Chương 3: Phép biến đổi Laplace CHƯƠNG 3: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Nhiều vấn đề kỹ thuật, điện tử - viễn thông, lý thuyết mạch … giaỉ cách đưa giải phương trình hệ phương trình chứa đạo hàm, tích phân hàm đó, nghĩa phải giải phương trình vi phân, phương trình tích phân hay phương trình đạo hàm riêng Việc giải trực tiếp phương trình nói chung khó Kỹ sư Heaviside người vận dụng phép biến đổi Laplace để giải toán liên quan đến mạch điện có dạng Phép biến đổi Laplace có vai trò quan trọng lý thuyết điều khiển, phân tích hệ tuyến tính, điện tử nhiều lĩnh vực khác khoa học kỹ thuật Phép biến đổi Laplace biến hàm gốc theo biến t thành hàm ảnh theo biến s Với phép biến đổi việc tìm hàm gốc thoả mãn biểu thức chứa đạo hàm, tích phân (nghiệm phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng…) quy tính toán biểu thức đại số (nhân, chia, cộng, trừ) hàm ảnh Khi biết hàm ảnh, ta sử dụng phép biến đổi ngược để tìm hàm gốc cần tìm Trong chương ta giải hai toán phép biến đổi Laplace tìm biến đổi thuận, biến đổi nghịch vài ứng dụng Các hàm số ký hiệu x(t ), y (t ), thay cho f ( x), g ( x), , x(t ), y (t ) ký hiệu cho tín hiệu phụ thuộc vào thời gian t 3.1 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE THUẬN 3.1.1 Định nghĩa biến đổi Laplace Định nghĩa 3.1: Giả sử x(t ) hàm số thực xác định với t > Biến đổi Laplace hàm số x(t ) hàm X (s ) xác định ký hiệu sau: ∞ L {x(t )} = X (s) = ∫ e − st x(t )dt (3.1) Trong công thức (3.1) x(t ) gọi hàm gốc, X (s ) gọi hàm ảnh phép biến đổi Phép biến đổi Laplace hàm số x(t ) gọi tồn tích phân (3.1) hội tụ với giá trị s miền Trường hợp ngược lại ta nói phép biến đổi Laplace hàm số x(t ) không tồn 75 Chương 3: Phép biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace thực hay phức biến số s hàm ảnh X (s ) thực hay phức Theo thói quen người ta thường ký hiệu hàm gốc chữ bé x(t ), y (t ), biến đổi chữ in hoa X ( s ), Y ( s ), Đôi ký hiệu ~ x ( s ), ~ y ( s ), 3.1.2 Điều kiện tồn Ta xét lớp hàm tồn biến đổi Laplace có dạng sau Định nghĩa 3.2: Hàm biến thực x(t ) gọi hàm gốc thoả mãn điều kiện sau: x(t ) = với t < x(t ) liên tục khúc miền t ≥ Nghĩa với khoảng [a; b] nửa trục thực t ≥ hàm x(t ) gián đoạn loại nhiều số hữu hạn điểm Tại điểm gián đoạn, hàm có giới hạn trái giới hạn phải hữu hạn x(t ) không tăng nhanh hàm mũ t → ∞ Nghĩa tồn M > 0, α ≥ cho x(t ) ≤ Meα 0t , ∀ t > (3.2) α gọi số tăng x(t ) Rõ ràng α số tăng số α1 > α số tăng Ví dụ 3.1: Hàm bước nhảy đơn vị (Unit step function) ⎧ nÕu t < ⎩ nÕu t ≥ η (t ) = ⎨ (3.3) Hàm bước nhảy đơn vị η (t ) liên tục với t ≥ , không tăng mũ với số tăng α0 = Ví dụ 3.2: Các hàm sơ cấp x(t ) liên tục không tăng nhanh hàm mũ Nhưng chưa phải hàm gốc không thoả mãn điều kiện định nghĩa 3.2 Tuy nhiên hàm số sau: ⎧0 x(t )η (t ) = ⎨ ⎩ x(t ) nÕu t < nÕu t ≥ hàm gốc Định lý 3.1: Nếu x(t ) hàm gốc với số tăng α tồn biến đổi Laplace ∞ L {x(t )} = X ( s) = ∫ e − st x(t )dt 76 (3.4) Chương 3: Phép biến đổi Laplace xác định với số phức s = α + i β cho α > α lim Re( s ) → ∞ X ( s) = Hơn hàm ảnh X (s ) giải tích miền Re( s ) > α với đạo hàm ∞ X ' ( s ) = ∫ ( −t )e − st x(t )dt (3.5) Chứng minh: Với s = α + i β cho α > α , ta có: x(t )e − st ≤ Me ∞ (α −α )t mà ∫e (α −α )t ∞ dt hội tụ Vậy tích phân ∫ x(t )e − st dt hội tụ tuyệt đối nên hội tụ Vì tồn biến đổi Laplace X (s ) ∞ X ( s) ≤ ∫ x(t )e − st ∞ dt = ∫ x(t )e −α t − iβ t e ∞ dt = ∫ x (t ) e −α t Me( α −α t ≤ ∫ Me( ) dt = ∞ ∞ Vì tích phân ∫ x(t )e − st lim Re( s )→∞ α −α )t α0 − α M =0 ⇒ Vì lim α →∞ α − α dt ∞ = M α − α0 X (s) = ∞ ( ) ∞ ∂ dt hội tụ tích phân ∫ x(t )e − st dt = ∫ x(t )e − st ( −t ) dt hội ∂s { } tụ miền s Re( s ) ≥ α1 với α1 , α1 > α (theo định lý Weierstrass), suy hàm ∞ ảnh có đạo hàm X ' ( s ) = ∫ ∂s (x(t )e ∂ − st )dt s thuộc miền Do X (s) giải tích miền Re( s ) > α Nhận xét 3.1: 1.Theo định lý 3.1 hàm gốc có ảnh qua phép biến đổi Laplace Tên gọi "hàm gốc" vai trò phép biến đổi 2.Định lý 3.1 điều kiện đủ không cần Chẳng hạn hàm x(t ) = ∞ 1 t ∞ 1 1 hàm gốc lim = ∞ , tích phân ∫ e − st dt = ∫ e − st dt + ∫ e − st dt tồn t t t t →0 + t 0 với s thỏa mãn Re( s ) > 77 Chương 3: Phép biến đổi Laplace 3.Từ ví dụ 3.2, công thức (3.4) suy hàm sơ cấp x(t ) có biến đổi L { x(t )η (t )} Tuy nhiên, để đơn giản thay viết L { x(t )η (t )} ta viết tắt L { x(t )} Chẳng hạn ta viết L {sin t} thay cho L {η (t ) sin t} , L {1} thay cho L {η (t )} Laplace lim x(t ) = x(0) 4.Ta quy ước hàm gốc liên tục phải Nghĩa t →0 + Ví dụ 3.3: Vì hàm η (t ) có số tăng α = biến đổi ∞ L {1} = ∫ e với s , Re( s ) > Ví dụ 3.4: Hàm sin t có số tăng α = biến đổi − st e− st dt = −s ∞ = s ∞ L {sin t} = X ( s) = ∫ e − st sin t dt tồn với s , Re( s ) > Áp dụng công thức tích phân phần ta được: X ( s ) = − cos te − st ∞ ∞ ∞ ∞ − ∫ se − st cos t dt = − ⎛⎜ se − st sin t ⎞⎟ − s ∫ e− st sin t dt ⎠ ⎝ 0 ⇒ (1 + s ) X ( s ) = ⇒ X ( s ) = + s2 3.1.3 Các tính chất phép biến đổi Laplace 3.1.3.1 Tính tuyến tính Định lý 3.2: Giả sử x(t ) , y (t ) có biến đổi Laplace số A, B hàm Ax(t ) + By (t ) có biến đổi Laplace L { Ax(t ) + By (t )} = AL { x(t )} + B L { y(t )} (3.6) Chứng minh: Nếu hai tích phân vế phải đẳng thức sau tồn tích phân vế trái tồn có đẳng thức ∞ ∞ L {Ax(t ) + By(t )} = ∫ e ( Ax(t ) + By(t ) )dt = A ∫ e − st Ví dụ 3.5: − st L {5 + 4sin t} = 5L {1} + L {sin t} = + s ∞ x(t ) dt + B ∫ e − st y (t ) dt s +1 3.1.3.2 Tính đồng dạng Định lý 3.3: Nếu X ( s ) = L {x(t )} với a > , L {x(at )} = X ⎛⎜ s ⎞⎟ a 78 ⎝a⎠ (3.7) Chương 3: Phép biến đổi Laplace Chứng minh: Đổi biến số u = at ta được: ∞ L {x(at )} = ∫ ∞ −s u du ⎛ s ⎞ e − st x( at ) dt = e a x(u ) = X⎜ ⎟ ∫ Ví dụ 3.6: a L {sin ωt} = ⋅ ω ⎛s⎞ ⎜ ⎟ +1 ⎝ω ⎠ = ω s + ω2 ⎝a⎠ a s +9 L {sin 3t} == 3.1.3.3 Tính dịch chuyển ảnh L {x(t )} Định lý 3.4: Nếu X ( s ) = với a ∈ R , L {eat x(t )} = X ( s − a ) (3.8) Chứng minh: L {e at ∞ } x(t ) = ∫ e Ví dụ 3.7: L {eat } = L {eat ⋅1} = ⎧ ωt L {cosh ωt} = L ⎪⎨ e ⎩⎪ Ví dụ 3.8: ∞ − s −a t e x(t ) dt = ∫ e ( ) x(t ) dt = X ( s − a ) − st at s−a + e −ωt ⎪⎫ s , ⎬= 2 ⎭⎪ s − ω L {eat sin ωt} = ω ( s − a)2 + ω ⎧ ωt L {sinh ωt} = L ⎪⎨ e ⎩⎪ − e −ωt ⎪⎫ ω ⎬= 2 ⎭⎪ s − ω 3.1.3.4 Tính trễ Định lý 3.5: Giả sử X ( s ) = L {x(t )} với a ∈ R , L {η (t − a) x(t − a)} = e− sa X (s) ∞ Chứng minh: L {η (t − a) x(t − a)} = ∫ e (3.9) ∞ − st η (t − a ) x(t − a ) dt = ∫ e− st x(t − a) dt a Đổi biến số u = t − a , ta ∞ ∞ a L {η (t − a) x(t − a)} = ∫ e− st x(t − a) dt = ∫ e− s (u +a ) x(u ) du = e− as X ( s) 79 Chương 3: Phép biến đổi Laplace Đồ thị hàm η (t − a ) x(t − a ) có cách tịnh tiến đồ thị η (t ) x(t ) dọc theo trục hoành đoạn a Nếu x(t ) biểu diễn tín hiệu theo thời gian t x(t − a ) biểu diễn trễ a đơn vị thời gian trình x x x(t − a ) x(t ) x η (t ) x(t ) O Ví dụ 3.9: t η (t − a) x(t − a) O t L {η (t − a)} = e a O t O x a t − as s Ví dụ 3.10: Hàm xung (Impulse) hàm khác không khoảng thời gian ⎧0 ⎪ x(t ) = ⎨ϕ (t ) ⎪0 ⎩ nÕu t < a nÕu a < t < b (3.10) nÕu t > b Hàm xung đơn vị đoạn [a; b] : ⎧ nÕu t < a ⎪ ηa ,b (t ) = ⎨ nÕu a < t < b = η (t − a) − η (t − b) ⎪ nÕu t > b ⎩ (3.11) ηa ,b (t ) x(t ) O a b Đồ thị xung công thức (1.10) 80 t O a b t Đồ thị xung η a ,b (t ) công thức (1.11) Chương 3: Phép biến đổi Laplace Hàm xung (3.10) biểu diễn qua hàm xung đơn vị x(t ) = η (t − a)ϕ (t ) − η (t − b)ϕ (t ) = ηa ,b (t )ϕ (t ) L {ηa,b (t )} = L {η (t − a)} − L {η (t − a)} = e − as (3.12) − e−bs s ⎧0 ⎪ Ví dụ 3.11: Tìm biến đổi Laplace hàm xung x(t ) = ⎨sin t ⎪0 ⎩ nÕu t < nÕu < t < π nÕu t > π Theo công thức (3.12) ta viết x(t ) = η (t )sin t − η (t − π )sin t = η (t )sin t + η (t − π )sin(t − π ) Vậy L { x(t )} = e −π s + e −π s + = s2 + s2 + s +1 Ví dụ 3.12: Tìm biến đổi Laplace hàm bậc thang ⎧0 ⎪2 ⎪ x(t ) = ⎨ ⎪4 ⎪⎩ x(t ) nÕu t < hoÆc t > nÕu < t < nÕu < t < 2 nÕu < t < x(t ) = 2η0,1 (t ) + 4η1,2 (t ) + η 2,3 (t ) O t = [η (t ) − η (t − 1) ] + [ 2η (t − 1) − η (t − 1) ] + [η (t − 2) − η (t − 3) ] = 2η (t ) + 2η (t − 1) − 3η (t − 2) − η (t − 3) Do L { x(t )} = + 2e −s − 3e −2 s − e −3s s 3.1.3.5 Biến đổi đạo hàm Định lý 3.6: Giả sử hàm gốc x(t ) có đạo hàm x' (t ) hàm gốc, X ( s ) = L {x(t )} L {x' (t )} = sX (s ) − x(0) (3.13) Tổng quát hơn, x(t ) có đạo hàm đến cấp n hàm gốc L { x( n) (t )} = s n X ( s ) − s n−1x(0) − s n−2 x '(0) − " − x( n−1) (0) (3.14) Chứng minh: Áp dụng công thức tích phân phần ta có ∞ L {x' (t )} = ∫ e − st x' (t ) dt = e − st x(t ) ∞ ∞ + ∫ se − st x(t ) dt = sX (s ) − x(0) Công thức (3.14) chứng minh quy nạp từ công thức (3.13) 81 Chương 3: Phép biến đổi Laplace L {cos ωt} = L ⎧⎪⎨⎛⎜⎝ sinωωt ⎞⎟⎠ ⎫⎪⎬ = ω1 ⋅ s ⋅ s +ωω − sin = s +s ω ' Ví dụ 3.13: ⎪⎩ ⎪⎭ Hệ quả: Với giả thiết định lý 3.6 lim Re( s ) → ∞ sX ( s ) = x(0) Chứng minh: Áp dụng định lý 3.1 cho đạo hàm x' (t ) ta có lim Re( s ) → ∞ sX ( s ) − x(0) = 3.1.3.6 Biến đổi Laplace tích phân t ∫ Định lý 3.7: Giả sử hàm gốc x(t ) có X ( s ) = L { x(t )} hàm số ϕ(t ) = x(u )du hàm gốc ⎫ ⎧t L ⎪⎨∫ x(u )du ⎪⎬ = X (s ) (3.15) s ⎪⎭ ⎪⎩0 Chứng minh: Hàm ϕ (t ) có đạo hàm x(t ) liên tục khúc nên liên tục khúc t ϕ (t ) = ∫ t x(u )du ≤ ∫ t α 0u ∫ x(u ) du ≤ Me du = Meα 0u α0 t ≤ Meα 0t α0 Vậy ϕ (t ) hàm gốc có số tăng với x(t ) ⎧⎪ t ⎫⎪ Từ công thức (3.13) ta có X ( s ) = L { x(t )} = s L ⎨ ∫ x(u )du ⎬ ⇒ L ⎪⎩ ⎪⎭ 3.1.3.7 Đạo hàm ảnh Định lý 3.8: Giả sử x(t ) hàm gốc có X ( s ) = L {x(t )} ⎧⎪ t ⎫⎪ X ( s ) ⎨ ∫ x(u )du ⎬ = s ⎪⎩ ⎪⎭ dn X (s) (3.16) ds n Chứng minh: Theo định lý 3.1 hàm X (s ) giải tích miền Re( s ) > α nên có đạo hàm L {t x(t )} = ( −1) n cấp miền Từ công thức (3.5) ta có n L {tx(t )} = − X ' ( s ) Áp dụng liên tiếp công thức ta công thức (3.16) Ví dụ 3.14: L {t } = ( −1) n n d n ⎛ ⎞ n! ⎜ ⎟= ds n ⎝ s ⎠ s n+1 Ví dụ 3.15: Hàm dốc đoạn [ 0; a ] : ⎧0 ⎪t ⎪ x(t ) = ⎨ ⎪a ⎩⎪ 82 x nÕu t < nÕu ≤ t ≤ a nÕu t ≥ a O a t Chương 3: Phép biến đổi Laplace t t t t t−a x(t ) = η0 a (t ) + η (t − a ) = η (t ) − η (t − a) + η (t − a) = η (t ) − η (t − a) a a a a a ⇒ L {x(t )} = as − e − as = as − e − as as x Ví dụ 3.16: Hàm hình mũ (Hat function) nÕu t < ⎧0 ⎪t ⎪ Λ (t ) = ⎨ ⎪2 − t ⎪⎩ nÕu ≤ t ≤ nÕu ≤ t ≤ O nÕu t > 2 t Λ (t ) = t [η (t ) − η (t − 1)] + ( − t ) [η (t − 1) − η (t − 2)] = tη (t ) − 2(t − 1)η (t − 1) + (t − 2)η (t − 2) ⇒ L {Λ(t )} = s2 − 2e − s s2 e − 2s + s2 ( e − s − 1) = s2 3.1.3.8 Tích phân ảnh Định lý 3.9: Giả sử x(t ) hàm gốc (chẳng hạn x(t ) hàm gốc tồn tai t x(t ) hữu hạn) Đặt X ( s ) = L { x(t )} , s ∈ R t →0 + t lim ∞ L ⎧⎨ x(t ) ⎫⎬ = ∫ X (u )du ⎩ t ⎭ s (3.17) ⎧ x(t ) ⎫ Chứng minh: Đặt Y ( s) = L ⎨ ⎬ , s ∈ R Từ công thức (3.15) ta có ⎩ t ⎭ ∞ ∫ ∞ khác lim Y ( s ) = ⇒ Y ( s ) = − Y ' (u ) du = s →∞ s sin t = t t →0 Ví dụ 3.17: Vì lim + L {sin t} = L {x(t )} = −Y ' (s ) Mặt ∫ X (u)du s s +1 ∞ du π ∞ ⎧ sin t ⎫ ⇒ L⎨ = arctan u s = − arctan s = arccot s ⎬= ∫ 2 ⎩ t ⎭ s u +1 t sin u du , t > có biến đổi Laplace Hàm Sin tích phân: Si t = ∫ u L ⎧⎪ t sin u ⎫⎪ arccot s du ⎬ = ⎨∫ s ⎩⎪ u ⎭⎪ 83 Chương 3: Phép biến đổi Laplace 3.1.3.9 Biến đổi Laplace hàm tuần hoàn Định lý 3.10: Giả sử x(t ) hàm gốc tuần hoàn chu kỳ T > T ∫e X ( s ) = L {x(t )} = ∞ L {x(t )} = ∫ e Chứng minh: X ( s ) = − st T x(t )dt = ∫ e − st x(t ) dt − e − sT − st (3.18) ∞ x(t )dt + ∫ e − st x(t ) dt T Đổi biến số t = T + u tích phân thứ hai vế phải ta có ∞ ∫e − st T ∞ x(t ) dt = ∫ e − s (T + u ) x(T + u )du = e − sT ∞ ∫e − su x(u )du T ∫e T Do X ( s ) = e − st x(t )dt + e − sT X ( s ) ⇒ ∫ X ( s) = 0 − st x(t )dt − e − sT Ví dụ 3.18: Tìm biến đổi Laplace hàm gốc tuần hoàn chu kỳ 2a > sau: a 2a ∫e − st a x(t )dt = ∫ e − st − as e − st dt = −s 1− e ⇒ X (s) = = ⋅ = ⋅ as −2 as − s s (1 − e ) s 1+ e (e − 1) dt − ∫ e − st a − as 2a 3a 2a −1 as e2 a −e as e +e 4a e − st − −s − as − as 2a t ( e − as − 1) = s a as sinh = ⋅ as = ⋅ as s cosh s 2 3.1.3.10 Ảnh tích chập Định nghĩa 3.3: Tích chập hai hàm số x(t ), y (t ); t ≥ hàm số ký hiệu xác định công thức 84 Chương 3: Phép biến đổi Laplace 3.2.2 Điều kiện đủ để hàm có biến đổi ngược Định lý 3.1 cho thấy hàm phức giải tích có biến đổi ngược Chẳng hạn hàm X ( s ) = s ảnh hàm gốc lim Re( s ) → ∞ X (s) = ∞ Định lý sau cho ta điều kiện đủ để hàm giải tích có biến đổi ngược Định lý 3.13: Giả sử hàm phức X (s ) thoả mãn điều kiện sau: i X (s ) giải tích nửa mặt phẳng Re( s ) > α , ii X ( s ) ≤ M R với s thuộc đường tròn s = M R lim M R = , R →∞ α +i∞ ∫ iii Tích phân X ( s )ds hội tụ tuyệt đối α −i∞ Khi X (s ) có biến đổi ngược hàm gốc x (t ) cho công thức (3.22) Độc giả tìm hiểu chứng minh định lý 3.12, định lý 3.13 Phụ lục C [2] Định lý 3.1 trang 29 [5] 3.2.3 Một vài phương pháp tìm hàm ngược 3.2.3.1 Sử dụng tính chất biến đổi thuận tính biến đổi ngược Từ tính biến đổi ngược, ta suy tương ứng hàm gốc hàm ảnh tương ứng 1-1 Vì ta áp dụng tính chất biết phép biến đổi thuận để tìm hàm ngược Ví dụ 3.21: ⇒ ⎫⎪ − 4t −1⎧ ⎫ − 4t t ⎬=e L ⎨ 5⎬=e 5! ⎪⎩ (s + 4)6 ⎪⎭ ⎩s ⎭ ⎧ L −1⎪⎨ L ⎧ e5−3s ⎫⎪ = e5 L ⎨ 6⎬ ⎪⎩ ( s + ) ⎪⎭ −1⎪ ⎧ e−3s ⎫⎪ −4(t −3) (t − 3) = e e η (t − 3) ⎨ ⎬ 5! ⎪⎩ ( s + ) ⎪⎭ −1⎪ 3.2.3.2 Khai triển thành chuỗi lũy thừa Nếu a a a a a X ( s ) = + + + + + " s s s s s5 a t a t3 a t4 x(t ) = L −1{X ( s )} = a0 + a1t + + + + " 2! 3! 4! (3.23) Ví dụ 3.22: ⎤ 1 −s 1⎡ 1 1 1 − + − "⎥ = − + − + −" e = ⎢1 − + s s ⎣ s 2!s 3! s 4!s ⎦ s s 2!s 3! s 4!s 87 Chương 3: Phép biến đổi Laplace ⇒ x(t ) = L = ⎧ − ⎫⎪ t2 t3 t4 − + −" ⎨ e s ⎬ = 1− t + s (2!)2 (3!) (4!) ⎩⎪ ⎭⎪ −1⎪ ∞ ∑ (−1)k t k k =0 (k !)2 ∞ (−1) k ⎛ t =∑ ⎜ ⎜ k =0 ( k !) ⎝ ⎞ ⎟⎟ ⎠ 2k ( ) = J0 t J hàm Bessel bậc 3.2.3.3 Sử dụng thặng dư tích phân phức Với điều kiện định lý 3.13 X (s ) có biến đổi ngược x(t ) xác định công thức Bromwich (3.22) Mặt khác giả sử hàm X (s ) có số hữu hạn điểm bất thường cô lập a1 , a , , a n y nửa mặt phẳng Re( s ) < α với α > α Chọn R đủ lớn cho điểm bất thường CR nằm phần mặt phẳng giới a2 hạn đường tròn C R tâm O bán kính R đường A thẳng Re( s ) = α a1 O an • Khi B α x B' B n 1 st st ⎡ Re s e st X ( s ); ak ⎤ + = ( ) ( ) e X s ds e X s ds ∑ ∫ ∫ ⎣ ⎦ 2πi q 2πi B ' k =1 (3.24) BAB ' Bổ đề: q' đường tròn C hàm X (s ) thoả mãn điều kiện X ( s ) < M Nếu cung BAB R k R lim ∫ R →∞ q BAB ' e st X ( s )ds = , ∀ t > Hàm phân thức X ( s ) = P( s) , bậc đa thức Q (s ) lớn bậc đa thức Q( s) P (s ) X (s ) thỏa mãn điều kiện Độc giả tìm hiểu chứng minh bổ đề [4] (Bổ đề trang 40) Lấy giới hạn đẳng thức (3.24) R → ∞ , áp dụng bổ đề định lý 3.12 ta được: x(t ) = n L −1{ X (s)} = ∑ ⎡⎣Re s est X (s); ak ⎤⎦ k =1 88 (3.25) Chương 3: Phép biến đổi Laplace Đặc biệt X ( s ) = P( s) , bậc đa thức Q(s ) lớn bậc đa thức P (s ) Q( s ) Giả sử Q (s ) có không điểm đơn a1 , a , , a n chúng không điểm P (s ) ta có công thức Heaviside: x (t ) = Ví dụ 3.23: Tìm hàm gốc x(t ) = Giải: Hàm ảnh n L −1⎧⎨ QP((ss)) ⎫⎬ = ∑ QP('(aak )) ea t k ⎩ ⎭ (3.26) k k =1 ⎫⎪ s + 3s + L −1⎧⎪⎨ (s − 1)( ⎬ s + 2)( s + 3) ⎩⎪ ⎭⎪ P(s) s + 3s + có cực điểm đơn 1, − , − = Q( s ) ( s − 1)( s + 2)( s + 3) P( s) P( s) P(s) 5 = , = −1 , = ⇒ x(t ) = e t − e − 2t + e − 3t Q ' ( s ) s =1 Q ' ( s ) s = −2 Q' ( s ) s = −3 4 Ví dụ 3.24: Tìm hàm gốc x(t ) = Giải: Hàm ảnh L −1 ⎧⎪ 3s + 3s + ⎨ ⎪⎩ ( s − 2) s + s + ( ) ⎫⎪ ⎬ ⎭⎪ P( s) 3s + 3s + có cực điểm đơn , − + 2i , − − 2i = Q ( s ) ( s − 2) s + s + ( ) ⎛ P (−2 + 2i ) ⎞ P( s) i P( s) P( s) i i ⎟⎟ = + = − = 1, = 1+ , = ⎜⎜ Q ' ( s ) s = −2 + 2i Q' ( s) s = Q' ( s ) s = −2 − 2i ⎝ Q' ( −2 + 2i ) ⎠ 4 i⎞ ⎛ ⎛ i⎞ ⇒ x(t ) = e 2t + ⎜1 + ⎟e − 2t + 2it + ⎜1 − ⎟e − 2t − 2it ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ( ) ( ) i ⎛ ⎞ = e 2t + e − 2t e 2it + e − 2it + e − 2t e 2it − e − 2it = e 2t + e − 2t ⎜ cos 2t − sin 2t ⎟ ⎝ ⎠ 3.2.3.4 Tìm hàm gốc phân thức hữu tỉ Mọi phân thức hữu tỉ có dạng X ( s ) = P( s) , bậc Q (s ) lớn bậc Q( s) P (s ) phân tích thành tổng phân thức tối giản loại I loại II ♦ Các phân thức hữu tỉ loại I: 1 hay , a ∈ R có hàm gốc: s−a ( s − a) n 89 Chương 3: Phép biến đổi Laplace −1⎧ ⎫ at ⎨ ⎬=e , ⎩s − a⎭ L ♦ Các phân thức hữu tỉ loại II: ( ⎪⎫ at t n−1 =e n⎬ (n − 1)! ⎩⎪ ( s − a ) ⎭⎪ L −1⎪⎧⎨ Ms + N (s + a)2 + ω ) n (3.27) , M , N , a, ω ∈ R Sử dụng tính chất dịch chuyển ảnh ta đưa phân thức tối giản loại II hai dạng sau: (s ƒ s +ω ) n (s +ω (3.28) ) n Trường hợp n = , từ ví dụ 3.6 ví dụ 3.12 ta có: L −1⎧⎨ ⎫ sin ωt = ω ⎩s +ω ⎭ ⎫ = cos ωt , ⎩s +ω ⎭ s L −1⎧⎨ 2⎬ 2⎬ (3.29) Áp dụng công thức đạo hàm hàm ảnh (3.16) liên tiếp vào (3.29), (3.30), ta suy trường hợp sau ƒ Trường hợp n = : L ƒ ⎧ s ⎪ ⎨ 2 ⎪⎩ s + ω −1 ( ) ⎫ ⎪ t sin ωt = , 2⎬ 2ω ⎪⎭ ⎧ L ⎫ ⎪ sin ωt − ωt cos ωt = ⎨ 2⎬ 2ω ⎪ s2 + ω ⎪ ⎩ ⎭ −1⎪ ( ) (3.30) Trường hợp n = : ⎧ L L ⎫ ⎪ t sin ωt − ωt cos ωt = ⎨ 2⎬ 8ω ⎪ s2 + ω ⎪ ⎩ ⎭ −1⎪ ( s ⎧ −1⎪ ⎨ ⎪ s2 + ω ⎩ ( ) ) ( ) ⎫ − ω 2t sin ωt − 3ωt cos ωt ⎪ = 2⎬ 8ω ⎪ ⎭ Ví dụ 3.25: Hàm ảnh ví dụ 3.24 X ( s ) = s + 3s + phân tích thành tổng ( s − 2) s + s + ( ) phân thức tối giản X ( s) = 90 (3.31) 2s + 2( s + 2) + = + − 2 s − s + 4s + s − ( s + 2) + ( s + 2) + Chương 3: Phép biến đổi Laplace x(t ) = L ⎧⎪ 3s + 3s + ⎨ ⎪⎩ ( s − 2) s + 4s + −1 ( Ví dụ 3.26: X ( s ) = x(t ) = L 3s − 3( s − 1) = − (s − 2s + 2) ((s − 1) + 1) ((s − 1) + 1)2 ⎧ 3s − ⎪ ⎨ ⎪⎩ s − s + −1 ) ⎫⎪ −2t 2t −2 t ⎬ = e + 2e cos 2t − e sin 2t ⎪⎭ ( ) ⎫ et et ⎪ t t sin t = − − = e sin t t cos t ( ) ( 3t sin t − sin t + t cos t ) 2⎬ 2 ⎪⎭ Ví dụ 3.27: Tìm hàm gốc X ( s ) = Vì 2s + 10 s + s + 45 s2 s2 + ( ) ( ) 1⎛ 1 ⎞ = − ⎜ ⎟ 2 9⎝ s s +9⎠ s2 s2 + ( ) ( ) 2 1⎛ 45 2s s + + 10 s + − 9s − 45 ⎞ ⎟ ⇒ X ( s ) = ⎜ 2s + 10 + + − ⎟ 9⎜ s s s2 + ⎝ ⎠ = s + + + s s2 s2 + s2 + x(t ) = L ⎧⎪ 2s + 10 s + s + 45 ⎫⎪ ⎨ ⎬ = + 5t + cos3t + sin 3t 2 s s +9 ⎪⎩ ⎪⎭ −1 ( ) Ví dụ 3.28: Tìm hàm gốc X ( s ) = 5s − 15s − 11 ( s + 1)( s − 2) Ta phân tích X (s ) thành tổng phân thức tối giản 1 −7 X ( s) = = + + + ( s + 1)( s − 2) s + s − ( s − 2) ( s − 2) 5s − 15s − 11 x(t ) = L −1⎪⎧⎨ 5s − − 15s − 11 ⎪⎫ 1 = − e−t + e2t + 4te2t − t 2e 2t 3⎬ 3 ⎩⎪ ( s + 1)( s − 2) ⎭⎪ 91 Chương 3: Phép biến đổi Laplace 3.3 ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI LAPLACE 3.3.1 Ứng dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân tuyến tính A Phương trình vi phân tuyến tính hệ số an dnx d n−1 x dx a + + " + a1 + a0 x = y (t ) n −1 n n −1 dt dt dt (3.32) x(0) = x0 , x '(0) = x1 , , x ( n−1) (0) = xn−1 (3.33) thỏa mãn điều kiện đầu Ta tìm nghiệm hàm gốc cách đặt X ( s ) = L {x(t )} , Y ( s ) = L {y (t )} Áp dụng công thức biến đổi Laplace đạo hàm (3.13), (3.14) với điều kiện đầu (3.33), L {a0 x(t )} = a0 X (s) L {a1x '(t )} = a1 ( sX (s) − x0 ) L {a n −1 L {a x (n) n } ( ) x ( n−1) (t ) = an−1 s n−1 X ( s ) − s n− x0 − " − xn− } ( (3.34) ) (t ) = an s n X ( s ) − s n −1 x0 − " − sxn− − xn−1 Thay vào (3.32) ta (a s n n ) ( + an−1s n−1 + " + a1s + a0 X ( s ) = Y ( s ) + x0 an s n−1 + an−1s n− + " + a1 ( ) ) + x1 an s n − + an−1s n−3 + " + a2 + " + xn −1an Y (s) + B(s) A( s ) Vậy phương trình ảnh có dạng: A( s ) X ( s ) = Y ( s ) + B ( s ) ⇒ X ( s ) = Ảnh ngược x(t ) = L −1{ X (s)} nghiệm cần tìm Ví dụ 3.29: Tìm nghiệm phương trình: x"−2 x'+2 x = 2e t cos t thỏa mãn điều kiện đầu x ( 0) = x ' ( 0) = Giải: L {2e cos t} = t 2( s − 1) Áp dụng công thức (3.34) với điều kiện đầu toán ta có ( s − 1) + phương trình ảnh: (s 92 ) − 2s + X ( s) = 2( s − 1) 2( s − 1) ⇒ X (s) = ( s − 1) + ( s − 1) + ( ) Chương 3: Phép biến đổi Laplace Áp dụng công thức (3.30) ta có nghiệm x(t ) = L −1{ X (s)} = 2et t sin2 t = tet sin t Ví dụ 3.30: Tìm nghiệm phương trình: x (4) + x "+ x = sin t thỏa mãn điều kiện đầu x(0) = x' (0) = x" (0) = x (3) (0) = ( ) Giải: Phương trình ảnh: s + s + X ( s ) = 1 ⇒ X (s) = s +1 s +1 ( ) ( − t ) sin t − 3t cos t x(t ) = L { X ( s )} = Áp dụng công thức (3.31) ta có nghiệm −1 Ví dụ 3.31: Tìm nghiệm phương trình: x"+ x = e t thỏa mãn điều kiện đầu x(1) = 1, x' (1) = Giải: Bằng cách đặt u = t − ta đưa điều kiện đầu t = điều kiện đầu u = Đặt y (u ) = x(u + 1) = x(t ) Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta có: d y d 2x dy dx dx dt dx , tương tự = = = ⋅ = du du dt du dt du dt Do phương trình cho viết lại tương ứng: y" (u ) + y (u ) = e u +1 với điều kiện đầu y (0) = 1, y ' (0) = Đặt Y ( s ) = L { y(u)} ⇒ L { y "(u)} = s 2Y (s) − s ( ) Phương trình ảnh: s + Y ( s ) = e e s + s ⇒ Y (s) = + s −1 ( s − 1) s + s + ( ) e e e s e e ⎛ ⎞ ⎛ e⎞ ⇒ Y ( s ) = + ⎜1 − ⎟ − ⇒ y (u ) = e u + ⎜1 − ⎟ cos u + sin u ( s − 1) ⎝ ⎠ s + s + 2 ⎝ 2⎠ e ⎛ e⎞ Vậy phương trình cho có nghiệm x(t ) = e t + ⎜1 − ⎟ cos(t − 1) + sin(t − 1) 2 ⎝ 2⎠ B Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số Ví dụ 3.32: Tìm nghiệm hệ phương trình vi phân: ⎧ x' = x − y ⎧ x ( 0) = với điều kiện đầu ⎨ ⎨ ⎩ y' = y − x ⎩ y ( 0) = Giải: Đặt X ( s ) = L {x(t )} , Y (s) = L { y(t )} ⇒ L { x(t )} = sX − 8, L { y(t )} = sY − Thay vào hệ phương trình ta có hệ phương trình ảnh: ⎧sX − = X − 3Y ⎨ ⎩sY − = Y − X hay ⎧( s − 2) X + 3Y = ⎨ ⎩2 X + ( s − 1)Y = Giải hệ phương trình ảnh ta có nghiệm: 93 Chương 3: Phép biến đổi Laplace 8s − 17 ⎧ ⎪ X = ( s + 1)( s − 4) = s + + s − ⎪ ⎨ ⎪Y = 3s − 22 = − ⎪⎩ ( s + 1)( s − 4) s + s − ⎧⎪ x(t ) = 5e − t + 3e 4t ⎨ ⎪⎩ y (t ) = 5e − t − 2e 4t ⇒ Ví dụ 3.33: Tìm nghiệm hệ phương trình vi phân: ⎧⎪ x"+ y '+3x = 15e − t ⎧ x(0) = 35 , x' (0) = −48 với điều kiện đầu ⎨ ⎨ y ( ) = 27 , y ' ( ) = − 55 ⎪⎩ y"−4 x'+3 y = 15 sin 2t ⎩ Giải: Đặt X ( s ) = L {x(t )} , Y (s) = L { y(t )} thay vào ta hệ phương trình ảnh: 15 15 ⎧ ⎧ ⎪⎪s X − 35s + 48 + sY − 27 + X = s + ⎪⎪( s + 3) X + sY = 35s − 21 + s + ⇒ ⎨ ⎨ ⎪s 2Y − 27 s + 55 − 4sX + 140 + 3Y = 30 ⎪− 4sX + ( s + 3)Y = 27 s − 195 + 30 ⎪⎩ ⎪⎩ s2 + s2 + Giải hệ phương trình ảnh ta có nghiệm: 35s − 21 + DX = 27 s − 195 + 15 s +1 30 s2 + s s2 + s2 + D= , DY = − 4s 35s − 21 + 27 s − 195 + 15 s +1 , 30 s2 + s2 + s − 4s s + DX 30s 45 2s = − + + 2 D s +1 s + s +1 s + D 30 s 60 Y= Y = − − + D s2 + s2 +1 s +1 s2 + ⇒ X= Hệ phương trình có nghiệm: ⎧⎪ x(t ) = 30 cos t − 15 sin 3t + 3e t + cos 2t ⎨ ⎪⎩ y (t ) = 30 cos 3t − 60 sin t − 3e t + sin 2t C Phương trình vi phân tuyến tính hệ số biến thiên Ví dụ 3.34: Giải phương trình Đặt X ( s ) = L { x(t )} L {4tx(t )} = −4 dX , L { x '(t )} = sX − x(0) L {tx "(t )} = d ( s ds ds X − sx(0) − x '(0) ) = −2sX − s Phương trình ảnh: −2 sX − s 94 t x" + x' + 4tx = dX + x(0) ds dX dX + x(0) + sX − x(0) − = ds ds Chương 3: Phép biến đổi Laplace Hay ( s + 4) dX dX s = sX ⇒ = ds ds X s +4 C X (s) = Giải phương trình ta được: s2 + ⎧ C ⎫ ⎨ ⎬ = CJ (2t ) ⎩ s +4⎭ Để xác định C ta thay t = vào vế đẳng thức trên: x(0) = CJ (0) = C x(t ) = L Nghiệm phương trình hàm gốc −1 x(t ) = x(0) J (2t ) Vậy nghiệm phương trình là: 3.3.2 Ứng dụng biến đổi Laplace để giải phương trình tích phân Xét phương trình tích phân dạng tích chập t A x(t ) + B ∫ x(u ) k (t − u ) du = C f (t ) (3.35) A, B, C số, f (t ), k (t ) hàm gốc Giải phương trình (3.39) tìm tất hàm thực x (t ) thỏa mãn đẳng thức với t thuộc miền Giả sử x(t ) hàm gốc Đặt X ( s ) = L {x(t )} , F (s) = L { f (t )} , K (s) = L {k (t )} Phương trình ảnh A X ( s ) + B X ( s ) K ( s ) = C F ( s ) ⇒ X ( s ) = C F (s) A + B K ( s) Ví dụ 3.35: Giải phương trình tích phân: t x(t ) − ∫ x(u ) sin(t − u ) du = t Giải: Phương trình ảnh X ( s ) − X ( s ) ⇒ X ( s) = s3 − 1 = s2 +1 2( s + 1) s5 s2 +1 = = s3 s3 + s5 ⇒ x(t ) = t + t 12 Ví dụ 3.36: Giải phương trình tích phân Abel: t x(u ) ∫ (t − u )α du = f (t ) ; < α < 95 Chương 3: Phép biến đổi Laplace { } Giải: Ta có A = , B = C = ; K ( s ) = L t −α = Do X ( s ) = Γ(1 − α) s1−α F (s) s1−α = F ( s ) Nghiệm phương trình x(t ) = K ( s ) Γ(1 − α) L −1 { X (s)} 1 Chẳng hạn α = , f (t ) = + t + t Γ(1 − α ) = π , F ( s ) = + + s s s ⎛ ⎞ s ⎛1 ⎞ ⎜ 1 ⎟ ⇒ X ( s) = + + ⎟ ⇒ x(t ) = + 6t + 8t ⎜s+ + 3⎟= ⎜ π⎝ π⎜ 3π t s s ⎠ ⎟ ⎝ s2 s2 s2 ⎠ ( ) 3.3.3 Ứng dụng biến đổi Laplace để giải toán mạch điện Một số toán tính toán mạch điện đưa giải phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng… Vì vậy, chuyển qua ảnh biến đổi Laplace việc giải toán đơn giản Giả sử đoạn mạch có điện trở R , cuộn dây có hệ số tự cảm L tụ điện có điện dung C JJG i ⎯⎯→ Gọi u (t ) hiệu điện hai đầu đoạn mạch, i (t ) cường độ dòng điện mạch thời điểm t u (t ) i (t ) thỏa mãn đẳng thức sau: t ⎞ ⎛⎜ di (t ) i (t )dt + q0 ⎟ u (t ) = u − u1 = R i (t ) ; u3 − u = L ; u − u3 = ∫ ⎜ ⎟ C dt ⎝0 ⎠ Đặt (3.36) I ( s ) = L {i (t )} , U ( s ) = L {u (t )} L ⎧ di (t ) ⎫ ⎨ ⎬ = sI − i (0) , ⎩ dt ⎭ ⎧⎪ t ⎫⎪ I q ⎨ i (t )dt + q0 ⎬ = + s s ⎩⎪ ⎭⎪ L ∫ Trong q0 điện lượng ban đầu ( t = ) thành tụ điện Trong toán đóng mạch điều kiện ban đầu 0: q0 = , i (0) = Lúc tỉ số điện ảnh U Như trở kháng ảnh điện trở R , cuộn dây I có hệ số tự cảm L tụ điện có điện dung C tương ứng là: cường độ ảnh gọi trở kháng ảnh Z = 96 Chương 3: Phép biến đổi Laplace Z = R ; Z = Ls ; Z = Cs (3.37) Khi tính toán mạng gồm nhiều mạch điện kín ta áp dụng định luật thứ Kirchoff (kiếc-sốp) cho nút định luật thứ hai cho mạch kín, sau chuyển phương trình tìm sang phương trình ảnh Áp dụng hai định luật Kirchoff ta tìm trở kháng ảnh tương đương mạch mắc nối tiếp mạch song song sau: ¾ Trở kháng ảnh tương đương Z hai trở kháng Z1 , Z mắc nối tiếp tổng hai trở kháng Z2 Z1 A C B Gọi u1 , u , u hiệu điện A, B; B, C A, C theo định luật Kirchoff ta có u = u1 + u Chuyển qua ảnh U = U1 + U ⇒ ZI = Z1I + Z I Vậy Z = Z1 + Z (3.38) ¾ Nghịch đảo trở kháng ảnh tương đương hai trở kháng Z1 , Z mắc song song tổng nghịch đảo hai trở kháng Z1 I1 I B A I2 Z2 Gọi I1 , I , I cường độ ảnh mạch 1, mạch mạch U điện ảnh A B Áp dụng định luật Kirchoff nốt A ta có I = I1 + I ⇒ U U U Vậy: = + Z Z1 Z 1 = + Z Z1 Z (3.39) Ví dụ 3.37: Một tụ điện có điện dung C nạp điện có điện lượng q0 Khi t = , ta mắc vào mút cuộn dây có điện cảm L Tìm điện lượng q (t ) tụ điện cường độ i (t ) dòng điện mạch thời điểm t Giải: Áp dụng định luật Kirchoff thứ cho mạch vòng ta có: 97 Chương 3: Phép biến đổi Laplace t ⎞ di ⎛⎜ ⎟ + L + i dt q 0⎟=0 dt C ⎜ ∫ ⎝0 ⎠ Vì i (t ) = i dq nên phương trình trở thành dt C L t ⎞ d 2q q ⎛⎜ dq ⎟ + L ∫ dt + q0 ⎟ = ⇒ L dt + C = dt C ⎜⎝ dt ⎠ d 2q Đặt Q ( s ) = L {q(t )} , q(0) = q0 , q' (0) = i(0) = Do ta có phương trình ảnh: Q s = ⇒ Q = q0 C s2 + CL q t t dq q (t ) = q0 cos ; i (t ) = = − sin dt CL CL CL L( s 2Q − sq0 ) + Vậy Ví dụ 3.38: Xét mạch điện hình vẽ Suất điện động E( t ) = E0 = số Lúc t = mạch đóng lại Hãy tìm cường độ i1( t ) Gọi I1 cường độ ảnh mạch R1 − C A Z1 trở kháng ảnh mạch R1 − C R2 L B E = E0 Z trở kháng ảnh mạch R2 − L ; Cs C R I cường độ ảnh mạch R2 − L Z1 = R1 + R1 Z = R2 + Ls Z trở kháng ảnh tương đương hai đoạn mạch R1 − C R2 − L mắc song song Z Z 1 hay Z = = + Z Z1 Z Z1 + Z Z2 Z (*) = Z1 Z1 + Z ⇒ Hiệu điện ảnh hai đầu A, B đoạn mạch: I1Z1 = I Z = I Z ⇒ I1 = Z I (**) Z1 Áp dụng định luật Kirchoff cho mạch vòng ta có E (R + Z ) I = s 98 (***) Chương 3: Phép biến đổi Laplace Từ (*)-(***) suy I1 = Z E0 Z E0 = Z1 s R + Z s (R(Z1 + Z ) + Z1Z ) Thay Z1 , Z vào kết ta I1 = Z ( R2 + Ls ) L⎞ R R ⎛ s (RL + R1L ) + s⎜ RR1 + RR2 + R1R2 + ⎟ + + C⎠ C C ⎝ Đặt α = RL + R1L ; 2β = RR1 + RR2 + R1R2 + L R R ; γ= + C C C ¾ Nếu ∆ ' = β2 − αγ ≠ , gọi s1 , s nghiệm phân biệt tam thức α s + 2β s + γ = hàm gốc i1 (t ) = R s1 , s ≠ − Khi từ công thức Heavyside ta có L E0 ⎛ R2 + Ls1 s1t R2 + Ls2 s2t ⎞ e + e ⎟ ⎜ ⎝ α s1 + β α s2 + β ⎠ ¾ Nếu ∆ ' = β2 − αγ = , tam thức α s + β s + γ = có nghiệm kép s = − Ta có hàm gốc E i1 (t ) = β α β ⎡ β ⎞ ⎤ −α t ⎛ ⎢ L + t ⎜ R2 − α L ⎟ ⎥ e ⎝ ⎠⎦ ⎣ Ví dụ 3.39: Cho dây dẫn nằm dọc theo trục Ox từ O đến l Gọi C , R, L, G điện dung, điện trở, điền cảm, hệ số hao phí điện ứng với đơn vị dài sợi dây Khi có dòng điện chạy dây, xung quanh tạo nên từ trường làm thay đổi cường độ dòng điện điện Tìm cường độ i ( x, t ) điện u ( x, t ) dòng điện vị trí x thời điểm t với điều kiện đầu điều kiện biên: ⎧ u (0, t ) = ϕ1 (t ) ⎧ i ( x ,0 ) = ⎨ ⎨ ⎩ u ( x ,0 ) = ⎩ u (l , t ) = ϕ2 (t ) (3.40) Theo định luật vật lý ta suy chúng liên hệ với hệ phương trình ∂i ⎧ ∂u ⎪⎪ ∂x + Ri + L ∂t = ⎨ ⎪ ∂i + Gu + C ∂u = ⎪⎩ ∂x ∂t Đặt F1 ( s ) = L {ϕ1 (t )} ; F2 ( s ) = L {ϕ2 (t )} (3.41) (3.42) 99 Chương 3: Phép biến đổi Laplace ∞ U ( x, s ) = L {u ( x, t )} = ∫ e − st ∞ u ( x, t ) dt ; I ( x, s ) = L {i ( x, t )} = ∫ e− st i ( x, t ) dt (3.43) 0 Dựa vào tính hội tụ tích phân suy rộng (3.43) ta chứng minh được: L ⎧⎨ ∂u ⎫⎬ = ∂U ⎩ ∂x ⎭ ∂x ; L ⎧⎨ ∂i ⎫⎬ = ∂I ⎩ ∂x ⎭ (3.44) ∂x L ⎧⎨ ∂u ⎫⎬ = sU ( x, s) − u ( x,0) ; L ⎧⎨ ∂i ⎫⎬ = sI ( x, s) − si( x,0) ⎩ ∂t ⎭ (3.45) ⎩ ∂t ⎭ Áp dụng công thức (3.42)-(3.44) vào (3.41) ta có hệ phương trình ảnh, điều kiện biên ảnh ⎧ ∂U ⎪⎪ ∂x + RI + LsI = ; ⎨ ∂ I ⎪ + GU + CsU = ⎪⎩ ∂x (3.46) ⎧ U (0, s ) = F1 ( s ) ⎨ ⎩ U (l , s ) = F2 ( s ) (3.47) Để giải hệ phương trình ta khử ẩn hàm, chẳng hạn khử I Lấy đạo hàm riêng theo x phương trình thứ (3.46) ta có: ∂ 2U ∂x Thay +R ∂I ∂I + Ls = ∂x ∂x (3.48) ∂I = −(GU + CsU ) vào phương trình ta được: ∂x ∂ 2U − ( R + Ls )( G + Cs )U = ∂x (3.49) Giải phương trình (3.49) theo biến x ta có nghiệm tổng quát: U ( x, s ) = A e kx + B e − kx , với k = ( Ls + R)(Cs + G ) I ( x, s ) = (3.50) ∂U −k Cs + G Aekx − B e− kx = − Aekx − B e − kx = R + Ls ∂x R + Ls Ls + R ( ) ( ) (3.51) Thay điều kiện biên (3.46) ta tìm A, B xong lấy ảnh ngược ta có u ( x, t ) , i ( x, t ) cần tìm Tuy nhiên nói chung công thức tổng quát để tìm hàm gốc từ hàm ảnh có dạng Ta tìm hàm gốc vài trường hợp cụ thể sau 100 Chương 3: Phép biến đổi Laplace Ví dụ 3.40: Giả sử dây dẫn dài ảnh hưởng trình dao động điện không đáng kể Khi đó, mặt lý thuyết ta xem x biến thiên từ đến + ∞ Trong trường hợp này, điều kiện biên thứ hai phải thay đổi điều kiện buộc u ( x, t ) , i ( x, t ) bị chặn x → +∞ Chọn k = ( Ls + R )(Cs + G ) cho Re k > Điều kiện u ( x, t ) , i ( x, t ) bị chặn x → +∞ suy U ( x, s ) , I ( x, s ) bị chặn x → +∞ , A = Vậy U ( x, s ) = B e − kx Thay điều kiện biên U (0, s ) = F1 ( s ) ta B = F1 ( s ) Vậy Cs + G U ( x, s ) Ls + R U ( x, s ) = F1 ( s ) e − kx ; I ( x, s ) = Các trường hợp đặc biệt: ¾ Truyền điện dây không bị hao điện ( R = 0, G = 0) Khi đó: C U ( x, s ) = F1 ( s ) e − sx LC ; I ( x, s ) = U ( x, s ) L Hàm gốc ( ) ⎧ ϕ1 t − x LC nÕu t > x LC ⎪ u ( x, t ) = ⎨ ⎪⎩ nÕu t < x LC i ( x, t ) = C u ( x, t ) L ¾ Truyền sóng không méo mó: RC = LG ( Khi đó: ( Ls + R )(Cs + G ) = s LC + RG Cs + G C = Ls + R L ), C U ( x, s ) = e − x RG F1 ( s ) e − sx LC ; I ( x, s ) = U ( x, s ) L Hàm gốc ( ⎧ e − x RG ϕ t − x LC ⎪ u ( x, t ) = ⎨ ⎪⎩ i ( x, t ) = ) nÕu t > x LC nÕu t < x LC C u ( x, t ) L 101 .. .Chương 3: Phép biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace thực hay phức biến số s hàm ảnh X (s ) thực hay phức Theo thói quen người ta thường ký hiệu hàm gốc chữ bé x(t ), y (t ), biến đổi chữ... Bromwich cho thấy biến đổi Laplace ngược tồn 86 Chương 3: Phép biến đổi Laplace 3.2.2 Điều kiện đủ để hàm có biến đổi ngược Định lý 3.1 cho thấy hàm phức giải tích có biến đổi ngược Chẳng hạn... +1 t sin u du , t > có biến đổi Laplace Hàm Sin tích phân: Si t = ∫ u L ⎧⎪ t sin u ⎫⎪ arccot s du ⎬ = ⎨∫ s ⎩⎪ u ⎭⎪ 83 Chương 3: Phép biến đổi Laplace 3.1.3.9 Biến đổi Laplace hàm tuần hoàn Định