Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ GIẢI CHI TIẾT ĐỀ KHẢO SÁT LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI NĂM HỌC 2016-2017 MƠN TỐN – MÃ ĐỀ 020 Đây lời giải thức page TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM cơng bố vào lúc 30 ngày 23 tháng năm 2017 Trong biên tập, trình bày lời giải tự ý thay đổi nội dung câu 38 Trong trình tham khảo, phát sai sót xin q thầy vui lịng góp ý trục tiếp cho chúng tơi cách gửi email toanhocbactrungnam@gmail.com điện thoại số 09 4613 3164 Được ngày nay, nháp file bị đưa lên mạng khơng rõ mục đích động Tuy nhiên, số nhân tổ chức khác lấy sai sót file làm thú vui, làm trị tiêu khiển cho học sinh xem Cái tâm người làm giáo dục không cho phép làm điều Xin chân thành cảm ơn q thầy chung tay TỐN HỌC BẮC– TRUNG–NAM để làm nên lời giải Admin Trần Quốc Nghĩa BẢNG ĐÁP ÁN 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B B C D C C C A D B C A D D C C A D A D C B B D D 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 C B B B A B B A A B C D D C D C A A A C D B C B D LỜI GIẢI Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ a; b] Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị (C ) : y = f ( x ) , trục hoành, hai đường thẳng x = a, x = b (như hình vẽ bên dưới) Giả sử S D diện tích hình phẳng D Chọn cơng thức phương án A, B, C, D đây? b a A S D = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx b a B S D = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx y y = f ( x) x O a b b C S D = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx a b a D S D = − ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx Giải Chọn B + Nhìn đồ thị ta thấy: • Đồ thị (C ) cắt trục hoành O ( 0; ) TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 1/16 – Mã đề 020 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ • Trên đoạn [ a; 0] , đồ thị (C ) trục hoành nên f ( x ) = − f ( x ) • Trên đoạn [ 0; b] , đồ thị ( C ) trục hoành nên f ( x ) = f ( x ) b b b a a a + Do đó: S D = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx Câu 2: Cho hình chóp S ABC có ASB = CSB = 60°, ASC = 90° , SA = SB = SC = a Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) A d = 2a a B d = C d = a D d = 2a S Giải Chọn B Vì ∆SAB , ∆SBC tam giác cạnh a nên AB = BC = a Ngồi ∆SAC vng cân S nên AC = a Từ đó, AC = AB + BC , suy ∆ABC vng B có S ABC = a2 C A H Gọi H trung điểm AC Vì ∆ABC vng B B AC a nên HA = HB = HC SH = = Đồng thời SA = SB = SC nên SH ⊥ ( ABC ) 2 Vậy d ( A; ( SBC ) ) = 3VS ABC SH S ABC = S SBC S SBC Câu 3: Biết ∫ 3e 1+ x dx = A T = a a2 2 =a = a a b b c e + e + c ( a, b, c ∈ ℤ ) Tính T = a + + 3 B T = C T = 10 Giải D T = Chọn C Đặt t = + 3x ⇒ t = + 3x ⇒ 2tdt = 3dx Đổi cận: x = ⇒ t = , x = ⇒ t = ⇒ ∫ 3e 1+ x ( 2 ) ( 2 1 dx = 2∫ tet dt = tet − ∫ et dt = tet − et 1 ) = ( 2e − e − e + e) = 2e 2 a = 10 ⇒ ⇒ T = 10 nên câu C b = c = Câu 4: Tìm giá trị nhỏ hàm số y = x − đoạn [ −3; 2] A y = −3 [−3;2] B y = [−3;2] C y = [−3;2] D y = −1 [−3;2] Giải Chọn D Ta có: y ′ = x ; y ′ = ⇔ x = ⇔ x = ∈ ( −3; ) ⇒ f ( ) = −1; f ( −3) = 8; f ( ) = ⇒ y = −1 nên câu D [ −3;2] TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 2/16 – Mã đề 020 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y − = cắt mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = theo giao tuyến đường tròn ( C ) Tính diện tích S hình giới hạn ( C ) A S = 2π 78 B S = 2π C S = 6π D S = 26π Giải Chọn C Mặt cầu (S ) có tâm I (1; −2; ) bán kính R = IA = Gọi H hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng ( P ) , H tâm đường trịn ( C ) Ta có IH = d  I ; ( P )  = I H A Do ∆IHA vuông H nên HA = IA − IH = Nhận xét HA bán kính đường trịn ( C ) Vậy S = π.HA2 = 6π (đ.v.d.t) Câu 6: ln x 1; e3  x B max y= C max y= 3 1; e3   1; e e e     Tìm giá trị lớn hàm số y = A max y= 1; e    e2 D max y= 1; e    ln 2 Giải Chọn A  x = ∈ 1, e3   ln x ′ ln x ( − ln x )   ; y′ = ⇔  Ta có y′ =   = x  x = e ∈ 1, e3   x     y (1) = 0; y ( e ) = Câu 7: Câu 8: ; y ( e3 ) = Vậy max y= 2 1; e  e e e   ax + b có đồ thị hình vẽ bên cx + d Khẳng định sau khẳng định đúng? ad < ad < ad > A  B  C   bc >  bc <  bc < Giải Chọn C a Tiệm cận ngang y = > ⇔ ac > (1) c d Tiện cận đứng x = − < ⇔ cd > (2) c b y ( ) = < ⇔ bd < (3) d Từ (1) (2), suy adc2 > ⇔ ad > Từ (2) (3), suy bcd < ⇒ bc < Cho hàm số y = ad > D   bc > y O x Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x , y = x TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 3/16 – Mã đề 020 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ A S = B S = 20 C S = D S = 20 Giải Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm x − x = ⇔ x = x = 2 Suy S = ∫  x3  x − x dx = ∫ ( x − x ) dx =  − x  =  0 1+ Câu 9: 2 Cho f ( x ) = e 1 + x ( x +1)2 m n Biết f (1) f ( ) f ( 3) f ( 2017 ) = e với m, n số tự nhiên m tối giản Tính m − n n A m − n = 2018 B m − n = −2018 C m − n = Giải D m − n = −1 Chọn D Xét số thực x > 1 Ta có : + + = x ( x + 1) (x + x + 1) x ( x + 1) 2 = x2 + x + 1 1 =1+ = 1+ − x +x x ( x + 1) x x +1 1   1  1  1  1+ 1− + 1+ −  +1+ −  +…+ +1+ 2017 − 2018          Vậy, f (1) f ( 2) f ( 3) f ( 2017 ) = e =e 2018− 2018 =e 20182 −1 2018 , m 20182 − = n 2018 20182 − Ta chứng minh phân số tối giản 2018 Giả sử d ước chung 20182 − 2018 Khi ta có 20182 − 1⋮ d , 2018⋮ d ⇒ 20182 ⋮ d suy 1⋮ d ⇔ d = ±1 20182 − Suy phân số tối giản, nên m = 20182 − 1, n = 2018 2018 Vậy m − n2 = −1 hay Câu 10: Một công ti dự kiến chi t ỉ đồng để sản xuất thùng đựng sơn hình trụ có dung tích lít Biết chi phí đề làm mặt xung quanh thùng 100,000 đ/ m , chi phí để làm mặt đáy 120 000 đ/ m2 Hãy tính số thùng sơn tối đa mà cơng ty sản xuất (giả sử chi phí cho mố i nố i không đáng kể) A 57582 thùng B 58135 thùng C 18209 thùng D 12525 thùng Giải Chọn B Gọi chiều cao hình trụ h ( h > ) (m) Bán kính đáy hình trụ x ( x > ) (m) 5 ⇒h= (m) 1000 1000π x Diện tích mặt xung quanh : S xq = 2π xh = 100 x Thể tích khố i trụ : V = π x h = TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 4/16 – Mã đề 020 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Diện tích hai đáy : S đ = 2π x 1000 + 240000π x x −1000 Ta có : f ′ ( x ) = + 480000π x ⇒ f ′ ( x ) = ⇔ x = x 480π Bảng biến thiên: x +∞ 480π y′ – + Số tiền cần thiết để sản xuất thùng sơn : f ( x ) = y ( x > 0) ≈ 17201.05 Vậy với số tiền tỉ đồng cơng ty sản xuất tối đa : 109 ≈ 58135 thùng 17201.05 Câu 11: Tính tổng T tất nghiệm phương trình x − 8.2 x + = A T = B T = C T = D T = Giải Cho ̣n C  x = log (4 + 3)  2x = + Ta có: x − 8.2 x + = ⇔  ⇔  x = log (4 − 3)  x = − Vậy tổng tất nghiệm phương trình là: T = log (4 + 3) + log (4 − 3) = log (4 + 3)(4 − 3) = log = Câu 12: Hình sau khơng có tâm đối xứng? A Tứ diện B Hình hộp C Hình bát diện D Hình lập phương Giải Cho ̣n A Trong hình hình tứ diện khơng có tâm đố i xứng Câu 13: Hàm số sau đồng biến ℝ ? A y = x B y = log ( x + 1) C y = log ( x + 1) D y = 3x Giải Chọn D Hàm số mũ số lớn đồng biến ℝ Câu 14: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc v1 ( t ) = 7t ( m / s ) Đi ( s ) , người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc a = −70 ( m / s ) Tính quãng đường S bánh dừng hẳn A S = 95, 70 ( m ) B S = 96, 25 ( m ) ( m) ô tô từ lúc bắt đầu chuyển C S = 87,50 ( m ) D S = 94, 00 ( m ) Giải Chọn B Quãng đường ô tô từ lúc xe lăn bánh đến phanh: TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 5/16 – Mã đề 020 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ 5 t2 S1 = ∫ v1 (t )dt = ∫ 7tdt = = 87,5 (m) 20 0 Vận tốc v2 (t ) (m/s) ô tô từ lúc phanh đến dừng hẳn thoả mãn v2 (t ) = ∫ (−70)dt = − 70t + C , v2 (5) = v1 (5) = 35 ⇒ C = 385 Vậy v2 (t ) = −70 t + 385 Thời điểm xe dừng hẳn tương ứng với t thoả mãn v2 (t ) = ⇔ t = 5, (s) Quãng đường ô tô từ lúc xe phanh đến dừng hẳn: 5,5 S2 = 5,5 ∫ v (t )dt = ∫ (−70t + 385)dt = 8, 75 (m) 5 Quãng đường cần tính S = S1 + S = 96, 25 (m) Câu 15: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ℝ , có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x − 1) ( x + 1) Hàm số cho có điểm cực trị? A Có điểm cực trị C Có điểm cực trị B Khơng có cực trị D Chỉ có điểm cực trị Giải Chọn C Ta có bảng biến thiên x y′ –∞ + −1 – 0 +∞ + + y y Câu 16: Hình bên đồ thị bốn hàm số cho phương án A, B, C, D, hỏi hàm nào? A y = − x3 + x B y = x − x C y = x − x D y = x3 − x Giải O Chọn C Đồ thị có dạng hàm số trùng phương với hệ số a > có cực trị x Câu 17: Cho mặt cầu ( S ) bán kính R Một hình trụ có chiều cao h bán kính đáy r thay đổ i nộ i tiếp mặt cầu Tính chiều cao h theo R cho diện tích xung quanh hình trụ lớn A h = R B h = R C h = R D h = R Giải Chọn A Gọi O O′ tâm hai hình trịn đáy hình trụ, xét thiết diện ABCD qua trục hình trụ hình vẽ Ta có OO′ = h; IA = R, AO = r ⇒ r = R − TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập h2 Trang 6/16 – Mã đề 020 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Diện tích xung quanh hình trụ S = 2π rh = π h R − h2 ≤ π ab ≤ h2 + R − h , (dùng BĐT a + b2 ) Vậy S max = 2π R ⇔ h = R − h ⇔ h = R Câu 18: Tìm số cạnh hình đa diện có mặt A cạnh B cạnh C cạnh D cạnh Giải Chọn D Ta gọi n số mặt hình đa diện Suy số cạnh mặt Mà cạnh hình đa diện cạnh chung hai mặt Suy 3n tổng số cạnh lớn 3n Thay n = ⇒ = 7,5 nên số cạnh lớn 7,5 Chọn số cạnh Khi khố i đa diện thỏa yêu cầu đề hình chóp đáy tứ giác Câu 19: Tìm nghiệm phương trình log ( x − 1) = A x = B x = C x = Giải D x = 10 Chọn A Điều kiện: x > Phương trình tương đương với x − = ⇔ x = Câu 20: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y + z − = Tính bán kính R mặt cầu ( S ) A R = B R = 3 C R = Giải D R = Chọn D Mặt cầu tâm I (1; −2; −1) , bán kính R = + + + = Câu 21: Với số thực dương a, b Khẳng định sau khẳng định đúng? A log ( ab ) = log ( a + b ) C log ( ab ) = log a + log b a B log   = log b ( a ) b a D log   = log ( a − b ) b Giải Chọn C a Theo định nghĩa ta có cơng thức log ( ab ) = log a + log b log   = log a − log b b Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 2; −1) , B ( 2;3; ) C ( 3;5; −2 ) Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  27  5   3 A I  − ;15;  B I  ; 4;1 C I  2; ; −    2   2 Giải TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập  37  D I  ; −7;0    Trang 7/16 – Mã đề 020 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Chọn B Cách 1: AB = (1;1;5 ) ¸ AC = ( 2;3; −1) Vì AB AC = 1.2 + 1.3 + ( −1) = nên AB ⊥ AC , 5  ∆ABC vng A Suy I trung điểm BC Tọa độ I  ;4;1 2  Cách 2: Gọi I ( a; b; c ) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC   AI = BI x = 2 x + y + 10 z = 23     5  Tọa độ tâm I thỏa hệ:  AI = CI ⇔  x + y − z = 32 ⇔  y = Vậy I  ; 4;1 2   −16 x + 11y + z =  z =    , = AB AC AI     Câu 23: Tìm số giao điểm n hai đồ thị y = x − 3x + y = x − A n = B n = C n = Giải D n = Chọn B Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị: x − 3x + = x − ⇔ x − x + = ⇔ x = ⇔ x = ± Vậy hai đồ thị có giao điểm Chọn B Câu 24: Tìm tập xác định D hàm số y = x B D = [ 0; + ∞ ) A D = ℝ C D = ℝ \ {0} D D = ( 0; + ∞ ) Giải Chọn D Hàm số y = xα với α ∉ ℤ xác định x > Nên chọn D Câu 25: Cho y = f ( x ) hàm số chẵn, có đạo hàm đoạn [ −6; 6] Biết ∫ f ( x ) dx = −1 ∫ f ( −2 x ) dx = Tính ∫ f ( x ) dx −1 A I = 11 B I = C I = Giải D I = 14 Chọn D Xét tích phân K = ∫ f ( −2 x ) dx Đặt u = −2 x ⇒ du = −2dx ⇒ dx = − du Đổi cận: Khi x = ⇒ u = −2 ; x = ⇒ u = −6 −6 Vậy, K = − −2 1 f ( u ) du = ∫ f ( x ) dx Mà K = , nên ∫ −2 −6 Vì f hàm chẵn [ −6;6] nên ∫ ∫ −1 ∫ f ( x ) dx = −6 −2 f ( x ) dx = I= −2 f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = Từ suy −6 ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = + = 14 −1 Câu 26: Trong không gian Oxyz cho điểm A ( −1; 2; −3) , B ( 2; −1; ) Tìm tọa độ vectơ AB TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 8/16 – Mã đề 020 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ A AB = (1; −1;1) B AB = (1;1; −3) C AB = ( 3; −3;3) D AB = ( 3; −3; −3) Giải Chọn C AB = ( + 1; − − 2;0 + 3) = ( 3; − 3;3) A 1  Câu 27: Trong không gian Oxyz , cho điểm M  ; ;0  2   mặt cầu ( S ) : x + y + z = Đường thẳng d H thay đổ i, qua điểm M , cắt mặt cầu ( S ) hai điểm phân biệt Tính diện tích lớn S tam giác OAB A S = B S = C S = D S = 2 O M B Giải Chọn A Mặt cầu ( S ) có tâm O ( 0;0;0 ) bán kính R = 2 Vì OM = < R nên M thuộc miền mặt cầu ( S ) Gọi A , B giao điểm đường thẳng với mặt cầu Gọi H chân đường cao hạ từ O tam giác OAB Đặt x = OH , ta có < x ≤ OM = , đồng thời HA = R − OH = − x Vậy diện tích tam giác OAB SOAB = OH AB = OH HA = x − x Khảo sát hàm số f ( x ) = x − x ( 0;1] , ta max f ( x ) = f (1) = ( 0;1] Vậy giá trị lớn S ∆OAB = , đạt x = hay H ≡ M , nói cách khác d ⊥ OM Câu 28: Hỏi có giá trị nguyên m để bất phương trình log 22 x + m log x − m ≥ nghiệm với mọ i giá trị x ∈ ( 0; + ∞ ) A Có giá trị nguyên C Có giá trị nguyên Chọn B Đặt t = log x B Có giá trị nguyên D Có giá trị nguyên Giải ( x > 0) Bất phương trình trở thành : t + mt − m ≥ 0, ∀t ∈ ℝ ⇔ ∆ ≤ ⇔ m + 4m ≤ ⇔ −4 ≤ m ≤ Vì m nguyên nên m ∈ {−4; −3; −2; −1; 0} Vậy có giá trị nguyên m thỏa ycbt Câu 29: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Tính khoảng cách d từ điể m M (1; −2;3) đến mặt phẳng ( P ) A d = 12 85 85 B d = 12 C d = 31 D d = 18 Giải TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 9/16 – Mã đề 020 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Chọn B Ta có d ( M , ( P ) ) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C Câu 30: Tìm nguyên hàm hàn số f ( x ) = = 6.1 − 3.(−2) + 2.3 − 6 + (−3) + 22 ∫x 12 cos x x 2 cos dx = − sin + C x x 2 C ∫ cos dx = sin + C x x x A = 2 cos dx = − cos + C x x 2 D ∫ cos dx = cos + C x x x Giải B ∫x Chọn A 2 Đặt t = ⇒ dt = − dx x x −2 1 cos dx = cos tdt = − sin t + C = − sin + C ⇒ ∫ cos dx = ∫ ∫ x x −2 x x −2 2 x Câu 31: Cho hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx + cx + d , ( a, b, c, d ∈ ℝ, a ≠ ) có đồ thị ( C ) Biết đồ thị ( C ) tiếp xúc với đường thẳng y = điểm có hồnh độ âm đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) cho hình vẽ bên Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị ( C ) trục hoành A S = C S = 21 27 D S = B S = y y = f ( x) O −1 Giải x Chọn B Từ đồ thị suy f ′ ( x ) = 3x − f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ ( x − 3) dx = x3 − 3x + C Do ( C ) tiếp xúc với đường thẳng y = điểm có hồnh độ x0 âm nên −3 f ′ ( x0 ) = ⇔ x − = ⇔ x0 = −1 Vậy f ( −1) = nên có C = Vậy phương trình đường cong ( C ) y = x − 3x +  x = −2 Xét phương trình x − x + = ⇔  x = Diện tích hình phẳng cần tìm Câu 32: ∫ (x −2 − x + ) dx = 27 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x3 − mx + x đồng biến khoảng ( −2; ) A m ≥ − 13 B m ≥ −2 C m ≤ Giải D m ≥ 13 Chọn B Hàm số đồng biến ( −2;0 ) ⇔ y ′ = x − 2mx + ≥ ∀x ∈ ( −2;0 ) ⇔ m ≥ 3x + TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập ∀x ∈ ( −2;0 ) x Trang 10/16 – Mã đề 020 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Xét hàm số g ( x ) = 3x + 1 ∈ ( −2;0 ) ⇒ g ′ ( x ) = − Vậy g ′ ( x ) = ⇔ x = − x x Bảng biến thiên: x − −2 g′( x) + − −2 g ( x) 13 Từ bảng biến thiên suy giá trị cần tìm m m ≥ −2 − −∞ Câu 33: Cho log = a , log = b Tính log 45 theo a, b a + 2b 2a + b A log 45 = B log 45 = 2a + b C log 45 = a + b − D log 45 = 1+ a (1 + a ) Giải Cho ̣n A log 45 log + log 2a + b Ta có: log 45 = = = log + log 1+ a Câu 34: Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = x − + − x Tính M + m A M + m = 16 B M + m = 18 12 + + 10 16 + + 10 C M + m = D M + m = 2 Giải Cho ̣n A − Điều kiện xác định: D = [1;5] Ta có y ′ = , x ∈ (1;5 ) x −1 − x 61 y ′ = ⇔ − x = x − ⇔ ( − x ) = 16 ( x − 1) ⇔ x = ∈ [1;5] 25 61   Ta có: y (1) = , y ( ) = , y   = 10 Vậy M = 10 , m = nên M + m = 16  25  Câu 35: Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điể m A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA′ BC A V = a3 24 a Tính thể tích V khố i lăng trụ ABC A′B′C ′ a3 a3 a3 B V = C V = D V = 12 A C Giải Chọn B M trung điểm BC BC ⊥ ( AA′M ) H B Gọi MH đường cao tam giác A′AM MH ⊥ A′A HM ⊥ BC nên HM khoảng cách AA′ BC A C G TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập B M Trang 11/16 – Mã đề 020 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Ta có A′A.HM = A′G AM ⇔ a a a2 A′A = A′A2 −  a2  4a 4a 2a ⇔ A′A2 =  A′A2 −  ⇔ A′A2 = ⇔ A′A2 = ⇔ A′A =   Đường cao lăng trụ A′G = 4a 3a a − = 9 a 3a a3 = Thể tích VLT = 12 Câu 36: Hàm số y = x − đồng biến khoảng đây? A ( −1; +∞ ) B ( −1;1) C ( 0; +∞ ) D ( −∞; ) Giải Chọn C y ′ = x , y′ = ⇔ x = Ta có y ′ > ⇔ x > hàm số đồng biến ( 0; +∞ ) Câu 37: Cho hình nón có độ dài đường sinh l = 2a, góc đỉnh hình nón 2β = 60° Tính thể tích V khố i nón cho A V = π a 3 B V = π a3 3 C V = π a3 D V = π a3 Giải S Chọn B 2β Ta có ASO = β = 30° Xét tam giác SOA vng A , ta có R = OA = l.sin 30° = a l = 2a h = SO = l − R = a π a3 Từ ta có: V = S h = 3 Câu 38: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục nửa khoảng [ −3; ) , có bảng biến thiên hình vẽ bên Khẳng định sau khẳng định đúng? A y = −2 A x y′ −3 + −1 − O B + y [ −3;2) −2 −5 B max y = [−3;2 ) C Hàm số đạt cực tiểu x = −1 D Giá trị cực tiểu hàm số đạt x = Giải Chọn D Câu tự sửa đáp án D để câu Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (1; 2; −1) , B ( 2; −1;3) , C ( −3;5;1) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành A D ( −4;8; −5 ) B D ( −2; 2;5 ) C D ( −4;8; −3) D D ( −2;8; −3) Giải TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 12/16 – Mã đề 020 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Chọn C Gọi tọa độ điểm D D ( x; y; z ) , AB = (1; −3; ) , DC = ( −3 − x;5 − y;1 − z ) 1 = −3 − x  x = −4   ABCD hình bình hành ⇔ AB = DC ⇔ −3 = − y ⇔  y = ⇒ D ( −4;8 − 3) 4 = − z  z = −3   B ( 2; −1;3) C ( −3;5;1) D ( −4;8; −3 ) A (1; 2; −1) Câu 40: Tìm phương trình đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A y = B y = x −1 x −1 C x = −1 Giải D x = Chọn D 2x −1 2x −1 = +∞ , lim y = lim = −∞ − − x →1 x →1 x − x →1 x →1 x − Suy phương trình tiệm cận đứng x = Ta có lim y = lim + + Câu 41: Tìm điểm cực tiểu xCT hàm số y = x3 + 3x − x A xCT = −1 B xCT = −3 C xCT = Giải D xCT = Chọn C x = y ′ = x + x − = ( x + x − 3) ; y ′ = ⇔ x + x − = ⇔   x = −3 x −∞ −3 y′ 0 + − + yCĐ y yCT ( ) +∞ Vậy xCT = Câu 42: Tìm tập nghiệm S bất phương trình log ( 3x − ) > log ( − x )  6 A S = 1;   5 B S = (1; +∞ )  6 C S =  ;   5 Giải 2  D S =  ;1 3  Chọn A  x>  3 x − >  ĐK  ⇔ ⇔ x <  log ( 3x − ) > log ( − x ) ⇔ x − > − x ⇔ x > ⇔ x > TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 13/16 – Mã đề 020 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Kết hợp ĐK ta có < x <  6  6 hay x ∈  1;  Suy S =  1;   5  5 Câu 43: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = Mặt phẳng (α ) qua A vng góc với SC cắt cạnh SB , SC , SD điểm M , N , P Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP 32π 108π C V = A V = 64 2π 125π D V = S B V = N P Giải Chọn A M Ta có: CB ⊥ ( SAD ) , AM ⊂ ( SAB ) ⇒ AM ⊥ CB (1) D A (α ) ⊥ SC , AM ⊂ (α ) ⇒ AM ⊥ SC ( ) Từ (1) , ( ) ⇒ AM ⊥ ( SBC ) ⇒ AM ⊥ MC ⇒ AMC = 90° C B Chứng minh tương tự ta có APC = 90° Có AN ⊥ SC ⇒ ANC = 90° Ta có: AMC = APC = APC = 90° ⇒ mặt cầu đường kính AC mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP AC Bán kính cầu r = = 2 32π Thể tích khố i cầu: V = π r = 3 Câu 44: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = e2 x A ∫ e x dx = e x + C B ∫ e x dx = e x + C C ∫ e x dx = 2e2 x + C D ∫ e x dx = e2 x +1 +C 2x +1 Giải Chọn A ∫e 2x dx = 2x e d ( x ) = e2 x + C ∫ 2 Câu 45: Trong không gian Oxyz, cho điểm A ( 0;1;1) , B ( 2;5; −1) Tìm phương trình mặt phẳng ( P ) qua A, B song song với trục hoành A ( P ) : y + z − = B ( P ) : y + z + = C ( P ) : x + y − z − = D ( P ) : y + z − = Giải Chọn A Cách 1: Ta có AB = ( 2; 4; −2 ) Trục hồnh có véc tơ đơn vị i = (1;0;0 ) Tính  AB, i  = ( 0; −2; −4 ) Mặt phẳng ( P ) qua điểm A ( 0;1;1) có véc tơ pháp tuyến n = ( 0;1;2 ) nên có phương trình là: TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 14/16 – Mã đề 020 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ ( y − 1) + ( z − 1) = ⇔ y + z − = Cách 2: Vì ( P ) song song với trục hoành nên loại C Thay tọa độ điểm A vào ba phương trình cịn lại loại B, D Câu 46: Trong không gian Oxyz, cho điểm A (1;0; ) , B ( −2; 0;3) , M ( 0; 0;1) N ( 0;3;1) Mặt phẳng qua điểm M , N cho khoảng cách từ điểm B đến ( P ) gấp hai lần (P) khoảng cách từ điểm A đến ( P ) Có mặt phẳng ( P ) thỏa mãn đề bài? A Có vơ số mặt phẳng ( P ) B Có hai mặt phẳng ( P ) C Chỉ có mặt phẳng ( P ) D Khơng có mặt phẳng ( P ) Giải Chọn A Cách 1: Giả sử ( P ) có phương trình là: ax + by + cz + d = ( a + b + c ≠ ) Vì M ∈ ( P ) ⇒ c + d = ⇔ d = −c Vì N ∈ ( P ) ⇒ 3b + c + d = hay b = c + d = ⇒ ( P ) : ax + cz − c = Theo ra: d ( B, ( P ) ) = 2d ( A, ( P ) ) −2a + 3c − c a−c ⇔ a − c = a − c (luôn đúng) a + c2 a2 + c2 Vậy có vô số mặt phẳng ( P ) thỏa mãn đề ⇔ =2 Cách 2: Ta có BM = ( 2;0; −2 ) AM = ( −1;0;1) nên ba điểm A , B , M thẳng hàng Như mọ i mặt phẳng ( P ) qua M , N cắt đường thẳng AB điểm M , suy ta ln có d ( A, ( P ) ) d ( B, ( P ) ) = MA = Từ tồn vơ số mặt phẳng ( P ) thỏa mãn đề MB Câu 47: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Biết SA ⊥ ( ABC ) SA = a Tính thể tích V khối chóp S ABC A V = a3 B V = a3 C V = a3 D V = 3a Giải Chọn B Ta có S ABC = a2 1 a a3 ⇒ V = SA.S ABC = a = 3 4 Câu 48: Ông Việt dự định gửi vào ngân hàng số tiền với lãi suất 6,5% năm Biết rằng, sau mỗ i năm số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu Tính số tiền tối thiểu x (triệu đồng, x ∈ ℕ ) ông Việt gửi vào ngân hàng để sau năm số tiền lãi đủ mua xe gắn máy trị giá 30 triệu đồng A 140 triệu đồng B 154 triệu đồng C 145 triệu đồng D 150 triệu đồng Giải Chọn C n Áp dụng công thức lãi kép : Pn = x (1 + r ) , Pn tổng giá trị đạt (vốn lãi) sau n kì TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 15/16 – Mã đề 020 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ x vốn gốc r lãi suất mỗ i kì n n Ta tính số tiền lãi thu sau n kì : Pn − x = x (1 + r ) − x = x (1 + r ) − 1 (*)   Áp dụng công thức (*) với n = 3, r = 6,5% , số tiền lãi 30 triệu đồng Ta 30 = x (1 + 6,5% ) − 1 ⇒ x ≈ 144, 27   Số tiền tối thiểu 145 triệu đồng Câu 49: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − z − = Véctơ sau không véctơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) A n = ( 2;0; −2 ) B n = (1; −1; −1) C n = ( −1;0;1) D n = (1;0; −1) Giải Cho ̣n B Một vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) n1 = (1;0; −1) Ta có n1 vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) k n1 (với k ∈ ℝ \ {0} ) vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) Đáp án A đúng, n = ( 2;0; −2 ) = 2n1 Đáp án B sai, khơng tồn số k ∈ ℝ để n = (1; −1; −1) = k n1 Đáp án C đúng, n = ( −1;0;1) = −n1 Đáp án D đúng, n = (1;0; −1) = n1 Câu 50: Cho hình trụ có đường cao h = 5cm, bán kính đáy r = 3cm Xét mặt phẳng ( P ) song song với trục hình trụ, cách trục 2cm Tính diện tích S thiết diện hình trụ với mặt phẳng ( P ) A S = 5cm B S = 5cm C S = 5cm Giải Cho ̣n D Giả sử mặt phẳng ( P ) cắt hình trụ theo thiết diện hình chữ nhật ABB′A′ hình vẽ Gọi OH ⊥ AB H , OH = 2cm D S = 10 5cm A H O B Trong ∆OHA có HA = OA2 − OH = Khi AB = HA = A′ Vậy diện tích thiết diện hình trụ với mặt phẳng ( P ) S ABB′A′ = AB AA′ = 5.5 = 10 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập B′ O′ Trang 16/16 – Mã đề 020 ... đến mặt phẳng ( P ) A d = 12 85 85 B d = 12 C d = 31 D d = 18 Giải TOÁN HỌC BẮC? ?TRUNG? ??NAM sưu tầm biên tập Trang 9/16 – Mã đề 020 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Chọn B Ta có... hình bình hành A D ( −4;8; −5 ) B D ( −2; 2;5 ) C D ( −4;8; −3) D D ( −2;8; −3) Giải TOÁN HỌC BẮC? ?TRUNG? ??NAM sưu tầm biên tập Trang 12/ 16 – Mã đề 020 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/... giới hạn đồ thị hàm số y = x , y = x TOÁN HỌC BẮC? ?TRUNG? ??NAM sưu tầm biên tập Trang 3/16 – Mã đề 020 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ A S = B S = 20 C S = D S = 20 Giải Chọn A Phương