABCD ) AC ⊥ BD SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ AC hình chiếu SC lên (ACBD) Suy góc chúng 900 b/ Ta có OH đường trung bình tam giác CSA suy HO // SA mà SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ OH ⊥ ( ABCD ) c/ CD//AB suy góc SB CD góc SB AB 450 tam giác SAB tam giác vuông cân A 34 , SA = a, · BAD = 120° Bài 39/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, tâm O, SA = SB = SC = SD = a · BAC = 30° SO ⊥ ( ABCD ) a Chứng minh rằng: b Tính góc SC (ABCD) c Gọi M, N trung điểm AB BC Chứng minh rằng: d Tính khoảng cách SB AC HD 39/ MN ⊥ ( SBD ) a/ Vì O điểm AC BD; SA= SB =SC = SD Nên SO ⊥ AC ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) SO ⊥ BD SO ⊥ ( ABCD ) b/ Ta có · BCA = 30 ( , suy OC hình chiếu SC lên (ACBD) CO = suy tam giác ACD tam giác suy a ) OC · · cos SCO = = ⇒ SCO = 300 SC Vậy góc SC (ABCD) 300 c/ Ta có SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ BD BD ⊥ SO ⇒ BD ⊥ ( SAB ) DB ⊥ AC BD ⊥ ( SAB ) ⇒ MN ⊥ ( SAB ) MN P AC d/ Gọi H hình chiếu O lên SB AC ⊥ ( SBD ) ⇒ AC ⊥ HO Ta có Đoạn thẳng OH đoạn vuông góc chung AC SB Ta có tam giác SOB tam giác vuông cân O suy OH = Bài 40/ 35 a Cho hình chóp S.ABC có đáy ∆ABC cân A, đường cao AH đường cao tam giác · BAC = 120° ABC AH= a, góc , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, chiếu vuông góc A lên SH SA = a Goi K hình AK ⊥ ( SBC ) a Chứng minh rằng: b Tính góc hai mặt phẳng: (SBC) (ABC) c Tính khoảng cách SA BC HD 40/ a/ Ta có SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC HA đường cao tg ABC suy AH ⊥ BC AH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAH ) SA ⊥ BC BC ⊥ ( SAH ) ⇒ BC ⊥ AK AK ⊂ ( SAH ) K hình chiếu A lên SH suy AK ⊥ SH AK ⊥ SH BC ⊥ AK ⇒ AK ⊥ ( SBC ) BC ∩ SH = H b/ AH ⊂ ( ACB ) SH ⊂ ( SBC ) · · · ⇒ ( ABC ) , ( SBC ) = SH , AH = AHS ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC SH , AH ⊥ BC ( tan H = ) ( ) SA = ⇒ H = 600 AH Ta có AH đoạn vuông góc chung SA BC k/c SA BC a Bài 41/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc chiếu H S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm a Chứng minh rằng: α BD ⊥ ( SAC ) Tính SH, SC b Gọi góc (SBD) (ABCD) Tính c Tính khoảng cách DC SA tanα 36 a ·BAD = 60° SA = ∆ABD , Hình HD 41/ a/ Vì H hình chiếu S lên (BCD) suy SH ⊥ ⊥ BD ABCD hình thoi suy AC BD SH ⊥ BD AC ⊥ BD ⇒ BD ⊥ ( SAC ) SH ∩ AC = H ABCD hình thoi cạnh a góc OH = tam giác cạnh a · BAD = 600 nên tam giác ABD a a ; OA = OC = 2 2 2 a 3 2 5a a a 3a a SH = SA − AH = − AO = − = − = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 12 ÷ 3 3 2 ⇒ SH = a 12 SC = SH + HC = ⇒ SC = 5a a2 5a + AO ÷ = + 12 12 a b/ Ta có ( SAC ) ⊥ BD · , SO = α ( SAC ) ∩ ( ABCD ) = AC ⇒ ( OH ) ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO tan α = SH =a = HO 12 a Bài 42/ Cho hình chóp S.ABC có đáy điểm BC ∆ABC cạnh 2a, SA ⊥ ( ABC ) BC ⊥ ( SAI ) a Chứng minh rằng: b Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) c Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) HD 42/ a/ Ta có SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC (1) ABC tam giác đều, I trung điểm BC nên AI Từ (1) (2) suy BC ⊥ (SAI) 37 ⊥ BC (2) , SA = a Gọi I trung b/ Gọi H hình chiếu A lên (SBC) Ta có ( SBC ) ⊥ ( SAI ) ⇒ H ∈ SI ( SBC ) ∩ ( SAI ) SI Xét tam giác vuông SAI có: 1 1 a = 2+ 2⇒ = ⇒ AH = 2 AH AI SA AH 3a c/ Ta có: BC ⊥ ( SAI ) ( ABC ) ∩ ( ABC ) = BC · · ¶ ⇒ ( SBC ) , ( ABC ) = SI , AI = SIA ( SBC ) ∩ ( SAI ) = SI ( ABC ) ∩ ( SAI ) = AI ( ( ) ¶ = SA = tan SIA AI a 2a = ) ( ) ¶ = 300 ⇒ SIA Hết 38 ... S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, cạnh bên SC vuông góc với đáy.SB 450 tạo với đáy góc a)Chứng minh AB vuông góc với (SBC) b)Mặt phẳng (SAD) vuông góc với (SCD) c)Gọi O tâm hình vuông ABCD,hãy tính... ABCD)) = 300 Bài 25/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA = a, SA vuông góc với (ABCD) Gọi I, K hình chiếu vuông góc A lên SB, SD a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông b)... ) = = ⇒ KAH = arccos AH 10 10 Bài 12/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = a 1) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông ⊥ 2) Chứng minh rằng: (SAC)