Đang tải... (xem toàn văn)
Đa thức Hilbert và các hệ số của nó (LV thạc sĩ)Đa thức Hilbert và các hệ số của nó (LV thạc sĩ)Đa thức Hilbert và các hệ số của nó (LV thạc sĩ)Đa thức Hilbert và các hệ số của nó (LV thạc sĩ)Đa thức Hilbert và các hệ số của nó (LV thạc sĩ)Đa thức Hilbert và các hệ số của nó (LV thạc sĩ)Đa thức Hilbert và các hệ số của nó (LV thạc sĩ)Đa thức Hilbert và các hệ số của nó (LV thạc sĩ)Đa thức Hilbert và các hệ số của nó (LV thạc sĩ)Đa thức Hilbert và các hệ số của nó (LV thạc sĩ)Đa thức Hilbert và các hệ số của nó (LV thạc sĩ)Đa thức Hilbert và các hệ số của nó (LV thạc sĩ)Đa thức Hilbert và các hệ số của nó (LV thạc sĩ)Đa thức Hilbert và các hệ số của nó (LV thạc sĩ)Đa thức Hilbert và các hệ số của nó (LV thạc sĩ)Đa thức Hilbert và các hệ số của nó (LV thạc sĩ)Đa thức Hilbert và các hệ số của nó (LV thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ MINH HUỀ ĐA THỨC HILBERT VÀ CÁC HỆ SỐ CỦA NÓ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ MINH HUỀ ĐA THỨC HILBERT VÀ CÁC HỆ SỐ CỦA NÓ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM HÙNG QUÝ THÁI NGUYÊN - 2016 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết trình bày luận văn không bị trùng lặp với luận văn trước Các thông tin, tài liệu luận văn ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, 06 tháng 06 năm 2016 Tác giả luận văn TRẦN THỊ MINH HUỀ i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên Trước trình bày nội dung luận văn, xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới TS Phạm Hùng Quý, thầy người hướng dẫn cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô giáo Viện Toán học Đại học Thái Nguyên người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên vượt qua khó khăn học tập Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn bạn bè, người thân giúp đỡ, động viên, ủng hộ để hoàn thành tốt luận văn khóa học Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, 06 tháng 06 năm 2016 Tác giả luận văn TRẦN THỊ MINH HUỀ ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii MỞ ĐẦU 1 ĐA THỨC HILBERT 1.1 Vành môđun phân bậc 1.2 Đa thức Hilbert 1.3 Một vài tính chất số bội Hilbert-Samuel 16 Hệ số Hilbert tính Cohen-Macaulay 21 2.1 Vành môđun Cohen-Macaulay 21 2.2 Số bội Hilbert-Samuel tính Cohen-Macaulay 25 2.3 Hệ số Chern iđêan tham số 29 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 iii MỞ ĐẦU Đa thức Hilbert đối tượng đại số giao hoán hình học đại số Xét R = ⊕ Ri vành Noether phân bậc chuẩn với R0 vành Artin i≥0 địa phương, M = ⊕Mi R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Khi đó, định lý đa i thức Hilbert khẳng định ℓ(Mn ) đa thức theo n n đủ lớn, gọi đa thức Hilbert môđun phân bậc M Trong trường hợp (R, m) vành Noether địa phương M R-môđun hữu hạn sinh Với iđêan I m-nguyên sơ ta có ℓ(M/I n+1 M) đa thức theo n n đủ lớn, gọi đa thức Hilbert M theo I Bậc đa thức Hilbert hệ số cho ta biết độ lớn phức tạp môđun hay đa tạp đại số Chính vậy, đặt mục tiêu tìm hiểu số kết ban đầu đa thức Hilbert Phần lớn nội dung luận văn trình bày theo sách Commutative Ring Theory Hideyuki Matsumura Chúng trình bày vài kết gần hệ số Chern, e1 (q, M), đa thức Hilbert Luận văn chia thành hai chương Chương 1: Phần đầu chương trình bày số kiến thức vành môđun phân bậc, định lý Artin-Rees Đây kiến thức sở cho phần Các phần trình bày khái niệm số tính chất đa thức Hilbert, số bội Hilbert-Samuel, vài tính chất Chương 2: Trình bày số kiến thức vành môđun Cohen-Macaulay, đặc trưng tính Cohen-Macaulay qua số bội hệ tham số, chứng minh tính không dương hệ số Chern iđêan tham số Chương ĐA THỨC HILBERT 1.1 Vành môđun phân bậc Trong toàn luận văn ta xét R vành giao hoán có đơn vị Ta bắt đầu với khái niệm vành môđun (N)-phân bậc Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành ∞ (i) Một vành R gọi vành phân bậc R có phân tích R = ⊕ Rn , n=0 (Rn , +) nhóm abel (R, +) thỏa mãn tính chất Ri R j ⊆ Ri+ j , với i, j ≥ Một phần tử x ∈ Ri gọi phần tử bậc i, Ri gọi thành phần bậc i R ∞ (ii) Một môđun M vành phân bậc R = ⊕ Rn gọi R-môđun phân bậc n=0 ∞ M có phân tích M = ⊕ Mn , (Mn , +) nhóm abel (M, +) n=0 Ri M j ⊆ Mi+ j , với i, j ≥ Một phần tử x ∈ Mi gọi phần tử bậc i, Mi gọi thành phần bậc i M (iii) Cho M R-môđun phân bậc, N môđun M Ta nói N môđun ∞ phân bậc M N = ⊕ (N ∩ Mn ) n=0 Nếu R vành phân bậc R-môđun phân bậc Khi I iđêan ∞ phân bậc (thuần nhất) R I iđêan R thỏa mãn I = ⊕ (I ∩ Rn ) n=0 Mệnh đề 1.1.2 Cho N môđun môđun phân bậc M vành phân bậc R Khi khẳng định sau tương đương: (i) N môđun phân bậc M (ii) Với x ∈ N, x = ∑ xi biểu diễn x với xi ∈ Mi , ta có xi ∈ N với i (iii) N có hệ sinh gồm phần tử Ví dụ 1.1.3 (1) Xét vành đa thức R = k[x1 , , xn ], k trường Khi R có phân ∞ bậc R = ⊕ Rn , với R0 = k Rn tập đa thức bậc n R n=0 ∞ (2) Một vành R tùy ý vành phân bậc với phân bậc tầm thường R = ⊕ Rn với n=0 R0 = R Rn = 0, với n > Khi R-môđun M R-môđun phân bậc với ∞ phân bậc tầm thường M = ⊕ Mn với M0 = M Mn = với n > n=0 Định nghĩa 1.1.4 Cho I iđêan R M R-môđun Khi (i) Xét ℜI (R) = ⊕ I n với phép nhân cảm sinh từ phép nhân R ℜI (R) n≥0 vành phân bậc gọi vành Rees R I ℜI (M) = ⊕ I n M ℜI (R)-môđun phân bậc gọi môđun Rees M đối n≥0 với I (ii) Xét GI (R) = ⊕ I n /I n+1 với phép nhân GI (R) xác định sau: Với α = x + I n+1 n≥0 n n+1 ∈ I /I β = y + I m+1 ∈ I m /I m+1 ta định nghĩa α · β = xy + I m+n+1 ∈ I n+m /I n+m+1 Ta dễ dàng kiểm tra phép nhân không phụ thuộc vào cách chọn đại diện phép nhân làm GI (R) trở thành vành phân bậc Ta nói GI (R) vành phân bậc liên kết R I Tương tự, tập GI (M) = ⊕ I n M/I n+1 M với phép nhân vô hướng xác định sau: Với n≥0 a¯ = a + I n+1 ∈ I n /I n+1 x¯ = x + I m+1 M ∈ I n M/I n+1 M a¯ · x¯ = ax + I n+m+1 M ∈ I n+m M/I n+m+1 M GI (R)-môđun phân bậc gọi môđun phân bậc liên kết M I Định lý cho ta đặc trưng tính Noether vành (N)-phân bậc Định lý 1.1.5 Cho R = ⊕ Rn vành phân bậc Khi đó, điều sau tương n≥0 đương: (i) R vành Noether (ii) R0 vành Noether tồn a1 , , an phần tử R cho R = R0 [a1 , , an ] = { f (a1 , , an )| f ∈ R0 [x1 , , xn ]} Chứng minh (i) ⇒ (ii) Ký hiệu R+ = ⊕ Rn iđêan R Vì R Noether nên R+ n>0 hữu hạn sinh, suy tồn a1 , , an ∈ R cho R+ = (a1 , , an ) Mặt khác R+ iđêan R nên ta giả thiết có bậc ni > Đặt R′ vành R sinh a1 , , an R0 , R′ = R0 [a1 , , an ] Ta chứng minh Rm ⊆ R′ với m ≥ quy nạp theo m Hiển nhiên R0 ⊆ R′ Giả sử m ≥ Ri ⊆ R′ , với i ≤ m Ta chứng minh Rm+1 ⊆ R′ Lấy x ∈ Rm+1 ⊆ R+ , ta n có x = ∑ bi , bi ∈ Rm+1−ni với i = 1, , n Vì ni > nên m + − ni ≤ m i=1 với i = 1, , n Theo giả thiết quy nạp ta có bi ∈ R′ , với i = 1, , n Rm+1 ⊆ R′ Vậy R = ⊕ Rm ⊆ R′ nên R = R′ Hơn ta có R0 ∼ = R/R+ vành Noether m≥0 (ii) ⇒ (i) Từ giả thiết (ii) suy R có dạng R = R0 [a1 , , an ], ∈ R, với i = 1, , n Khi tồn toàn cấu vành φ : R0 [x1 , , xn ] −→ R0 [a1 , , an ] f [x1 , , xn ] −→ f [a1 , , an ] Theo định lý sở Hilbert ta có R0 [x1 , , xn ] Noether Nên R0 [a1 , , an ] ∼ = R0 [x1 , , xn ]/ Ker φ vành Noether Vậy R Noether Hệ sau cho ta tính chất Noether vành Rees vành phân bậc liên kết Hệ 1.1.6 Cho R vành Noether I iđêan R Khi (i) ℜI (R) GI (R) vành phân bậc Noether (ii) Với M R-môđun Noether ℜI (M) ℜI (R)-môđun Noether, GI (M) GI (R)-môđun Noether Định nghĩa 1.1.7 (i) Một dãy giảm iđêan vành R R = I0 ⊇ I1 ⊇ · · · ⊇ In ⊇ · · · (∗) gọi lọc iđêan In Im ⊆ In+m , với n, m ≥ (ii) Cho M R-môđun Một dãy giảm môđun M M = M0 ⊇ M1 ⊇ · · · ⊇ Mn ⊇ · · · (∗∗) gọi lọc tương thích với lọc iđêan (∗) In Mm ⊆ Mn+m , với n, m ≥ (iii) Xét I iđêan R Khi {I n }n≥0 lọc ta gọi lọc I-adic (iv) Xét Một lọc môđun (∗∗) tương thích với lọc I-adic tồn số nguyên dương n0 cho Mn+1 = IMn với n ≥ n0 Khi ta nói lọc môđun I-lọc tốt Chú ý 1.1.8 (i) Cho lọc iđêan (∗) R Khi ta xây dựng vành phân bậc ⊕ In ⊕ In /In+1 với phép nhân tương tự vành Rees vành phân bậc n≥0 n≥0 liên kết R I Trong trường hợp lọc I-adic ta thu vành Rees vành phân bậc liên kết R I (ii) Với lọc môđun (∗∗) tương thích với lọc iđêan (∗) ta có ⊕ Mn n≥0 môđun phân bậc vành ⊕ In ⊕ Mn /Mn+1 môđun phân bậc vành n≥0 ⊕ In /In+1 n≥0 n≥0 Định lý 1.1.9 Cho R vành Noether, I iđêan R Xét M R-môđun hữu hạn sinh, {Mn }n≥0 lọc môđun M tương thích với lọc I-adic Khi khẳng định sau tương đương: (i) ⊕ Mn ℜI (R)-môđun Noether n≥0 (ii) Lọc {Mn }n≥0 I-lọc tốt n Chứng minh Đặt M ∗ = ⊕ Mn Với n ≥ 0, ta xét Qn = ⊕ Mi n≥0 i=0 Mn∗ = Qn ⊕ IMn ⊕ I Mn ⊕ · · · Tức Mn∗ = M0 ⊕ M1 ⊕ · · · ⊕ Mn ⊕ IMn ⊕ I Mn ⊕ · · · Dễ thấy Mn∗ ⊆ M ∗ Mặt khác Mi hữu hạn sinh với i nên Qn hữu hạn sinh Giả sử Qn = y1 R + · · · + yk R Do Mn∗ ℜI (R)-môđun hữu hạn sinh, cụ thể Mn∗ = y1 ℜI (R) + · · · + yk ℜI (R) Mặt khác ta có M1∗ ⊆ M2∗ ⊆ · · · ⊆ Mn∗ ⊆ · · · (∗) ∞ dãy tăng dần môđun M ∗ , ∪ Mn∗ = M ∗ Vậy M ∗ n=0 ℜI (R)-môđun Noether dãy (∗) dừng hay {Mn }n≥0 I-lọc tốt Chương Hệ số Hilbert tính Cohen-Macaulay 2.1 Vành môđun Cohen-Macaulay Định nghĩa 2.1.1 Cho R vành Noether, M R-môđun Phần tử a ∈ R gọi phần tử M-chính quy ax ̸= với ̸= x ∈ M Một dãy a1 , , an phần tử R gọi M-dãy quy (hoặc M-dãy) điều kiện sau thỏa mãn: (i) (a1 , , an )M ̸= M (ii) M/(a1 , , ai−1 )M-chính quy với i = 1, , n Tức với ≤ i ≤ n, a i M/(a1 , , ai−1 )M −→ M/(a1 , , ai−1 )M đơn ánh Khi tất phần tử nằm iđêan I R ta nói a1 , , an M-dãy quy I Chú ý 2.1.2 Nếu (R, m) vành Noether địa phương, (a1 , , an ) ⊆ m M Rmôđun hữu hạn sinh theo Bổ đề Nakayama ta có M ̸= (a1 , , an )M Trong trường hợp ta có a1 , , an M-dãy không ước môđun M/(a1 , , ai−1 )M với i = 1, , n Định nghĩa 2.1.3 Một M-dãy a1 , , an phần tử I gọi M-dãy tối đại I không tồn phần tử b ∈ I để a1 , , an , b M-dãy Mệnh đề 2.1.4 Cho (R, m) vành Noether địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh dãy phần tử a1 , , an ∈ m Khi a1 , , an M-dãy với i = 1, , n ta có ∈ / p với p ∈ AssR (M/(a1 , , ai−1 )M) 21 Trong vành Noether địa phương ta có số tính chất quan trọng sau dãy quy Mệnh đề 2.1.5 Cho (R, m) vành Noether địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh, a1 , , an M-dãy Khi ta có tính chất sau (i) Mọi hoán vị a1 , , an M-dãy (ii) Với v1 , , số nguyên dương, dãy av11 avnn M-dãy (iii) Nếu a1 ξ1 + + an ξn = 0, ξi ∈ M ξi ∈ (a1 , , an )M với i = 1, n (iv) Nếu q = (a1 , , an ) qm+1 M : = qm M, với i = 1, , d, với m ≥ Bổ đề 2.1.6 Cho (R, m) vành Noether địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh Khi M-dãy m phần hệ tham số M Chứng minh Không tính tổng quát, ta cần chứng minh cho trường hợp dãy quy gồm phần tử Cho x ∈ m phần tử M-chính quy Khi theo Mệnh đề 2.1.4 ta có x ∈ / p với p ∈ AssR M Nên x ∈ / p với p ∈ Assh M Do theo Chú ý 1.2.18 ta có x phần tử tham số M Mệnh đề 2.1.7 Cho (R, m) vành địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh, I iđêan thực R Khi số phần tử hai dãy M-chính quy cực đại iđêan I Độ dài cực đại dãy M-chính quy I kí hiệu gradeM I, gọi bậc I theo M Đặc biệt I = m ta kí hiệu depth M gọi độ sâu M Mệnh đề 2.1.8 Cho (R, m) vành Noether địa phương M R-môđun hữu hạn sinh Khi depth M ≤ dim R/p với p ∈ AssR M Chứng minh Lấy p ∈ AssR M ta chứng minh quy nạp theo dim R/p Nếu dim(R/p) = p = m, m ∈ AssR (M) Vì depth M = 0, khẳng định trường hợp Giả sử dim(R/p) > Nếu m ∈ AssR (M) depth M = 0, kết hiển nhiên Giả sử m ∈ / AssR (M) Theo định lý tránh nguyên tố ta có a ∈ m cho a ∈ / q với q ∈ AssR M Do a M-chính quy Chọn p1 iđêan nguyên tố tối thiểu chứa p + Ra Khi p1 ∈ AssR (M/aM) Rõ ràng a ∈ p1 a ∈ / p nên dim(R/p1 ) < dim(R/p) 22 Theo giả thiết quy nạp, depth(M/aM) ≤ dim(R/p1 ) < dim(R/p) Nên depth M = depth(M/aM) + ≤ dim(R/p1 ) + ≤ dim(R/p) Từ mệnh đề ta có kết sau Hệ 2.1.9 Với giả thiết Mệnh đề 2.1.8 depth M ≤ dim M Định nghĩa 2.1.10 Cho (R, m) vành Noether địa phương M R-môđun hữu hạn sinh Khi M gọi môđun Cohen-Macaulay depth M = dim M Vành R gọi vành Cohen-Macaulay R xét R-môđun Cohen-Macaulay Nếu R vành Noether tùy ý M gọi môđun Cohen-Macaulay Mp Rp -môđun Cohen-Macaulay với p ∈ SuppR M Mệnh đề 2.1.11 Cho R vành địa phương Noether, M R-môđun CohenMacaulay Khi ta có (i) dim R/p = dim M = depth M với p ∈ AssR M Do iđêan nguyên tố liên kết M tối tiểu AssR M (ii) Nếu a1 , , dãy M-chính quy M/(a1 , , )M Cohen-Macaulay (iii) Mp Cohen-Macaulay với p ∈ SuppR M Chứng minh (i) Với p ∈ AssR M ta có dim R/p ≤ dim M = depth M ≤ dim R/p Vậy dim R/p = dim M với p ∈ AssR M (ii) Bằng quy nạp ta cần M/aM Cohen-Macaulay a phần tử Mchính quy Thật ta có dim M/aM = dim M − 1, depth M/aM = depth M − Vì M Cohen-Macaulay nên depth M = dim M, dim M/aM = depth M/aM Vậy M/aM Cohen-Macaulay (iii) Giả sử M Cohen-Macaulay Xét p ∈ SuppR M Khi Mp ̸= Khi theo Hệ 2.1.9 ta có dim Mp ≥ depth Mp Ta chứng minh dim Mp = depth Mp quy nạp theo depth Mp Nếu depth Mp = pRp ∈ AssRp Mp Chú ý AssRp Mp = {qRp |q ⊆ p, q ∈ AssR M} 23 Do p ∈ AssR M Vì M Cohen-Macaulay nên theo (i) ta có p ∈ Min AssR M Suy dim Mp = Vì Mp Cohen-Macaulay Giả sử depth Mp > theo Hệ 2.1.9 suy dim Mp > Do p ∈ / Min AssR M Vì M Cohen-Macaulay nên theo (i) ta có p q với q ∈ AssR M Theo định lý tránh nguyên tố ta có tồn x ∈ p cho x ∈ / q với q ∈ AssR M Nên x phần tử M-chính quy Đặt N = M/xM Vì M Cohen-Macaulay x phần tử M-chính quy nên theo (ii) ta có N Cohen-Macaulay Theo giả thiết quy nạp ta có Np = (M/xM)p ∼ / q với q ∈ AssR M nên ta có = Mp /xMp Cohen-Macaulay Vì x ∈ x/1 ∈ / qRp với qRp ∈ AssRp Mp Do x/1 phần tử Mp -chính quy Vậy ta có dim Mp − = dim Np = depth Np = depth Mp − Nên Mp Cohen-Macaulay Định lý sau cho ta đặc trưng tính Cohen-Macaulay theo hệ tham số Định lý 2.1.12 Cho (R, m) vành Noether địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh chiều d Khi điều sau tương đương: (i) M môđun Cohen-Macaulay (ii) Mọi hệ tham số x1 , , xd M M-dãy (iii) Tồn hệ tham số x1 , , xd M M-dãy Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử M môđun Cohen-Macaulay chiều d x1 , , xd hệ tham số M Ta chứng minh x1 , , xd M-chính quy Vì M CohenMacaulay nên theo Mệnh đề 2.1.11 suy dim R/p = dim M = d với p ∈ AssR M Nên Ass M = Assh M Theo Mệnh đề 2.1.4 Chú ý 1.2.18 ta có x1 phần tử M-chính quy Đặt M ′ = M/x1 M ta có M ′ R-môđun Cohen-Macaulay chiều d − x2 , , xd hệ tham số M ′ Do đó, theo giả thiết quy nạp suy x2 , , xd M ′ -dãy Vậy x1 , , xd M-dãy (ii) ⇒ (iii) Hiển nhiên (iii) ⇒ (i) Nếu tồn hệ tham số M M-dãy ta có depth M = d = dim M Do M môđun Cohen-Macaulay 24 Ta cần kết sau vành Cohen-Macaulay phần sau Mệnh đề 2.1.13 Cho (R, m) vành Cohen-Macaulay I iđêan thực R Khi ta có ht I = grade I, ht I + dim R/I = dim R 2.2 Số bội Hilbert-Samuel tính Cohen-Macaulay Xét (R, m) vành Noether địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh chiều d q iđêan tham số M Theo Hệ 1.3.6 ta có ℓ(M/qM) ≥ e0 (q, M) Kết cho ta điều kiện cần để dấu xảy Mệnh đề 2.2.1 Cho (R, m) vành Noether địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh chiều d ≥ Khi đó, ℓ(M/qM) = e0 (q, M) m ∈ / Ass M Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề phản chứng, giả sử m ∈ Ass M Xét dãy tăng môđun M :M m ⊆ :M m2 ⊆ ⊆ :M mn ⊆ Vì M Noether nên dãy phải dừng, tức tồn n > cho :M mn = :M mn+1 = · · · Đặt W = :M mn = :M mn+1 = · · ·, ta có W R-môđun có độ dài hữu hạn Đặt M = M/W Vì :M m = 0M nên m Zd(M) Nên m ∈ / AssR M Xét dãy khớp ngắn −→ W −→ M −→ M −→ (∗) Nếu d = dim M = Theo định lý tránh nguyên tố, tồn x ∈ q \ ( ∪ p ∪ mq) p∈Ass M Do x quy với M q = (x) Dẫn đến e0 (q, M) = e0 (q, M) = ℓ(M/(x)M) theo Định lý 1.3.5 Mặt khác, dãy khớp (∗) cảm sinh dãy khớp ngắn sau −→ W /W ∩ (x)M −→ M/(x)M −→ M/(x)M −→ Nên e0 (q, M) = ℓ(M/qM) = ℓ(M/(x)M) + ℓ(W /W ∩ (x)M) = e0 (q, M) + ℓ(W /W ∩ (x)M) 25 Do ℓ(W /W ∩(x)M) = Ta có W = W ∩(x)M Lấy phần tử a ∈ W ∩(x)M ta có a = xb ∈ W, b ∈ M nên b ∈ W : x = W Hay a ∈ x ·W W = xW Vì theo bổ đề NAK ta có W = (vô lý) Vậy mệnh đề với d = Giả sử d > mệnh đề với d − Ta chứng minh mệnh đề với d Tương tự ta chọn x1 ∈ q \ ( ∪ p ∪ mq) Ta mở rộng x1 thành hệ sinh p∈Ass M x1 , x2 , , xd q Tương tự ta có W ∩(x1 )M W Nên < ℓ(W /W ∩(x1 )M) < ∞, m ∈ Ass(W /W ∩ (x1 )M) Từ dãy khớp ngắn −→ W /W ∩ (x1 )M −→ M/(x1 )M −→ M/(x1 )M −→ ta có m ∈ Ass(W /W ∩ (x1 )M) ⊆ Ass(M/(x1 )M) Đặt M ′ = M/x1 M q′ = (x2 , , xd ), theo Định lý 1.3.5 Hệ 1.3.6 ta có e0 (q, M) = e0 (q′ , M ′ ) ≤ ℓ(M ′ /q′ M ′ ) = ℓ(M/qM) Vì ℓ(M/qM) = e0 (q, M) nên e0 (q′ , M ′ ) = ℓ(M ′ /q′ M ′ ) Mà dim M/x1 M = d −1 nên theo giả thiết quy nạp suy m ∈ / Ass(M/x1 M) (vô lý) Vậy giả sử sai m ∈ / Ass M Ta chứng minh đặc trưng tính Cohen-Macaulay thông qua số bội HilbertSamuel hệ tham số Định lý 2.2.2 Cho (R, m) vành Noether địa phương M R-môđun chiều d > Khi điều sau tương đương: (1) M Cohen-Macaulay (2) Với iđêan tham số q M ta có ( ) n + d ℓ(M/qn+1 M) = ℓ(M/qM) d với n ≥ (2’) Tồn iđêan tham số q M cho ( ) n + d ℓ(M/qn+1 M)) = ℓ(M/qM) d với n ≥ (3) Với iđêan tham số q M ta có ℓ(M/qM) = e0 (q, M) (3’) Tồn iđêan tham số q M cho ℓ(M/qM) = e0 (q, M) 26 Chứng minh (1) ⇒ (2) Ta chứng minh quy nạp theo d Giả sử q = (x1 , , xd ) iđêan tham số M Nếu d = q = (x1 ) Trường hợp n = hiển nhiên Giả sử (2) với n, ta chứng minh (2) với n + Do M Cohen-Macaulay nên x1 M-chính quy Vì theo Mệnh đề 2.1.5 ta có (x1 )n+1 M : x1 = (x1 )n M Xét ánh xạ ·x φ : M/(x1 )n+1 M −→ M/(x1 )n+1 M Ta có ker φ = (x1 )n M/(x1 )n+1 M Do ta có dãy khớp ngắn −→ M/(x1 )n M −→ M/(x1 )n+1 M −→ M/x1 M −→ Dẫn đến ℓ(M/(x1 )n+1 M) = ℓ(M/(x1 )n M) + ℓ(M/x1 M) = nℓ(M/x1 M) + ℓ(M/x1 M) = (n + 1)ℓ(M/x1 M) Vậy (2) với d = Giả sử d > (2) với d − Ta chứng minh (2) với d Nếu n = hiển nhiên (2) Giả sử (2) với n Ta chứng minh (2) với n + Vì M Cohen-Macaulay nên theo Định lý 2.1.12 ta có x1 , , xd M-dãy Vì theo Mệnh đề 2.1.5 ta có qn+1 M : x1 = qn M Xét ánh xạ ·x ψ : M/qn+1 M −→ M/qn+1 M Ta có Ker ψ = qn M/qn+1 M, Im ψ = (qn+1 M + x1 M)/qn+1 M Vì vậy, ta có dãy khớp ngắn −→ M/qn M −→ M/qn+1 M −→ M/(qn+1 M + x1 M) −→ Suy ℓ(M/qn+1 M) = ℓ(M/qn M) + ℓ(M/(qn+1 M + x1 M)) 27 Đặt M ′ = M/x1 M q′ = (x2 , , xd ) Ta có M ′ R-môđun Cohen-Macaulay chiều d − Do theo giả thiết quy nạp ta có n+1 ℓ(M/(q ′ M + x1 M)) = ℓ(M /q ′n+1 ( ) n+d −1 M)= ℓ(M ′ /q′ M ′ ) d −1 ′ Mặt khác, áp dụng giả thiết quy nạp với n ta có ( ) n+d −1 n ℓ(M/q M) = ℓ(M/qM) d Vậy n+1 ℓ(M/q ( ) ( ) n+d −1 n+d −1 M) = ℓ(M/qM) + ℓ(M ′ /q′ M ′ ) d d −1 ( ) ( ) [ n+d −1 n+d −1 ] = + ℓ(M/qM) d d −1 ( ) n+d ℓ(M/qM) = d Nên (2) chứng minh (2) ⇒ (3) Hiển nhiên (2) ⇒ (2’) Hiển nhiên (3) ⇒ (3’) Hiển nhiên (2’) ⇒ (3’) Hiển nhiên (3’) ⇒ (1) Ta chứng minh quy nạp theo d Với d = 1, theo Mệnh đề 2.2.1 ta có m ∈ / Ass M Do depth M ≥ Mà theo Hệ 2.1.9 depth M ≤ dim M, nên depth M = dim M = Do M Cohen-Macaulay Nếu d > giả sử khẳng định với d − Vì ℓ(M/qM) = e0 (q, M) nên theo Mệnh √ đề 2.2.1 ta có m ∈ / Ass M Lại có q + Ann M = m Ann M ⊆ p với p ∈ Ass M nên q p với p ∈ Ass M Theo định lý tránh nguyên tố tồn x1 ∈ q \ ( ∪ p ∪ mq) p∈Ass M Nên x1 phần tử M-chính quy Ta mở rộng x1 thành hệ sinh hệ tham số x1 , x2 , , xd q Đặt q′ = (x2 , , xd ) M ′ = M/x1 M Khi theo Định lý 1.3.5 Hệ 1.3.6 ta có e0 (q, M) = e0 (q′ , M ′ ) ≤ ℓ(M ′ /q′ M ′ ) = ℓ(M/qM) Vì ℓ(M/qM) = e0 (q, M) nên e0 (q′ , M ′ ) = ℓ(M ′ /q′ M ′ ) Vì theo giả thiết quy nạp ta có M ′ Cohen-Macaulay Nên x2 , , xd dãy quy M ′ Do x1 , , xd 28 dãy quy M Vậy M Cohen-Macaulay theo Định lý 2.1.12 Định lý hoàn toàn chứng minh 2.3 Hệ số Chern iđêan tham số Trong phần trình bày số kết hệ số Chern, e1 (q, M), iđêan tham số Định lý 2.3.1 Cho (R, m) vành địa phương Noether q = (a1 , a2 , , ad ) iđêan tham số R Khi ℓR (R/q n+1 ( ) n+d ) ≥ e0 (q, R) d với n ≥ Chứng minh Xét vành đa thức S = R[X1 , , Xd ] N = mS + (X1 , , Xd ) nằm S Đặt fi = Xi − (1 ≤ i ≤ d) Q = ( f1 , f2 , , fd )S Khi f1 , f2 , , fd dãy quy S S = R[ f1 , f2 , , fd ] Xét ánh xạ R-đại số φ : S −→ R xác định φ (Xi ) = với ≤ i ≤ d Khi Q = Ker φ Đặt T = SN mở rộng φ thành đồng cấu ψ : T −→ R ψ R T φ S Hình 2.1: Khi Ker ψ = QT nhận thấy R/qn+1 = S/[Qn+1 + (X1 , X2 , , Xd )] = T /[Qn+1 T + (X1 , X2 , , Xd )T ] với n ≥ 0, X1 , , Xd hệ tham số T /Qn+1 T Đặt Assh T /QT = {p ∈ SuppT T /QT | dim T /p = dim T /QT } 29 Khi áp dụng công thức bội liên kết với f1 , f2 , , fd dãy quy T , ta có ℓR (R/qn+1 ) = ℓT (T /[Qn+1 T + (X1 , X2 , , Xd )T ]) ≥ e0 ((X1 , X2 , , Xd )T, T /Qn+1 T ) = ∑ ℓTp (Tp /Qn+1 Tp )e0 ((X1 , X2 , , Xd )T, T /p) p∈AsshT T /QT = ∑ ( p∈AsshT T /QT ) n+d ℓTp (Tp /QTp )e0 ((X1 , X2 , , Xd )T, T /p) (theo định lý 2.2.2 ) d ( ) n+d = ∑ ℓTp (Tp/QTp)e0((X1, X2, , Xd )T, T /p) d p∈AsshT T /QT ( ) n+d = e0 ((X1 , X2 , , Xd )T, T /QT ) (theo công thức bội liên kết) d ( ) n+d = e0 ((a1 , , ad , X1 , , Xd ), T ) (theo Định lý 1.3.5 ) d ( ) n+d = e0 (q, R) d với n ≥ Từ Định lý 2.3.1 ta có hệ sau Hệ 2.3.2 Cho (R, m) vành địa phương Noether q iđêan tham số R Khi e1 (q, R) ≤ Chứng minh Ta có ( ) n+d ≤ ℓR (R/q ) − e0 (q, R) d ( ) n+d −1 = −e1 (q, R) + ( số hạng bậc thấp ) d −1 n+1 với n ≫ Vì e1 (q, R) ≤ Để mở rộng kết cho môđun, ta dùng kỹ thuật iđêan hóa Định nghĩa 2.3.3 Cho R vành giao hoán có đơn vị, M R-môđun Khi ta định nghĩa R M = {(r, m)|r ∈ R, m ∈ M} 30 với phép cộng phép nhân định nghĩa sau: với (r1 , m1 ), (r2 , m2 ) ∈ R ⊕M (r1 , m1 ) + (r2 , m2 ) = (r1 + r2 , m1 + m2 ), (r1 , m1 )(r2 , m2 ) = (r1 r2 , r1 m2 + r2 m1 ) Khi R M trở thành vành giao hoán với đơn vị (1, 0) (như R-đại số) gọi iđêan hóa M Chúng ta cần định lý tránh nguyên tố dạng sau để chứng minh kết Bổ đề 2.3.4 (Định lý Tránh nguyên tố) Cho R vành, p1 , , pn iđêan nguyên tố R, I iđêan R, x phần tử R Khi xR + I p1 ∪ · · · ∪ pn tồn phần tử y ∈ I cho x + y ∈ / p1 ∪ · · ·pn Bổ đề 2.3.5 Cho (R, m) vành địa phương Noether, M R-môđun hữu hạn sinh thỏa mãn dim R = dim M = d q iđêan tham số M Khi tồn iđêan tham số q′ R cho q′ M = qM Chứng minh Giả sử q = (x1 , , xd ) iđêan tham số M Ta có q + Ann M iđêan m-nguyên sơ Vì x1 phần tử tham số M nên dim R/((x1 ) + Ann M) = d − Do (x1 ) + Ann M p với p ∈ Assh R Do theo Bổ đề 2.3.4 ta có a1 ∈ Ann M cho x1 + a1 ∈ / p với p ∈ Assh R Vậy x1 + a1 phần tử tham số R Vì x1 M = (x1 + a1 )M ta có x1 + a1 , x2 , , xd hệ tham số M ta có qM = (x1 + a1 , x2 , , xd )M Đặt M ′ = M/(x1 + a1 )M R′ = R/(x1 + a1 )R Quy nạp ta tìm hệ tham số có dạng x2 + a2 , , xd + ad M ′ R′ cho (x2 , , xd )M ′ = (x2 + a2 , , xd + ad )M ′ Vậy x1 + a1 , x2 + a2 , , xd + ad hệ tham số M R thỏa mãn tính chất qM = (x1 + a1 , , xd + ad )M 31 Định lý 2.3.6 Cho (R, m) vành địa phương Noether, M R-môđun hữu hạn sinh chiều d, q iđêan tham số M Khi ( ) n+d n+1 ℓ(M/q M) ≥ e0 (q, M) d với n ≥ 0, e1 (q, M) ≤ Chứng minh Bước Rút gọn trường hợp R Cohen-Macaulay Gọi R M đầy đủ hóa theo tôpô m-adic R M Ta có e1 (q, M) = e1 (qR, M) nên ta giả sử R vành đầy đủ Theo định lý cấu trúc Cohen-Macaulay ta có R ảnh đồng cấu vành quy địa phương (S, N) Khi ta có M S-môđun với cấu trúc giống R-môđun Do ta coi R vành quy, nên R Cohen-Macaulay Bước Rút gọn trường hợp dim R = dim M = d Gọi n = dim R, đặt I = Ann M ta có dim M = dim R/I Theo Mệnh đề 2.1.13 ta có grade(I) = n−d Nên tồn dãy R-chính quy a1 , , an−d ∈ I Ta có R/(a1 , , an−d ) Cohen-Macaulay Hơn M R/(a1 , , an−d )-môđun với cấu trúc không thay đổi Thay R R/(a1 , , an−d ), ta coi dim R = dim M = d Bước Ta chứng minh e1 (q, M) ≤ với q = (x1 , , xd ) iđêan tham số M Theo Bổ đề 2.3.5 tồn iđêan tham số q′ M R cho q′ M = qM Nên ta có ℓ(M/qn+1 M) = ℓ(M/q′n+1 M) e1 (q, M) = e1 (q′ , M) Do ta giả sử q iđêan tham số R M Đặt T = R M Khi ta có (x1 , 0), , (xd , 0) hệ tham số T Thật vậy, đặt Q = ((x1 , 0), , (xd , 0)) ta có T /Q = R/q M/qM có độ dài hữu hạn Hơn ta có T /Qn+1 = R/qn+1 M/qn+1 M với n ≥ Do ℓ(T /Qn+1 ) = ℓ(R/qn+1 ) + ℓ(M/qn+1 M) với n ≥ Nên e0 (Q, T ) = e0 (q, R) + e0 (q, M) Mặt khác, R Cohen-Macaulay nên ta có ( ) n + d ℓR (R/qn+1 ) = e0 (q, R) d 32 với n ≥ Theo Định lý 2.3.1 ta có ( ) ( ) n + d n + d ℓ(T /Qn+1 ) = e0 (q, R) + ℓ(M/qn+1 M) ≥ e0 (Q, T ) d d Nên ℓ(M/q n+1 ( ) n+d M) ≥ e0 (q, M) d với n ≥ Tương tự theo Hệ 2.3.2 ta có e1 (q, M) ≤ 33 KẾT LUẬN Trong luận văn này, thu số kết sau: • Trình bày số kiến thức vành môđun phân bậc, định lý Artin-Rees • Trình bày khái niệm số tính chất đa thức Hilbert, số bội Hilbert-Samuel, vài tính chất • Trình bày số kiến thức vành môđun Cohen-Macaulay • Đặc trưng tính Cohen-Macaulay qua số bội hệ tham số • Chứng minh tính không dương hệ số Chern iđêan tham số 34 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tự Cường, Đại số đại, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2007 [2] Nguyễn Tự Cường, Bài giảng chuyên đề Đại số giao hoán, 2015 [3] Ngô Việt Trung, Nhập môn đại số giao hoán hình học đại số, Nhà xuất khoa học tự nhiên công nghệ, 2012 [4] D D Anderson, and M Winders, "Idealization of a module", Journal of commutative algebra, (2009), 3-56 [5] M F Atiyah, and I G Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley series in mathematics, 1969 [6] S Goto, Hilbert coefficients of parameters, Proc of the 5-th Japan-Vietnam Joint Seminar on Commutative Algebra, Hanoi (2010), 1-34 [7] H Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge studies in advanced mathematics, 1986 [8] W V Vasconcelos, "The Chern coefficients of local rings", Michigan Math J., 57 (2008), 725-743 35 ... M) đa thức theo n n đủ lớn, gọi đa thức Hilbert M theo I Bậc đa thức Hilbert hệ số cho ta biết độ lớn phức tạp môđun hay đa tạp đại số Chính vậy, đặt mục tiêu tìm hiểu số kết ban đầu đa thức Hilbert. .. ĐẦU 1 ĐA THỨC HILBERT 1.1 Vành môđun phân bậc 1.2 Đa thức Hilbert 1.3 Một vài tính chất số bội Hilbert- Samuel 16 Hệ số Hilbert. .. NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ MINH HUỀ ĐA THỨC HILBERT VÀ CÁC HỆ SỐ CỦA NÓ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM