LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN TP HÀ NỘI 2017 Lị ch Võ Quốc Bá Cẩn Tô Đề thi Bài (5.0 điểm) a) Chứng minh n5 C 5n3 6n chia hết cho 30; với số nguyên dương n: ng b) Tìm tất số nguyên dương x; y/ cho x C 8y y C 8x số phương a) Giải phương trình: r b) Giải hệ phương trình: r x 2x D C tr ên 2x C x sô Bài (5.0 điểm) y y đò 8s p ˆ 4x p ˆ ˆ D xCy x < 5y r ˆ ˆ ˆ : 5y D px C y C px x : 2x Bài (3.0 điểm) Với số thực không âm x; y; z thỏa mãn x C y C z D 2: a) Chứng minh x C y C z Ä C xy: il b) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức x y z P D C C : C yz C zx C xy gư Bài (6.0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC BC > CA > AB/ nội tiếp đường tròn O/ có trực tâm H: Đường tròn ngoại tiếp tam giác BH C cắt phân giác góc ∠ABC điểm thứ hai M: Gọi P trực tâm tam giác BCM: N a) Chứng minh bốn điểm A; B; C; P thuộc đường tròn b) Đường thẳng qua H song song với AO cắt cạnh BC E: Gọi F điểm cạnh BC cho CF D BE: Chứng minh ba điểm A; F; O thẳng hàng c) Gọi N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM: Chứng minh PN D PO: Bài (1.0 điểm) Trên bàn có 100 thẻ đánh số từ đến 100: Hai người A B người lấy thẻ bàn cho người A lấy thẻ đánh số n đảm bảo người B chọn thẻ đánh số 2n C 2: Hỏi người A lấy nhiều thẻ bàn thỏa mãn yêu cầu trên? Lời giải đề thi học sinh giỏi Toán TP Hà Nội 2017 Lời giải bình luận toán Bài (5.0 điểm) 6n chia hết cho 30; với số nguyên dương n: Lị ch a) Chứng minh n5 C 5n3 b) Tìm tất cặp số nguyên dương x ; y / cho hai số x C 8y y C 8x số phương Lời giải a) Đặt A D n C 5n n ; ta có Tô 1/.n C 1/.n C 6/ A D n.n ng D n.n 1/.n C 1/.n 4/ C 10 n.n 1/.n C 1/ D n 2/.n 1/n.n C 1/.n C 2/ C 10.n 1/n.n C 1/: b) Không tính tổng quát, ta giả sử x sô Do n /.n 1/n.n C 1/.n C 2/ tích năm số nguyên liên tiếp nên tích chia hết cho ; 3; 5; tức chia hết cho 30: Tương tự, tích n 1/n.n C 1/ chia hết n / n.n C 1/ chia hết cho 30: Từ suy A chia hết cho 30: y : Khi đó, ta có tr ên x < x C 8y Ä x C 8x < x C 8x C 16 D x C 4/ : Theo yêu cầu đề bài, x C 8y số phương nên nhận giá trị số x C / ; x C 2/ ; x C 3/ : Ta xét trường hợp sau: đò Trường hợp 1: x C 8y D x C 1/2 : Ở trường hợp này, ta có 8y D 2x C 1: Điều xảy 2x C số lẻ, 8y số chẵn Trường hợp 2: x C 8y D x C 3/2 : Tương tự trên, ta dẫn đến vô lý 1: Do y C 8x il Trường hợp 3: x C 8y D x C 2/2 : Ở trường hợp này, ta có x D 2y số phương nên ta có y C 16y số phương gư Với y D 1; ta có x D cặp số 1; 1/ thỏa mãn yêu cầu đề Xét y y C 16y D y C 3/2 C 10y 2; ta có 17/ > y C 3/2 N y C 16y < y C 8/2 72 < y C 8/2 : Do đó, để y C 16y số phương ta phải có ˚ « y C 16y y C 4/2 ; y C 5/2 ; y C 6/2 ; y C 7/2 : Giải trực tiếp trường hợp, ta y D (tương ứng, x D 5) y D 11 (tương ứng, x D 21) Thử lại, ta thấy thỏa mãn Tóm lại, có cặp số thỏa mãn yêu cầu đề 1; 1/; 5; 3/; 3; 5/; 21; 11/ 11; 21/: Lời giải đề thi học sinh giỏi Toán TP Hà Nội 2017 Bài (5.0 điểm) a) Giải phương trình: r C x 2x r x 2x D C : 2x 8s p ˆ 4x p ˆ ˆ D xCy x < 5y r ˆ ˆ ˆ : 5y D px C y C px x Lị ch b) Giải hệ phương trình: y p 2x C 1C 6 x 2x sô x 0; tức ÄxÄ ng Lời giải a) Điều kiện: x ¤ 0; 2x x3 x6 này, sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có r r C 2x 2x C 2x Ä x x Tô y D1C p 3: Với điều kiện : 2x Do đó, theo yêu cầu toán, dấu đẳng thức đánh giá phải xảy ra, tức ta phải có D1 x ˆ :6 x 2x D tr ên ˆ < 2x đò Giải hệ này, ta tìm x D 32 : Vậy phương trình cho có nghiệm x D 23 : b) Điều kiện: x y > 0: Nhân tương ứng với vế hai phương trình hệ, ta x y/ D 2y; D x C y/ gư il từ suy y D 1: Thay vào phương trình thứ hai, ta r p p D x C C x 1: x Xét phương trình trên, ta thấy: N xD nghiệm phương trình Nếu x > ta có VT < < VP: Nếu x < ta có VT > > VP: Do đó, x D nghiệm phương trình Tóm lại, hệ cho có nghiệm nhất:  x; y/ D à ;1 : 4 Lời giải đề thi học sinh giỏi Toán TP Hà Nội 2017 Bài (3.0 điểm) Với số thực không âm x; y; z thỏa mãn x C y C z D 2: a) Chứng minh x C y C z Ä C xy: b) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức y z x C C : C yz C zx C xy Lị ch P D Lời giải a) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có x C y/2 C z C x C y C z C 2xy C C D D C xy: 2 Tô x C y/ C z Ä Từ suy x y z C C D 1: xCyCz xCyCz xCyCz tr ên P Ä x C y C z; x C y C z; x C y C z: sô C yz C zx C xy ng b) Tìm max P: Sử dụng kết câu a), ta có Dấu đẳng thức xảy chẳng hạn x D y D z D 0: Vậy max P D 1: h p i Tìm P: Trước hết, ta chứng minh nhận xét sau: Với x 0; ; ta có x2 p : 2 p Dấu đẳng thức xảy x D x D 2: p Đặt x D 2t ta có Ä t Ä ta phải chứng minh p 2t t2 p ; t2 gư hay il đò 2x x2 t.1 t/2 C t/ 0: N Bất đẳng thức cuối nên nhận xét chứng minh Trở lại toán, sử dụng bất đẳng thức AM-GM nhận xét trên, ta có x 2x D C yz C 2yz 2x 2x D 2 4Cy Cz x2 x2 p : 2 Đánh giá tương tự cho số hạng lại, ta p x2 C y2 C z2 P D : p 2 p Dấu đẳng thức xảy chẳng hạn x D y D z D 0: Vậy P D p : Lời giải đề thi học sinh giỏi Toán TP Hà Nội 2017 Bình luận Câu a) toán gợi ý để tìm giá trị lớn biểu thức P câu b) Ngoài cách trên, ta giải ý cách hoàn toàn độc lập sau: Ta có 2x 2y 2z C C C yz C zx C xy  à 1 D x C y C z xyz C C : C yz C zx C xy Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz1 , ta có C xy C yz C zx 9 D > 1: C x2 C y2 C z2 Tô 1 C C C yz C zx C xy Do 2P Ä x C y C z xyz D x.1 yz/ C y C z/: yz/ C y C z/ ng Bây giờ, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz lần nữa, ta có x.1 Ä x C y C z/2 yz/2 C 2yz C y z / sô D C 2yz/.2 D C 2y z yz Lị ch 2P D 1/ Ä 4; tr ên bất đẳng thức cuối yz Ä y Cz Ä 1: Từ ta suy 4P Ä 4; tức P Ä 1: Việc lại trường hợp dấu xong Ở ý thứ hai câu b), ta tiếp cận cách khác sau: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có x C y C z/2 x C y C z/2 D : x.2 C yz/ C y.2 C zx/ C z.2 C xy/ 2.x C y C z/ C 3xyz đò P 1/ Đặt C y C z ta có t x C y C z D t Ä 3.x C y C z / D 6: Do p t D xp Ä t Ä 6: Ngoài ra, sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có ý t t il 9xyz Ä x C y C z/.xy C yz C zx/ D 2/ : gư Từ kết hợp với (1), ta suy P t2 2t C t t 2/ N Tiếp theo, ta chứng minh 6t t C 10 p Á Bất đẳng thức tương đương với t t D t2 6t : C 10 p : p Á p p Ä 0; Ä t Ä 6: p Vậy P : Việc lại tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy Chú ý rằng, học sinh cần chứng minh lại bất đẳng thức sử dụng 6 Lời giải đề thi học sinh giỏi Toán TP Hà Nội 2017 Bài (6.0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC BC > CA > AB/ nội tiếp đường tròn O/ có trực tâm H: Đường tròn ngoại tiếp tam giác BH C cắt phân giác góc ∠ABC điểm thứ hai M: Gọi P trực tâm tam giác BCM: a) Chứng minh bốn điểm A; B; C; P thuộc đường tròn Lị ch b) Đường thẳng qua H song song với AO cắt cạnh BC E: Gọi F điểm cạnh BC cho CF D BE: Chứng minh ba điểm A; F; O thẳng hàng Lời giải a) Ta có ∠BP C D 180ı ∠BM C D 180ı ∠BH C D ∠BAC: ng Từ suy bốn điểm A; B; C; P nằm đường tròn P N tr ên sô A Tô c) Gọi N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM: Chứng minh PN D PO: M H F C E I il B đò O N gư K b) Dựng hình bình hành BH CK: Ta có KC ? AC (do KC k BH BH ? AC ) Tương tự, ta có KB ? AB: Từ ta có tứ giác ABKC nội tiếp AK O/: Xét hai tam giác BHE CKF; ta có BE D CF (giả thiết), BH D CK (tính chất hình bình hành) ∠HBE D ∠KCF (so le trong) nên chúng nhau, suy ∠KF C D ∠HEB: Lời giải đề thi học sinh giỏi Toán TP Hà Nội 2017 Mà hai góc vị rí so le nên HE k KF: Lại có AK k HE (do AK qua O HE k AO) nên ba điểm A; F; K thẳng hàng Từ ta suy điều phải chứng minh c) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BH C: Ta có 4BH C D 4CKB nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BKC bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CKB: Nói cách khác, ta có OB D OC D IB D IC: ∠MBC / D 180ı 2∠MBC D 180ı Do ∠NOI D ∠POB: Từ ta suy ∠NOP D ∠IOB: ∠ABC: Tô ∠POB D 2∠P CB D 90ı Lị ch Chú ý ON trung trực AB; OI trung trực BC I N trung trực BM nên ∠ONI D ∠ABM ∠OI N D ∠MBC (hai góc nhọn có hai cạnh tương ứng vuông góc) Từ ∠ABM D ∠MBC D 12 ∠ABC nên ∠ONI D ∠OI N D 12 ∠ABC: Suy tam giác ONI cân O ∠NOI D 180ı ∠ABC: Lại có ng Hai tam giác OBI OPN có OI D ON; OB D OP ∠NOP D ∠IOB nên Mà tam giác OBI cân B nên tam giác OPN cân P: Tóm lại, ta có PN D PO: tr ên sô Bài (1.0 điểm) Trên bàn có 100 thẻ đánh số từ đến 100: Hai người A B người lấy thẻ bàn cho người A lấy thẻ đánh số n đảm bảo người B chọn thẻ đánh số 2n C 2: Hỏi người A lấy nhiều thẻ bàn thỏa mãn yêu cầu trên? Lời giải (Lời giải thầy Nguyễn Tiến Lâm, trường THPT chuyên KHTN.) Vì B bốc thẻ 2n C nên 2n C Ä 100: Suy n Ä 49: Do đó, A bốc thẻ đánh số từ đến 49: Bây giờ, ta phân hoạch tập f1; 2; : : : ; 49g thành 33 tập sau: đò f1; 4g; f3; 8g; f5; 12g; : : : ; f23; 48g (12 nhóm); f2; 6g; f10; 22g; f14; 30g; f18; 38g (4 nhóm); f25g; f27g; f29g; : : : ; f49g (13 nhóm); il f26g; f32g; f42g; f46g (4 nhóm) gư Ở nhóm, A chọn tối đa số Nếu A chọn nhiều 34 số số từ đến theo nguyên lý Dirichlet, tồn hai số thuộc nhóm (vô lý) Do đó, A chọn không 33 số Mặt khác, A chọn 33 số sau N f ; 3; 5; : : : ; 23; ; 10; 14 ; 18; 25; 27; 29; : : : ; 49; 26; 32 ; 42 ; 46 g thỏa mãn yêu cầu đề Vậy A lấy tối đa 33 thẻ  ... thức xảy Chú ý rằng, học sinh cần chứng minh lại bất đẳng thức sử dụng 6 Lời giải đề thi học sinh giỏi Toán TP Hà Nội 2017 Bài (6.0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC BC > CA > AB/ nội tiếp đường tròn... lại, ta thấy thỏa mãn Tóm lại, có cặp số thỏa mãn yêu cầu đề 1; 1/; 5; 3/; 3; 5/; 21; 11/ 11; 21/: Lời giải đề thi học sinh giỏi Toán TP Hà Nội 2017 Bài (5.0 điểm) a) Giải phương trình: r C x 2x... p Dấu đẳng thức xảy chẳng hạn x D y D z D 0: Vậy P D p : Lời giải đề thi học sinh giỏi Toán TP Hà Nội 2017 Bình luận Câu a) toán gợi ý để tìm giá trị lớn biểu thức P câu b) Ngoài cách trên, ta