ĐÁP ÁN Đề 15 Bài 1: a) Tìm số có ba chữ số sao cho = (a + b) 3 b) Tìm các số nguyên a, b thỏa mãn: Lời giải: a) Vì là số có ba chữ số và là lập phương của một số nên chỉ có thể là: 125 = 5 3 , 216 = 6 3 , 343 = 7 3 , 512 = 8 3 , 729 = 9 3 . Thử từng trường hợp thì có 343 là số thỏa mãn bài toán b) Đặt x = a + b, y = a – b. Khi đó x, y là các số nguyên và , Ta có: a 2 – ab + b 2 = Ta có: ( Vì x là số nguyên) (1) Mặt khác: (2) Vì (28 – 3x, 3) = 1 nên từ (2) suy ra (3) Từ (1) và (3) suy ra x = 9 và từ đó cũng suy ra Như vậy : hoặc Vậy (a; b) = (4; 5), (5; 4). Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức sau với a, b, c dương: Lời giải: Đặt , Ta có: 2P + Q = 3. Do đó, để chứng minh ta chỉ cần chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: Hay là Từ đó ta có ĐPCM. Bài 3: Chứng minh chia hết cho 1004.2009, ở đây [x] là phần nguyên của số thực x Lời giải: Bổ đề: Với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta có: , Chứng minh bổ đề: Ta có: (1) Lại có: (2) Từ (1) và (2) suy ra bổ đề được chứng minh. Trở lại với bài toán ban đầu: Với mỗi số tự nhiên k ≥ 1,ta đặt: S k = Dễ dàng nhận thấy S = S 1 + S 2 + S 3 + + S 2008 Mặt khác: với k 2 ≤ N ≤ (k + 1) 2 – 1 thì , và do đó: Áp dụng bổ đề với n = 2008 Ta có .ĐPCM. Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC có BAC = 60 0 và nội tiếp đường tròn (O). H là trực tâm của tam giác. a) Chứng minh rằng: OH =|AB – AC| b) Đường thẳng OH cắt cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng: BM + CN = MN Lời giải: a) Kéo dài BO cắt (O) tại L. Vì BL là đường kính của (O) nên LA vuông góc với AB và LC vuông góc với BC. Từ đó suy ra LA song song với HC(cùng vuông góc với AB) và LC song song với AH(cùng vuông góc với BC) Tứ giác ALCH la hình binh hành AH = LC = BOcos BLC= 2R. = R (R là bán kính đường tròn (O)) (1) Bây giờ,không mất tính tổng quát, giả sử AC AB. Gọi K là điểm nằm trên AC sao cho AK = AB và J là điểm chính giữa cung BC không chứa A của đường tròn (O). Ta có: JK = JB(Hai điểm B, K đối xứng với nhau qua AJ) (2) JB = JC(Hai điểm B, C đối xứng qua OJ) (3) JB = R(Tam giác BOJ là tam giác đều) (4) Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: AH = AO = JK = JC =R. (5) Lại có: KJC = AJC – AJK = AJC – AJB = ABC – ACB = B –C Và : OAH = OAB – HAB = (90 0 – C) – (90 0 – B) = B – C Như vậy KJC = OAH (6) Từ (5) và (6) suy ra OAH = KJC OH = KC = AC – AB. ĐPCM. b) Kẻ JX vuông góc với AC, JY vuông góc với AB. Dễ dàng chứng minh được: BYJ = CXJ (cạnh huyền, góc vuông) BY = CX AB + AC = AB + AX + CX = AB + AX + BY = AY + AX = 2AX = 2 JX (7) Gọi P là giao điểm của AJ và OH. Vì OAC = HAB = 90 0 – B và AP là phân giác góc BAC nên cũng là phân giác góc OAH AP vuông góc với OH(Do tam giác OAH cân nên đường phân giác cũng là đường cao) AP = JX ( AOH = JKC) (8) Mặt khác, tam giác AMN có AP vừa là phân giác,vừa là đường cao nên AMN là tam giác cân tại A. Ngoài ra, theo giả thiết ban đầu MAN = 60 0 nên AMN là tam giác đều. AP = MN (9) Từ (7), (8), (9) ta có: AB + AC = 2 JX = 2 AP = 3MN (10) Lại có: AB + AC = AM + BM + AN + CB = 2MN + BM + CN (11) Từ (10) và (11) suy ra BM + CN = MN. ĐPCM. Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có AD là đường phân giác của góc A. Cho biết AB = c, AC = b và AD = d. Chứng minh: Lời giải: Kẻ DK vuông góc với AC. Dễ dàng nhận thấy tam giác AKD là tam giác vuông cân tại K. AD = DK (1) Mặt khác, vì AD là đuờng phân giác của tam giác ABC nên hay là Lại có DK || AB nên: (2) Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM. . = 5 3 , 216 = 6 3 , 343 = 7 3 , 512 = 8 3 , 7 29 = 9 3 . Thử từng trường hợp thì có 343 là số thỏa mãn bài toán b) Đặt x = a + b, y = a – b. Khi đó x, y. KJC = AJC – AJK = AJC – AJB = ABC – ACB = B –C Và : OAH = OAB – HAB = (90 0 – C) – (90 0 – B) = B – C Như vậy KJC = OAH (6) Từ (5) và (6) suy ra OAH = KJC