BÀI GIẢI TÓM TẮT MÔN TOÁN (môn thi chung) KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 Năm học 2004–2005 TRƯỜNG PTTH TRẦN ĐẠI NGHĨA Câu 1: (4 điểm) Cho phương trình: x 4 –(3m+14)x 2 +(4m+12)(2–m) = 0 (có ẩn số là x) a)Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt. b) Định m sao cho tích số của 4 nghiệm trên đặt giá trị lớn nhất. GiảI: x 4 –(3m+14)x 2 +(4m+12)(2–m) = 0 (*) a) Định m để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt. Đặt t=x 2 (*) ⇔ t 2 –(3m+14)+(4m+12)(2–m)=0 (**) t 4m 12 t 2 m = +  ⇔  = −  (*) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ 4m 12 0 2 m 0 4m 12 2 m + >   − >   + ≠ −  ⇔ 3 m 2 m 2 − < <   ≠ −  b) Định m sao cho tích số của 4 nghiệm trên đặt giá trị lớn nhất. Ta có 4 nghiệm của (*) là 1 t ± , 2 t ± , với t 1 ,t 2 là nghiệm của (**) x 1 x 2 x 3 x 4 = t 1 t 2 =(4m+12)(2–m) = –4m 2 – 4m+24= –(2m+1) 2 +25 m ∀≤ 25 ⇒ Giá trị lớn nhất của x 1 x 2 x 3 x 4 là 25 khi m=– 2 1 thỏa điều kiện ở câu a Câu 2 : Giải phương trình a) + + − = − 2 2 x 2x 1 1 2 x b) − + − − = + 2 12x 8 2x 4 2 2 x 9x 16 Giải : a) 2 2 2 2 2 2 2 x 2x 1 1 2 x 2 x 0 x 2x 1 1 2 x x 2x 1 1 x 2 + + − = −  − ≥    + + − = − ⇔    + + − = −     2 2 2 2x 1 3 2x x 2 2x 1 1 (VN) x 2   + = −    ≤    ⇔   + = −     ≤    2 2 2 2 3 2x 0 x 2 2x 1 3 2x 2x 1 2x 3   − ≥   ⇔ ≤    + = −    + = −   2 2 2 3 x 2 2x 2x 2 0 2x 2x 4 0  ≤   ⇔   + − =    − − =   2 3 x 2 1 5 x 2 x 1 x 2  ≤   − ±  ⇔ =   = −  =  x 1 1 5 x 2 = −   − +  =   b) − + − − = + 2 12x 8 2x 4 2 2 x 9x 16 2 6x 4 12x 8 (-2 x 2) 2x 4 2 2 x 9x 16 − − ⇔ = ≤ ≤ + + − + 2 2 x (1) 3 2( 2x 4 2 2 x ) 9x 16 (2)  =  ⇔   + + − = +  ⇒ + + − + − = + 2 2 (2) 4(2x 4) 16(2 x) 16 8 2x 9x 16 ⇒ − − = − 2 2 16 8 2x 8x 9x 32 ⇒ − − = − − ⇒ = − − + 2 2 2 2 2 8(2 8 2x x) 9x 32 8(32 9x ) 9x 32 2 8 2x x  − = ⇒  − + = −   2 2 9x 32 0 2 8 2x x 8 2 4 2 x 3 2 8 2x 8 x(v« nghiÖm v× -2 x 2)  = ±  ⇒   − = − − ≤ ≤  4 2 x 3 ⇒ = ± .Thử lại ta được 4 2 x 3 = Vậy phương trình có các nghiệm 2 4 2 ; 3 3 x x = = Câu 3: (3 điểm) Cho x,y là hai số thực khác 0. Chứng minh:         +≥++ x y y x x y y x 34 2 2 2 2 (1) Giải Đặt t= x y y x + ⇒ x y y x x y y x t +=+= mà 2≥+ x y y x (do bất đẳng thức CôSi) ⇒ ⇒≥ 2t 2 −≤ t hay t ≤ 2 Khi đó 2 2 2 2 2 x y t y x = + +2 Bất đẳng thức (1) ⇔ tt 32 2 ≥+ 2 t 3t 2 0 ⇔ − + ≥ ( ) ( ) t 1 t 2 0 ⇔ − − ≥ (2) (2) là hiển nhiên đúng do t 2 ≤ − hay 2 t ≤ Câu 4 : (3 điểm) Tìm các số nguyên x,y thỏa phương trình x 2 + xy + y 2 = x 2 y 2 Giải : x 2 + xy + y 2 = x 2 y 2 ⇒ (2x +2y) 2 = (2xy + 1) 2 – 1 ⇒ (2xy + 1 + 2x + 2y)(2xy + 1 – 2x – 2y) = 1 ⇒ 2xy + 1 + 2x + 2y = 2xy + 1 –2x – 2y ⇒ x + y = 0 Thay vào phương trình ban đầu ta có : x = 0,y = 0 hoặc x = 1,y = –1 hoặc x = –1,y = 1 Câu 5 (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tạI A nộI tiếp trong đường tròn (o;R). Vẽ tam giác đều ACD (D và B ở hai nửa mặt phẳng khác nhau có chung bờ AC. GọI E là giao điểm của BD vớI đường tròn (O), gọI M là giao điểm của BD vớI đường cao AH của tam giác ABC. a) a) Chứng minh MADB là một tứ giác nộI tiếp b) b) Tính ED theo R Giải a) a) Dễ dàng chứng minh được góc ABM = góc ACM mà góc ABM = góc ADM (tam gíác ABD cân tạI A) ⇒ góc ACM = góc ADM ⇒ MADC là tứ giác nộI tiếp b) b) Ta có góc EDC = gócOAC = gócOAB góc DCE = 60 o – gócECA = 60 o – gócABE = góc BMH –góc ABM = gócOAB = góc OBA suy ra tam giác OAB bằng tam giác EDC ⇒ ED = OA = R Câu 6 (2 điểm) : Cho tam giác ABC cân tại B nội tiếp trong đường tròn tâm O.Trên cung AC không chứa điểm B lấy 2 điểm M và K theo thứ tự A,K,M,C . Các đoạn thẳng AM và BK cắt nhau tại E ,còn các đoạn thẳng KC và BM cắt nhau tại D. Chứng minh ED song song với AC. Giải : Ta có góc BKC= góc BAC = góc BCA= góc BMA nên EDMK là tứ giác nội tiếp được. ⇒ góc EDK = góc EMK mà góc EMK = góc ACK ⇒ góc EDK = góc ACK ⇒ ED//AC Tổ toán trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa . BÀI GIẢI TÓM TẮT MÔN TOÁN (môn thi chung) KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 Năm học 2004–2005 TRƯỜNG PTTH TRẦN ĐẠI NGHĨA Câu 1: (4 điểm) Cho. + 1 – 2x – 2y) = 1 ⇒ 2xy + 1 + 2x + 2y = 2xy + 1 –2x – 2y ⇒ x + y = 0 Thay vào phương trình ban đầu ta có : x = 0,y = 0 hoặc x = 1,y = –1 hoặc x = –1,y