Chương 2: Wavelet CHƯƠNG 2: WAVELET “Lý thuyết Wavelet” kết nổ lực chung nhà toán học, nhà vật lý nhà kỹ thuật … mang lại Sự liên kết tạo nên luồng ý tưởng vượt khỏi việc xây dựng sở phép biến đổi Stéphane Mallat Giải tích wavelet phương pháp mới, tảng toán học bắt nguồn từ công trình Joseph Fourier kỷ 19 Giải tích Fourier phân tích tín hiệu thành tổ hợp sóng hình sin với nhiều tần số khác Một cách tương tự, giải tích wavelet phân tích tín hiệu thành tổ hợp phiên wavelet gốc (wavelet mẹ) với thang độ (scaling) trễ (shifting) khác Alfred Haar xem người đề cập đến wavelet vào năm 1909, ngày người ta gọi wavelet Haar wavelet Khái niệm wavelet trình bày dạng lý thuyết lần Jean Morlet đồng nghiệp thuộc Trung tâm Vật lý lý thuyết Marseille đưa Các phương pháp wavelet phát triển, ứng dụng cách nhanh chóng hiệu quả, đóng góp lãnh vực kể đến Y Meyer đồng nghiệp Hầu hết thuật toán ngày sử dụng dựa công trình Stephane Mallat 1988, kể từ lý thuyết wavelet trở thành lý thuyết giới quan tâm Ở Mỹ, nhóm nhà khoa học có nhiều công trình liên quan đến lý thuyết wavelet, kể đến Ingrid Duabechies (chủ tịch Hội toán học giới nay), Ronald Coifman, Victor Wickerhauser Lý thuyết wavelet phát triển nhanh chóng, báo toán học ứng dụng lý thuyết xuất hàng tháng Đã có toolbox wavelet phần mềm MATLAB, có trang web riêng theo địa http://www.wavelet.org/ có Hội wavelet quốc tế 2.1 HAAR WEVELET Chuỗi Fourier lượng giác công cụ cực mạnh sử dụng hai trường hợp rời rạc liên tục có nhược điểm đáng kể, là: Các hàm eikt = cos kt + i sin kt xác định liên tục toàn đoạn [ −π ; π ] , không thích nghi tốt với tín hiệu có tính địa phương hóa cao, giá trị liệu tập trung miền tương đối nhỏ Thật vậy, ví dụ trường hợp hàm Dirac δ (t ) có giá trị tập trung t = Do ta có hệ số Fourier 57 Chương 2: Wavelet ck = 2π π ∫ δ (t )e −π −ikt dt = 2π (2.1) chuỗi Fourier tương ứng 2π ∞ ∑ k =−∞ eikt = ( + e−2it + e −it + + eit + e2it + 2π ) (2.2) hàm liên tục, hoàn toàn làm tính chất địa phương tập trung giá trị x = hàm Dirac Vì cần xây dựng hệ hàm trực giao có đủ tính chất tốt hệ hàm lượng giác Fourier, đồng thời chuyển tải tính chất địa phương hóa tín hiệu Hệ hàm cần tìm hàm wavelet Giống hàm lượng giác, hàm wavelet có rời rạc nhận cách lấy mẫu Phép biến đổi wavelet rời rạc tính toán cách nhanh chóng, dó thuận lợi xử lý tín hiệu phức tạp chẳng hạn liệu ảnh nhiều chiều Chúng ta bắt đầu với hàm wavelet Alphré Haar (nhà toán học Hungary) giới thiệu năm 1910 Hình 2.1: Bốn hàm Haar wavelet 58 Chương 2: Wavelet Hàm Haar wavelet thứ gọi hàm scaling (scaling function), xác định sau ϕ1 (t ) = ϕ (t ) ≡ , ≤ t ≤ , (2.3) Hàm Haar wavelet thứ hai gọi wavelet mẹ (mother wavelet) ⎧1 ⎩ −1 ϕ2 (t ) = ω (t ) = ⎨ < t