PHẦN I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Môn Toán luôn môn quan trọng bậc tất cấp học, bậc THCS, lại đóng vai trò lớn Toán cấp hai tạo nề móng cho đại số, hình học, môn phụ trợ cho vật Lý, Hóa Học Bài toán giải phương trình vận dụng nhiều vào dạng toán giải biện luận phương trình, bất phương trình, sử dụng nhiều trình ôn thi học sinh giỏi, kì thi vào lớp 10 Trong chương trình toán lớp 9, học sinh làm quen với phương trình bậc bốn dạng đơn giản phương trình trùng phương, phương trình tích, phương trình chứa ẩn mẫu thức Qua vài phép biến đổi học sinh giải cách dễ dàng Tuy vậy, gặp phương trình bậc bốn phức tạp phương trình bậc bốn dạng đặc biệt em tỏ lúng túng không giải Khi giải toán giải phương trình bậc bốn đòi hỏi học sinhphair biết vận dụng kiến thức toàn chương trình, kĩ biến đổi từ dạng phức tạp sang dạng đơn giản cách linh hoạt Trong trình giải phương trình bậc bốn học sinh cần có tư logic, khả tổng hợp vận dụng thành thạo kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử, đẳng thức đáng nhớ, Mục đích nghiên cứu Thông qua đề tài giúp học sinh hiểu sâu nắm phương pháp giải phương trình bậc bốn Từ nghiên cứu tìm tòi sáng tạo nhằm nâng cao chất lượng học tập môn toán trường THCS, đặc biệt đạt kết cao thi học sinh giỏi thi vào lớp 10 Đối tượng nghiên cứu, áp dụng Đối tượng học sinh lớp học trường THCS Nguyệt Ấn Ngọc Lặc Thanh Hóa Phương pháp nghiên cứu - Thông qua trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi học sinh lớp vào lớp 10, thân tìm hiểu tích lũy - Thông qua kiểm tra, kì thi chọn học sinh giỏi, thi vào lớp 10 hàng năm để rút kinh nghiệm bồi dưỡng cho học sinh - Thông qua tài liệu bồi dưỡng, tập nâng cao PHẦN II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán trường THCS Nguyệt Ấn sâu nghiên cứu nội dung chương trình qua thực tế giảng dạy môn Toán lớp thấy SGK lớp đưa phần “ phương trình quy phương trình bậc hai” có dạng : Dạng : Phương trình trùng phương Dạng : Phương trình chứa ẩn mẫu thức Dạng : Phương trình tích HS biết ba dạng phương trình thi HSG hay thi vào lớp 10 phương trình có ba dạng phương trình mà xuất số phương trình bậc bốn phức tạp hơn, học sinh học lớp mà không tiếp cận phương trình bậc bốn khác em ko biết cách để giải Xuất phát từ vấn đề trên, qua đọc tài liệu tham khảo đặc biệt qua việc bồi dưỡng cho đội tuyển học sinh giỏi khối Tôi nhận thấy giải phương trình bậc tương đối khó học sinh THCS đặc biệt phương pháp giải phương trình chương trình toán THCS gây khó khăn không nhỏ học sinh gặp phải dạng toán Học sinh phương pháp cụ mà biết mò mẫm cách vô hướng Khi tiếp xúc với dạng phương trình bậc bốn rèn luyện cho HS lực hoạt động trí tuệ để có sở tiếp thu dễ dàng môn học khác trường THCS Mở rộng khả áp dụng kiến thức vào thực tế, góp phần rèn luyện cho HS đức tính cẩn thận ,sáng tạo… Dựa vào hiểu biết, vốn kiến thức thu thập qua tài liêu, sách báo xin đưa số phương pháp mà cho phù hợp với học sinh THCS để giải dạng phương trình bậc bốn Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Thực trạng Trong thực tế giảng dạy toán trường THCS nói chung trường THCS Nguyệt Ân nói riêng việc làm cho học sinh biết vận dụng kiến thức học để giải toán công việc quan trọng thiếu người dạy toán Vì thông qua rèn luyện tư logic, khả sáng tạo, khả vận dụng cho học sinh Để làm điều người thầy giáo phải cung cấp cho học sinh kiến thức, phương pháp vận dụng biến đổi phù hợp giúp cho học sinh hiểu thực chất vấn đề để từ có kĩ giải toán thành thạo, thoát khỏi tâm lí chán nản sợ môn toán Năm học 2015 -2016 từ đầu năm học nhà trường phân công giảng dạy môn toán lớp Sau học sinh học xong nội dung “Phương trình quy phương trình bậc hai ” có lồng ghép vào tiết luyện tập đưa thêm dạng phương trình bậc bốn có dạng đặc biệt dạy cho em, sau cho em làm kiểm tra viết, thời gian làm 15 phút với mục tiêu: Kiểm tra mức độ nắm kiến thức kĩ vận dụng kiến thức vào làm tập 2.2 Kết thực trạng trên: Giỏi Khá SL TL SL 0,25% Lớp Tổng số HS 9A1 40 9A2 43 9A3 35 0% 9A4 30 0% Tổng 148 Số 0% 0,7% 12 TL Trung bình SL TL Yêú - SL TL 17,5% 20 50% 12 32,25% 7% 17 39,5% 23 53,5% 5,7% 13 37,1% 20 57,2% 0% 16 53,3% 14 46,7% 8,1% 66 44,6% 69 46,6% Sau tìm hiểu nguyên nhân biết lí chủ yếu học sinh chưa biết nhận dạng toán, chưa biết hình thành quy trình giải phương pháp giải qua giai đoạn toán đặc trưng Kết nhiều toán học sinh không giải giải sai VD1: Gải phương trình: x4 - 2x3 - x2 - 2x + = (1) x = nghiệm pt (1) Chia hai vế phương trình (1) cho x2 (1) trở thành : + =0 x x 1 ⇔ (x2 + ) - 2(x - ) - = (HS không đổi dấu cho hạng tử vào ngoặc x x x2 - 2x - - đằng trước dấu ngoặc có dấu trừ ( - ) dẫn đến giải toán đáp số sai VD2 : Giải phương trình : (x2 - 2x + 4)(x2 + 3x + 4) = 14x2 x = nghiệm pt (2) Chia hai vế phương trình (2) cho x2 (2) trở thành : (1 - (2) 4 + )(1 + + ) = 14 x x x x Khi chia VT cho x2 HS nhầm tưởng chia thừa số cho x 2, toán không dạng toán giải nên không giải ⇔ VD3 : Giải phương trình: x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = (3) x = x = x + = x =   ⇒ ⇒ x + = x =  x + =  x = −1 ⇒ phương trình vô nghiệm HS áp đặt cho thừa số vế trái thừa số bên vế phải VD4 : Giải phương trình: x4 = x2 - 2x + x4 = (x - 1)2 ⇔ x2 = x - ⇔ x2 - x + = ⇒ Phương trình vô nghiệm HS giải thiếu trường hợp: x2 = - x + ⇔ x2 + x - = ⇒ x1 = −1+ −1− ; x2 = 2 Trước thực trạng trăn trở tìm tòi qua thực tế giảng dạy với việc tự học, tự bồi dưỡng thân, có vài kinh nghiệm “Một số kinh nghiệm giúp học sinh lớp giải toán phương trình bậc bốn) Vậy kinh nghiệm tiến hành nào? Kết sao? xin trình bày cụ thể Mong bạn đồng nghiệp tham khảo đóng góp ý kiến Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Giải phương trình đa thức bậc cao vấn đề phức tạp khó khăn người ta chứng minh giải thức phương trình bậc cao bốn, dạng tổng quát Trong đề tài ta xét số phương trình bậc bốn có dạng đặc biệt Tùy theo dạng đặc biệt mà phương trình có cách đặt ẩn phụ riêng Qua trình nghiên cứu thấy có dạng phương trình bậc bốn có dạng đặc biệt: Dạng : Phương trình có hệ số đối xứng bậc bốn ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = ( a ≠ 0) Dạng : Phương trình hồi quy : ax4 + bx3 + cx2 + mx + n = ( a ≠ 0) Trong : n m =  a b Dạng : Phương trình : (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (1) a + d = b + c Dạng : Phương trình : (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx2 (1) ad = bc Dạng : Phương trình: (x + a)4 + (x + b)4 = c Dạng : Một số phương trình dạng đặc biệt khác Dạng 1: Phương trình hệ số đối xứng bậc bốn • Dạng tổng quát: ax4 +bx3 + cx2 + bx + a = ( a ≠ 0) (1) • Đặc điểm: Ở vế trái, hệ số số hạng cách số hạng đầu số hạng cuối • Phương pháp giải: + Về phương pháp giải phương trình hệ số đối xứng bậc bốn Gồm bước : - Nhận xét x = nghiệm (1) Chia hai vế phương trình (1) cho x2 nhóm số hạng cách hai số hạng đầu cuối thành nhóm phương trình (2) - Đặt ẩn phụ x + 1 = y (3) ⇒ x2 + = y2 - vào phương trình (2) x x - Giải phương trình trung gian để tìm y - Thế giá trị y vào (3) để tìm x + Về nghiệm số phương trình : - Nếu x0 nghiệm phương trình (1) x nghiệm VD: Giải phương trình: 10x4 - 27x3 - 110x2 - 27x + 10 = (1) Giải: Chia hai vế (1) cho x : 10x2 - 27x - 110 - 27 10 + =0 x x - Nhóm số hạng cách hai số hạng đầu cuối thành nhóm ta 11 ) - 110 = (2) ) - 27(x + x x 1 - Đặt ẩn phụ x + = y (3) ⇒ x2 + = y2 - x x : 10(x2 + - Thế vào (2) : 10y2 - 27y - 130 = 0, có nghiệm y1 = - Thế giá trị y vào (3) : x + −5 = x −5 26 ; y2 = ⇔ 2x2 + 5x + = có −1 ; x2 = - 2 26 x+ = ⇔ 5x2 - 26x + = có nghiệm x3 = ; x4 = x 5 −1 Vậy tập nghiệm phương trình S =  ; -2; ; 5 −1 Lưu ý : nghiệm - nghịch đảo nhau; nghịch đảo nghiệm x1 = * Bài tập áp dụng Giải phương trình : 2x4 - 13x3 + 24x2 -13x + = Ta thấy x = nghiệm phương trình Chia vế (1) cho x2 ≠ ta : (1) ⇔ 2x2 -13x + 24x 2( x2 + 13 + =0 x x 1 ) + 24 = ) - 13(x + x x (2) (1) = y (2) trở thành : 2y2 -13y + 20 = x ∆ = 132 - 4.2.20 = ⇒ ∆ = 13 − 13 + = ; y2 = = y1 = 4 x+ = ⇒ x2 - 4x + = x ∆ 1′ = - = ⇒ x = 12 + ; x = 12 - x+ =4 ⇒ 2x2 - 5x + =0 x 5+3 5−3 ∆ = 25 - 16 = ⇒ x = = ; x4 = = 4 Đặt x + Vậy tập nghiệm phương trình S =  12 + ; 12 - ; ;  2 Giải phương trình : x4 - 10x3 + 11x2 - 10x + = Ta thấy x = nghiệm phương trình (1) Chia vế (1) cho x2 ≠ ta : (1) ⇔ x2 - 10x + 11 Đặt x + 10 + =0 x x (2) = y (2) trở thành : y2 - 10y + = x Có a + b + c = ⇒ y = ; y = x+ =1 x ⇒ x2 - x + = ∆ = - = - < ⇒ pt VN x+ =9 ⇒ x2 - 9x +1 = x + 77 − 77 ∆ = 81 - = 77 ⇒ x = ; x2 = 2 + 77 − 77 Vậy tập nghiệm pt S =  ;  2 x4 - 2x3 - x2 - 2x + = Giải phương trình : Tập nghiệm pt S =  3+ ; 3−  Giải phương trình : x4 - 10x3 + 26x2 - 10x + = Tập nghiệm pt S = 3 + ;3 - ; + ; -  Giải phương trình : x4 + x3 - 4x2 + x + = Tập nghiệm pt S = 1 ; 3+ 3− ;  2 6.Giải phương trình : 2x4 + x3 - 11x2 + x + = Tập nghiệm pt S =  ; −3+ −3− ; ;  2 7.Giải phương trình : x4 - 7x3 + 14x2 - 7x + = (1) Tập nghiệm pt S = 2 + ;2 - ; 3+ 3− ;  2 8.Giải phương trình : x4 + x3 - 10x2 + x + = Tập nghiệm pt S = - + ; - - ; 3+ 3− ;  2 9.Giải phương trình : x4 - x3 - 6x2 + 3x + = Tập nghiệm pt S =  + ; - ; −1+ −1− ;  2 10.Giải phương trình : x4 - x3 + 3x + = Tập nghiệm pt S =  + ; - ; 1+ 1− ;  2 Dạng : Phương trình hồi quy • Dạng tổng quát: ax4 + bx3 + cx2 + mx + n = (a ≠ 0) (1) Trong : n m =  a b Phương trình hệ số đối xứng bậc bốn trường hợp đặc biệt phương trình hồi quy * Phương pháp giải : Gồm bước : Nhận xét x = nghiệm (1) Chia hai vế phương trình (1) cho x2 nhóm số hạng cách hai số hạng đầu cuối thành nhóm phương trình (2) Đặt x + m 2m m2 = y ⇒ x2 + 2 = y2 vào phương trình (2) bx b b x Giải phương trình trung gian để tìm y Thế giá trị y vào (3) để tìm x VD áp dụng: Giải phương trình x4 - 4x3 - 9x2 + 8x + = (1) Giải: Nhận xét   =   , phương trình (1) phương trình hồi quy −4 - x = nghiệm (1) - Chia vế (1) cho x2 x2 - 4x - + + = x x - Nhóm số hạng cách hai số hạng đầu cuối ta đươc :  x + x  2    − 4 x −  - = (2) x   - Đặt ẩn phụ x - = y (3) ⇒ x2 + = y2 + x x - Thế vào (2) đươc y2 - 4y - = 0, có nghiệm y1 = - 1; y2 = - Thế giá trị y vào (3) x- = - ⇔ x2 + x - = 0, có nghiệm x1 = ; x = - x + 33 − 33 = ⇔ x2 - 5x - = 0, có nghiệm x3 = ; x4 = x 2  + 33 − 33  ; Vậy tập hợp nghiệm phương trình : S = 1;−2;  2   x- * Bài tập áp dụng: Giải phương trình : x4 + 5x3 + 10x2 +15x + = (1) x = nghiệm (1) Phương trình cho phương trình hồi quy : 15 =( ) Chia hai vế phương trình (1) cho x2 ≠ 0, ta : 15 + =0 x x (x2 + ) + 5(x + ) + 10 = x x Đặt x + = y thay vào (2) ta : x x2 + 5x + 10 + (2) y2 + 5y + = , có a - b + c = - + = ⇒ y = - ; y = - = - ⇒ x2 + x + = ⇒ pt VN x x + = - ⇒ x2 + 4x + = ⇒ a - b + c = ⇒ x = - ; x = - x x+ Tập nghiệm pt S =  - ; - 3. Giải phương trình : x4 + 5x3 - 14x2 - 20x + 16 = x = nghiệm (1) Phương trình cho phương trình hồi quy Chia hai vế pt (1) cho x2 ≠ 0, ta : 16 − 20 =( ) 20 16 + =0 x x 16 (x2 + ) + 5(x - ) - 14 = (2) x x Đặt x - = y thay vào (2) ta : y2 + 5y - = x −5+7 −5−7 ∆ = 25 + 24 = 49 ⇒ y = = ; y2 = =-6 2 x- =1 ⇒ x2 + 6x - = x ∆ 1′ = + = 13 ⇒ x = - + 13 ; x = - - 13 x- =-6 ⇒ x2 - x - = x + 17 − 17 ∆ = + 16 = 17 ⇒ x = ; x4 = 2 x2 + 5x - 14 - (1) Tập nghiệm pt S =  - + 13 ; - - 13 ; + 17 − 17 ;  2 3.Giải phương trình : x4 - x3 + 3x + = x = nghiệm (1) Đây phương trình hồi quy : −6 =( ) Chia vế pt (1) cho x2 ≠ 0, ta : + =0 x x (x2 + ) + 3(x ) - 14 = (2) x x y Đặt x - = y ⇒ x2 + = y2 + x x x2 + 3x - 14 - (2) ⇔ y2 + 3y - 10 = ∆ = + 40 = 49 ⇒ ∆ = ⇒ y1 = −3+7 −3−7 = ; y2 = =-5 2 = ⇒ x2 - 2x - = ⇒ x1 = + ; x2 = - x − + 33 − − 33 x - = - ⇒ x2 + 5x - = ⇒ x3 = ; x4 = x 2 x- Tập nghiệm pt S = x1 = + ; - ; Dạng Phương trình − + 33 − − 33 ; 2 (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m Trong a + d = b + c  (1) Phương pháp giải : - Viết lại (1) dạng [(x + a)(x + d)(x + b)(x + c)]- m = - Khai triển tích đặt ẩn phụ y hai biểu thức vừa khai triển - Thế ẩn phụ vào phương trình (2), giải phương trình, tìm giá trị y - Thế giá trị y vào biểu thức ẩn phụ để tìm x VD áp dụng : Giải phương trình : (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = - 15 (1) Giải : Nhận xét + = + , nên khai triển vế trái để đặt ẩn phụ hợp lí ? (1) ⇔ (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = ⇔ ( x + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 = (2) - Đặt x + 8x + = y (3), vào (2) y(y + 8) + 15 = - Hay y2 + 8y + 15 = 0, có nghiệm y1 = - ; y2 = - - Thế giá trị y vào (3) x2 + 8x + = - 3⇔ x2 + 8x + 10 = có nghiệm x1 = - + ; x2= - - x2 + 8x + = ⇔ x2 + 8x + 12 = có nghiệm x3 = - ; x4 = - Vậy tập hợp nghiệm phương trình (1) là: S =  - + ; - - ; - ; -  * Bài tập áp dụng Giải phương trình : (x + 2)(x + 5)(x - 6)(x - 9) = 280 (1) (x + 2)(x - 6)(x + 5)(x - 9) = 280 (x2 - 4x - 12)(x2- 4x - 45) - 280 = (2) - Đặt x2 - 4x - 12 = y (2) ⇔ y(y - 33) - 280 = y2 - 33y - 280 = ∆ = 332 + 280 = 2209 = 47 y1 = 33 + 47 33 − 47 = 40 ; y = = −7 2 x2 - 4x - 12 = 40 ⇒ x2 - 4x - 52 = ⇒ x = + 56 ; x = - 56 x2 - 4x - 12 = - ⇒ x2 - 4x - = ⇒ x = ; x = - Tập nghiệm pt S =  + 56 ; - 56 ; ;- 1 2.Giải phương trình : (x2 + 7x + 12)(x2 - 15x + 56) = 180 (1) HD: Phân tích x2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) x2 - 15x + 56 = (x - 7)(x - 8) Lúc pt (1) trở phương trình có dạng (1) ⇔ (x + 3)(x + 4)(x - 7)(x - 8) - 180 = ⇒ (x + 3)(x - 7)(x + 4)(x - 8) - 180 = ⇒ (x2 - 4x - 21)(x2 - 4x - 32) - 180 = (2) Đặt x2 - 4x - 21 = y (2) ⇔ y(y - 11) - 180 = ⇒ y2 - 11y - 180 = ∆ = 112 + 180 = 841 = 29 ⇒ y1 = 11 + 29 = 20 ; y2 = 11 − 29 = −9 x2 - 4x - 21 = 20 ⇒ x2 - 4x - 41 = ⇒ x = + 45 ; x = - 45 x2 - 4x - 21 = -9 ⇒ x2 - 4x - 12 = ⇒ x = ; x = - Tập nghiệm pt S = 2 + 45 ; - 45 ; ; - 2 3.Giải phương trình : x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = (1) ⇔ x(x + 3)(x + 1)(x + 2) = ⇔ (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = (2) Đặt x2 + 3x + = y (2) trở thành : (y - 1)(y + 1) = ⇒ y2 - = ⇒ y2 = ⇒ y1 = ; y2 = - x2 + 3x + = ⇒ x2 + 3x - = ⇒ ∆ = 17 ⇒ x1 = − + 17 − − 17 ; x2 = 2 x2 + 3x + = - ⇒ x2 + 3x + = ⇒ ∆ = - 11 < ⇒ptvn Tập nghiệm pt S =  − + 17 − − 17 ; 2  4.Giải phương trình : Tập nghiệm pt S = x1 = 5.Giải phương trình : x(x - 1)(x + 1)(x + 2) = −1+ −1− ; x2 =  2 (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144 Tập nghiệm pt S = 6 ;- ; + 153 − 153 ;  2 Giải phương trình : (x + 5)(x + 6)(x + 8)(x + 9) = 40 Tập nghiệm pt S = - 10 ; - 4 Dạng 4: Phương trình: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx2 Trong ad = bc (1) Phương pháp giải: * Cách 1: (x + a)(x + d)(x + b)(x + c) = mx2 (x2 + ax + dx +ad)(x2 + bx + cx + bc) = mx2 (2) Đặt x2 + (a +d)x ad = y (3) thay vào (2) tìm y ròi thay vào (3) tìm x * Cách 2: Chia (2) cho x2 ≠ : (x - a - d + ad bc )(x - b - c - ) = m x x (3) Đặt ẩn phụ trung bình cộng hai biểu thức ngoặc tức đặt x- a+b+c+d ad + = y (4) thay vào (3) tìm y thay vào (4) tìm x x VD áp dụng: Giải phương trình: (x - 4)(x - 5)(x - 8)(x - 10) = 72x2 (1) Giải : Nhận xét (- 4)(- 10) = (- 5)(- 8), nên khai triển vế trái để đặt ẩn phụ hợp lí ? (1) ⇔ (x - 4)(x - 10)(x - 5)(x - 8) = 72x2 ⇔ (x2 - 14x + 40)(x2 - 13x + 40) = 72x2 (2) Cách 1: Đặt x - 14x + 40 = y giải tương tự VD , S = {2; 20} Cách 2: Chia hai vế (2) cho x2 ≠ : 40  40    x − 14 +  x − 13 +  = 72 x  x   (3) - Đặt ẩn phụ trung bình cộng hai biểu thức ngoặc tức đặt: x - 27 + 40 1 = y (4) phương trình (3) trở thành (y - )(y + ) = 72 có nghiệm y1 = x 2 8,5 ; y2 = - 8,5 - Thế y = - 8,5 vào (4) thu gọn phương trình x2 - 5x + 40 = 0, vô nghiệm - Thế y = 8,5 vào (4) thu gọn phương trình x2 - 22x + 40 = có nghiệm x1 = ; x2 = 20 Vậy tập hợp nghiệm S ={2; 20} * Bài tập áp dụng 1.Giải phương trình : (x + 10)(x + 12)(x + 15)(x + 18) = 2x2 (1) (x2 + 28x + 180)(x2 + 27x + 180) = 2x2 (2) Vì x = nghiệm pt (2) nên chia vế (2) cho x2 ta : 180 180 )(x + 27 + )=2 (3) x x 55 180 - Đặt x + + =y (4) x 1 - Phương trình (3) trở thành : (y + )(y - ) = 2 −3 ⇒ y2 - = ⇒ y2 = ⇒ y1 = ; y = 4 2 55 180 x+ + = ⇒ x2+ 26x + 180 = ∆ = - 11 < ⇒ pt VN x 55 180 − x+ + = ⇒ x2 + 29x + 180 = ∆ = 11 ⇒ x = - 9; x = - 20 x (x + 28 + Tập nghiệm pt S = - ;- 20. 2.Giải phương trình : (x - 90)(x - 35)(x + 18)(x + 7) = - 1080x2 (1) Pt(1) trở thành : (x2 - 17x - 630)(x2 - 83x - 630) = - 1080x2 (2) Vì x = nghiệm nên chia vế (2) cho x2 : (x - 17 - 630 630 )(x2 - 83 ) = - 1080 (3) x x Đặt : x - 50 - 630 = y (4) x Thì pt (3) trở thành : (y + 33)(y - 33) = - 1080 ⇒ y2 - 332 = - 1080 ⇒ y2 = ⇒ y = ; y = - 630 = ⇒ x2 - 53x - 630 = ⇒ ∆ = 73 x 53 + 73 53 − 73 = 63 ; x = = −10 ⇒ x1 = 2 630 x - 50 = - ⇒ x2 - 47x - 630 = ⇒ ∆ = 4729 x 47 + 4729 47 − 4729 ⇒ x3= ; x4 = 2 47 + 4729 47 − 4729 Tập nghiệm pt S =  63 ; − 10 ; ; 2 x - 50 -  5: Phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c * Phương pháp giải : Đối với phương trình dạng này, ta đặt ẩn phụ trung bình cộng của: (x + a) (x + b) cho Dạng Đặt x + a+b = y VD áp dụng : Gải phương trình (x + 3)4 + (x - 1)4 (1) Giải: Đặt x + = y, phương trình (1) trở thành (y + 2)4 + (y - 2)4 = 626 (y4 + 8y3 + 24y2 + 32y + 16) + (y4 - 8y3 + 24y2 - 32y + 16) = 626 y4 + 24y2 -297 = - Giải phương trình trùng phương y1 = ; = - Tập nghiệm pt S =  ; - 4. * Bài tập áp dụng Giải phương trình: (x - 2,5)4 + (x - 1,5)4 = 17 (1) ) + (y + )4 = 17 2 1 1 (y4 - 2y3 + y2 - y + ) + (y2 + 2y3 + y2 + y + ) = 17 2 16 2 16 - Đặt x - = y phương trình (1) : (y - 16y4 + 24y2 - 135 = (2) - Đặt y2 = T > (2) trở thành : 16T2 + 24T - 135 = − 15 ∆ / = 122 + 16.135 = 2304 ⇒ ∆/ = 48 ⇒ T1 = ; T2 = 4 (loại) −3 ⇒ y1 = ; y2 = x-2= ⇒ 2x - = ⇒ x1 = 2 −3 x-2= ⇒ 2x - = - ⇒ x2 = 2 Tập nghiệm pt S =  ;  2 y2 = 2.Giải phương trình : (x + 5)4 - (x + 1)4 = 80 (1) 4 - Đặt x + = y (1) trở thành : (y + 2) - (y - 2) = 80 (y4 +8y3 + 24y2 + 32y+ 16) - (y4 - 8y3 + 24y2 - 32y+ 16) = 80 y3 + 4y - = ⇒ (y - 1)(y2 + y + 5) = y2 + y + > ⇒ y - = ⇒ y = x+3=0 ⇒ x=-2 Tập nghiệm pt S = - 2 Giải phương trình : (x + 2)4 + (x + 4)4 = 82 Tập nghiệm pt S =  - ; - 5. Giải phương trình : (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272 Tập nghiệm pt S =  - ; - 6. Dạng : Một số phương trình dạng đặc biệt khác Giải phương trình : x4 + = 5x(x2 - 3) (1) - Chia vế pt (1) cho x2 ≠ 0, ta : x2 + Đặt x - ) = 5(x x x = y ⇒ x2 + = y2 + x x (2) ⇔ y2 + = 5y ⇔ y2- 5y+ = ⇒ y1= ; y2 = 3 + 21 − 21 = ⇒ x2 - 3x - = ⇒ x1 = ; x2 = x 2 x - = ⇒ x2 - 2x - = ⇒ x3 = ; x4 = -1 x x- (2) Tập nghiệm pt S =  + 21 − 21 ; ; ; -1 2 Giải phương trình: ( x2 - 6x - 9)2 = x(x2 - 4x - 9) - Chia vế phương trình (1) cho x2 ≠ 0, ta : (1) 9 ) = (x - - ) (2) x x Đặt x - - = y (2) trở thành : (y - 1) = y + ⇔ y2 - 2y + = y + x (x - - ⇔ y2 - 3y = ⇒ y(y - 3) = ⇒ y1 = ; y2 = + 61 − 61 = ⇒ x2 - 5x - = ⇒ x1 = ; x2 = x 2 x - - = ⇒ x2 - 8x - = ⇒ x3 = ; x4 = - x + 61 − 61 Tập nghiệm pt S =  ; ; ;- 1 2 x-5- (2x3- 3x + 1)(2x2 + 5x + 1) = 9x2 3.Giải phương trình: - Tập nghiệm pt S =  −3+ −3− 2+ 2− ; ; ;  2 2 (4x + 3)2(x + 1)(2x + 1) = 810 (1) (4x + 3)2(x + 4)(4x + 2) = 810 (2) - Đặt 4x + = y (2) trở thành : y2(y + 1)(y - 1) = 6480 ⇒ y4 - y2 - 6480 = (3) ∆ = + 6480 = 25921 ⇒ ∆ = 161 y2 = 81 ⇒ y1 = ; y2 = - Giải phương trình : 4x + = ⇒ x1 = 4x + = - ⇒ x2 = - Tập nghiệm pt S =  ; - 3. (6x + 5)2(3x + 2)(x + 1) = 35 Giải phương trình : Tập nghiệm pt S =  − + 21 − − 21 ;  6 Giải phương trình : 4(x2- x + 1)3 = 27(x2 - x)2 (1) 2 - Đặt x - x = y (1) trở thành : 4(y + 1)3 = 27y ⇔ 4y - 15y + 12y + = ⇔ 4y3 - 16y2 +16y + y2 - 4y + = ⇔ 4y(y2 - 4y + 4) + y2 - 4y + = ⇔ (4y + 1)(y2 - 4y + 4) = ⇒ y1 = x2 - x = −1 ; y2 = −1 ⇒ 4x2 - 4x + = ⇒ x1 = x2 - x = ⇒ x2 - x - = ⇒ x2 = - ; x3 = Tập nghiệm pt S =  - ; 2; 7.Giải phương trình :  3(x +5)(x + 6)(x + 7) = 8x (1) - Ta thấy : 5+6+7 =9 9(x +5)(x + 6)(x + 7) = 24x (2) ; (9 - 5)(9 - 6)(9 - 7) = 24 - Đặt x + = y (2) trở thành : 9(y - 4)(y - 3)(y - 2) = 24(y - 9) ⇔ 9y3 - 81y2 + 210y = ⇔ 3y3 - 27y2 + 70y = ⇔ y(3y2 - 27y + 70) = ⇒ y = ⇒ x + = ⇒ x = Tập nghiệm pt S = 0 Giải phương trình : (x - 2)3 + (x - 4)3 = (1) - Đặt x - = y (1) trở thành : (y + 1)3 + (y - 1)3 = ⇔ y3 + 3y - = ⇔ (y - 1)(y2 + y + 4) = ⇔ y=1⇒ x-3=1⇒ x=4 Tập nghiệm pt S = 4 Giải phương trình : (x2 - 6x)2 - 2(x - 3)2 = 81 (1) ⇔ (x2 - 6x)2 - 81 = 2(x - 3)2 ⇔ (x2 - 6x + 9)(x2 - 6x - 9) = 2(x - 3)2 ⇔ (x - 3)2(x2 - 6x - 11) = ⇒ x-3 ⇒ x1 = ⇒ x - 6x - 11 ⇒ x2 = + 20 ; x3 = - 20 Tập nghiệm pt S = 3 ; + 20 ; - 20  10 Giải phương trình : x4 + (x - 1)(3x2 + 2x - 2) = (1) ⇔ x4 + (x - 1)2x2 + (x - 1)(x2 + 2x - 2) = ⇔ x2(x2 + 2x - 2) + (x - 1)(x2 + 2x - 2) = ⇔ (x2 + 2x - 2)(x2 + x - 1) = ⇒ x2 + 2x - = ⇒ x1 = - + ; x2 = - - ⇒ x2 + x - = ⇒ x3 = −1+ −1− ; x4 = 2 Tập nghiệm pt S =  - + ; - - ; ⇔ ⇔ −1+ −1− ;  2 11 Giải phương trình : x4 + (x + 1)(5x2 - 6x - 6) = x4 - x2(x + 1) + 6(x + 1)(x2 - x - 1) = (x2 - x - 1)(x2 + 6x + 6) = ⇒ x2 - x - = ⇒ x1 = 1+ ; x2 = 1− ⇒ x2 + 6x + = ⇒ x3 = - + ; x4 = - - Tập nghiệm pt S =  ⇔ ⇔ ⇔ 1+ ; 1− ;-3+ ;-3- 12 Giải phương trình : (x2 + 1)2 + ( x + 2)(3x2 - 4x - 5) = (x2 + 1)2 + ( x + 2)(3x2 - 3x - 3) - ( x + 2)2 = (x2 + + x + 2)(x2 + - x - 2)+ (x2 - x - 1)(3x + 6) = (x2 - x - 1)(x2 + 4x + 9) =  ⇒ x2 - x - = ⇒ x1 = 1+ ; x2 = ⇒ x2 + 4x + = ⇒ ∆ ' =- < ⇒ ptvn Tập nghiệm pt S =  1− 1+ ; 1−  13 Giải phương trình : x2(x - 1)2 + x(x2 - 1) = 2(x + 1)2 ⇔ x2(x - 1)2 - (x + 1)2 + x(x2 - 1) - (x + 1)2 = ⇔ (x2 - x - x - 1)(x2 - x + x + 1) + (x + 1)(x2 - x - x - 1) = ⇔ (x2 - 2x - 1)(x2 + 1) + ( x + 1)(x2 - 2x - 1) = ⇔ (x2 - 2x - 1)(x2 + x + 2) = ⇒ x2 - 2x - = ⇒ x1 = + ; x = - ⇒ x2 + x + = ⇒ ∆ ' = - < ⇒ ptvn Tập nghiệm pt S = 1 + ; -  14.Giải phương trình : x4 - x2 + 2x - = ⇔ x4 = x2 + 2x - ⇔ x4 = (x - 1)2 ⇒ x2 = x - ⇒ x2 - x + = , ∆ = - < ⇒ ptvn −1+ −1− ; x2 = 2 −1+ −1− ;  2 ⇒ x2 = - x + ⇒ x2 + x - = ⇒ x1 = Tập nghiệm pt S =  15 Giải phương trình : (x2 - 16)2 = 16x + (1) - Cộng 64x2 vào vế pt (1) ta : (x2 - 16)2 + 64x2 = 64x2 + 16x + ⇔ x4 + 32x2 + 162 = 64x2 + 16x + ⇔ (x2 + 16)2 = (8x + 1)2 ⇒ x2 + 16 = 8x + ⇒ x2 + 16 - 8x - = ⇒ x1 = ; x2 = ⇒ x2 + 16 = - 8x - ⇒ x2 + 16 + 8x + = ; ∆ = - ⇒ ptvn Tập nghiệm pt S =  ; 3. 16 Giải phương trình : (x2 - a2) = 4ax + (1) - Cộng 4a2x2 vào vế pt (1), ta có : (x2 - a2)2 + 4a2x2 = 4a2x2 + 4ax + ⇔ x4 + 2a2x2 + a4 = 4a2x2 + 4ax + ⇔ (x2 + a2 )2 = (2ax + 1)2 ⇒ x2 + a2 = 2ax + ⇒ x2 - 2ax + a2 - = ⇒ x1 = a + ; x2 = a - ⇒ x2 + a2 = - 2ax - ⇒ x2 + 2ax + a2 + = , ∆ = - < ⇒ ptvn Tập nghiệm pt S =  a + ; a - 1 17.Giải phương trình : x4 = 4x - (1) - Cộng 4x + vào vế pt (1) , ta : x4 + 4x2 + = 4x2 + + 4x - ⇔ (x2+ 2)2 = (2x + 1)2 ⇒ x2+ = 2x + ⇒ x2 - 2x + = ⇒ x = ⇒ x2+ = - 2x - ⇒ x2+ 2x + = ⇒ ptvn Tập nghiệm pt S = 1 18 Giải phương trình : x4 = 2x2 - 12x + (1) - Cộng 2x + vào vế pt (1) , ta : x + 2x + = 2x2 + 2x2 - 12x + + ⇔ (x2 + 1)2 = (2x - 3)2 ⇒ x2 + = 2x - ⇒ x2 - 2x + = , ∆ = - < ⇒ ptvn ⇒ x2 + = - 2x + ⇒ x2 +2x - = ⇒ x1 = - + ; x2 = - - Tập nghiệm pt S =  - + ; - -  19 Giải phương trình : x4 = 4x + (1) Tập nghiệm pt S =  ( + 20 Giải phương trình : −2) ; ( 2 −2)  x4 = 8x + Tập nghiệm pt S =  ( + − ) ; ( - − )  2 21.Giải phương trình : x - 9x + 24x - 16 = ⇔ x4 = 9x2 - 24x + 16 ⇔ x4 = (3x - 4)2 ⇒ x2 = 3x - ⇒ x2 - 3x + = , ∆ = - < ⇒ ptvn ⇒ x2 = - 3x + ⇒ x2 + 3x - = ⇒ x1 = ; x2 = - Tập nghiệm pt S =  ; - 4. 22 Giải phương trình: x4 = 2x2 + 8x + (1) - Cộng (2x2 + 1) vào vế phương trình (1) ta : x4 + 2x2 + = 4x2 + 8x + ⇔ (x2 + 1)2 = (2x + 2)2 ⇒ x2 + = 2x + ⇒ x2 - 2x - = ⇒ x1 = + ; x2 = - ⇒ x2 + 2x + = , ∆ = - < ⇒ ptvn Tập nghiệm pt S = 1 + ; -  23.Giải phương trình : x4 - 12x2 + 16 x - 12 = (1) - Đặt x = y (1) trở thành : y4 y2 - 12 + 16y - 12 = ⇒ y2 - 24y2 + 64y - 48 = ⇒ (y + 6)(y - 2) = ⇒ y1 = - ; y2 = x = - ⇒ x1 = - x = ⇒ x2 = Tập nghiệm pt S =  ; -  Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nhiệp nhà trường: Để đạt kết tốt trình dạy học giáo viên cần phải nhận thấy vai trò công tác giáo dục, cần phải đổi phương pháp dạy học, không ngừng bồi dưỡng tự bồi dưỡng nâng cao trình độ chuyên môn, lực nghiệp vụ sư phạm học hỏi kinh nghiệm tìm phương pháp dạy học tiên tiến cách giải hay phù hợp với dạng toán hoá học phù hợp với đối tượng học sinh, khắc phục khó khăn điều kiện khách quan đem lại Sáng kiến kinh nghiệm viết từ đúc kết trình dạy học trường THCS, từ tìm cho thân cách giải hay nhanh gọn truyền đạt cho học sinh Sau thực kiểm nghiệm giảng dạy phần “giải phương trình bậc bốn” theo nội dung đề tài thấy say mê học toán nói chung say mê giải toán phương trình bậc bốn học sinh học sinh lớp nói riêng tăng lên rõ rệt Kết sau (Có bảng phụ lục kèm theo) Phụ lục 1: Bảng số liệu kết áp dụng SKKN Lớp Tổng số HS 9A1 40 9A2 43 9A3 35 28,6% 9A4 30 0% Tổng 148 số Giỏi SL Khá Trung bình Yêú - SL TL SL TL 12,5% TL SL TL 10% 13 32,5% 18 45% 4,7% 12 27,9% 16 37,2% 13 30,2% 14,3% 25,7% 20 31,4% 10% 50% 40% 4,7% 33 15 22,3% 58 12 39,2% 50 33,8% Khi khảo sát nhận thấy với kiến thức dù khó, trừu tượng đến đâu giáo viên biết vận dụng, kích thích lòng ham mê học sinh kết khả quan Cụ thể, trước áp dụng đề tài với toán đơn giản kết thu thấp Sau áp dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy trường THCS Nguyệt Ấn kết nâng lên rõ rệt, học sinh học tập tích cực thích học toán hơn, em biết giải phương trình bậc bốn thành thạo PHẦN III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận - Hầu hết học sinh nắm cách trình bày, số tỏ lúng túng số em làm tắt, bỏ qua bước lập luận (nhất dễ) - Khi dạy, phải cho học sinh hiểu sâu sắc lý thuyết, nắm dạng để nhận dạng phương trình Cần rèn luyện cách trình bày học sinh - Với bài, giáo viên phải để lại cho học sinh ấn tượng, bước để gặp toán tương tự học sinh liên hệ - Hệ thống kiến thức bổ trợ cho dạng toán dạy - Hệ thống phương pháp để dạy loại toán - Khái quát quá, tổng quát quá, dạng, loại tập - Tìm tòi khai thác sâu kiến thức Sưu tầm xếp thành loại để dạy giúp học sinh nắm vững dạng toán Trên số kiến thức, phương pháp mà tóm tắt, rút kinh nghiệm nhằm để khắc sâu kiến thức cho học sinh, để nhân rộng bồi dưỡng cho học sinh giỏi; em học sinh chuẩn bị thi vào lớp 10; tập thuộc dạng nâng cao cho năm sau Trong trình thực đề tài chắn chưa hoàn hảo, tránh khỏi thiếu sót cấu trúc, ngôn ngữ hình thức khoa học Tôi mong góp ý chân tình bạn đồng nghiệp để năm học tới tốt hơn, đáp ứng với yêu cầu đổi giáo dục Kiến nghị: Qua hi vọng giáo viên gương sáng, người thầy mẫu mực chăm lo cho hệ trẻ đặc biệt công tác bồi dưỡng hệ trẻ góp phần nước xây đất nước ngày to đẹp lời Bác Hồ dạy, mong muốn đề tài áp dụng cách rộng giải cho em học sinh THCS trường học để em ngày yêu thích môn học có kết tốt học tập thi cử Với thời gian tìm hiểu nghiên cứu hạn chế không tránh khỏi khiếm khuyết mong đóng góp ý kiến bạn bè đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn./ XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 08 tháng năm 2016 CAM KẾT KHÔNG COPPY Người thực Hà Thị Trà * Tài liệu tham khảo - Nâng cao phát triển toán - Vũ Hữu Bình - Bài tập nâng cao số chuyên đề toán - Bùi Văn Thuyên - Sưu tầm chuyên đề giải phương trình bậc bốn mạng huyện MỤC LỤC Mục Lục Trang I Phần Mở đầu 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu II Phần II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Thực trạng 2.2 Kết thực trạng 3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo 17 dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường III Phần III Kết luận, kiến nghị 19 Kết luận 19 Kiến nghị 19 Tài liệu tham khảo 20 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GD&ĐT NGỌC LẶC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH LỚP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN Người thực hiện: Hà Thị Trà Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Nguyệt Ấn SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán THANH HÓA NĂM 2016 ... không giải giải sai VD1: Gải phương trình: x4 - 2x3 - x2 - 2x + = (1) x = nghiệm pt (1) Chia hai vế phương trình (1) cho x2 (1) trở thành : + =0 x x 1 ⇔ (x2 + ) - 2(x - ) - = (HS không đổi dấu... dụng: Giải phương trình x4 - 4x3 - 9x2 + 8x + = (1) Giải: Nhận xét   =   , phương trình (1) phương trình hồi quy −4 - x = nghiệm (1) - Chia vế (1) cho x2 x2 - 4x - + + = x x - Nhóm số hạng... 24x2 -13x + = Ta thấy x = nghiệm phương trình Chia vế (1) cho x2 ≠ ta : (1) ⇔ 2x2 -13x + 24x 2( x2 + 13 + =0 x x 1 ) + 24 = ) - 13(x + x x (2) (1) = y (2) trở thành : 2y2 -13y + 20 = x ∆ = 132 -