Đang tải... (xem toàn văn)
Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng (LV thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ THU THỦY PHÉP BIẾN ĐỔI CÁC DÃY SỐ NGUYÊN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ THU THỦY PHÉP BIẾN ĐỔI CÁC DÃY SỐ NGUYÊN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên - 2015 iii Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Số Catalan nhóm Riordan 1.1 Số Catalan 1.1.1 Định nghĩa hàm sinh Nhóm Riordan 1.2 Phép biến đổi dãy số nguyên, liên phân số 2.1 (nk ) rn−k ak n−k k rn−2k ak 12 n+k 2k ak 15 (n2k ) ak 22 n−k 2k ak 24 n+k 3k ak 27 2.7 Liên phân số hai chiều tam giác số 29 2.8 Phép biến đổi bn = rn−2k an−2k 30 2.9 Phép dựng hình Deleham 32 n Phép biến đổi nhị thức bn = k=0 n 2.2 Phép biến đổi bn = k=0 n 2.3 Phép biến đổi bn = k=0 n 2.4 Phép biến đổi bn = k=0 n 2.5 Phép biến đổi bn = k=0 n 2.6 Phép biến đổi bn = k=0 n n−k k k=0 Kết luận Đề nghị 42 Tài liệu tham khảo 43 Lời cảm ơn Trước hết, muốn gửi lời biết ơn sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, GS.TSKH Hà Huy Khoái, người hết lòng giúp đỡ, động viên bảo trình học tập luận văn Tôi muốn gửi lời cảm ơn đến Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi dành cho suốt thời gian học tập Trường Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu Trường Trung học phổ thông Hồng Bàng (Thành phố Hải Phòng) tạo điều kiện tốt để hoàn thành luận văn Cuối xin gửi tình cảm đặc biệt đến đại gia đình tôi, người động viên chia sẻ khó khăn trình hoàn thành luận văn Mở đầu Nhiều dãy cổ điển có hàm sinh biểu diễn thành liên phân số Nhiều dãy quan trọng khác nảy sinh từ việc áp dụng phép biến đổi vào dãy có biểu diễn liên phân số biết Do ta biểu diễn kết phép biến đổi dạng liên phân số, ta suy biểu diễn liên phân số dãy Tất phép biến đổi mà quan tâm đến phép biến đổi miêu tả mảng Riordan (thông thường), hay mảng Riordan mở rộng Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, luận văn chia thành hai chương sau: • Chương Số Catalan nhóm Riordan • Chương Phép biến đổi dãy số nguyên, phân số liên tục phương trình Pell suy rộng Thái Nguyên, ngày 26 tháng 03 năm 2015 Trần Thị Thu Thủy Học viên Cao học Toán Lớp B, khóa 06/2013-06/2015 Chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Email: tranthuyhb1978@gmail.com Chương Số Catalan nhóm Riordan Các dãy số nhắc đến luận văn thường ký hiệu Annnnnn Đó số thứ tự dãy Online Encyclopedia of Integer Sequences [4] 1.1 1.1.1 Số Catalan Định nghĩa hàm sinh Định nghĩa 1.1 Cho dãy số a0 , a1 , , an , Chuỗi hình thức A(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + + an xn + gọi hàm sinh dãy (an ) Ta gọi chuỗi hình thức ta không xét đến tính hội tụ hay tính giá trị chuỗi mà ta xem cách viết thuận tiện Định nghĩa 1.2 Số Catalan số xác định cách truy hồi sau: c0 = 1, cn = c0 cn−1 + c1 cn−2 + + cn−1 c0 , với n = 1, 2, 3, Số Catalan có nhiều định nghĩa tổ hợp khác nhau, chẳng hạn số Catalan số cách nối 2n điểm đường tròn n dây cung không cắt nhau, số nhị phân có gốc gồm n + lá, số đường ngắn lưới nguyên từ điểm (0, 0) đến điểm (n, n) không vượt qua đường thẳng y = x Ví dụ 1.1 (Số Catalan) Số Catalan có số hạng tổng quát 2n cn = n+1 n có hàm sinh C(x) = 1− √ − 4x 2x Thật vậy, ta có c0 = c1 = Xét dãy C(x) hàm sinh dãy (cn ) Khi C(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + + cn xn + Ta có C(x)C(x) = c20 + (c1 c0 + c0 c1 )x + +(cn c0 + cn−1 c1 + + c0 cn )xn + = c1 + c2 x + c3 x2 + + cn xn + Suy x2 C (x) = x(c1 + c2 x + c3 x2 + + cn xn + ) = x(C(x) − c0 ) = xC(x) − x Điều tương đương với [xC(x)]2 − xC(x) + x = Giải phương trình xC(x) ta √ ± − 4x xC(x) = Ta có √ 1 − 4x = (1 − 4x) 42 x2 · · · · · (2n − 3) 4n n = 1− x− − − x − 2 2! 2n n! √ Suy hệ số xk khai triển thành chuỗi lũy thừa − 4x − · · · · · (2k − 3) · 2k < 0, k! suy xC(x) 1+ √ − 4x hệ số xk xC(x) số nguyên dương Do √ − − 4x xC(x) = Vậy cn 2n · · · · · (2n − 1) = (n + 1)! n · · · · · · · (2n − 1) · 2n = (n + 1)!2 · · · · · 2n n (2n)! = Cn = n (n + 1)!n!2 n + 2n Khi đó, ta biểu diễn thành C(x) = , x 1− x − ··· 1− hay C(x) = x2 1−x− − 2x − x2 − 2x − x2 − ··· Ta ký hiệu C(x) hàm sinh số Catalan ký hiệu cn số Catalan thứ n toàn luận văn 2n Tương tự, hàm sinh hệ số nhị thức trung tâm √ , − 4x n biểu diễn thành 1 √ = 2x − 4x 1− x 1− x 1− − ··· thành √ = − 4x 2x2 − 2x − x2 − 2x − x2 − ··· Cho P phát biểu, ta viết [P] = P đúng, [P] = P sai − 2x − Chú ý ta có dãy a0 , a1 , a2 , dãy thoáng dãy định nghĩa a0 , 0, a1 , 0, a2 , 0, a3 , 0, với số xen kẽ Nếu (an ) có hàm sinh g(x), dãy thoáng có hàm sinh g(x2 ) 1.2 Nhóm Riordan Nhóm Riordan tập vô hạn ma trận tam giác có phần tử số nguyên, ma trận định nghĩa cặp hàm sinh g(x) = + g1 x + g2 x2 + f (x) = f1 x + f2 x2 + với f1 = Ma trận liên kết ma trận có cột thứ j sinh g(x)f (x)j (cột đánh số 0) Do phần tử thứ i cột thứ j Ti,j = [x]j g(x)f (x)j toán tử [xn ] cho hệ số xn chuỗi lũy thừa áp dụng vào Ma trận tương ứng với g, f ký hiệu (g, f ) R(g, f ) Luật nhóm cho (g, f ) ∗ (h, l) = (g(h ◦ f ), l ◦ f ) Phần tử đơn vị luật I = (1, x) nghịch đảo (g, f ) (g, f )−1 = (1/(g ◦ f ), f ) với f nghịch đảo hợp thành f n Mảng Riordan có dạng (g(x), x), với g(x) = ak xk hàm sinh dãy an , k=0 gọi dãy mảng dãy an Số hạng tổng quát Tn,k = [xn ]g(x)xk = [xn−k ]g(x) = an−k Các mảng có dạng tạo thành nhóm nhóm Riordan, gọi nhóm Appell Nếu M ma trận (g, f ), a = (a0 , a1 , )T dãy số nguyên có hàm sinh thông thường A(x), dãy M a có hàm sinh thông thường g(x)A(f (x)) Điều suy từ M = (Tn,k )n,k≥0 ta có ∞ n [xn ]g(x)f (x)k ak Tn,k ak = k=0 k=0 ∞ n f (x)k ak = [x ]g(x) k=0 = [xn ]g(x)A(f (x)) Do ma trận (vô hạn) (g, f ) coi tác động vành số nguyên ZN với phép nhân, dãy xem vecto cột (vô hạn) Chúng ta mở rộng tác động vành chuỗi lũy thừa Z[[x]] (g, f ) : A(x) −→ (g, f ) · A(x) = g(x)A(f (x)) x Ví dụ 1.2 Ma trận nhị thức B số hạng 1−x , 1−x nhóm Riordan Nó có số n x hạng tổng quát Tổng quát hơn, Br số hạng 1−rx , 1−rx nhóm Riordan k n với số hạng tổng quát rn−k Có thể chứng minh nghịch đảo B−r k r B x , + rx + rx Nếu f1 = ta gọi ma trận mảng Riordan “mở rộng” Ma trận không khả nghịch 29 có hàm sinh x2 1−x C (1−x)3 biểu diễn x2 1−x− x2 (1 − x)2 − 1−x− x2 (1 − x)2 − · · · Đây số A086581 (số đường Dyck có nửa độ dài n U U DD) 2.7 Liên phân số hai chiều tam giác số Ta thấy x · C(x) = , − rx − rx − rx − x x 1− x − rx − x 1− − rx − x − ··· Bây coi r biến độc lập (và viết y), ta khảo sát biểu diễn hai chiều g(x, y) = x − xy − x 1− x − xy − 1− x − xy − x − ··· Đây hàm sinh hai chiều tam giác số với số hạng tổng quát n [k ≤ n] cn−k , k (2.4) 30 bắt đầu 0 0 1 0 2 0 5 14 20 12 42 70 50 20 0 0 Đây số A124644 Ảnh dãy lũy thừa rn qua ma trận n n n cn−k rk = ck rn−k , bn = k k k=0 k=0 n n Do việc áp dụng ma trận với hàm sinh hai chiều sử dụng = k n−k phương trình (2.4) vào dãy số rn tương đương với tính phép biến đổi nhị thức thứ r số Catalan Cn Ví dụ tổng quát hóa nhiều cách n 2.8 Phép biến đổi bn = n−k k r n−2k an−2k k=0 Đặt y = x phương trình (2.4) mục cho ta hàm sinh tổng đường chéo ma trận Dãy số có số hạng tổng quát n n−k cn−2k k k=0 có hàm sinh biểu diễn x − x2 − 1− x − x2 − x − ··· 31 Đây số A105864 Theo cách xây dựng bên trên, kết việc áp dụng mảng Riordan x , − x − x2 vào số Catalan Thật ra, có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.14 Cho an dãy số có hàm sinh biểu diễn sau α1 x 1− α2 x 1− − ··· n n−k k Khi dãy số bn = an−2k kết việc áp dụng mảng Riordan k=0 x , − rx − rx2 vào an có hàm sinh dạng 1− rx2 α1 x α2 x − 1− α3 x α4 x − rx2 − 1− − rx2 − α5 x − ··· Ví dụ 2.14 Một phép biến đổi số Schr¨oder lớn Số Schr¨oder lớn có hàm sinh biểu diễn thành 2x 1− x 1− 2x 1− 1− x − ··· Do dãy số với số hạng tổng quát n bn = k=0 n−k k Sn−2k 32 có hàm sinh cho 2x − x2 − x 1− 2x − x2 − x − x2 − · · · 1− Điều với − x − x2 − √ − 6x − x2 + 6x3 + x4 2x(1 − x2 ) Trường hợp đặc biệt r = −1 tương đương với mảng Riordan x 1+x2 , 1+x2 tương đương với gọi “phép biến đổi Chebyshev” Do phép biến đổi ck ma trận có số hạng tổng quát n−k cn−2k , (−1)k bn = k k=0 n gợi nhớ đến công thức đa thức Chebyshev loại hai Đây dãy số A101499 Theo trên, có hàm sinh x + x2 − x 1− x + x2 − 1− 2.9 x + x2 − · · · Phép dựng hình Deleham Ta định nghĩa phép dựng hình Deleham sau Cho hai dãy số rn sn , r∆s = [r0 , r1 , r2 , ]∆[s0 , s1 , s2 , ] để ký hiệu tam giác số có hàm sinh hai chiều (r0 x + s0 xy) 1− (r1 x + s1 xy) 1− (r2 x + s2 xy) 1− − ··· 33 Ngoài ta định nghĩa r∆(1) s = [r0 , r1 , r2 , ]∆(1) [s0 , s1 , s2 , ] tam giác số có hàm sinh hai chiều cho (r1 x + s1 xy) − (r0 x + s0 xy) − (r2 x + s2 xy) 1− − ··· Xem định nghĩa gốc A084938 Ví dụ 2.15 Tam giác Narayana Ba dạng phổ biến tam giác Narayana phát biểu sau: [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ]∆[0, 1, 0, 1, 0, 1, ] A131198, [0, 1, 0, 1, 0, 1, ]∆[1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ] đảo ngược ma trận trên, [0, 1, 0, 1, 0, 1, ]∆(1) [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ] A090181 Chúng ta có kết sau: Định lí 2.1 Cột mảng Deleham [r0 , r1 , r2 , r3 , ]∆[s0 , s1 , s2 , s3 , ] có hàm sinh r0 x 1− r1 x 1− r2 x 1− − ··· Tổng hàng mảng có hàm sinh (r0 + s0 )x 1− (r1 + s1 )x 1− (r2 + s2 )x 1− − ··· 34 Tổng đường chéo mảng có hàm sinh (r0 x + s0 x2 ) 1− (r1 x + s1 x2 ) 1− (r2 x + s2 x2 ) 1− − ··· Tích mảng với B có hàm sinh 1 = , ((r0 + s0 )x + s0 xy) r0 x + s0 x(1 + y) 1− 1− ((r1 + s1 )x + s1 xy) r1 x + s1 x(1 + y) 1− 1− ((r2 + s2 )x + s2 xy) r2 x + s2 x(1 + y) 1− 1− − ··· − ··· mảng Deleham (r + s)∆s Tích B với mảng có hàm sinh (r0 x + s0 xy) 1−x− (r1 x + s1 xy) 1− (r2 x + s2 xy) 1−x− − ··· Chứng minh Hàm sinh cột thu từ việc đặt y = hàm sinh hai chiều Tương tự, hàm sinh tổng hàng thu việc đặt y = 1, hàm sinh tổng đường chéo thu việc đặt y = x Tích mảng r∆s B có hàm sinh cho (1, x, x2 , )(r∆s) · (1, y, y , )T Nó (1, x, x2 , )(r∆s)(1, + y, (1 + y)2 , )T theo giả thiết r0 x + s0 x(1 + y) 1− r1 x + s1 x(1 + y) 1− r2 x + s2 x(1 + y) 1− − ··· 35 Hàm sinh phép biến đổi nhị thức mảng (tức tích B r∆s) cho 1−x , x (r0 + s0 y) 1−x 1− x (r1 + s1 y) 1−x 1− x (r2 + s2 y) 1−x 1− − ··· rút gọn (r0 x + s0 xy) 1−x− (r1 x + s1 xy) 1− (r2 x + s2 xy) 1−x− − ··· Ví dụ 2.16 Tam giác số [0, 2, 6, 12, 20, 30, ]∆[1, 2, 3, 4, 5, 6, ] với hàm sinh 1− xy (2x + 2xy) 1− (6x + 3xy) 1− (10x + 4xy) 1− − nghiên cứu [4] Phép dựng hình Deleham dẫn tới nhiều mảng tam giác số thú vị Lĩnh vực khối liên kết [1, 2, 3, 8] rộng tam giác này, bao gồm tam giác Narayana Chúng ta kết thúc số ví dụ lĩnh vực Một khối liên kết dạng hình đa diện đặc biệt f -vecto vecto (f−1 , f0 , , fn−1 ) fi ký hiệu số mặt i-chiều Mặt phẳng −1-chiều mặt phẳng rỗng h - vecto (h0 , h1 , , hn ) xác định từ f -vecto qua trình tương đương miêu tả bên Trong phần tiếp theo, An Bn ám hệ nghiệm thông thường nhóm quay [3] 36 Ví dụ 2.17 Mảng hệ số f -vecto Bn Tam giác với số hạng tổng quát n n+k n+k 2k = , k k 2k k A063007, số f -vecto Bn [2] Nói cách khác, f -vecto Bn có mảng hệ n n n+k xk Theo kết trước đó, hàm sinh hai chiều tam giác k k k=0 cho 2xy 1−x− xy 1−x− xy 1−x− xy 1−x− − x − ··· dạng Nó biểu diễn thành 2xy 1−x− x + xy 1− xy 1− x + xy 1− − ··· , [1, 0, 1, 0, 1, 0, ]∆(1) [0, 2, 1, 1, 1, 1, ] Ví dụ 2.18 Mảng h-vecto Bn Đảo chiều mảng bên thu mảng [0, 2, 1, 1, 1, 1, ]∆(1) [1, 0, 1, 0, 1, 0, ], n 2n − k , có hàm sinh ta thấy mảng có số hạng tổng quát k n 2xy − xy − x + xy 1− x 1− x + xy 1− x 1− − ··· , 37 hay tương đương 2x − xy − x − xy − x − xy − − xy − x − xy · · · 2 n Nhân ma trận với B−1 ta thu ma trận có số hạng tổng quát Đây k mảng h-vecto Bn Do hàm sinh biểu diễn 1 − x(y − 1) − 2x x + x(y − 1) 1− x 1− x + x(y − 1) 1− x 1− − ··· , hay 2x xy − xy − x − 1− x 1− xy 1− 1− x − ··· Nó biểu diễn thành 2x − xy + x − x − xy + x − x − xy + x − − xy + x − x − xy + x − · · · Đây mảng Deleham [−1, 2, 0, 1, 0, 1, ]∆(1) [1, 0, 1, 0, 1, 0, ] Ví dụ 2.19 f -vecto h-vecto An Tam giác với số hạng tổng quát n n + k + 2 k+1 k k 38 cho [1, 0, 1, 0, 1, ]∆(1) [1, 1, 1, 1, ] Đây mảng hệ số f -vecto An [1,2] Ta nhắc lại [1, 0, 1, 0, 1, ]∆(1) [1, 1, 1, 1, ] có hàm sinh , x+y 1− xy 1− x + xy 1− − ··· tam giác [1, 0, 1, 0, 1, ]∆(1) [1, 1, 1, 1, ] có hàm sinh 1 − (x + xy) − xy x+y 1− xy 1− − ··· Đây mảng A033282 bắt đầu 0 0 ··· 1 0 0 · · · 1 5 0 · · · 1 21 14 0 · · · 1 14 56 84 42 · · · 1 20 120 1300 330 132 · · · Đảo chiều tam giác thu tam giác có phần tử tổng quát n 2n − k + , [k ≤ n] n−k+1 k n−k 39 nhân ma trận với B−1 , ta thu mảng hệ số h-vecto An [3] Kết dạng tam giác số Narayana bắt đầu 0 0 ··· 1 0 0 · · · 1 0 · · · 1 6 0 · · · , 1 10 20 10 · · · 1 15 50 50 15 · · · có hàm sinh xy 1−x− x 1− xy 1− 1− x − ··· Ví dụ 2.20 Số Narayana A090181 Trong ví dụ này, bắt đầu với mảng số có phần tử tổng quát n+k n n+k ck = k + 2k k k Đây số A088617, có số hạng số đường Schr¨oder từ (0, 0) tới (2n, 0) với k bước Nó có hàm sinh xy 1−x− xy 1−x− xy 1−x− 1−x− xy − x − ··· Nó biểu diễn 1−x− , xy x + xy 1− xy 1− x + xy 1− − 40 tức [1, 0, 1, 0, 1, 0, ]∆(1) [0, 1, 1, 1, 1, 1, ] Đảo chiều mảng bên thu mảng [0, 1, 1, 1, 1, 1, ]∆(1) [1, 0, 1, 0, 1, 0, ], Ta thấy mảng có số hạng tổng quát 2n − k n 2n − k cn−k = [k ≤ n] , [k ≤ n] n − k + k k n−k có hàm sinh 1 − xy − , x x + xy 1− x 1− x + xy 1− x 1− − ··· hay tương đương x − xy − x − xy − x − xy − − xy − x − xy − · · · Nhân ma trận với B−1 ta thu ma trận số Narayana bắt đầu 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 6 0 10 20 10 41 tam giác Narayana A090181 Hàm sinh biểu diễn 1 − x(y − 1) − , x x + x(y − 1) 1− x 1− x + x(y − 1) 1− x 1− − ··· hay x − xy − x − xy 1− x 1− xy 1− 1− x − ··· Nó biểu diễn x − xy + x − x − xy + x − x − xy + x − − xy + x − x − xy + x − · · · Do mảng Deleham [−1, 1, 0, 1, 0, 1, ]∆−1 [1, 0, 1, 0, 1, 0, ] Thật ra, biểu diễn thành mảng Deleham [0, 1, 0, 1, 0, 1, ]∆[1, 0, 1, 0, 1, 0, ] với hàm sinh xy 1− x 1− xy 1− 1− x − ··· 42 Kết luận Đề nghị Luận văn “Phép biến đổi dãy số nguyên ứng dụng” đạt kết sau đây: Trình bày nhiều biến đổi khác dãy số nguyên Mô tả biến đổi thực ma trận Riordan ma trận Riordan suy rộng Chỉ mối liên quan biến đổi với liên phân số Những kết nghiên cứu gần Barry (xem [3]) 43 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, NXB ĐHQG Hà Nội, Hà Nội [2] Hà Huy Khoái, Số học, NXB Giáo dục, Hà Nội Tiếng Anh [3] Barry P (2009), "Continued fractions and transformations of integer sequences", Journal of Integer Sequences, Vol 12, Article 09.7.6 [4] Sloane N J A., The On-line Encyclopedia of Integer Sequences Available at http://www.research.att.com/ njas/sequences/ ... 8 Chương Phép biến đổi dãy số nguyên, liên phân số n 2.1 Phép biến đổi nhị thức bn = (nk) r n−k ak k=0 Một phép biển đổi dãy số nguyên phổ biến phép biến đổi nhị thức, biến dãy với số hạng tổng... biến đổi nhị thức bn = k=0 n 2.2 Phép biến đổi bn = k=0 n 2.3 Phép biến đổi bn = k=0 n 2.4 Phép biến đổi bn = k=0 n 2.5 Phép biến đổi bn = k=0 n 2.6 Phép biến đổi bn = k=0 n n−k k k=0 Kết luận... Nhiều dãy cổ điển có hàm sinh biểu diễn thành liên phân số Nhiều dãy quan trọng khác nảy sinh từ việc áp dụng phép biến đổi vào dãy có biểu diễn liên phân số biết Do ta biểu diễn kết phép biến đổi