Đang tải... (xem toàn văn)
Ánh xạ chỉnh hình giữa các siêu mặt giải tích thực (LV thạc sĩ)Ánh xạ chỉnh hình giữa các siêu mặt giải tích thực (LV thạc sĩ)Ánh xạ chỉnh hình giữa các siêu mặt giải tích thực (LV thạc sĩ)Ánh xạ chỉnh hình giữa các siêu mặt giải tích thực (LV thạc sĩ)Ánh xạ chỉnh hình giữa các siêu mặt giải tích thực (LV thạc sĩ)Ánh xạ chỉnh hình giữa các siêu mặt giải tích thực (LV thạc sĩ)Ánh xạ chỉnh hình giữa các siêu mặt giải tích thực (LV thạc sĩ)Ánh xạ chỉnh hình giữa các siêu mặt giải tích thực (LV thạc sĩ)Ánh xạ chỉnh hình giữa các siêu mặt giải tích thực (LV thạc sĩ)Ánh xạ chỉnh hình giữa các siêu mặt giải tích thực (LV thạc sĩ)Ánh xạ chỉnh hình giữa các siêu mặt giải tích thực (LV thạc sĩ)Ánh xạ chỉnh hình giữa các siêu mặt giải tích thực (LV thạc sĩ)Ánh xạ chỉnh hình giữa các siêu mặt giải tích thực (LV thạc sĩ)Ánh xạ chỉnh hình giữa các siêu mặt giải tích thực (LV thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HẠNH ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH GIỮA CÁC SIÊU MẶT GIẢI TÍCH THỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HẠNH ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH GIỮA CÁC SIÊU MẶT GIẢI TÍCH THỰC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI THÁI NGUYÊN - 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài công bố Tôi xin cam đoan tài liệu trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái nguyên, tháng 04 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Hạnh i M C C Trang Trang bìa phụ L i cam đoan i Mục lục ii LỜI MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ánh xạ chỉnh hình 1.2 Đa tạp phức 1.3 Hàm đa điều hòa 10 1.4 Miền giả lồi 11 1.5 Miền chỉnh hình miền lồi chỉnh hình 12 1.6 Thác triển giải tích 16 Chương ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH GIỮA CÁC SIÊU MẶT GIẢI TÍCH THỰC 19 2.1 Sự thác triển dây chuyền ánh xạ chỉnh hình 19 2.1.1 Một số khái niệm liên quan 19 2.1.2 Sự tham số hóa dây chuyền 20 2.2 Sự thác triển liên tục 25 2.3 Sự liên tục giải tích 31 2.4 Một vài ứng dụng 40 KẾT UẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 ii LỜI MỞ ĐẦU Thác triển chỉnh hình toán trung tâm Giải tích phức Trên giới có nhiều nhà toán học quan tâm tới vấn đề khoảng thập kỷ qua có nhiều kết nghiên cứu quan trọng Cho đến việc thác triển ánh xạ chỉnh hình có hai dạng đáng ý: Dạng 1: Thác triển ánh xạ chỉnh hình lên bao chỉnh hình, hay gọi thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs Dạng 2: Thác triển ánh xạ qua tập mỏng (tức tập có độ đo Lebegue 0) Thác triển kiểu gọi thác triển chỉnh hình kiểu Riemann Một hướng nghiên cứu thác triển chỉnh hình kiểu Riemann thác triển ánh xạ chỉnh hình siêu mặt Thác triển giải tích mầm ánh xạ siêu mặt thực thu hút nhiều ý nhà toán Poincaé ngư i khởi xướng trư ng hợp siêu mặt nguồn siêu mặt đích có số chiều Vào năm 1974, Fefferman [6] chứng tỏ miền giả lồi mạnh có biên lớp thác triển thành ánh xạ song chỉnh hình đồng cấu vi phân bao đóng ̅ ̅ Với kết định lý tác giả Fefferman chứng minh [12] liên tục giải tích lân cận bao đóng ̅ biên giải tích thực Do vậy, vấn đề tương đương song chỉnh hình miền dẫn đến tương đương song chỉnh hình biên chúng Trong trư ng hợp biên siêu mặt giải tích thực giả lồi mạnh , toán tương đương song chỉnh hình địa phương siêu mặt nghiên cứu công trình nghiên cứu Poincaré [10] Cartan [8] Chern Moser [11] gần hoàn chỉnh toán Pinčuk [12], chứng minh tương đương song chỉnh hình đoạn nhỏ tùy ý kéo theo tương đương toàn cục đương miền và kéo theo tương Trong luận văn này, trình bày lại kết nghiên cứu Pinčuk [12] liên tục giải tích ánh xạ chỉnh hình tương đương song chỉnh hình siêu mặt giải tích thực ( ) dẫn tới liên hệ với song chỉnh hình miền giả lồi mạnh Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương 1: Trình bày kiến thức sở ánh xạ chỉnh hình, hàm chỉnh hình, đa tạp phức, tập giải tích, hàm đa điều hòa dưới, nguyên lí thác triển chỉnh hình Chương 2: Trình bày lại cách chi tiết rõ ràng kết nghiên cứu thác triển ánh xạ chỉnh hình siêu mặt giải tích thực Pinčuk [12] Để hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh, em nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình TS Nguyễn Thị Tuyết Mai (Đại học sư phạm - ĐH Thái Nguyên) Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô xin gửi l i tri ân em điều cô dành cho em Em xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo Phòng Đào Tạo sau Đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K22B (2014 – 2016) Trư ng Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện tận tình truyền đạt kiến thức quý báu cho em hoàn thành khóa học Em xin gửi l i cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, ngư i động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho em suốt trình học tập thực luận văn Mặc dù cố gắng nhiều luận tránh khỏi thiếu sót Em mong có ý kiến đóng góp thầy cô bạn Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2016 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Hạnh Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ánh xạ chỉnh hình 1.1.1 Hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.1.1: Giả sử M tập mở gọi khả vi phức hàm hàm số, tồn ánh xạ tuyến tính cho | ( ) ( ) | | | | ( Hàm ) | | (∑ ⁄ | | ) gọi chỉnh hình cận ( )| khả vi phức lân gọi chỉnh hình chỉnh hình điểm thuộc lập nên hai hình cầu đóng ̅ Ví dụ: Giả sử tập ̅ {| | | ( )| {| } nối với đoạn } Xác định ( )| } { hàm ̅ ( ) Rõ ràng liên tục cận { ̅ , với điểm thác triển vào hàm chỉnh hình Thật vậy, với điểm ̅ kể giao điểm / ̅ , lấy lân cận hình cầu không giao với ̅ thác triển ( ) xây dựng lân vào cách đặt Với điểm ̅ , làm tương tự, khác đặt ( ) Cuối cùng, điểm , ta lấy hình cầu không chứa đầu mút đoạn đó, đặt 1.1.2 Ánh xạ chỉnh hình Định nghĩa 1.1.2: Một ánh xạ ( viết dạng ) Khi hàm tọa độ gọi chỉnh hình ( ) Định nghĩa 1.1.3: Ánh xạ chỉnh hình với gọi song chỉnh hình ánh xạ chỉnh hình song ánh, chỉnh hình Định lí 1.1.4: Cho ( miền ánh xạ ánh xạ chỉnh hình hàm chỉnh hình hàm chỉnh hình ) Khi , 1.1.3 Siêu mặt thực M gọi siêu mặt thực với Cho M tập tồn lân cận trị thực trong Nếu nhận giá cho * Hàm hàm khả vi liên tục ( ̅) + với ( ) gọi hàm xác định địa phương hàm giải tích thực trơn gọi siêu mặt giải tích thực trơn 1.2 Đa tạp phức 1.2.1 Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 1.2.1: Cho M không gian tôpô Hausdorff Cặp ( ) gọi đồ địa phương M, V tập mở M ánh xạ, điều kiện sau thỏa mãn: i) ( ) tập mở ii) ( ) đồng phôi Họ (Vi , i )iI M gọi tập đồ giải tích (atlas) M điều kiện sau thỏa mãn i) Vi iI phủ mở M, ii) Với Vi ,V j mà Vi V j , ánh xạ j i 1 : i (Vi V j ) j (Vi V j ) ánh xạ chỉnh hình gọi tương đương hợp Xét họ atlas X Hai atlas chúng atlas X Dễ thấy tương đương atlas lập thành quan hệ tương đương Mỗi lớp tương đương quan hệ tương đương gọi cấu trúc khả vi phức X X với cấu trúc khả vi phức gọi đa tạp phức n chiều Ta biết rằng, lớp tương đương hoàn toàn xác định đại diện Do atlat khả vi hoàn toàn xác định cấu trúc khả vi miền Khi đó, D đa tạp phức n chiều với Ví dụ 1: Cho đồ địa phương *( )+ ( ) Ví dụ 2: Đa tạp xạ ảnh * + xác định Xét quan hệ tương đương để ( { Đặt ( ) Ta gọi Rõ ràng * + * + ) * + }với ( ) phủ mở cửa Xét đồng phôi với tôpô thương cho ( ) ̂ ( ) Ở đó, kí hiệu ^ có nghĩa số hạng mũ bỏ Khi ánh xạ ngược cho Giả sử ( ) ( ( ( ) [( ) hai đồ địa phương ) ( ) cho công thức )] ( ) i < j Giả sử định lí 2.2.3 sai Khi đó, tồn số cho | cung độ dài ( ⁄ | ) Giả sử ( ) ảnh , - , ( ) với - , chuỗi cung có - Theo bổ đề 2.1.5, ta có: , - ̇ ( )/ hi Giảm cần thiết, ta giả sử rằng: , Rõ ràng, max - ̇ ( )/ hi ta có: | ̃| | | Không tính tổng quát, giả sử | ̃ | Vì | | | ta có đó, theo (2.10) (2.11) | tr n , - ̃ Nhưng ̃ ̃ nên Nhắc lại |̃ ( ) ̃ ( )| ̅ ̅ hàm ̃ đơn điệu tăng Vì tập hi ̃ ∑ ̃ bị chặn ̃ nên ta có ; điều mâu thuẫn với (2.14) Do bổ đề chứng minh Dưới kết thác triển liên tục giải tích nội dung quan trọng luận văn 29 Bổ đề 2.2.4: Cho miền lồi, siêu mặt giả * tích thực giả lồi chặt (ASPC) dạng cầu, + đóng tương đối lồi chặt, compact ( ) ánh xạ chỉnh hình tập: * (∑ Khi đó, ánh xạ +, ) ( ) thác triển liên tục Chứng minh: Xét điểm tùy ý Để đơn giản giả sử * ánh xạ chỉnh hình tập ( ) , + với ( ) (| |) lân cận điểm gốc * + Điều thực cách lựa chọn hệ tọa độ thích hợp Đối với toạ độ địa phương Г, xét trư ng vectơ: Chúng ta xét trư ng vectơ lân cận đủ nhỏ điểm gốc mà chúng không tiếp xúc phức Với dây chuyền qua điểm Chọn * , theo hướng và tương ứng điểm lân cận + với ta kí hiệu cho , dây chuyền - tham số Lấy vi phân thừa nhận theo tham số theo định lý hàm ẩn, giả sử qua điểm * + có xác dây chuyền ̃ ( ) dạng chuyền ̃ ̃ ( ) dạng tập dây đư ng cong gẫy tạo thành từ Kí hiệu đoạn dây chuyền ̃ ( ) ̃ ̃ ( ) xác định điều kiện Trên ta đưa tham số , - cho 30 ( ) ̃( ) [ ] ( ) ̃ ̃ ( ) Không khó để kết xây dựng ( ) tức điểm trơn 〈 (trong ̇〉 hàm số xác định mêtric , Ta xét hệ tọa độ ( )| ) ( ) cho ( hội tụ lân cận của điểm cho ) Cho ̃ bất đẳng thức ⁄ hoàn toàn Theo bổ đề 2.2.3 tồn )| ̃ , ), ta có | ( Từ suy | ( ), mà dây xác định ánh xạ liên tục ( tùy ý, chọn lận cận ̃ | | const Mà theo bổ đề 2.2.3 hạn chế hàm điểm gốc Vì | ( ̇ ( )/ có phương trình chuyền ) Hơn nữa, với vài -, ta có Trong lân cận cuả điểm ( ) ( ) )| ( )| ⁄ Bổ đề chứng minh 2.3 Sự liên tục giải tích Để chứng minh kết tính liên tục giải tích f trước hết ta chứng minh bổ đề sau: ( Bổ đề 2.3.1: Cho hàm chỉnh hình , -) họ miền bị chặn, ( ) ⁄ Giả sử điều kiện đặt sau thỏa mãn: Các biên đường cong trơn khúc phụ thuộc liên tục vào Các hàm Với cho | | phụ thuộc liên tục vào ta có ( ) ọ ( 31 - tồn (̅ Tồn điểm Khi | | trên ̅ * +) * + Chứng minh: Theo ba điều kiện đầu hàm ( Gọi | | trùng với không điểm xạ bảo giác đĩa Do | biên ánh ( ) , không điểm hàm hội tụ tới | ( )| Do đó: điểm Từ dạng tích Blaschkke ta có lim ( )| (nếu chạy qua tích Blaschke) Khi đó, trên | ( ̅ ) hàm mà cho không điểm ) ( ̅ ) | có số không điểm với lim| ( )| với lim| ( ) ( )| Bổ đề chứng minh Bổ đề 2.3.2: Cho ( , -) họ siêu mặt ASPC cho lân cận điểm gốc phương trình: ( ) | | Trong hàm ( ) ( ) mặt Khi ( ) ( ( ̅ ) (2.15) phụ thuộc liên tục vào ( ) Đặt ( ̅ ( ̅ ) (| | ) ̅ ) phương trình vi phân dây chuyền ̅ ) phụ thuộc liên tục vào với cố định Chứng minh: Đặt xác định hướng dây chuyền Không tính tổng quát, ta giả sử điểm Do đó, cách dùng phép biến đổi phân đoạn tuyến tính ta chọn hệ tọa độ địa phương mà giữ nguyên mặt | | , phép biến đổi biến hướng 32 chọn thành hướng trục thuộc liên tục ( ) Hơn nữa, dạng tổng quát (2.15) phụ ( ) vào không bị ảnh hưởng , S.S Chern J.K Moer [11] chứng tỏ với - lân cận điểm gốc tồn phép đổi tọa độ: ( ) ( ) thỏa mãn điều kiện: e ( ) ( ) o(| |) Mà phép biến đổi tọa độ biến dây chuyền đư ng phương trình , | trình ( ) | ( ) ( ) ∑ ( ) thành đoạn theo tọa độ ( ̅ trở thành: ) (Theo tham số hóa dây chuyền phương đưa dạng chuẩn tắc) Nếu theo tọa độ dây chuyền theo (2.16) có ( ) ( )( ( ) ), từ đó: ̅) ( ) ( ) ⁄ biểu diễn hợp hệ số khai triển ̅ ( xác định bới phương trình S.S Chern J.K Moer [11] chứng tỏ rằng, thừa (2.16) ( ( ) ) theo lũy , tổng bậc lũy thừa không lớn Chú ý: Nếu với , phương trình (2.15) có dạng chuẩn tắc cách tính toán chi tiết cho ta thấy: ( )( | ̅) | , hoàn toàn không phụ thuộc vào Bổ đề 2.3.3: Với điểm thông thường lân cận , tồn dây chuyền thỏa mãn điều kiện sau: 33 qua * + mặt giải tích qua ( Nếu ) * + * + Chứng minh : ̃̇ ( ) , chọn dây chuyền ̃( ) ̃( ) Đặt Ta xét hệ tọa độ địa phương lân cận phương trình có dạng chuẩn tắc (2.1) ̃ cho phương trình Theo tọa độ * đó: mà ( ) + thông thư ng hàm xác định quát không tuyến tính) với ( ) hàm thực (tổng ( ) Theo cách chọn dây chuyền ̃( ), ta có: )( ) ( ( ) Qua phép biến đổi tọa độ thích hợp dạng ( đơn nguyên), mà giữ nguyên dạng chuẩn tắc , ta giả sử rằng: ( ) ( ) với ( ) (| | ) Thực phép biến đổi tọa độ: ( √ Đối với hệ tọa độ phương trình | | ∑ ) có dạng: √t ̅ (√ ) (2.17) xác định điều kiện: √ √ Ta chứng tỏ lấy phương trình ( ) với (√ ) (2.18) dây chuyền xác định đủ nhỏ, với điều kiện 34 ( ) ( ) Do đó, với ( ) ( √ Khai triển ( ( ) m Vì )/ ) (√ ( √ ) xác định từ phương trình ( thu được: (v i đủ nhỏ ta có: m ( ( ) ) ) )| ) ) công thức Taylor’s lấy theo giá trị cho ta | ( )| ( (| ( ) ) ( ) m ( ) ta có: | (√ ( √ ) )| ( √ ) nên: m ( ) ( √ ) Các hệ số khai triển vế phải (2.17) theo chuỗi lũy thừa ta thu mặt phụ thuộc liên tục vào qua giới hạn | | Vì vậy, dây chuyền xác định Thực ra, dây chuyền giao mặt với đư ng phẳng phức, đặc ( biệt dây chuyền ( ) với điều kiện ban đầu ) giao mặt ( ) ( ) | | với đư ng thẳng * + Bằng cách tính toán đơn giản ta có ( ) Do đó, theo bổ đề 2.3.2, (2.19) thỏa mãn với đủ nhỏ Chúng ta đưa * + ( ⁄ )( ) tham số phức Khi tập 35 * cho + tương ứng với phẳng tập * + tham số hóa phương trình lân cận điểm gốc có dạng: ( ) ( ) ( ) vào (2.18) ta thu bất đẳng thức ( Thay xác định Vì điều với đạo hàm theo cận ̃ vế trái * √ cho bất đẳng thức phẳng ) ( ) ( theo phần trên), √ , nên tồn lân ( √ ( ) ) + Bổ đề chứng minh dây chuyền thỏa mãn điều kiện 1), 2) bổ đề 2.3.3 Cho , phương trình Giả sử * + Với * đưa dạng chuẩn tắc (1.1), + thì: * ( ) | | + xác định chỉnh hình * Do Bổ đề 2.3.4: Tồn *| | cho ( ) | | thác triển chỉnh hình + tập + Chứng minh: Theo Bổ đề 2.2.4, ( ) *̃ thác triển liên tục tới điểm + ̃ hàm giả tích thực đa điều hòa chặt lân cận ̃| Trong lân cận điểm gốc ̃ có chuỗi khai triển thành lũy thừa tọa độ ( ̅ Ta chọn hệ ) cho: ̃( ̅) ̅ ∑ ̅ dấu ba chấm biểu thị cho số hạng có bậc cao Vì ( ) Giả sử ta có: 36 ( ) ̃( ( ) ̅̅̅̅̅̅ ( )) ( ) Xét trư ng vectơ Г: mà ( Tại điểm ⁄ ) )( ) vectơ ( ) Ứng dụng tuyến tính tạo thành sở ( độc lập vào (2.21), ta thu phương trình: ̃ ∑ ( )̅ ( ) Chia phần tử tổng cho ̃⁄ kí hiệu ̃⁄ ̃ ta viết lại phương trình dạng sau: ∑ ̃ ̃ Xét phương trình hệ phương trình tuyến tính ̃ ̃ ( ) Do ( ( ⁄ )( ) vectơ ) độc lập tuyến tính điểm gần điểm gốc Vì vậy, lân cận đủ nhỏ điểm gốc, định thức hệ phương nghiệm chúng trình tuyến tính không triệt tiêu viết dạng sau: ̃ ̃ ( ) đa thức * Khi đó, ta giả sử ( ) ( ) ( ) + (| |) Giảm số dương cần ta thu tập * | | + * 37 + với thuộc đoạn , chứa biểu diễn dạng - Biên , đó: *| | * + | | + ⁄ Các hạn chế hàm đư ng cong giải tích thực, ta giả sử chúng thác triển chỉnh hình qua *| | + , (v{ c|c hạn chế ̅ với thác triển chỉnh hình qua (Ta kí hiệu thác triển chỉnh hình ( , ̅ ứng ) Thay đổi nhỏ đi, ta thu được: Nhưng tập - Vì vậy, hạn chế hàm tr n ), trên * + với v{ tương , với có số hữu hạn v{ ) - không điểm mà không phụ thuộc vào Vì vậy, chí với Giảm hàm số có không nhiều m không điểm lần nữa, ta giả sừ ⁄ (2.20) (2.22) ta có: theo ⁄ Theo bổ đề 2.3.1, hàm bị chặn thác triển liên tục tới ̅ ta giảm ̅ với Vì vậy, hàm cho | ⁄ | cho trước Theo (2.20) áp dụng định lí hàm ẩn để giải (2.21) (2.22) ̅ ̅ ( ) ( ̅ lân cận | | | ⁄ ( ) | (Ở chỉnh hình) 38 hàm ) Theo chứng minh vế phải (2.23) hàm chỉnh hình liên tục ̅ ; vế bên trái phản chỉnh hình bổ đề 2.3.1 S I Pinčuk [12] với , , , liên tục ̅ Theo thác triển chỉnh hình theo lân cận điểm Định lí 2.3.5: Cho , lân cận điểm siêu mặt ASPC dạng cầu ,, tập liên thông compact Giả sử tồn ánh xạ chỉnh hình khác ( ) cho Khi liên tục giải tích dọc đường ánh xạ song chỉnh hình địa phương Chứng minh: Ta sử dụng kí hiệu bổ đề Xét hợp thành ̃ Vì lân cận , nên ̃ cho với |̃ ( ( ( ( )| ) khoảng cách từ điểm tới (̃ ) ( ) đạo hàm ( ⁄ thức ̃ ( ) với Vì vậy, ảnh Ta có đánh giá sau hàm điều hòa dưới: tồn , ta có ̃ ∑̃ ) ) Từ đó: ( ) ( ) )( ) tồn theo bổ đề 2.3.4 Ta tính toán đẳng dây chuyền ta thu ( * ⁄ + lân cận )( ) đư ng cong không suy biến nơi transversal với phẳng tiếp xúc phức tới Bởi dây chuyền điểm lân cận điểm gốc Ta đưa mặt nên dây chuyền dạng chuẩn tắc ( đưa dạng 39 chuẩn tắc), cho phương trình hệ tọa độ ánh xạ hữu tỷ có dạng: √ ( ) ( ) ( ) ( ) ( Theo [11], ( ) ) chứng minh bổ đề 2.3.4, hạn chế hàm đơn nguyên Theo *| | tới + chỉnh hình Vì vậy, không kì dị điểm gốc, chỉnh hình lân cận điểm Định lí chứng minh 2.4 Một vài ứng dụng Ở trên, ta chứng minh định lí 2.3.5 Nếu biên dạng hình cầu theo định lí 2.3.5, f liên tục dọc đư ng Theo liên thông hình ̅ định lí Osgood- Brown, thác triển thành ánh xạ chỉnh ̅ Ánh xạ song chỉnh hình, nghịch ảnh có từ kết liên tục Trong trư ng hợp có dạng cầu ta có định lí sau từ [12] Định lý 2.4.1: Cho thông đơn, giải tích thực giả lồi chặt có biên liên lân cận liên thông điểm ánh xạ chỉnh hình không liên tục cho ( thành ánh xạ song chỉnh hình Định lí 2.4.2: Cho ) Khi thác triển giải tích thực giả lồi chặt có biên liên thông ánh xạ chỉnh hình Khi song chỉnh hình địa phương Chứng minh: Theo Alexander [9], tồn lân cận triển ánh xạ tới lớp hình vào ̅ biên điểm ̅ Theo [7] { hệ định lí 2.3.5 40 cho thác thác triển chỉnh dạng cầu định lí 2.4.2 { Giả sử biên triển chỉnh hình ̅ cận thác triển liên tục trê ̅ điểm ( ) biến đổi thác có dạng cầu lân tồn taị ánh xạ song chỉnh hình thành mảnh hình cầu *| | Theo định đề 2.1.4, ánh xạ có dạng cầu Ta cần chứng minh + liên tục dọc hướng biên đồng th i song chỉnh hình địa phương Giả sử đư ng tới điểm ( ) Do đó, lân cận , - ( ) tới điểm ( ) chỉnh hình ánh xạ 41 liên tục KẾT UẬN Thông qua luận văn này, tìm hiểu số vấn đề thác triển chỉnh hình siêu mặt thực cụ thể luận văn đạt kết sau: Hệ thống kiến thức liên quan đến vấn đề nghiên cứu Phần trọng tâm luận văn trình bày kết thác triển ánh xạ chỉnh hình siêu mặt giải tích thực Bài toán nghiên cứu thác triển chỉnh hình siêu mặt giải tích thực toán mở ngư i nghiên cứu Một số vấn đề mà luận văn chưa trình bày tiếp tục nghiên cứu Do vấn đề đề cập luận văn tương đối phức tạp, th i gian khả có hạn chế nên có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến quan tâm để luận văn hoàn thiện 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng việt [1] Trần Anh Bảo (1976), Lý thuyết hàm số biến số phức, Nxb Giáo Dục [2] Phạm Việt Đức (2005), Mở đầu lý thuyết không gian phức hyperbolic, Nxb Đại Học Sư Phạm [3] Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải (2000), Hàm biến phức, Nxb Đại Học Quốc Gia Hà Nội [4] Nguyễn Văn Khuê – Vũ Tuấn (1990), Hàm số biến số phức, Nxb Giáo Dục [5] B V Sabat, Nguyễn Thủy Thanh Hà Huy Khoái dịch (1979), Nhập môn giải tích phức, tập 2, Nxb Đại Học Trung Học Chuyên Nghiệp Tài liệu tiếng anh [6] Charles Fefferman, The bergman kernel and biholomorphic mappings of pseudoconvex domains, Invent Math 26 (1974), – 65 [7] D Burns, Jr and S Shnider, Spherical hypersurfaces in complex manifolds, Invent Math 33 (1976), 223 – 246 [8] Élie Cartan, Sur la géométrie pseudo-conforme des hypersurfaces de l’éspace de deux variables complexes I, II, Ann Math Pura Appl (4) 11 (1932/33), 17 – 90; Ann Scuola Norm Sup Pisa (2) (1932), 333 – 354 [9] Herbert Alexander, Holomorphic mappings from the ball and polydisc, Math Ann 209 (1974), 249 – 256 [10] Henri Poincaré, Les fonctions analytiques de deux variables et la representation conforme, Rend Circ Mat Palermo 23 (1907), 185 – 220 [11] S S Chern and J K Moser, Real hypersurfaces in complex manifolds, Acta Math 133 (1974), 219 – 271 [12] S I Pinčuk, On the analytic continuation of holomorphic mappings, Mat Sb 98 (140) (1975), 416 – 435; English transl in Math USSR Sb 27 (1975) [13] S I Pinčuk, On proper holomorphic mappings of strictly pseudoconvex domains, Sibirsk Mat Ž 15 (1974), 644 – 649; English transl in Siberian Math J 15 (1974) 43 ... gọi song chỉnh hình ánh xạ chỉnh hình song ánh, chỉnh hình Định lí 1.1.4: Cho ( miền ánh xạ ánh xạ chỉnh hình hàm chỉnh hình hàm chỉnh hình ) Khi , 1.1.3 Siêu mặt thực M gọi siêu mặt thực với... kiểu gọi thác triển chỉnh hình kiểu Riemann Một hướng nghiên cứu thác triển chỉnh hình kiểu Riemann thác triển ánh xạ chỉnh hình siêu mặt Thác triển giải tích mầm ánh xạ siêu mặt thực thu hút nhiều... GIỮA CÁC SIÊU MẶT GIẢI TÍCH THỰC 2.1 Sự thác triển dây chuyền ánh xạ chỉnh hình 2.1.1 Một số khái niệm liên quan Định nghĩa 2.1.1: Tập gọi siêu mặt có biên thuộc lớp ASPC siêu mặt giải tích thực