VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Năm học: 2016 - 2017 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (3,0 điểm) Cho biểu thức A  x2  2x 1  (  ) x3   x   x  a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị nhỏ A Bài 2: (6,0 điểm) a) Giải phương trình: x  2015 x  2014  2017 x  2016 b) Chứng minh rằng: 1   2 biết x3 + y3 + 3(x2 + y2) + 4(x + y) + = x.y > x y 1 c)Cho x, y, z thỏa mãn   x  1    :  y z   x  y  z      Tính giá trị biểu thức B  x 21  y 21 y11  z11 z 2017  x 2017 Bài 3: (4,0 điểm) a) Với n chẵn (n  N) chứng minh rằng: (20n + 16n – 3n – 1)  323 b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: ( y  2) x 2017  y  y   Bài 4: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn) nội tiếp đường tròn (O; R) Các đường cao AD, BE, CF cắt H Kéo dài AO cắt đường tròn K Gọi G trọng tâm tam giác ABC a) Chứng minh SAHG = 2SAGO b) Chứng minh HD HE HF + + =1 AD BE CF Bài 5: (3,0 điểm) VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB C D hai điểm nằm nửa đường tròn cho góc CAB = 45 , góc DAB = 30 AC cắt BD M Tính diện tích tam giác ABM theo R VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Đáp án đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp Bài Nội dung x    x  2  a) Điều kiện x để biểu thức A có nghĩa :  x     1a  x  1  x    (1,0đ) Điểm 1,0đ b) Rút gọn biểu thức A A 1b (1,0đ) x2  2x 1 x ( x  2)  (  )  x 1 1 x  1 x  ( x  1)( x  x  1)  ( x  2) 1,0đ x( x  2) x( x  2)  ( x  x  1)    ( x  1)( x  x  1) x  ( x  1)( x  x  1) ( x  1) 1   2 ( x  1)( x  x  1) x  x  a) Tìm giá trị nhỏ A Ta có A  1c (1,0đ) 1 1  x  x  ( x  )2  Ta có A nhỏ ( x  )  đạt giá trị nhỏ Vậy: Giá trị nhỏ A 1,0đ 4 1 x  =  x  2 a) Giải phương trình: x  2015 x  2014  2017 x  2016 Điều kiện x  2a (2,0đ) 2016 2017 Phương trình cho tương đương với x  x   2017 x  2016  2017 x  2016     x  1    2017 x  2016    x     2017 x  2016   1,0đ VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí x    2017 x  2016  1,0đ  x  (thỏa mãn điều kiện) Vậy x  nghiệm phương trình cho b) Chứng minh: 1   2 biết x y x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + = x.y > Ta có: x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + =  (x + y)( x2 – xy + y2) + 2(x2 – xy + y2) + (x2 + 2xy + y2) + 4(x+y) + =  ( x2 – xy + y2)( x + y + 2) + ( x + y + 2)2 = 1,0đ  ( x + y + 2)( x – xy + y + x + y + 2) = 2b (2,0đ)  ( x + y + 2)( 2x2 – 2xy + 2y2 + 2x + 2y + 4) =  ( x + y + 2) ( x  y )  ( x  1)  ( y  1)   =  x+y+2=0  x + y = -2 mà x.y > nên x< 0, y < Áp dụng BĐT CauChy ta có Do xy  suy  x Vậy M   (  x )  (  y ) ( x  y )   1 2 2 1 x  y 2  -2 Mà M     hay xy xy x y xy xy 1 x  1    : 1 y z   x  y  z     21 21 y11  z11 z 2017  x 2017 (2,0đ) Tính giá trị biểu thức B  x  y 1 Ta có:   x 1,0đ   (đpcm) y Cho x, y, z thỏa mãn   2c ( x)( y )   1 1 1    :   1      x  y  z   y z  x y z x y z  (yz + xz + xy)(x + y + z) = xyz  1,0đ VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí  xyz + zy2 + yz2 + zx2 + xyz + xz2 + yx2 + xy2 + xyz = xyz  (xyz + zx2 + xy2+ yx2)+ (zy2 + yz2 + xz2 + xyz) =  x(yz + zx + y2+ yx)+ z(y2 + yz + xz + xy) = x  y  (yz + zx + y2+ yx)( x+ z) =  ( x  y )( y  z )( x  z )    y   z  z   x 1,0đ Thay vào B tính B = Với n chẵn (n  N) chứng minh rằng: 20n + 16n – 3n –  323 Ta có: 323 = 17.19 1,0đ  20n + 16n – 3n – 1= (20n – 1) + (16n – 3n) 20n –  19 16n – 3n  19 3a (n chẵn) (2,0đ) Do 20n + 16n – 3n –  19 (1)  20n + 16n – 3n – 1= (20n – 3n) + (16n –1) 20n – 3n  17 1,0đ 16n –1n  17 (n chẵn) Do 20n + 16n – 3n –  17 (2) Mà (17; 19) = nên từ (1) (2) suy 20n + 16n – 3n –  323 b) Tìm số nguyên x,y thỏa mãn: ( y  2) x 2017  y  y   Nếu y + =  y  2 lúc phương trình có dạng x 2017   (vô nghiệm) 3b (2,0đ) Nếu y  2 ta có x 2017  Vì x,y nguyên nên 1,0đ y2  y 1  y y2 y2 nguyên y   Ư(1)  1;1 y2 Với y   1  y  3  x 2017  4 (loại) Với y    y  1  x 2017   x  Vậy số nguyên x, y thỏa mãn đề là: x = 0,y = -1 1,0đ VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí a) Chứng minh SAHG = 2SAGO  Tam giác ACK nội tiếp đường tròn (O) đường kính AK Nên KC vuông góc với AC Mà BE vuông góc với AC (gt) 1,0đ Suy KC // BE hay KC // BH Chứng minh tương tự ta có KB // CH Nên tứ giác BHCK hình bình hành A E F H G B O D M C K Gọi M giao điểm BC HK nên 1,0đ  M trung điểm BC mà G trọng tâm tam giác ABC nên AG = AM  M trung điểm HK nên AM đường trung tuyến tam giác AHK Mà G thuộc đoạn AM AG = (4,0đ) AHK AM nên G trọng tâm tam giác Ta có O trung điểm AK nên HO đường trung tuyến tam giác AHK Nên HO qua G HG = 2GO  Tam giác AHG tam giác AGO có chung đường cao kẻ từ A đến HO HG = 2GO 2,0đ VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Do SAHG = 2SAGO b) Chứng minh HD HE HF + + =1 AD BE CF HD.BC HD HE HF Ta có: + + = + AD BE CF AD.BC S = HBC + S ABC S HAC + S ABC HE.AC + BE.A C HF.AB CF.AB S +S +S S S HAC HAB = ABC = HAB = HBC S S S ABC ABC ABC Tính diện tích tam giác ABM theo R M C D N A O B H Gọi N giao điểm AD BC; H giao điểm MN AB Chứng minh góc AHM = 90 ; mà góc CAB = 45 (gt) nên tam giác AHM vuông cân  MH = AH  MH + HB = AH + HB = 2R (1) 1,0đ VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí * Tam giác MHB vuông H  HB = MB.cos MBH  MB = HB HB = = 2HB cos MBH cos 60  MH = MB.sinMBH  MH = MB.sin 60 = (3,0đ)  HB = MH = 3.MH Từ (1) (2) ta có MH + Vậy: S = MB = HB AB.MH = 2R.(3 2 2,0đ (2) 3.MH 6R = 2R Þ MH = = (3 3+ 3) R = (3 - 3).R 3) R Chú : - Học sinh giải theo cách khác, v n cho điểm tối đa - Không có điểm vẽ hình - Chứng minh mà hình vẽ hình vẽ sai điểm  ... 2014  2017 x  2016 Điều kiện x  2a (2,0đ) 2016 2017 Phương trình cho tư ng đương với x  x   2017 x  2016  2017 x  2016     x  1    2017 x  2016    x     2017 x  2016. .. tam giác ABM theo R VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Đáp án đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp Bài Nội dung x    x  2  a) Điều kiện x để biểu thức A có nghĩa :  x ... + 16n – 3n –  323 Ta có: 323 = 17. 19 1,0đ  20n + 16n – 3n – 1= (20n – 1) + (16n – 3n) 20n –  19 16n – 3n  19 3a (n chẵn) (2,0đ) Do 20n + 16n – 3n –  19 (1)  20n + 16n – 3n – 1= (20n – 3n)