Đang tải... (xem toàn văn)
Tập Iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương Artin (LV thạc sĩ)Tập Iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương Artin (LV thạc sĩ)Tập Iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương Artin (LV thạc sĩ)Tập Iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương Artin (LV thạc sĩ)Tập Iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương Artin (LV thạc sĩ)Tập Iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương Artin (LV thạc sĩ)Tập Iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương Artin (LV thạc sĩ)Tập Iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương Artin (LV thạc sĩ)Tập Iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương Artin (LV thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THỊ DUNG TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ARTIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THỊ DUNG TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ARTIN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái nguyên, ngày 21 tháng năm 2015 Người viết Luận văn Hoàng Thị Dung i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Tiến sĩ NGUYỄN VĂN HOÀNG giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người hướng dẫn cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô giáo của: Viện Toán học Đại học Thái Nguyên người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên vượt qua khó khăn học tập Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học, Sở GD - ĐT Cao Bằng, Ban Giám hiệu Tổ Toán-Tin Trường THPT Chuyên Cao Bằng tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn bạn bè, người thân giúp đỡ, động viên, ủng hộ để hoàn thành tốt luận văn khóa học Thái nguyên, ngày 21 tháng năm 2015 Người viết Luận văn Hoàng Thị Dung ii Mục lục Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành môđun Artin 1.2 Biểu diễn thứ cấp môđun Artin 1.3 Môđun đối đồng điều địa phương 10 1.4 Dãy quy độ sâu môđun 12 1.5 Đối ngẫu Matlis số tính chất 14 Tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun Artin 17 2.1 Khái niệm đối dãy từ chiều > s số tính chất 17 2.2 Chứng minh Định lý 26 Tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương Artin 3.1 3.2 30 Môđun Cohen-Macaulay, vành catenary, thớ hình thức, dãy chặt từ chiều > s 30 Chứng minh Định lý 32 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 iii Mở đầu Trong suốt luận văn này, giả thiết (R, m) vành giao hoán Noerther địa phương với iđêan cực đại m Giả thiết A R−môđun Artin M R−môđun hữu hạn sinh có chiều dim M = d Kí hiệu AssR M tập iđêan nguyên tố liên kết M Tập tất iđêan nguyên tố gắn kết A kí hiệu AttR A (theo I G Macdonald [7]) Với iđêan I R, ta biết tập AssR (M/I n M) AttR (0 :A I n ) không phụ thuộc vào n n đủ lớn (xem báo M Brodmann [1, 12]), tập hợp n≥0 AssR (M/I n M) n≥0 AttR (0 :A I n ) tập hữu hạn Tuy nhiên điều n n không cho tập AssR (M/(x1n1 , , xk k )M) AttR (0 :A (x1n1 , , xk k )), (x1 , , xk ) dãy phần tử R với n1 , , nk số nguyên dương Chẳng hạn, lấy (R, m) vành Cohen-Macaulay chiều (được xây dựng M Katzman [6, (R) tập vô Corrollary 1.3]) cho có phần tử x, y ∈ m thõa mãn AssR (H(x,y) hạn Khi tập n≥0 AssR (R/(x n , yn )R) vô hạn, tập n≥0 AttR (0 :A (xn , yn )R) vô hạn, A = E(R/m) bao nội xạ R/m R−môđun Artin Cho s ≥ −1 số nguyên Với tập T Spec(R), ta kí hiệu Ts (tương ứng, T≥s , T>s ) tập gồm tất p ∈ T cho dim(R/p) = s (tương ứng, dim(R/p) ≥ s, dim(R/p) > s) Theo Brodmann-Nhàn [2], dãy (x1 , , xk ) phần tử R gọi M−dãy từ chiều > s xi ∈ / p với p ∈ AssR (M/(x1 , , xi−1 )M)>s với i = 1, , k Nếu hoán vị dãy x1 , , xk M−dãy từ chiều > s (x1 , , xk ) gọi M−dãy từ chiều > s hoán vị Chú ý (x1 , , xk ) M−dãy từ chiều > s hoán vị nk n1 n1 , ,nk (AssR M/(x1 , , xk )M)≥s tập hữu hạn (xem [2, Proposition 2.6]) Từ câu hỏi L T Nhàn-N V Hoàng [9] đặt tìm điều kiện dãy (x1 , , xk ) để tập hợp i (M) n1 , ,nk (AttR (0 :Hm n (x1n1 , , xk k )R))>s n1 , ,nk (AttR (0 :A n (x1n1 , , xk k )R))≥s , nk n1 i n1 , ,nk (AttR (Hm (M/(x1 , , xk )M))≥s tập hợp hữu hạn Năm 2014, báo chung Nhàn-Hoàng (xem [9]), họ trả lời khẳng định cho câu hỏi trên, cụ thể định lý sau Định lí Giả sử (x1 , , xk ) A− đối dãy từ chiều > s Khi tập (AttR (0 :A n (x1n1 , , xk k )R))>s không phụ thuộc vào cách chọn n1 , , nk tập n1 , ,nk (AttR (0 :A n (x1n1 , , xk k )R))≥s hữu hạn Định lí Giả sử R vành catenary phổ dụng thớ hình thức CohenMacaulay Lấy (x1 , , xk ) M− dãy chặt từ chiều > s Khi ta có n n (i) (AttR Hmi (M/(x1n1 , , xk k )M))>s (AttR (0 :Hmi (M) (x1n1 , , xk k )R))>s độc lập với n1 , , nk với i ≥ (ii) (AttR Hmi (M/(x1 , , xk )M))>s = (AttR (0 :H i+k (M) (x1 , , xk )R))>s với i ≥ m (iii) Với i ≥ 0, tập hợp i (M) n1 , ,nk (AttR (0 :Hm nk n1 i n1 , ,nk (AttR (Hm (M/(x1 , , xk )M))≥s n (x1n1 , , xk k )R))≥s tập hợp hữu hạn Mục đích luận văn trình bày chi tiết lại kết nêu báo [9]: L T Nhan and N V Hoang (2014), “A finiteness result for attached primes of Artinian local cohomology modules”, Journal of Algebra and Its Applications, Vol 13, 1350063 (14 pages) Bên cạnh để việc trình bày có hệ thống rõ ràng hơn, luận văn bổ sung số kiến thức từ tài liệu sách Commutative Ring Theory (của H Matsumura [8]), số giảng GS.TSKH Nguyễn Tự Cường, PGS.TS Lê Thanh Nhàn, TS Nguyễn Văn Hoàng đại số giao hoán đại số đồng điều Luận văn chia làm chương Chương trình bày kiến thức sở cần thiết dùng để chứng minh kết chương sau Một số kiến thức trình bày là: Vành môđun Artin, biểu diễn thứ cấp môđun Artin, môđun đối đồng điều địa phương, dãy quy độ sâu môđun, đối ngẫu Matlis số tính chất Trong phần đầu Chương 2, giới thiệu khái niệm đối dãy từ chiều > s số tính chất Phần sau chương dành để trình bày chứng minh chi tiết cho Định lý Chương chứng minh chi tiết cho Định lý Trong đó, trước phần chứng minh, có đưa vài tính chất có liên quan cần thiết Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhằm đưa số kiến thức chuẩn bị giúp cho việc trình bày có hệ thống kiến thức thực cần thiết phục vụ cho chứng minh kết chương sau Chương ta giả thiết R vành giao hoán có đơn vị Kiến thức chương trích từ số sách [3], [7], [8] 1.1 Vành môđun Artin Định nghĩa 1.1.1 (Vành môđun Artin) Cho R vành giao hoán A R− môđun Khi A gọi môđun Artin dãy giảm môđun A dừng, nghĩa A0 ⊇ A1 ⊇ ⊇ An ⊇ dãy giảm dần môđun A tồn k ∈ N cho Ak = An với n ≥ k Vành R gọi vành Artin R− môđun Artin, tức dãy giảm iđêan R dừng Mệnh đề sau cho ta điều kiện tương đương với định nghĩa môđun Artin Mệnh đề 1.1.2 Cho R vành giao hoán A R− môđun Khi điều kiện sau tương đương (i) A môđun Artin (ii) Mỗi tập khác rỗng môđun A có phần tử cực tiểu Để đề cập đến vài tính chất môđun Artin, sau ta nhắc lại khái niệm độ dài môđun Định nghĩa 1.1.3 Cho R vành giao hoán khác không M R− môđun (i) Một dãy M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mn = M môđun M gọi xích (ii) Xích = M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mn = M gọi dãy hợp thành M Mi+1 /Mi môđun đơn với i = 0, 1, , n −1, tức Mi+1 /Mi có hai môđun (iii) Độ dài M, kí hiệu R (M), cận độ dài xích có dạng = M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mn = M, Mi = Mi+1 với i = 0, 1, , n − Một R− môđun M gọi có độ dài hữu hạn M có dãy hợp thành Trong trường hợp dãy hợp thành M có độ dài độ dài M độ dài dãy hợp thành M Hơn dãy tăng giảm thực môđun M có độ dài không vượt độ dài dãy hợp thành Định lý 1.1.4 Ta có phát biểu sau (i) Nếu R vành Artin iđêan nguyên tố R tối đại (ii) Nếu R vành Artin R có hữu hạn iđêan tối đại Định nghĩa 1.1.5 (Chiều Krull) Cho R vành giao hoán, dãy giảm thực iđêan nguyên tố p0 ⊃ p1 ⊃ · · · ⊃ pn vành R gọi xích nguyên tố có độ Hệ 2.2.3 Giả sử (x1 , , xk ) M− dãy từ chiều > s Khi tập hợp ( nk n1 n1 , ,nk AssR (M/(x1 , , xk )M))≥s hữu hạn Chứng minh Vì M hữu hạn sinh nên theo Mệnh đề 1.5.1, ta có D(M/(x1 , , xi−1 )M) Artin Theo [11, Theorem 2.3] ta có AssR (M/(x1 , , xi−1 )M) = AttR D(M/(x1 , , xi−1 )M) = AttR (0 :D(M) (x1 , , xk )R) với số nguyên i = 1, , k Do (x1 , , xk ) D(M)− đối dãy từ chiều > s Theo Định lý ta có ( ( n1 , ,nk AttR (0 :D(M) nk n1 n1 , ,nk AttR (D(M/(x1 , , xk )M))≥s 2.3] lần nữa, ta tập ( n (x1n1 , , xk k )R))≥s tập hợp hữu hạn Do tập hợp hữu hạn Lại theo [11, Theorem nk n1 n1 , ,nk AssR (M/(x1 , , xk )M))≥s 29 hữu hạn Chương Tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương Artin Trong chương này, giả thiết (R, m) vành giao hoán Noerther địa phương với iđêan cực đại m Cho A R− môđun Artin M R− môđun hữu hạn sinh có dim M = d Để chứng minh Định lý ta cần nhắc lại số kiến thức chuẩn bị 3.1 Môđun Cohen-Macaulay, vành catenary, thớ hình thức, dãy chặt từ chiều > s Định nghĩa 3.1.1 (Môđun Cohen - Macaulay) Cho (R, m) vành địa phương Noether M R− môđun hữu hạn sinh Ta nói M môđun Cohen - Macaulay M = (M = depth(M) = dim(M)) Vành R gọi vành Cohen Macaulay thân R− môđun Cohen - Macaulay Định nghĩa 3.1.2 (Dãy nguyên tố bão hòa) Cho p ⊂ q iđêan nguyên tố R Một dãy iđêan nguyên tố p = p0 ⊂ ⊂ pn = q cho pi = pi+1 với i, gọi dãy nguyên tố bão hòa p q với i không tồn iđêan nguyên tố chen pi pi+1 30 Định nghĩa 3.1.3 Vành R gọi catenary với hai iđêan nguyên tố p, q R, với q ⊂ p, tồn dãy bão hòa iđêan nguyên tố p kết thúc q, đồng thời dãy có độ dài (hữu hạn) Định nghĩa 3.1.4 Vành R gọi catenary phổ dụng R vành Noether R− đại số hữu hạn catenary Định nghĩa 3.1.5 (Khái niệm thớ) (i) Cho f : A → B đồng cấu vành, lấy ánh xạ a f : Spec(B) → Spec(A), β −→ a f (β ) = f −1 (β ) (với β ∈ Spec(B)) Cho p ∈ Spec(A), ta dễ thấy có song ánh (a f )−1 (p) X = Spec(S−1 (B/pB)) = Spec(B A k(p)) (trong S = A\p k(p) = Ap /pAp ) Ta gọi X thớ f p (ii) Cho (R, m) vành địa phương, f : R → R đồng cấu tắc (với R đầy đủ m− adic R) Khi thớ f iđêan nguyên tố R gọi thớ hình thức R Định nghĩa 3.1.6 Một dãy (x1 , , xk ) ⊆ m gọi M− dãy chặt từ chiều > s x j ∈ / p với p ∈ d i i=0 (AttR Hm (M/(x1 , , x j−1 )M))>s Chú ý (AssR N)>s ⊆ dim N i i=0 (AttR Hm (N))>s j = 1, , k với R− môđun hữu hạn sinh N (xem [3, 11.3.9]) Do M− dãy chặt từ chiều > s M− dãy từ chiều > s theo định nghĩa [2] Hơn nữa, M− dãy chặt từ chiều > xác f − dãy chặt theo nghĩa Cường, Morales Nhàn [5] 31 3.2 Chứng minh Định lý Từ trở ta giả sử R vành catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen - Macaulay Để chứng minh Định lý ta cần số kết bổ trợ Bổ đề 3.2.1 dim (R/ AnnR (Hmi (M))) ≤ i với số nguyên i ≥ Chứng minh Vì R vành catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen Macaulay, nên theo [4, Proposition 2.5] ta có PsuppiR (M) = CosR (Hmi (M)) với số nguyên i ≥ (trong CosR (A) = {p ∈ Spec(R) | HomR (Rp , A) = 0} theo [4, p 226]) Chú ý theo [4] ta có CosR Hmi (M) = Var(p) i (M)) p∈AttR (Hm = Var(p), i (M)) p∈min AttR (Hm mà AttR (Hmi (M) = min(AnnR (Hmi (M))), ta có CosR Hmi (M) = Var(p) i (M)) p∈min AttR (Hm = Var(p) i (M)) p∈min AnnR (Hm = Var(AnnR Hmi (M)) Kết hợp lại ta có PsuppiR (M) = Var(AnnR Hmi (M)) Mặt khác theo định nghĩa tập 32 PsuppiR (M) ta có i−dim (R/p) PsuppiR (M) = {p ∈ SuppR M | HpRp (Mp ) = 0} Suy i−dim (R/p) Var(AnnR Hmi (M)) = {p ∈ SuppR M | H pRp (Mp ) = 0} i−dim (R/p) Từ đó, lấy tùy ý p ∈ Var(AnnR Hmi (M)), theo ta có HpRp (Mp ) = Do dim (R/p) ≤ i Vì dim (R/ AnnR (Hmi (M))) ≤ i Điều phải chứng minh Bổ đề 3.2.2 Lấy (x1 , , xk ) M− dãy chặt từ chiều > s Đặt M0 = M Mt = M/(x1 , , xt )M với t = 1, , k Khi với i = 1, , d ta có (AttR Hmi (Mk ))>s = (AttR (0 :H i+k (M) (x1 , , xk )R))>s , m (AttR Hmi (Mk ))s ⊆ (AttR (0 :H i+k (M) (x1 , , xk )R))s m k−1 (AttR Hmi+ j (Mk− j−1 ))s ∪ j=0 Chứng minh Vì (x1 , , xk ) M− dãy chặt từ chiều > s nên xt ∈ / p với p ∈ d i i=0 (AttR Hm (Mt−1 )>s với t = 1, , k Mặt khác ta có d AttR (Hmi (Mt−1 )) AssR Mt−1 ⊆ i=0 theo [3, 11.3.9] Do xt ∈ / p với p ∈ (AssR Mt−1 )>s với t = 1, , k Cho nên dim (0 :Mt−1 xt ) ≤ s, theo Định lý 1.3.10, ta có Hmi (0 :Mt−1 xt ) = với i > s Từ dãy khớp → (0 :Mt−1 xt ) → Mt−1 → Mt−1 /(0 :Mt−1 xt ) → ta có dãy khớp dài môđun đối đồng điều địa phương · · · → Hmi (Mt−1 ) → Hmi (Mt−1 /(0 :Mt−1 xt )) → Hmi+1 (0 :Mt−1 xt ) → · · · 33 Vì Hmi (0 :Mt−1 xt ) = với i > s nên ta có phép đẳng cấu Hmi (Mt−1 ) ∼ = Hmi (Mt−1 /(0 :Mt−1 xt )) với i > s Lại từ dãy khớp x t → Mt−1 /(0 :Mt−1 xt ) − → Mt−1 → Mt → ta có dãy khớp dài môđun đối đồng điều địa phương · · · → Hmi (Mt−1 ) → Hmi (Mt ) → Hmi+1 (Mt−1 /(0 :Mt−1 xt )) → · · · Áp dụng đẳng cấu ta có hai dãy khớp Hms (Mt−1 ) → Hms (Mt ) → (0 :H s+1 (M m t−1 ) → Hmi (Mt−1 )/xt Hmi (Mt−1 ) → Hmi (Mt ) → (0 :H i+1 (M m xt ) → 0, (5) xt ) → (6) t−1 ) với i > s Ta chia làm hai trường hợp Trường hợp 1: Lấy i ≥ s Khi theo Mệnh đề 1.2.5 (iii) ta có (AttR Hmi (Mt−1 )/xt Hmi (Mt−1 ))s ⊆ (AttR Hmi (Mt−1 ))s Vì xt ∈ / p với p ∈ (AttR (Hmi (Mt−1 )))>s nên từ Bổ đề 2.1.2 (i) ta có dim (R/ AnnR (Hmi (Mt−1 )/xt Hmi (Mt−1 ))) ≤ s Hơn nữa, theo Bổ đề 3.2.1 ta có dim R/ AnnR Hms (Mt−1 )) ≤ s Từ ta áp dụng Bổ đề 2.1.3 cho dãy khớp (5) (6) với t = k ta có (AttR Hmi (Mk ))>s = (AttR (0 :H i+1 (M m k−1 ) (AttR Hmi (Mk ))s ⊆ (AttR (0 :H i+1 (M m 34 k−1 ) xk ))>s ; xk ))s ∪ (AttR Hmi (Mk−1 ))s , với i ≥ s Vì i + > s, áp dụng Bổ đề 2.1.4 cho dãy khớp (6) với t = k − 1, , tương ứng với dãy phần tử (xt+1 , , xk ) ta thu (AttR (0 :H i+1 (M k−1 ) m xk ))>s =(AttR (0 :H i+2 (M m k−2 ) =(AttR (0 :H i+3 (M m k−3 ) (xk−1 , xk )R))>s (xk−2 , xk−1 , xk ))R)>s =(AttR (0 :H i+k (M) (x1 , , xk )R))>s m Do (AttR Hmi (Mk ))>s = (AttR (0 :H i+k (M) (x1 , , xk )R))>s Vì i + > s, ta áp m dụng lại Bổ đề 2.1.4 cho tất dãy khớp (6) với t = k − 1, , tương ứng với dãy phần tử (xk+1 , , xk ) ta có (AttR (0 :H i+1 (M m k−1 ) xk R))s ⊆(AttR (0 :H i+2 (M m k−2 ) (xk−1 , xk )R))s ∪ (AttR (Hmi+1 (Mk−2 )))s k−1 (AttR Hmi+ j (Mk− j−1 ))s ⊆(AttR (0 :H i+k (M) (x1 , , xk )R))s ∪ m j=1 Vì k−1 (AttR (Hmi (Mk )))s (AttR Hmi+ j (Mk− j−1 ))s , ⊆ (AttR (0 :H i+k (M) (x1 , , xk )R))s ∪ m j=0 điều ta mong muốn Trường hợp 2: Lấy i < s Theo Bổ đề 3.2.1 ta có dim (R/ AnnR (Hmi (Mk ))) ≤ i < s Do theo Bổ đề 2.1.2(ii) ta có (AttR (Hmi (Mk )))≥s = / Vì bao hàm cuối bổ đề Bây ta chứng minh (AttR (0 :H i+k (M) (x1 , , xk )R))>s = / Nếu i + k ≤ s m (AttR (0 :H i+k (M) (x1 , , xk )R))>s = 0/ theo Bổ đề 2.1.2 3.2.1 Từ ta giả sử tồn m 35 số nguyên h > cho i + k = s + h Chú ý (AttR (Hms (Mh )))>s = 0/ theo Bổ đề 2.1.3 3.2.1 Do từ Trường hợp dẫn đến (AttR (0 :H s+h (M) (x1 , , xh )R))>s = (AttR (Hms (Mh )))>s = / m Vì i < s nên ta có k > h Do (0 :H i+k (M) (x1 , , xk )R) ⊆ (0 :H s+h (M) (x1 , , xh )R) m m Điều kết hợp với Bổ đề 2.1.2(ii) ta thu (AttR (0 :H i+k (M) (x1 , , xk )R))>s = (AttR (0 :H s+h (M) (x1 , , xk )R))>s = 0, / m m bổ đề chứng minh Hệ 3.2.3 Một dãy (x1 , , xk ) phần tử m M− dãy chặt từ chiều > s Hmi (M)− đối dãy từ chiều > s với i = 0, , d Chứng minh Giả sử (x1 , , xk ) M− dãy chặt từ chiều > s Lấy i ≥ số nguyên lấy j ∈ {1, , k} Giả sử p ∈ (AttR (0 :Hmi (M) (x1 , , x j )R))>s Ta cần chứng tỏ x j+1 ∈ / p Nếu i ≥ j (AttR (0 :Hmi (M) (x1 , , x j )R))>s = (AttR Hmi− j (M/(x1 , , x j )M))>s / p Giả sử theo Bổ đề 3.2.2 Do p ∈ (AttR Hmi− j (M/(x1 , , x j )M))>s , x j+1 ∈ i < j Khi theo Mệnh đề 1.2.5(ii) Bổ đề 3.2.2 ta có (AttR (0 :Hmi (M) (x1 , , xi )R))>s = (AttR Hm0 (M/(x1 , , xi )M))>s ⊆ {m} Nếu (AttR Hm0 (M/(x1 , , xi )M))>s = 0/ (AttR (0 :Hmi (M) (x1 , , xi )R))>s = / Vì i < j, ta nhận từ Bổ đề 2.1.2(ii) p ∈ (AttR (0 :Hmi (M) (x1 , , x j )R))>s = 0, / điều mâu thuẫn Như (AttR Hm0 (M/(x1 , , xi )M))>s = {m} 36 Từ lấy p ∈ (AttR Hm0 (M/(x1 , , xi )M))>s , dim(R/p) = dim(R/m) = > s Suy s = −1 xi+1 không phần tử M/(x1 , , xi )M−chính quy chặt từ chiều > −1, điều mâu thuẫn Vì (x1 , , xk ) Hmi (M)−đối dãy từ chiều > s với i = 0, , d Bây ta chứng minh điều ngược lại quy nạp theo k Trường hợp k = suy từ định nghĩa M− dãy chặt từ chiều > s Lấy k > Rõ ràng (x1 , , xk−1 ) Hmi (M)− đối dãy từ chiều > s với i = 0, , d Do ta nhận từ giả thiết quy nạp (x1 , , xk−1 ) M− dãy chặt từ chiều > s Từ kết hợp với Bổ đề 3.2.2 ta (AttR (Hmi (M/(x1 , , xk−1 )M)))>s = (AttR (0 :H i+k−1 (M) (x1 , , xk−1 )R))>s m với i ≥ Do theo giả thiết ta có xk ∈ / p với p ∈ (AttR (Hmi (M/(x1 , , xk−1 )M))>s với i ≥ Vì ta (x1 , , xk ) M− dãy chặt từ chiều > s, điều phải chứng minh Từ Hệ 2.1.6 3.2.3 ta có kết sau n Hệ 3.2.4 Nếu (x1 , , xk ) M− dãy chặt từ chiều > s (x1n1 , , xk k ) M− dãy chặt từ chiều > s với số nguyên dương n1 , , nk Dưới ta phát biểu lại Định lý đưa chứng minh Định lý 3.2.5 Giả sử R vành catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen - Macaulay Lấy (x1 , , xk ) M− dãy chặt từ chiều > s Khi ta có 37 n n (i) Các tập hợp (AttR Hmi (M/(x1n1 , , xk k )M))>s (AttR (0 :Hmi (M) (x1n1 , , xk k )R))>s độc lập với n1 , , nk với i ≥ 0; (ii) (AttR Hmi (M/(x1 , , xk )M))>s = (AttR (0 :H i+k (M) (x1 , , xk )R))>s với i ≥ 0; m (iii) Các tập hợp n n n1 , ,nk (AttR (0 :Hmi (M) (x1n1 , , xk k )R))≥s (AttR (Hmi (M/(x1n1 , , xk k )M))≥s n1 , ,nk hữu hạn với i ≥ n Chứng minh (i) Lấy n1 , , nk số nguyên dương Khi (x1n1 , , xk k ) M− dãy chặt từ chiều > s theo Hệ 3.2.4 Khi theo Hệ 3.2.3 ta thu (x1 , , xk ) Hmi (M)− đối dãy từ chiều > s với i = 0, , d Do từ Định lý ta có n (AttR (0 :Hmi (M) (x1n1 , , xk k )R))>s không phụ thuộc vào n1 , , nk với i ≥ Theo Bổ đề 3.2.2, ta có đẳng thức n n (AttR Hmi (M/(x1n1 , , xk k )M))>s = (AttR (0 :H i+k (M) (x1n1 , , xk k )R))>s m n Do (AttR Hmi (M/(x1n1 , , xk k )M))>s độc lập với n1 , , nk với i ≥ (ii) suy Bổ đề 3.2.2 (iii) Lấy i ∈ {0, 1, , d} Vì (x1 , , xk ) Hmi (M)− đối dãy từ chiều > s, nên kết hợp với Định lý ta có n n1 , ,nk AttR (0 :Hmi (M) (x1n1 , , xk k )R))>s tập hữu hạn Từ khẳng định (i) ta thu n (AttR Hmi (M/(x1n1 , , xk k )M))>s n1 , ,nk 38 tập hữu hạn Do ta cần chứng tỏ n (AttR Hmi (M/(x1n1 , , xk k )M))s n1 , ,nk tập hợp hữu hạn Ta chứng minh điều quy nạp theo k Lấy k = đặt x = x1 Khi xn M− dãy chặt từ chiều > s theo Hệ 3.2.4 Từ kết hợp với Bổ đề 3.2.2 ta suy (AttR Hmi (M/xn M))s ⊆ (AttR (0 :H i+1 (M) xn ))s ∪ (AttR Hmi (M))s m i+1 n (AttR (0 :Hm (M) Vì xn ))s tập hữu hạn, nên ta thu i n n (AttR Hm (M/x M))s tập hữu hạn, kết với k = Giả sử k > Lấy số nguyên dương n n1 , , nk tùy ý, theo Hệ 3.2.4 ta (x1n1 , , xk k ) M− dãy chặt từ n chiều > s Từ theo Bổ đề 3.2.2 ta suy (AttR Hmi (M/(x1n1 , , xk k )M))s chứa tập k−1 n (AttR (0 :H i+k (M) (x1n1 , , xk k )R))s ∪ m n k− j−1 (AttR Hmi+ j (M/(x1n1 , , xk− j−1 )M))s j=0 Vì k − j − ≤ k − với j = 0, , k − 1, nên ta có theo giả thiết quy nạp tập hợp k−1 n k− j−1 (AttR Hmi+ j (M/(x1n1 , , xk− j−1 )M))s j=0 n1 , ,nk− j−1 hữu hạn Hơn tập hợp Định lý Vì i+k n1 , ,nk (AttR (0 :Hm (M) nk n1 i n1 , ,nk (AttR Hm (M/(x1 , , xk )M))s chứng minh Kêt sau hệ trực tiếp Định lý 39 n (x1n1 , , xk k )R))s hữu hạn theo tập hữu hạn Định lý Hệ 3.2.6 Giả sử s ∈ {−1, 0, 1} Lấy (x1 , , xk ) M− dãy chặt từ chiều > s Khi với số nguyên i ≥ 0, tập hợp nk n1 i n1 , ,nk AttR Hm (M/(x1 , , xk )M) i (M) n1 , ,nk AttR (0 :Hm hữu hạn 40 n (x1n1 , , xk k )R) Kết luận Tóm lại, luận văn trình bày chứng minh chi tiết kết báo “A finiteness result for attached primes of Artinian local cohomology modules” L.T Nhàn N V Hoàng đăng tạp chí Journal of Algebra and Its Applications năm 2014 Kết luận văn gồm nội dung sau: Hệ thống lại số kiến thức sở cần thiết dùng để chứng minh kết luận văn: môđun Artin, lý thuyết biểu diễn thứ cấp, tập Att môđun Artin, môđun đối đồng điều địa phương, dãy quy độ sâu môđun, đối ngẫu Matlis, vành Cohen - Macaulay, vành catenary, thớ hình thức, đối dãy từ chiều > s, khái niệm dãy chặt từ chiều > s Chứng minh được: Giả sử (x1 , , xk ) A− đối dãy từ chiều > s Khi tập n (AttR (0 :A (x1n1 , , xk k )R))>s không phụ thuộc vào lựa chọn n1 , , nk tập n1 , ,nk (AttR (0 :A n (x1n1 , , xk k )R))≥s hữu hạn Chứng minh được: Giả sử R vành catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen - Macaulay Lấy (x1 , , xk ) M− dãy chặt từ chiều > s Khi n n (i) tập (AttR Hmi (M/(x1n1 , , xk k )M))>s (AttR (0 :Hmi (M) (x1n1 , , xk k )R))>s độc lập với n1 , , nk với i ≥ (ii) (AttR Hmi (M/(x1 , , xk )M))>s = (AttR (0 :H i+k (M) (x1 , , xk )R))>s với i ≥ m nk n1 i (M) (x1 , , xk )R))≥s n1 , ,nk (AttR (0 :Hm nk n1 i n1 , ,nk (AttR (Hm (M/(x1 , , xk )M))≥s hữu hạn (iii) Với i ≥ 0, tập hợp 41 tập hợp Tài liệu tham khảo [1] M.Brodmann (1979), “Asymptotic stability of AssR (M/I n M)”, Proc Amer Math Soc., 74, 16 -18 [2] M Brodmann and L T Nhan (2008), “A finiteness result for associated primes of certain Ext-modules”, Comm Algebra, 36, 1527-1536 [3] M Brodmann and R Y Sharp (1998), “Local Cohomology: An Algebraic Introduction with Geometric Applications”, Cambridge University Press [4] M Brodmann and R Y Sharp (2002), “On the dimension and multiplicity of local cohomology modules”, Nagoya Math J., 167, 217-233 [5] N T Cuong, M Morales and L T Nhan (2004), “The finiteness of certain sets of attached prime ideals and the length of generalized fractions”, J Pure Appl Algebra, 189, 109-121 [6] M Katzman (2002), “An example of an infinite set of associated primes of a local cohomology module”, J Algebra, 252, 161-166 [7] I G Macdonald (1973), “Secondary representation of modules over a commutative ring”, Sympos Math, 11, 23-43 [8] H Matsumura (1986), Commutative ring theory, Cambridge University Press [9] L T Nhan and N V Hoang (2014), “A finiteness result for attached primes of Artinian local cohomology modules”, Journal of Algebra and Its Applications, 13, 1350063 (14 pages) [10] A Ooishi (1976), “Matlis duality and the width of a module”, Hiroshima Math J., 6, 573-587 42 [11] R Y Sharp (1975), “Some results on the vanishing of local cohomology modules”, Proc London Math Soc., 30, 177-195 [12] R Y Sharp (1986), “Asymptotic behaviour of certain sets of attached prime ideals”, J London Math Soc., 34, 212-218 43 ... c trớch t mt s sỏch [3], [7], [8] 1.1 Vnh v mụun Artin nh ngha 1.1.1 (Vnh v mụun Artin) Cho R l vnh giao hoỏn v A l R mụun Khi ú A c gi l mụun Artin nu mi dóy gim cỏc mụun ca A u dng, ngha l nu... cho Ak = An vi mi n k Vnh R c gi l vnh Artin nu nú l mt R mụun Artin, tc l mi dóy gim cỏc iờan ca R u dng Mnh sau cho ta mt iu kin tng ng vi nh ngha mụun Artin Mnh 1.1.2 Cho R l vnh giao hoỏn... A l R mụun Artin khỏc khụng trờn vnh a phng (R, m) Khi ú, theo chỳ ý 1.2.9 A cú cu trỳc t nhiờn ca R mụun Artin Do cú cu trỳc c bit nh vy nờn ngi ta cú th chuyn vic nghiờn cu mụun Artin trờn