Header Page of 166 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG - TRẦN CHÂU NGUYÊN CỰC, ĐỐI CỰC VÀ ỨNG DỤNG TRONG DẠY HÌNH HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 166 Header Page of 166 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG Trần Châu Nguyên – C00451 CỰC, ĐỐI CỰC VÀ ỨNG DỤNG TRONG DẠY HÌNH HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH SĨ ĐỨC QUANG Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 166 Thang Long University Library Header Page of 166 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Thăng Long hướng dẫn khoa học PGS.TSKH Sĩ Đức Quang Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Thầy Cô Khoa Toán, Phòng Sau đại học phòng ban liên quan Trường Đại học Thăng Long tận tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn Thầy hướng dẫn khoa học PGS.TSKH Sĩ Đức Quang tận tình hướng dẫn giúp đỡ trình nghiên cứu hoàn thiện luận văn Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến toàn thể gia đình, người thân bạn lớp cao học Toán K3 Trường Đại học Thăng Long động viên, giúp đỡ trình học tập nghiên cứu Vì điều kiện công tác thời gian có hạn với khối lượng kiến thức lớn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong Thầy, Cô bạn đọc tiếp tục góp ý kiến để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Footer Page of 166 Header Page of 166 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG MẶT PHẲNG XẠ ẢNH 1.1 Không gian xạ ảnh 1.2 Tỉ số kép hàng điểm điều hòa 1.3 Ánh xạ xạ ảnh 13 1.3.1 Định nghĩa 12 1.3.2 Tính chất ánh xạ xạ ảnh 14 1.4 Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh P  R  16 1.4.1 Định nghĩa 16 1.4.2 Giao đường bậc hai với đường thẳng 17 1.4.3 Dạng chuẩn tắc siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh thực 18 1.5 Điểm liên hợp qua siêu mặt bậc hai P  R  19 1.6 Nguyên tắc đối ngẫu 23 1.7 Các định lý cổ điển hình học xạ ảnh 24 1.8 Mô hình afin mặt phẳng xạ ảnh: 30 1.8.1 Mô hình afin mặt phẳng xạ ảnh: 30 1.8.2 Một số nhận xét: 31 1.8.3 Một số khái niệm đối ngẫu P2 : 32 Chương 2: CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG MẶT PHẲNG ƠCLIT 35 2.1 Phép nghịch đảo 35 2.2 Đường tròn trực giao 36 2.3 Cực đối cực 36 Chương 3: HỆ THỐNG BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH ỨNG DỤNG CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG HÌNH HỌC PHỔ THÔNG 39 3.1 Các toán quan hệ vuông góc, song song: 39 3.2 Các toán tính đồng quy, thẳng hàng: 43 KẾT LUẬN 53 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 Footer Page of 166 Thang Long University Library Header Page of 166 MỞ ĐẦU Cực đối cực công cụ mạnh thú vị để nghiên cứu hình học phổ thông Với khái niệm cực đối cực, đưa cách nhìn quán số dạng toán đặc trưng (quan hệ vuông góc, thẳng hàng, đồng quy, ) Ở bậc THPT, xem xét khái niệm cực đối cực đường tròn, đường cô-níc với cặp đường thẳng Tuy nhiên nay, việc vận dụng kiến thức cực đối cực vào nghiên cứu giải toán hình học phổ thông chưa quan tâm khai thác chương trình sách giáo khoa, lại nằm phạm vi kiến thức đề thi học sinh giỏi môn Toán trường THPT Vì lựa chọn nghiên cứu đề tài “Cực, đối cực ứng dụng dạy hình học phổ thông” Mục đích luận văn nhằm trình bày phương pháp sử dụng cực đối cực để giải toán hình học phổ thông Chúng đưa hướng giải số dạng toán hình học sơ cấp cách sử dụng kiến thức cực đối cực mà phương pháp thông thường nhiều công sức giải Với mong muốn vậy, hy vọng luận văn tài liệu tham khảo cho học sinh phổ thông đồng nghiệp giáo viên Toán THPT THCS để tiếp cận toán hình học sơ cấp theo hướng Luận văn chia làm chương Trong Chương 1, trình bày kiến thức cực đối cực mặt phẳng xạ ảnh Chúng dành Chương để trình bày cực đối cực mặt phẳng Euclid Chương chương cuối luận văn dành để trình bày hệ thống số dạng tập hình học sơ cấp giải phương pháp sử dụng cực, đối cực Footer Page of 166 Header Page of 166 Chương CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG MẶT PHẲNG XẠ ẢNH 1.1 Không gian xạ ảnh Cho V n không gian véc-tơ n chiều trường K , với n  Ta kí hiệu  V n  tập hợp không gian véc-tơ chiều V n Theo kí hiệu đó, ta hiểu V1   V1 Định nghĩa 1.1.1 (Không gian xạ ảnh) Cho tập hợp P , K –không gian véc-tơ n 1 chiều V n+1 , song ánh p :  Vn1   P Khi ba  P, p, V  n+1 gọi không gian xạ ảnh n chiều trường K , liên kết với K – không gian véc-tơ V n+1 song ánh p Để đơn giản, ta kí hiệu  P, p, Vn+1  P , đồng thời để rõ có số chiều n , ta kí hiệu Pn Mỗi phần tử Pn gọi điểm không gian xạ ảnh Pn Gọi u véc-tơ khác V n+1 u không gian véc-tơ chiều sinh véc-tơ u , p  u   U điểm Pn Khi ta nói véc-tơ u đại diện điểm U Hai véc-tơ u u ' (khác ) đại diện cho điểm chúng phụ thuộc tuyến tính, tức u  ku ' , với k  K \ 0 Không gian xạ ảnh trường số thực R liên kết với không gian véc tơ ¡ n gọi không gian xạ ảnh thực n chiều, kí hiệu P n  R  Trong luận văn này, xét đến không gian xạ ảnh thực chiều P  R  Footer Page of 166 Thang Long University Library Header Page of 166 Định nghĩa 1.1.2 (Phẳng không gian xạ ảnh P ) Cho không gian xạ ảnh  P , p, R  Gọi W không gian véc-tơ m  chiều R (  m  ) Khi tập hợp p  W  gọi phẳng m chiều (hoặc m  phẳng) P Như vậy, điểm P  phẳng; 1 phẳng P gọi đường thẳng;  phẳng P không gian P Định nghĩa 1.1.3 (Hệ điểm độc lập P ) Hệ r điểm ( r  ) không gian xạ ảnh P gọi hệ điểm độc lập hệ r véc-tơ đại diện cho chúng hệ véc-tơ độc lập tuyến tính R Hệ điểm không độc lập gọi hệ điểm phụ thuộc Theo định nghĩa đó, P hệ có điểm hệ độc lập, hệ gồm hai điểm hệ độc lập hai điểm phân biệt, hệ gồm ba điểm độc lập ba điểm không thẳng hàng Hệ gồm điểm trở lên luôn hệ điểm phụ thuộc Định nghĩa 1.1.4 (Mục tiêu xạ ảnh) Một tập hợp có thứ tự gồm điểm P S0 , S1, S2 ; E gọi mục tiêu xạ ảnh điểm điểm độc lập Các điểm Si (với i  0,1, ) gọi đỉnh mục tiêu xạ ảnh, điểm E gọi điểm đơn vị Các đường thẳng Si S j với i  j i, j  0,1, , gọi trục tọa độ Với mục tiêu xạ ảnh S0 , S1, S2 ; E , tìm sở e , e , e  R cho véc-tơ ei đại diện đỉnh Si (với i  0,1, ) véc-tơ e  e0  e1  e2 đại diện điểm E Cơ sở gọi sở đại diện mục tiêu xạ ảnh cho Footer Page of 166 Header Page of 166 Định nghĩa 1.1.5 (Tọa độ điểm mục tiêu xạ ảnh) Trong không gian xạ ảnh P  R  cho mục tiêu xạ ảnh S0 , S1, S2 ; E có sở đại diện e , e , e  R Với điểm X P ta lấy véc-tơ x đại diện cho   X Khi tọa độ  x0 ; x1; x2  véc-tơ x sở e0 , e1 , e2 gọi tọa độ điểm X mục tiêu S0 , S1, S2 ; E viết X  ( x0 ; x1; x2 ) 1.2 Tỉ số kép hàng điểm điều hòa Trong không gian xạ ảnh P  R  cho điểm thẳng hàng A, B, C , D ba điểm A, B, C đôi không trùng Ta gọi a, b, c, d véc-tơ đại diện cho điểm A, B, C , D véc-tơ thuộc không gian véc-tơ chiều, a , b độc lập tuyến tính Khi có số k1, l1 k2, l2 cho c  k1 a  l1 b; d  k a  l2 b Ta ý k1  l1  C không trùng với A B Định nghĩa 1.2.1 (Tỉ số kép bốn điểm thẳng hàng) Nếu tỉ số k2 k1 có : l2 l1 nghĩa (tức l2  0), gọi tỉ số kép điểm thẳng hàng A, B, C , D kí hiệu  A, B, C, D Nếu l2  phân số k2 nghĩa, l2 ta xem tỉ số kép điểm A, B, C , D  (vô cùng)  k2 k1  : , l2  Như  A, B, C , D    l2 l1 , l   Định nghĩa không phụ thuộc vào việc chọn véc-tơ đại diện cho điểm Footer Page of 166 Thang Long University Library Header Page of 166 Định lý 1.2.2 (Một số tính chất tỉ số kép) Nếu điểm A, B, C , D thẳng hàng phân biệt thì: i) Khi hoán vị điểm đầu với nhau, điểm cuối với tỉ số kép trở thành số nghịch đảo ii) Khi hoán vị đồng thời điểm đầu với điểm cuối với nhau, tỉ số kép không thay đổi iii) Khi hoán vị cặp điểm đầu với cặp điểm cuối, tỉ số kép không thay đổi iv) Khi hoán vị điểm với nhau, hoán vị điểm đầu điểm cuối với tỉ số kép trừ tỉ số kép cũ v) Nếu A,B,C,D,E điểm thẳng hàng phân  A, B, C , D   A, B, D, E    A, B, C , E  Chứng minh i) Ta có c  l1 b  k1 a d  l2 b  k2 a  B, A, C , D   l2 l1 1 :   , k2 k1 k2 : k1  A, B, C , D  l2 l1  A, B, D, C   k1 k2 1 :   l1 l2 k2 : k1  A, B, C , D  l2 l1 ii) Tính chất (ii) hệ tính chất (i) Ta có:  B, A, D, C     A, B, D, C    A, B, C , D  ,  A, B, C, D C , D, A, B    A, B, C , D  c  k1 a  l1 b iii) Ta có  Từ ta suy d  k2 a  l2 b (k1l2  k2l1 )a  l2 c  l1 d   k1l2  k2l1  b  k2 c  k1 d Vì ta Footer Page of 166 biệt Header Page 10 of 166 k l k k C , D, A, B   :  :   A, B, C , D  k1 l1 l2 l1 iv) Thật vậy, ta có c  k1 a  l1 b  d  k a  l b  2 Do ta có l1 b  k1 a  c  l d  l k  l k a  l c    1 2 Vì vậy, ta :  A, C , B, D   l1k2  l2 k1 k1 l1k2  l2 k1 lk :       A, B, C , D  l2 l2 k1 l2 k1 v) Thật vậy, ta có c  k1 a  l1 b   d  k a  l2 b  e  k3 a  l3 b Từ đó, ta suy k k  k k  k k  A, B, C , D   A, B, D, E    :   :   :   A, B, C , E   l2 l1   l3 l2  l3 l1 Định nghĩa 1.2.3 (Hàng điểm điều hòa) Nếu tỉ số kép  A, B, C, D  1 ta nói cặp điểm C , D chia điều hòa hai điểm A, B Khi đó, C, D, A, B  1 nên cặp điểm A, B chia điều hòa hai điểm C , D Bởi thế, ta nói cặp điểm A, B cặp điểm C , D liên hiệp điều hòa Ta nói A, B, C , D hàng điểm điều hòa Footer Page 10 of 166 10 Thang Long University Library Header Page 40 of 166 đường đối cực H AB Đến theo Định lý 2.3.4 ta có OH  AB Ngoài định lí tiếng hình học phẳng sau chứng minh ngắn gọn dựa theo cực đối cực Bài toán (Định lí Brokard) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn  O  Giả sử AC cắt BD E , AB cắt CD F , AD cắt BC K Chứng minh O trực tâm tam giác EFK Lời giải K A B E C O F D Xét cực đối cực  O  Ta thấy KE đường đối cực F nên theo Định lý 2.3.4 có OF  KE (3.1.1) OE  KF (3.1.2) Tương tự có : Từ (3.1.1) (3.1.2) suy O trực tâm tam giác EFK Footer Page 40 of 166 40 Thang Long University Library Header Page 41 of 166 Bài toán Cho tam giác ABC cân A Hai đường thẳng d1, d2 qua A Các đường thẳng tương ứng vuông góc với d1, d2 cắt D Đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt d1 E , đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt d2 F Chứng minh AD vuông góc với EF Nhận xét: Rõ ràng đề toán không thấy xuất đường tròn Tuy nhiên, từ giả thiết ban đầu ta có AB  AC , xuất đường tròn tâm A , bán kính AB (gọi tắt  A ) Lời giải Xét cực đối cực  A Ta thêm số kí hiệu: d đường thẳng qua B vuông góc với d1 d đường thẳng qua C vuông góc với d Ta thấy BE, CF tiếp tuyến  A Đồng thời ta có: Đường đối cực Footer Page 41 of 166 41 Header Page 42 of 166 E qua B vuông góc với AE , d Tương tự đường đối cực F d Áp dụng kết Định lý 2.3.5 (Định lý La Hire) ta có cực EF D Do theo Định lý 2.3.4 AD  EF Ta xét toán sử dụng cực đối cực để chứng minh song song: Bài toán Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp  I  Tiếp điểm  I  BC, CA, AB D, E, F AD cắt lại  I  K Đường thẳng qua K vuông góc với AD cắt EF T Chứng minh AT / / BC Lời giải Xét cực đối cực  I  Gọi X giao điểm thứ hai KT với  I  , ta thấy D, X , I thẳng hàng EF cắt IX , IA J , G Ta thấy AK.AD  AE  AG.AI Nên ta suy K , G, I , D đồng viên Do Footer Page 42 of 166 42 Thang Long University Library Header Page 43 of 166 GK , GF   GA, GF   GA, GK   2   DI , DK    KD, KX    DI , DK    XK , XJ  Do tứ giác KGJX nội tiếp Vậy ta có TJ TG  TX TK  TETF Chú ý G trung điểm FE nên theo bổ đề Maclaurine suy T , J , E, F   1 Hay T thuộc đường đối cực J (theo Hệ 2.3.3) (3.1.3) Mặt khác đường đối cực A EF qua J nên đường đối cực J qua A (Định lý 2.3.5 (Định lý La Hire)) (3.1.4) Từ hai điều ta suy đường đối cực J AT Vậy theo Định lý 2.3.4, ta có : IJ  AT Mặt khác IJ  BC nên suy AT / / BC Nhận xét Chứng minh song song ý tưởng dùng cực đối cực giúp toán ta trở nên thú vị 3.2 Các toán tính đồng quy, thẳng hàng: Bài toán (Định lí Brianchon) Chứng minh ba đường chéo lục giác ngoại tiếp đồng quy Lời giải Footer Page 43 of 166 43 Header Page 44 of 166 Ta kí hiệu ABCDEF lục giác ngoại tiếp  O  Tiếp điểm  O  AB, BC, CD, DE, EF , FA G, H , I , J , K , L Xét cực đối cực  O  Gọi M , N , P giao điểm cặp đường thẳng  LG, IJ  ,  GH , JK  ,  HI , KL  Dùng định lí Pascal cho lục giác nội tiếp GHIJKL ta có M , N , P thẳng hàng Theo Định lý 2.3.6 đường đối cực M , N , P đồng quy đôi song song Mặt khác, đường đối cực M , N , P AD, BE, CF nên ta có AD, BE, CF đồng quy Bài toán Cho tam giác ABC với  I  đường tròn nội tiếp Tiếp điểm I  BC, CA, AB D, E, F Gọi M , N , P điểm chung cặp đường thẳng  EF , BC  ,  DF , CA ,  DE, AB  Chứng minh M , N , P thẳng hàng Lời giải Xét cực đối cực  I  Đường đối cực A EF qua M , nên đường đối cực M qua A (Định lý 2.3.5 (Định lý La Hire)) Mặt khác, Footer Page 44 of 166 44 Thang Long University Library Header Page 45 of 166 đường đối cực M qua D nên suy đường đối cực M AD Hoàn toàn tương tự, ta có: Đường đối cực N BE đường đối cực P CF Khi đó, sử đụng dịnh lí Ceva ta có AD, BE, CF đồng quy Theo Định lý 2.3.6 ta có M , N , P thẳng hàng Bài toán Cho tam giác ABC , đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB D, E, F Đường tròn nội tiếp tam giác DEF tiếp xúc với EF , FD, DE J , K , L Chứng minh AJ , BK , CL đồng quy Lời giải Gọi I , O tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF ABC Gọi M , N, P giao điểm cặp đường thẳng  EF , LK  ,  FD, JL  ,  DE, KJ  Footer Page 45 of 166 Theo Bài toán ta có M , N , P thẳng hàng.(*) 45 Header Page 46 of 166 Chú ý DJ , FL, EK đồng quy nên  M , J , F , E   1 Do J thuộc đường đối cực M  O  (theo Hệ 2.3.3) Mặt khác dễ thấy A thuộc đường đối cực M  O  nên ta có AJ đường đối cực M  O  Tương tự có BK đường đối cực N O  CL đường đối cực P  O  Từ ba điều (*) Định lý 2.3.6 ta có AJ , BK , CL đồng qui Qua hai toán, thấy rõ hiệu lực Định lý 2.3.6 cho toán chứng minh tính thẳng hàng đồng qui Tuy nhiên ta cần áp dụng linh hoạt định lí vào giải toán sau: Bài toán Trong tam giác ABC kẻ đường cao AA' , BB' , CC ' gọi H trực tâm tam giác Gọi J giao điểm AA' với đường tròn I  đường kính BC Chứng minh BC, B'C ' tiếp tuyến J  I  đồng quy Lời giải Footer Page 46 of 166 46 Thang Long University Library Header Page 47 of 166 Gọi giao điểm AH với  I  J1 , J hình vẽ , J J , J1 Ta chứng minh BC, B 'C ' tiếp tuyến J1  I  đồng qui (với trường hợp tiếp tuyến J chứng minh tương tự) Xét cực đối cực  I  Bình luận: Ta thấy BC cực, nên Định lý 2.3.6 áp dụng Ta sử dụng phương thức tiếp cận khác sau: Gọi giao điểm BC B ' C ' K Ta có AH đường đối cực K , mà AH qua J1 nên đường đối cực J1 qua K (theo Định lý 2.3.5 (Định lý La Hire)) hay tiếp tuyến J1 qua K Tức ta có BC, B 'C ' tiếp tuyến J1 đồng qui K Bài toán Gọi O tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD Qua A, B, C, D vẽ đường thẳng dA, dB, dC, dD tương ứng vuông góc với OA, OB, OC, OD Các cặp đường thẳng dA dB , dB dC , dC dD , dD dA tương ứng cắt K , L, M , N Chứng minh KM LN cắt O (Trích thi toán mùa đông Bulgaria ,1996 ) Footer Page 47 of 166 47 Header Page 48 of 166 Lời giải Xét cực đối cực  O  Bình luận: toán sử dụng trực tiếp Định lý 2.3.6 điểm O điểm đối cực Tuy nhiên, áp dụng định lý Định lý 2.3.4 để giải toán sau: Gọi I , J , P, Q tiếp điểm  O  AB, BC, CD, DA Gọi E, F , G, H giao điểm cặp QI , OA ,  IJ , OB  ,  JP, OC  ,  PQ, OD  Ta chứng minh đường thẳng: N , O, L thẳng hàng, phần chứng minh M , O, K thẳng hàng hoàn toàn tương tự Theo giả thiết toán ta có: dB đường đối cực F , dC đường đối cực G Từ suy FG đường đối cực điểm L (3.2.1) Tương tự , ta có HE đường đối cực điểm N (3.2.2) Mặt khác tứ giác IJPQ , ta chứng minh FG / / HE (3.2.3) Từ (3.2.1), (3.2.2), (3.2.3), Định lý 2.3.4 tiên đề Euclide ta có N , O, L thẳng hàng Chúng minh tương tự, ta có M , O, K thẳng hàng Vậy KM LN cắt O Footer Page 48 of 166 48 Thang Long University Library Header Page 49 of 166 Bài toán 10 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn  I  Tiếp điểm I  BC, CA, AB D, E, F Trên BC lấy điểm J , CA lấy điểm K cho IJ / / EF , IK / / DF Chứng minh AJ , BK , IF đồng qui Lời giải Xét cực đối cực  I  Kẻ DM , EN vuông góc với FE, FD Gọi giao điểm AJ BK P , ta chứng minh I , F , P thẳng hàng Ta thấy đường đối cực J phải qua D vuông góc với IJ mà IJ / / EF nên suy DM đường đối cực J Suy M thuộc đường đối cực J (3.2.4) Mặt khác M thuộc FE đường đối cực A (3.2.5) Từ (3.2.4), (3.2.5) Định lý 2.3.5 (Định lý La Hire), ta suy AJ đường đối cực M (3.2.6) Tương tự BK đường đối cực N (3.2.7) Từ (3.2.6), (3.2.7) Định lý 2.3.5 (Định lý La Hire) ta tiếp tục suy đường đối cực P MN Mặt khác  MF , MN    DE, DN    FD, FN   mod   nên ta suy MN / / AB Từ ta có AJ , BK , IF đồng qui điểm P Footer Page 49 of 166 49 Header Page 50 of 166 3.3 Các toán quỹ tích, điểm bất động: Bài toán 11 Cho đường tròn  O  đường thẳng d nằm  O  Một điểm C chạy d Từ C ta kẻ tới  O  hai tiếp tuyến CA, CB (ở A, B tiếp điểm).Chứng minh C chạy d AB qua điểm cố định Lời giải Xét cực đối cực  O  Gọi K cực d , d cố định nên K cố định C thuộc d suy đường đối cực C qua cực d hay đường thẳng AB qua điểm K cố định Bài toán 12 Cho góc xOy cố định điểm A cố định nằm tia Ox Đường tròn  K  thay đổi tiếp xúc với với hai tia Ox, Oy Gọi tiếp điểm  K  Ox, Oy B, C Từ A ta kẻ tiếp tuyến AD tới Footer Page 50 of 166 50 Thang Long University Library Header Page 51 of 166 K  (ở D tiếp điểm, D khác B ) OK cắt BD E Gọi d đường thẳng qua K vuông góc với CE Chứng minh  K  di động (nhưng thỏa mãn điều kiện toán) d qua điểm cố định Lời giải Xét cực đối cực  K  Đường thẳng d cắt Oy F , ta có đường đối cực F CE (qua điểm E ) suy đường đối cực E qua F (theo Định lý 2.3.5 (Định lý La Hire)) (3.3.1) Đường đối cực A BD (qua điểm E ) suy đường đối cực E qua A (theo Định lý 2.3.5) (3.3.2) Từ (3.3.1),(3.3.2) theo Định lý 2.3.5 ta suy AF đường đối cực E Theo Định lý 2.3.5 ta có AF vuông góc với EK , mặt khác ta có EK phân giác góc xOy cố định nên điểm F cố định Từ ta có điều cần chứng minh Footer Page 51 of 166 51 Header Page 52 of 166 Bài toán 13 Cho đường tròn tâm O điểm I cố định nằm đường tròn  O  Dây cung AB  O  quay quanh I , OI cắt tiếp tuyến A B  O  M , N Gọi giao điểm hai đường thẳng AN , BM J Tìm quỹ tích điểm J AB quay quanh I Lời giải F J G M A I O B N Gọi F giao điểm AM BN , FJ cắt AB G Ta có AB đường đối cực điểm F  O  Điểm I thuộc AB nên theo Định lý 2.3.5 ta có F thuộc đường đối cực I  O  Áp dụng Định  FJ , FI , FB, FA  1 lý 2.3.7 cho bốn điểm (3.3.3) A, B, M , N ta có nên suy G, I , B, A  1 , theo Hệ 2.3.3 ta có điểm G thuộc đường đối cực I  O  (3.3.4) Từ (3.3.3) (3.3.4) suy FG đường đối cực I  O  Mặt khác, giả thiết điểm I cố định nên đường đối cực FG cố định Vậy điểm J thuộc đường thẳng cố định Giới hạn quỹ tích điểm J đoạn thẳng mà biên giao điểm hai tiếp tuyến A B trường hợp tiếp tuyến song song với đường thẳng cố định OI Footer Page 52 of 166 52 Thang Long University Library Header Page 53 of 166 KẾT LUẬN Luận văn trình bày hướng nghiên cứu nhóm toán hình học phẳng phổ thông nhờ sử dụng tính chất liên quan đến cực đối cực mà sách giáo khoa đề cập đến lại nằm phạm vi kiến thức đề thi * Tóm tắt đánh giá kết nghiên cứu luận văn: Luận văn cho ta thấy hệ thống kiến thức sở để sử dụng kết quan trọng cực đối cực vào nhóm toán hình học phổ thông theo kết nghiên cứu sau: Ứng dụng cực đối cực để giải toán chứng minh song song, vuông góc Ứng dụng cực đối cực để giải toán chứng minh đồng qui, thẳng hàng Ứng dụng cực đối cực để giải toán quỹ tích, điểm bất động * Gợi mở hướng phát triển đề tài: - Hướng phát triển luận văn là: + Tiếp tục nghiên cứu phương pháp sử dụng lí thuyết cực đối cực mặt phẳng để giải thêm số toán hình học phổ thông, bao gồm toán không gian Euclide ba chiều P3(R) + Tổng quát phương pháp để giải toán không gian Euclide n chiều Pn(R) Footer Page 53 of 166 53 Header Page 54 of 166 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương (2006), Hình học xạ ảnh, NXB Đại học Sư phạm [2] Titu Andreescu (2009), Mathematical Olympic Challenges, Birkhäuser Boston, a part of Springer Science+Business Media, LLC, Second Edition [3] Hoàng Quốc Khánh, http://forummathscope.org/showthread.php?t=7287 Footer Page 54 of 166 54 Thang Long University Library ... học sinh giỏi môn Toán trường THPT Vì lựa chọn nghiên cứu đề tài Cực, đối cực ứng dụng dạy hình học phổ thông” Mục đích luận văn nhằm trình bày phương pháp sử dụng cực đối cực để giải toán hình. .. 166 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG Trần Châu Nguyên – C00451 CỰC, ĐỐI CỰC VÀ ỨNG DỤNG TRONG DẠY HÌNH HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành:... THPT, xem xét khái niệm cực đối cực đường tròn, đường cô-níc với cặp đường thẳng Tuy nhiên nay, việc vận dụng kiến thức cực đối cực vào nghiên cứu giải toán hình học phổ thông chưa quan tâm khai