Header Page of 166 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG - PHẠM NGỌC HIẾU CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KHI DẠY HỌC TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 166 Header Page of 166 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG - PHẠM NGỌC HIẾU – C00445 CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KHI DẠY HỌC TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60 46 01 13 NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC : TS VŨ ĐÌNH PHƢỢNG Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 166 Thang Long University Library Header Page of 166 LỜI CẢM ƠN Luận văn đƣợc hoàn thành dƣới dẫn tận tình thầy hƣớng dẫn trợ giúp thầy cô khoa Toán – Tin trƣờng Đại Học Thăng Long Hà Nội Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo, TS Vũ Đình Phƣợng tận tình giảng dạy, bảo ủng hộ suốt trình làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng đào tạo thầy cô khoa Toán – Tin Trƣờng Đại Học Thăng Long Hà Nội bạn học viên lớp Cao Học Toán Bắc Giang giúp đỡ, động viên ủng hộ suốt trình học tập hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, tổ chuyên môn Toán – Tin, đồng nghiệp Trƣờng trung học phổ thông Yên Dũng số Bắc Giang tạo điều kiện, giúp đỡ, động viên trình học tập hoàn thành luận văn Tác giả Phạm Ngọc Hiếu Footer Page of 166 Header Page of 166 BẢN CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan tính trung thực, hợp pháp luận văn Các kết quả, số liệu luận văn trung thực không chép tài liệu khác Tác giả Phạm Ngọc Hiếu Footer Page of 166 Thang Long University Library Header Page of 166 MỤC LỤC Trang Mở đầu…….……………………………………………………………… Chƣơng HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ………………………….8 1.5 Nguyên hàm…….……………….…………… ……………………8 1.6 Tích phân………………………………………………………… 10 1.7 Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng…………………… 14 1.8 Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay………………… 14 Chƣơng CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN………………… 16 2.1 Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng 16 2.2 Phƣơng pháp đổi biến số 16 2.3 Phƣơng pháp tích phân phần 20 Chƣơng MỘT SỐ VẤN ĐỀ THƢỜNG GẶP KHI DẠY TÍCH PHÂN 27 3.1 Dạng Tính tích phân công thức 27 3.2.Dạng Tích Phân hàm số có mẫu chứa tam thức bậc hai 28 3.3 Dạng Tích phân hàm phân thức hữu tỉ 41 3.4 Dạng Tích phân hàm số lƣợng giác 56 3.5 Dạng Tích phân hàm số vô tỉ 80 3.6 Dạng Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối .92 3.7 Dạng Một số tích phân hàm đặc biệt 94 3.8 Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng 96 3.9 Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay 101 3.10 Một số sai lầm thƣờng gặp giải toán tích phân .104 3.11 Giải toán tích phân nhiều cách khác 108 3.12 Bài tập vận dụng……………………………………………… 113 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 120 DANH MỤC SÁCH THAM KHẢO .121 Footer Page of 166 Header Page of 166 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ở phổ thông nguyên hàm, tích phân mảng kiến thức quan trọng chƣơng trình giải tích 12 nói riêng toàn chƣơng trình toán phổ thông nói chung Các toán tích phân thƣờng xuyên xuất đề thi Đại Học - Cao đẳng trƣớc kì thi trung học phổ thông Quốc Gia Tuy nhiên nhiều năm dạy học tích phân thấy học sinh thƣờng khó tiếp cận kiến thức nguyên hàm, tích phân Thực tế tích phân phổ thông không phức tạp mà em thiếu kĩ giải toán, qua dẫn đến sai lầm Hơn tập học sinh thƣờng tìm lời giải có nhiều cách giải cách giải áp dụng cho toán khác Hiện nay, có nhiều tài liệu viết đề tài nguyên hàm tích phân tài liệu tham khảo đƣa đầy đủ dạng toán, nhƣng chƣa trọng tới toán với nhiều giải khác nhau, hệ thống tập từ dễ đến khó, qua chƣa phát triển đƣợc lực cho đối tƣợng học sinh trình dạy học Vì chọn đề tài: “Các phƣơng pháp tính tích phân vấn đề liên quan dạy học tích phân’’ với mong muốn giúp học sinh tiếp cận toán tích phân cách chủ động dễ dàng Mục đích nghiên cứu + Hệ thống hoá lại kiến thức, dạng tập tích phân phƣơng pháp giải + Đƣa hệ thống tập để luyện thi Đại học bồi dƣỡng học sinh giỏi + Xây dựng số toán giải nhiều cách khác Footer Page of 166 Thang Long University Library Header Page of 166 +Đƣa số sai lầm thƣờng gặp học sinh giải toán tích phân Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu + Học sinh trung học phổ thông + Các dạng phƣơng pháp giải tích phân dùng dể luyện thi trung học phổ thông Quốc gia bồi dƣỡng học sinh giỏi Phƣơng pháp nghiên cứu + Nghiên cứu lí luận + Điều tra quan sát + Thực nghiệm giảng dạy Cấu trúc luận văn Luận văn gồm chƣơng: Chƣơng Hệ thống lại kiến thức + Hệ thống định nghĩa, định lí, tính chất nguyên hàm, tích phân Chƣơng Các phƣơng pháp tính tích phân + Trình bày lại phƣơng pháp tính tích phân sách giáo khoa giải tích 12 + Đƣa số dạng tích phân giải phƣơng pháp tích phân tƣng phần thƣờng gặp Chƣơng Một số vấn đề thƣờng gặp dạy học tích phân + Đƣa số dạng tích phân thƣờng gặp phƣơng pháp giải + Đƣa số toán tích phân giải nhiều cách khác + Đƣa số sai lầm thƣờng gặp học sinh giải toán tích phân + Đƣa số tập áp dụng Footer Page of 166 Header Page of 166 CHƢƠNG HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1.NGUYÊN HÀM 1.1.1 Định nghĩa Cho hàm số f xác định K Hàm số F đƣợc gọi nguyên hàm f K F '  x  f  x với x thuộc K 1.1.2 Một số định lí Định lí Giả sử hàm số F nguyên hàm hàm số f K Khi a) Với số C, hàm số y = F(x) + C nguyên hàm f K; b) Ngƣợc lại, Với nguyên hàm G f K tồn số C cho G(x) = F(x) + C với x thuộc K + Từ định lí ta thấy F nguyên hàm f K nguyên hàm f K có dạng F(x) + C với C  R Vậy F(x) + C với C  R họ tất nguyên hàm f K, kí hiệu  f  x  dx Vậy  f  x  dx  F  x   C,C  R Định lí Nếu f,g hai hàm số liên tục K a)   f  x   g  x dx   f  x  dx   g  x  dx; b)   f  x   g  x dx   f  x  dx   g  x  dx; c) Với số thực k  ta có:  kf  x  dx  k  f  x  dx 1.1.3 Bảng tính nguyên hàm Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C a (hằng số) x ,   1 ax + C x 1 C  1 Footer Page of 166 Thang Long University Library Header Page of 166 x ex a x , a  0 ln x  C ex  C ax C ln a  cos x + C sin x + C  cot x  C sin x cos x sin x  1    1 (ax  b) ,    a     , a   ax  b eax b ,  a   (ax  b) a  1  C ln ax  b  C a ax b e C a  cos(ax  b)  C a sin(ax  b)  C a tan(ax  b)  C a sin  ax  b  , a   cos  ax  b  , a   , a   cos (ax  b) , a   sin2 (ax  b)  cot(ax  b)  C a 1.1.4 Bổ đề 1.1 1.1.4.1  dx  ln x  x  a  C; 2 x a 1.1.4.2 x x2  a2 dx  1 a  x  a ln  C , a  0; a x b 1.1.4.3  ln(ax  b)dx  ( x  )ln(ax  b)  x  C , a  a Chứng minh Footer Page of 166 Header Page 10 of 166 1.1.4.1 Ta có  ln x  x  a  C  2 x a 2  /   x  x2  a2 x  x2  a2  x 1 x  a2  x  x2  a2 x2  a2 dx  ln x  x  a  C /  1 a  x  a  1  1.1.4.2 Ta có ln C  ln a  x  a  ln  a  x a      1  x  1  x  a x  a  x  a    a  x  a a  x  a x  a  x x  a a  x  a      a a  x  a 1    a  x x  a a  x  a  x x  a           x  /       1 a  x  a  dx  ln  C a x x x2  a2 1.1.4.3 Ta có /  b  b a  x  ln( ax  b )  x  C  ln( ax  b )  x    ln(ax  b)       a a  ax  b    b   ln(ax  b)dx  ( x  )ln(ax  b)  x  C a 1.2 TÍCH PHÂN 1.2.1 Định nghĩa Cho hàm số f liên tục K a,b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm hàm số f K hiệu số F(b) – F(a) b Đƣợc gọi tích phân hàm số f từ a đến b kí hiệu  f ( x)dx a b Trong trƣờng hợp a < b, ta gọi  f ( x)dx tích phân f đoạn [a; b] a Ngƣời ta kí hiệu F  x a để hiệu số F(b) – F(a) Nhƣ ta có b 10 Footer Page 10 of 166 Thang Long University Library Header Page 107 of 166 Đặt x   t  x  t 1 , x   t  3, x   t  5 t 1 1 1 1 1  11 I   dt      dt       t t t t t 225     3 5 Nguyên nhân sai lầm là: Đổi biến nhƣng không tính vi phân dt Lời giải đúng: Đặt x   t  x  t 1  dx  dt , x   t  , x   t  2 t 1 1 1 1 1  11 I   dt      dt       2t 3t t   t 2t  450 5      dx Ví dụ 3.10.6 Tính I     cos x    sin x Lời giải sai:   3 I   tan x  cot x  2dx   2   6     ln cos x  ln sin x  3  ln   tan x  cot x  dx    tan x  cot x  dx  Nguyên nhân sai lầm là: Khi khai không lấy dấu giá trị tuyệt đối Lời giải đúng: 107 Footer Page 107 of 166 Header Page 108 of 166   3  I   tan x  cot x  2dx   2   6      tan x  cot x  dx   tan x  cot x dx     cot x  tan x  dx    tan x  cot x  dx     ln sin x  ln cos x      ln cos x  ln sin x  3  ln 4 3.11 GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH KHÁC NHAU Ví dụ 3.11.1 Tính tích phân I =   x  1 xdx Giải: Cách 1: I =  8 x  12 x  x  1 xdx   8 x  12 x3  x  x dx 0  x5 x2    3x  x     10  y 1 Cách 2: Đặt y  x   x   dx  dy, x   y  1 , 2 x   y  1 1 1  y5 y  y 1 Iy dy   ( y  y )dy      2 1 4  1 10 1 Cách Đặt du  dx u  x     x  14  dv   x  1 dx v    x  1 I x  x  1 dx    x  1  8 80 1 1     80 80 10 Tổng quát ta có dạng toán: b Tính: I    cx  d  x n dx k a 108 Footer Page 108 of 166 Thang Long University Library Header Page 109 of 166 +) Nếu k nhỏ việc giải theo cách đơn giản +) Nếu k lớn n nhỏ giải theo cách phức tạp Khi lựa chọn cách cách hợp lý +) Nếu k n lớn thi nên giải theo cách cách 3.Trong trƣờng hợp lựa chọn cách ta phải tính tích phân phần n lần (nếu n < k) k lần (nếu k < n)  sin x dx cos x  sin x Ví dụ 3.11.2 Tính I   Giải: Cách 1: Đặt x    t  dx  dt , x   t   , x   t      sin   t  2 cos t cos x   I  dt   dt   dx   sin t  cos t sin x  cos x     cos 0   t   sin   t  2         sin x cos x sin x  cos x  2I   dx   dx   dx cos x  sin x sin x  cos x sin x  cos x 0 2     dx  x 02   I    cos x dx cos x  sin x Cách 2: Đặt J      sin x  cos x  Ta có I  J   dx   dx  x 02  ; sin x  cos x 0    d  sin x  cos x  sin x  cos x I  J   dx      ln  sin x  cos x  02  0; sin x  cos x sin x  cos x 0 109 Footer Page 109 of 166 Header Page 110 of 166  2I   I    sin x Cách 3: I  dx  sin  x      4  Đặt t   I   x  dx  dt , x   t  3     , x  t  3 3   sin  t   sin t  cos t 4  dt   dt sin t 2 sin t 3  cos t  3  1  sin t  dt   x  ln sin x     4  3  1      ln    ln   2  2 2 x 2dt Cách 4: Đặt t  tan  dt  dx  dx  , 2  t x 2cos x   t  0, x    t 1 1 t2 2t ; Ta có, sin x  cos x  1 t2 1 t2 2t 2 2t  t I  dt  0  t  2t  11  t  dt; 1 t2 2t  t  1 t2 1 t2 Ta tìm số a, b, c, d cho 4t at  b ct  d   , t   2;1  2  t  2t  11  t  t  2t  1  t   110 Footer Page 110 of 166 Thang Long University Library Header Page 111 of 166  4t  at  b  at  bt  ct  2ct  ct  dt  2dt  d , t a  c  a  b  2c  d  b  1      a  c  d  c  b  d  d  t 1 t 1  2t  2t  I    dt   dt   dt   dt ;  2  t  t  1  t  t  t   t  t   0 0 1 1 Tính 1 1 2t  d  t  2t  1 1 A  dt      ln t  2t    ln 2; 2 t  2t  t  2t  2 2t d 1  t Tính B   dt  1 t2 0  t 1   ln  t   2 1  ln 2;  (Theo kết Ví dụ 3.5.3); dt   t Tính C   Vậy I  A  B  C  Cách 5: I     2  sin x  cos x    cos x  sin x  1 cos x  sin x dx  dx  dx 0 sin x  cos x 0 0 sin x  cos x     2 d  sin x  cos x    x0     ln  sin x  cos x  02  2 sin x  cos x 4  Ví dụ 3.11.3 Tính I   2x x   x2 dx Giải: 111 Footer Page 111 of 166 Header Page 112 of 166 Cách 1: I   2x   x2  x 1  x   x 2 1  x   dx  1  2x 1  x dx   x dx   2 0 x3  x d 1  x   2  4  3 Cách 2: Đặt t  x   x2   x2  t  x   x  t2 1 1   dx     dt , 2t  2t  x   t  1, x   t   I 1 2  t 1 1 1   dt   t  t  1 1   t    3t  1  1  1  1  1   dt   t  t   1  1   1   1  1  1   dt  t              Cách 3: Đặt x  tan t [ với t    ;  ]  dx  dt , cos t  2 x   t  0, x  1 t     tan t I  dt   dt 2 cos t cos t tan t   tan t 0 tan t  cos t tan t   2sin t tan t   dt 0 cos2 t  sin t  1dt cos t tan t  cos t 112 Footer Page 112 of 166 Thang Long University Library Header Page 113 of 166   4 2sin t  sin t dt  t   2 cos t cos     2 dt   t t  cos t  cos  sin  2     t  cos    4 2  t    dt   cot 2    dt ; t 2  t  2 t  2  sin 2 cos       cos     2  2  2  t  Đặt tan     u  dt  2du, t 2  2 cos     2 t   u  1, t    u   2u   t  1 u  t  ;sin     Ta có, cos     2   1 u   1 u 1 I  2  1  u 1  u  du  4u 1  u3      2 u   u4 du   2 1 u 2  1 1 2   u du u  1   4 3.12 BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 3.12.1 Tính tích phân sau: 1)  (3x  2) dx; 1  ln x 1 x dx;   3 4)  x2  2)   dx;   x  0 x  x e dx; sin x 7)  dx; cos x 3) 5)  e2 e 6)  e x2 1 x dx; dx ; x  ln x  8)  sin xe cos x dx; 9)   cos x sin xdx; 113 Footer Page 113 of 166 Header Page 114 of 166  tan x e 10)  dx; cos x 13) xe  dx 11)  ; sin x   3 x2   14) dx; 0 12)  cos x sin xdx; (1  ln x) 15)  dx; x e sin x dx;  cos x   e 16)   2ln x dx; x ln x dx; x  22) x x2  4  x2 x dx; ; 21  26)  24)  30) dx; dx (2  x )3 x    cos x    cos x 4  π x ; tan x dx; cos x 28)  π x  1 23)  e sin xdx; π /3 29)  x cos xdx; x dx  sin x cos x ; π /6  sin x tan xdx; 18)  x dx 25)  ; (1  x ) 27) dx 20)   sin x 17)  dx; cos x 19)  π  dx; π  tan  x   tan  x  dx;  31)  xe3 x dx; 32)  x sin xdx;   xdx 34)  ;  sin x xdx 35)  ; cos x 33)  (2 x  1)ln xdx; 1 36)  x4 1 dx; x6   37)  x ln(3  x )dx; 38)  ( x  1)e x dx; 39)  sin x tan xdx; 114 Footer Page 114 of 166 Thang Long University Library Header Page 115 of 166 40)  x ln( x  1)dx; 2 41)  x2 x 2 42 dx; 43)  x  x dx;  47)  x ln(1  x )dx; cos xdx ;  2sin x sin x 45)  dx; cos x sin xdx 44)  ; (1  cos x) 0  dx;   48) x 1 2 46)  x sin 3xdx;   x  2x π /2 49) 4cos x  3sin x  (cos x  sin x) dx;  50)  x15  x8 dx; 52)  ( x  1)e dx; x 51)  sin x tan xdx;  53)  ( x  3x  1)dx; 54)  x sin xdx; 0  x 55)  dx;  x    sin x dx;  3cos x 58)  59)  sin x cos3 xdx;  /2 π /2 60)  ( x  1)sin xdx; x 63)  sin dx; 62)  cos xdx; x dx x  1 ; 2 xdx; 68)   x2 x3  dx; π /4  sin x cos 65) π /2 66) 2sin x  cos x  dx; sin x  2cos x   2  61)  64) sin x 57)  dx; cos x ln x 56)  dx; x x  3x  10 dx; x2  x  sin x  cos6 x dx; 67)  x  π /4 1/ 69)  dx (2 x  1) x  115 Footer Page 115 of 166 ; Header Page 116 of 166 e 70)  ln  75) 76  ln 77)  ln x 74)  dx; x e2 x  3e x dx; e2 x  3e x  x3 dx (Đại Học Dự bị_02); x2 1 ex  e  1 x dx (Đại Học Dự bị_02); 78) e ln xdx ; x(ln x  1)  x e 2x   x  dx (Đại Học Dự bị_02); 1 π /2 79)  1 cos3 x sin x cos5 xdx (Đại Học Dự bị_02); ln 80)  e x  1e2 x dx (Dự bị_04); ln e3 81)  ln x dx (Dự bị_05); x ln x  π2 82)  x sin xdx (Dự bị_05); 10 83) dx (Dự bị_06); x 1  x2 ln dx dx (Dự bị_06) x  e  ln Bài 3.12.2 Tính tích phân: 1 dx x  3x  dx 1)  ; 2)  ( x  x  2) x  0 (Đại Học Ngoại Thƣơng_99) Bài 3.12.3 Tính tích phân: 84) e 1)  x x2 1 dx; x4  x2 1 2) dx (Đại Học Thuỷ Lợi_99)  1)  x( x 116 Footer Page 116 of 166 Thang Long University Library Header Page 117 of 166 Bài 3.12.4 Tính tích phân: π /6 π /6 sin x cos x I  dx; J   dx; sin x  cos x sin x  cos x 0 π /3 Từ suy cos x dx (Đại Học Quốc Gia Hồ Chí Minh_01A) cos x  3sin x 3π /2  Bài 3.12.5 Cho f(x) liên tục R : f ( x)  f (x)   2cos x x  R; 3π /2 Tính  f ( x)dx (Đại Học Sƣ phạm Hà Nội 2_98) 3π /2 Bài 3.12.6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng: 1) y  sin x cos3 x; y  0; x  0; x   (Đại Học Bách Khoa 2000); 2) y  x  x  ; y   x (Đại Học Kiến Trúc 94); 3) y  x ; y  x (Đại Học Mỹ Thuật Công Nghiệp HN 98);  x2 8x 7x   ;y  4) y  (Học Viện Bƣu Chính Viến Thông 98); 3 x 3 3x 12 x  ; y 1 ;x  5) y   2sin 2  (Học Viện Bƣu Chính Viến Thông 2000); 6) y  x x  1; y  0; x  0; x  (Học Viện Ngân Hàng HCM 99); 7) y  xe x ; y  0; x  0; x  (Đại Học Kinh Tế Quốc Dân 94); 8) y  x ; x   y (Đại Học Thƣơng Mại 96); 9) y  e x ; y  e x ; x  (Đại Học Tài Chính Kế Toán 2000); 10) y  sin x ; y  x   (Đại Học Mở 2000); 1   11) y  ; y  ; x  ; x  (Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự 2000); sin x cos x  3 12) y    cos x  sin x; y  0; x  ; x  (Đại Học Công Đoàn 98); 2 x2 13) y  x ; y  ; y  (Đại Học Công Đoàn 99); x 14) x  y ; x  y   0; y  (Đại Học Công Đoàn 2000); 117 Footer Page 117 of 166 Header Page 118 of 166 k  k   ; y  0; x  1; x  (Đại Học Nông Nghiệp I 95); x 16) y  x3  x2  x  6; y  (Đại Học Nông Nghiệp I 98B); 15) y  ln x2 17) y  ; y  (Đại Học Nông Nghiệp I 99A); x 1 18) y  x3  3x  2; y  0; x  0; x  (Đại Học Nông Nghiệp I 99B); 19) y  0; x  y3   0; x  y   (Đại Học Nông Nghiệp I 2000A); 20) y  x  ; y  x  (Đại Học Sƣ Phạm I 2000A); 21) y  x  x  ; y  (Đại Học Sƣ Phạm I 2000B); ; x  10 (Đại Học Quốc Gia Hà Nội 93); 10 23) y  x3 ; y   x (Đại Học Quốc gia 97A); 22) y  ln x ; y  0; x  24) y   x  1 ; y  0; x  sin  y;0  y  (Cao Đẳng Kiểm Sát 2000); 25) y    x ; x  y  (Đại Học Bách Khoa 2001); 26) y  x.e x ; y  0; x  1; x  (Học Viện Công nghệ bƣu viễn thông 2001); 27) y  5x2 ; y  0; x  0; y   x (Đại Học Y Thái Bình 2001); x 28) x  0; x  ;y  ; y  (Học Viện Cảnh Sát Nhân Dân 2001); 1 x x2 x2 ;y  (Đại Học Khối B 2002); x 3x  30) y  ; x  0; y  (Đại Học Khối D 2002); x 1 31) y   e  1 x; y  1  e x  x (Đại Học Khối A 2007); 29) y   32) (P) : y  x  x hai tiếp tuyến (P) qua M  3;6  ; x  2ax  3a a  ax ;y  33) y   a   Tìm giá trị lớn diện tích a4  a 1 Bài 3.12.5 Tìm b cho diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng sau x2   : y  ; y  b; x  0; x  (Đại Học Bách Khoa 93) x 1 Bài 3.12.7 Cho miền D giới hạn hai đƣờng : x + x - = ; x + y - = 118 Footer Page 118 of 166 Thang Long University Library Header Page 119 of 166 Tính thể tích khối tròn xoay đƣợc tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 3.12.8 Cho miền D giới hạn đƣờng : y  x ; y   x; y  Tính thể tích khối tròn xoay đƣợc tạo nên D quay quanh trục Oy Bài 3.12.9 Cho miền D giới hạn hai đƣờng : y  ( x  2)2 y = Tính thể tích khối tròn xoay đƣợc tạo nên D quay quanh: a) Trục Ox; b) Trục Oy Bài 3.12.10 Cho miền D giới hạn hai đƣờng : y   x ; y  x  Tính thể tích khối tròn xoay đƣợc tạo nên D quay quanh trục Ox x2 Bài 3.12.11 Cho miền D giới hạn đƣờng : y  ; y  x 1 Tính thể tích khối tròn xoay đƣợc tạo nên D quay quanh trục Ox 119 Footer Page 119 of 166 Header Page 120 of 166 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Kết luận Luận văn đạt đƣợc số kết sau: + Trình bày khái quát phép tính tích phân hàm biến + Phân dạng phép tính tích phân hàm biến với nhiều dạng toán khác thƣờng gặp đề thi Tốt nghiệp trung học phổ thông, Đại Học – Cao đẳng, Trung học phổ thông Quốc gia, Với nhiều Ví dụ tập áp dụng + Đƣa số sai lầm thƣờng gặp giải toán tích phân + Đƣa số tập tích phân với nhiều cách giải khác với mục đích giúp học sinh có nhiều định hƣớng giải tập tích phân Mặc dù cố gắng nhƣng luận văn tránh thiếu sót.Rất mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp để hiệu chỉnh luận văn tốt quý thầy cô, bạn bè đồng nghiệp Khuyến nghị Hi vọng luận văn tài liệu bổ ích giúp học sinh tiếp cận toán tích phân đƣợc dễ dàng Luận văn làm tài liệu bồi dƣỡng học sinh thi trung học phổ thông Quốc Gia, học sinh giỏi toán trƣờng trung học phổ thông 120 Footer Page 120 of 166 Thang Long University Library Header Page 121 of 166 DANH MỤC SÁCH THAM KHẢO [1] Trần Tuấn Anh, (2013), Giải nhanh toán nguyên hàm tích phân, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia, Thành Phố Hồ Chi Minh [2] Lê Thị Hƣơng, Nguyễn Kiếm, Hồ Xuân Thắng, (2011), Phân loại phương pháp giải toán tích phân, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia, Hà Nội [3] Nguyễn Văn Lộc, Nguyễn Dƣơng Hoàng, Hoàng Ngọc Cảnh, Nguyễn Ngọc Giang, (2009), Các phương pháp điển hình giải toán nguyên hàm tích phân ứng dụng, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia, Hà Nội [4] Gia Đình Lovebook, (2015), Chinh phục tích phân lượng giác đề thi Quốc Gia thpt, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia, Hà Nội [5] Bùi quý Mƣời, (2015), Bí tiếp cận hiệu kỳ thi THPT Quốc Gia tích phân số phức, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia, Hà Nội [6] Lê Hoàng Phó, (2008), 1234 toán tự luận điển hình Đại số Giải tích, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia, Hà Nội [7] Trần Phƣơng, (2014), Tuyển tập chuyên đề & kỹ thuật tính tích phân, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia, Hà Nội [8] Nguyễn Thanh Tùng, (2014), 10 trọng điểm hay gặp kỳ thi Quốc Gia tích phân, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia, Hà Nội [9] YYLIASKO, ACBOIATRUC,IAGGAI, GPGOLOBAC, (1978),Giải tích toán học Ví dụ toán, Nhà xuất Đại Học trung học chuyên nghiệp,Hà Nội 121 Footer Page 121 of 166 ... HC THNG LONG - PHM NGC HIU C00445 CC PHNG PHP TNH TCH PHN V NHNG VN LIấN QUAN KHI DY HC TCH PHN LUN VN THC S TON HC CHUYấN NGNH: PHNG PHP TON S CP M S: 60 46 01 13 NGI HNG... b 1.4.NG DNG TCH PHN TNH TH TCH KHI TRếN XOAY 1.4.1 Trng hp Th tớch trũn xoay hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y f ( x ) x a;b , y , x a v x b a b quay quanh trc Ox b l V f x dx a... d) quay quanh trc d Oy l V g2 (y)dy c 1.4.3 Trng hp Th tớch trũn xoay hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y f x , y g x , x a v x b ( a b, f ( x ) 0,g( x ) x a; b ) b quay quanh trc