BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHẠM LÊ KIM THANH PHƢƠNG PHÁP BÌNH PHƢƠNG NHỎ NHẤT VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng –Năm 2016 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HẢI TRUNG Phản biện 1: TS Lê Hoàng Trí Phản biện 2: TS.Trịnh Đào Tiến Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng năm 2016 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong khoa học kỹ thuật thường gặp nhiều toán tối ưu hóa quy tìm cực trị dạng bình phương ví dụ tìm cực tiểu lượng hay tìm cực đại entropy Trong toán học thực tế ta thường gặp toán liên quan đến khảo sát tính giá trị hàm y  f ( x) Tuy nhiên thực tế lúc ta xác định sẵn hàm số mà nhận liệu rời rạc xi tương ứng với giá trị yi Vấn đề đặt xây dựng hàm số biểu diễn cho giá trị ( xi , yi ) cho Có nhiều lớp toán thực tế mà qua khảo sát người ta xác định có dạng tuyến tính y  a.x  b, y  a.x2  bx  c, mô hình phức tạp Có nhiều phương pháp để xác định hàm nêu ví dụ như: Phương pháp nội suy, Phương pháp bình phương nhỏ nhất, Phương pháp Picard… Để tìm hiểu phương pháp xây dựng hàm số nêu gợi ý giáo viên hướng dẫn nên lựa chọn đề tài « Phương pháp bình phương nhỏ ứng dụng » cho luận văn thạc sĩ Mục tiêu nghiên cứu đề tài Mục tiêu đề tài nghiên cứu phương pháp bình phương nhỏ Đồng thời, nghiên cứu ứng dụng phương pháp bình phương nhỏ vào toán Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu xây dựng mô hình tuyến tính phương pháp xấp xỉ bình phương nhỏ 3.2 Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu từ tài liệu, giáo trình phương pháp bình phương nhỏ tác giả liên quan Xây dựng mô hình biến, nhiều biến đánh giá tương hợp mô hình Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu tham khảo liên quan đến đề tài, nắm vững sở lý thuyết, từ ứng dụng phần mềm Mathematica để mô tả nghiệm (gần đúng) tìm nghiệm gần toán Trong luận văn, phương pháp sử dụng nằm lĩnh vực sau đây: Toán học giải tích, Giải tích hàm, Giải tích số, Quy hoạch thực nghiệm, Thống kê toán học Bố cục đề tài Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn có chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số khái niệm, định lý liên tục hàm nhiều biến; sơ lược phép tính vi phân hàm nhiều biến; điều kiện đạt cực trị hàm nhiều biến Chương Phương pháp bình phương nhỏ ứng dụng Chương trình bày nội dung phương pháp bình phương nhỏ nhất; toán phương pháp bình phương nhỏ để xấp xỉ hàm thực nghiệm; ưu điểm hạn chế phương pháp bình phương nhỏ mô hình tuyến tính số tiêu chuẩn đánh giá mô hình tuyến tính Ứng dụng phương pháp bình phương nhỏ Tổng quan tài liệu nghiên cứu Nghiên cứu từ tài liệu liên quan đến Toán học giải tích, Giải tích hàm, Giải tích số, Quy hoạch thực nghiệm, Thống kê toán học tài liệu liệu phần mềm Mathematica tác giả nước Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài góp phần nghiên cứu phương pháp bình phương nhỏ ứng dụng phù hợp với chuyên nghành Phương pháp toán sơ cấp Sau cho phép bảo vệ, góp ý thầy cô hội đồng, luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, giáo viên, học sinh phổ thông đối tượng quan tâm lĩnh vực Do thời gian nghiên cứu không nhiều nên số nội dung mà luận văn chưa đề cập đến Tôi tiếp tục nghiên cứu bổ sung thường xuyên để nội dung luận văn phong phú, có giá trị thực tiễn CHƢƠNG KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 1.1.1 Rn tập 1.1.2 Biểu diễn hình học hàm hai biến số 1.1.3 Giới hạn hàm nhiều biến số Z = f(x, y) 1.1.4 Sự liên tục hàm số Z = f(x, y) 1.2 SƠ LƢỢC PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 1.2.1 Khái niệm mở đầu a Không gian R n b Khoảng cách, chuẩn R n c Lân cận, điểm tụ 1.2.2 Đạo hàm riêng Định lý 1.1 (Định lý Schawartz) Nếu f(x, y) liên tục miền mở E  R2 có đạo hàm cấp hai f ''xy ( x, y), f '' yx ( x, y) liên tục điểm P0 ( x0 , y0 ) f ''xy ( x, y)  f '' yx ( x, y) 1.3 ĐIỀU KIỆN ĐẠT CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 1.3.1 Cực trị tự a Định nghĩa điều kiện cần cực trị Định lý 1.2 Nếu f ( x, y) đạt cực trị M0 có đạo hàm riêng đạo hàm riêng b Điều kiện đủ cực trị Định lý 1.3 Giả sử f ( x, y) có đạo hàm riêng cấp hai liên tục lân cận điểm dừng ( x0 , y0 ) gọi: A  2 f 2 f ( x , y ), B  ( x0 , y0 ), C 0 x xy 2 f ( x0 , y0 ),   B  AC y Khi đó: - Nếu  > hàm số không đạt cực trị ( x0 , y0 ) - Nếu  = chưa kết luận ( x0 , y0 ) - Nếu  < hàm số đạt cực trị ( x0 , y0 ) Cụ thể đạt cực đại A < 0, đạt cực tiểu A > 1.3.2 Cực trị có điều kiện a Định nghĩa điều kiện cần b Điều kiện đủ 1.4 MA TRẬN VÀ PHÉP TÍNH LIÊN QUAN 1.4.1 Ma trận 1.5 DẪN NHẬP VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.5.1 Khái niệm chung 1.5.2 Hệ Cramer 1.5.3 Hệ phƣơng trình tuyến tính tổng quát 1.5.4 Hệ phƣơng trình tuyến tính CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP BÌNH PHƢƠNG NHỎ NHẤT VÀ ỨNG DỤNG 2.1 NỘI DUNG PHƢƠNG PHÁP BÌNH PHƢƠNG NHỎ NHẤT 2.1.1 Khái niệm Phương pháp bình phương nhỏ (tối thiểu) kĩ thuật ước lượng thống kê sử dụng phổ biến mô hình hồi quy tuyến tính Mục đích phương pháp từ mẫu rời rạc quan sát thực nghiệm xác định hàm biểu diễn gần phân phối mẫu đó, từ ước lượng giá trị chưa thể đo thực tế Giả sử đo mẫu ( xi , yi ) với i = 1,2,….,n Mục đích xác định hàm f ( x) thỏa mãn : f ( xi )  yi Giải sử hàm f thay đổi hình dạng phụ thuộc vào hàm p j với j = 0,1,2,…m, f ( x)  f ( p j , x) Sai số giá trị thực giá trị ước lượng theo hàm f ( p j , x) x  xi Xác định giá trị p j cho biểu thức sau đạt giá trị cực tiểu: n x   ( yi  f ( xi ))2  i 1 Điều giải thích tên phương pháp bình phương tối thiểu Đôi thay tìm giá trị n tổng bình phương, người ta tìm giá trị nhỏ bình phương trung bình x2  n  ( yi  f ( xi ))2 , n i 1 điều dẫn đến tên gọi bình phương trung bình tối thiểu 2.1.2 Lập công thức hồi quy dạng y  a x  b Giả sử biết n giá trị thực nghiệm yi (i  0,1,2, , n) hàm f(x) điểm xi tương ứng Tìm hàm xấp xỉ f(x) đa thức cấp m có dạng pm ( x)  a x  b Theo định nghĩa ta có n n i 1 i 1 S   vi2   (a xi  bi  yi )2  Coi S hàm số biến a b, S đạt cực tiểu điểm mà đạo hàm S theo a b đồng thời 0: n  S  a  2 (a xi  bi  yi ) xi  0,  i 1  n  S  (a x  b  y ) x   i i i i  i 1  b Rút gọn chuyển vế ta có: n n  n a x  b x  xi yi ,    i i   i 1 i 1 i 1  n n  a  xi  b   yi  i 1 i 1  Giải ta được: n a n n n xi yi   xi  yi i 1 i 1 n i 1 n xi  ( xi ) i 1 b ; n 2 i 1 n n n n i 1 i 1 n i 1 n i 1 n xi  xi2   xi  xi yi n xi  ( xi ) i 1 i 1 2.1.3 Hàm nhiều biến số Giả sử mối tương quan đại lượng y phụ thuộc tuyến tính vào nhiều yếu tố đầu vào, mòn dụng cụ cắt, phụ thuộc vào vận tốc, áp lực, vật liệu cắt chế độ khác… Giả thuyết chúng có quan hệ tuyến tính với thông số vào xi , hàm số tương ứng là: y  a0  a1 x1  a2 x2   xi   ak xk (2.1) Sử dụng phương pháp bình phương nhỏ giá trị 10  a0  a  a         ak  Đặt (2.6) XT.X = M, (2.7) với M ma trận vuông cấp k+1 Nếu det (M)  M ma trận khả nghịch, từ (2.3) ta có: M a  X T T 1, (2.8) a  M 1 X T Y , k n a j   m jl x jl yi (2.9) l 0 i 0 n k i 1 j 0 S (a )  S (a0 , a1 , ak )  (Y  Xa )T (Y  Xa )   ( yi   xija j ) , (2.10) đó: k    y1   xij a1  j 0    Y  Xa     k y  x a  nj n  n   j 0    Áp dụng cho hàm biến Giả thiết có mối tương quan bậc nhất: y  a0  a1 x Từ n thí nghiệm ta có bảng sau: (2.11) 11 n x0 1 x x1 x2 y y1 y2 n xn yn Tương ứng ta có ma trận: 1 x1   y1  1 x  y  2 X  ; Y            1 xn   yn  Ma trận M là: 1 M  XT X    x1 x2 1 x1   n  1 x2       n xn       xi 1 xn   i 1  n x i 1 T 1  i 1 M  (X X )  n n  n n xi2  ( xi )   xi i 1 i 1  i 1  y1   n  yi       1   y2  i 1  X TY       n x x x   n      xi yi    yn   i 1 Từ: a  ( M T X )1.( X T Y ), a  M 1.( M T Y ), có   i 1 , n  x i  i 1  n x n   xi  i 1 ,  n   i 12 n n n n i 1 i 1 i 1  yi  x2i   xi  xi yi a0  i 1 ,   n x i    xi  i 1  i 1  n n (2.12) n a1  n n n xi yi   xi  yi i 1 i 1 i 1   n x i    xi  i 1  i 1  n n Đặt:  n  n x i  ( x ).n ;   xi   (nx )2 , i 1  i 1  n 2 i n  xi yi  nxy; n n 1 (2.13)  xi  yi  nx ny , giá trị x ; y , x , x y, ( x )2 giá trị trung bình cộng Ta có:  x y  x xy  a  , n( x  ( x )  xy  x y  a0  a1  y x  x xy x  ( x )2 xy  x y x  ( x )2 , (2.14)  Đôi ta thực tuyến tính hóa hàm phi tuyến nhiều biến dạng: y  a0 x1a1 x2a2 x3a3 xna2 Logarit hai vế : ln y  ln a0  a1 ln x1  a2 ln x2  an ln xn cách biến đổi 13 mới, ta hàm tuyến tính nhiều biến số: Y  A0  a1 X1  a2 X   an X n Sau tính toán, ta a0  e A0 , tham số a1 , a2 , an giữ nguyên với dạng đa thức: y  a0  a1t  a2t   ant n , ta biến đổi x1  t; x2  t ; x3  t ; xn  t n  y  a0  a1 x1  a2 x2   an xn Từ ta sử dụng hàm hồi quy nhiều biến tuyến tính để xác định tham số 2.1.4 Công thức hồi quy tổng quát dạng đa thức bậc m Giả sử biết n giá trị thực nghiệm yi (i  0,1,2, , n) f(x) điểm tương ứng Tìm hàm xấp xỉ f(x) đa thức cấp m có dạng: Pm ( x)  a0  a1 x   am x m Khi hệ số (i  0,1,2, , n) nghiệm phương trình có dạng: n n n n  a0 n  a1  xi  a2  xi2   am  xim   yi ,  i 1 i 1 i 1 i 1  n n n n n  m 1  a0  xi  a1  xi  a2  xi   am  xi   xi yi ,  i 1 i 1 i 1 i 1 i 1   n n n n n  m m 1 m2 2m a x  a x  a x   a x  x m yi      i i i m i  i 1 i 1 i 1 i 1  i 1 14 n  n n 1 n m y  P ( x )  y  a yi xij    i m i  i 0 j  n i 1 n  i 1 i 1 2.1.5 Bình phƣơng tối thiểu tuyến tính 2.2 BÀI TOÁN PHƢƠNG PHÁP BÌNH PHƢƠNG NHỎ NHẤT ĐỂ XẤP XỈ HÀM TRONG THỰC NGHIỆM 2.2.1 Đặt vấn đề Bài toán 2.1 (Tìm hàm xấp xỉ) Giả sử biết giá trị yi (i  1,2, , n) hàm y  f ( x) điểm tương ứng x  xi Tìm hàm m ( x) xấp xỉ với hàm f ( x) m m ( x)   a1i ( x), đó: i 0 với i ( x) hàm biết, hệ số số Trong giải toán cần chọn hàm m ( x) cho trình tính toán đơn giản đồng thời sai số  i có tính chất ngẫu nhiên (xuất thu số liệu yi ) cần phải chỉnh lí trình tính toán Trong toán tìm hàm xấp xỉ việc chọn dạng hàm xấp xỉ m ( x) tùy thuộc vào ý nghĩa thực tiễn hàm f ( x) Bài toán 2.2 (Tìm tham số hàm có dạng biết) Giả sử biết dạng tổng quát hàm y  f ( x, a0 , a1 , , am ) (i  0,1, , m) số (2.15) 15 Giả sử qua thực nghiệm ta thu n giá trị hàm y  yi (i  1,2, , n) ứng với giá trị x  xi đối số Vấn đề từ số liệu thực nghiệm thu cần xác định giá trị tham số a0 , a1 , , am để tìm dạng cụ thể biểu thức (2.15) y  f ( x) phụ thuộc y x 2.2.2 Sai số trung bình bình phƣơng phƣơng pháp bình phƣơng tối thiểu tìm xấp xỉ tốt với hàm a Sai số trung bình bình phương Những hàm thực nghiệm thu thường mắc phải sai số có tính chất ngẫu nhiên Những sai số xuất tác động yếu tố ngẫu nhiên vào kết thực nghiệm để thu giá trị hàm Chính lý trên, để đánh giá sai số khác hai hàm thực nghiệm ta cần đưa khái niệm sai số (hoặc độ lệch) cho mặt chấp nhận thực tế, mặt lại san sai số ngẫu nhiên (nghĩa gạt bỏ yếu tố ngẫu nhiên tác động vào kết thực nghiệm) Cụ thể hai hàm thực chất gần sai số đưa phải bé Khái niệm sai số nói không ý tới kết có tính chất cá biệt nên gọi sai số trung bình bình phương b Định nghĩa Theo định nghĩa ta gọi  n sai số (hoặc độ lệch) trung bình bình phương hai hàm X  x1 , x2 , , xn  , xác định bởi: f ( x)  ( x) tập 16 n  f ( xi )   ( xi )  n i 1 n  (2.16) c Ý nghĩa sai số trung bình bình phương Để tìm hiểu ý nghĩa sai số trung bình bình phương ta giả thiết f ( x)  ( x) hàm liên tục đoạn  a, b  X  x1 , x2 , , xn  tập hợp điểm cách đoạn  a, b : a  x1  x2   xn  b Theo định nghĩa tích phân xác định ta có: lim n   , (2.17) đó: 2  b  f ( x)   ( x) dx  ba a (2.18) Giả sử f ( x)   ( x) có đoạn  a, b số hữu hạn cực trị  số dương cho trước Khi  a, b có k đoạn riêng biệt  , bi  (i  1, 2, , k ) cho: f ( x )   ( x)   ( với x  , bi  , i  1,2, , k ) Gọi  tổng độ dài k đoạn nói Với n đủ lớn  n đủ bé, từ (2.17) ta suy    ( bé tùy ý) Từ (2.18) ta có: b k bi  (b  a)    f ( x)   ( x) dx     f ( x)   ( x)  dx   2, a đó: i 1 17     (b  a)   ,   nghĩa tổng độ dài  đoạn bé tùy ý Tóm lại với  n đủ bé (n lớn) đoạn  a, b (trừ điểm đoạn  , bi  mà tổng độ dài  bé tùy ý), ta có f  x    ( x)    số dương tùy ý cho trước Từ nhận xét ta rút nhận ý nghĩa thực tiễn sai số trung bình bình phương sau: Nếu sai số trung bình bình phương  n hai hàm f(x)  ( x) tập hợp n điểm X   a, b (n đủ lớn) mà bé với tuyệt đối đa số giá trị x  a, b cho sai số tuyệt đối f(x)  ( x) bé 2.2.3 Xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phƣơng 2.3 ƢU ĐIỂM VÀ HẠN CHẾ CỦA PHƢƠNG PHÁP BÌNH PHƢƠNG NHỎ NHẤT TRONG MÔ HÌNH TUYẾN 2.3.1 Ƣu điểm 2.3.2 Hạn chế 2.4 MỘT SỐ TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH 2.4.1 Các tiêu chuẩn đánh giá a Mức ý nghĩa  b Phân phối Student Định lý 2.1 (Xem [1]) Cho t tuân theo luật phân phối Student 18 với n bậc tự  n  1 Khi đó: (i) Hàm mật độ t là:  n 1     n 1  x f (t )   ,  t  (  ,  ),  ( n )  n 1 0 x e dx n  n    t    1   n  (ii) Với n  1: E (t )  0( f (t ) hàm chẵn) Với n  : D(t )  n n2 Định lý 2.2 (Xem [1]) Cho X tuân theo luật phân phối chuẩn N ( , ) , ( x1 , x2 , , xn ) (n  1) mẫu X Khi đại lượng thống kê t  s2  x  n có phân phối Student với n-1 bậc tự do, s n ( xk  x )2  n  k 1 c Phân phối Fisher Định lý 2.3 (Xem [1]) Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối Fn1 ,n2 Khi đó: (i) Hàm mật độ X n1    n  n n      n1  n2         n2  n1 1   n  t  t , t    f (t )   n2   n1   n2       2  2  0 , t  19 E( X )  n2 2.n2 (n1  n2  2) n2  2; D( X )  , n2  n2  n1.(n2  4).(n2  2)2    Bây ta cho x1 , x2 , , xn1 mẫu X, y1 , y2 , , yn2  mẫu Y x n1 n1 xi ; S12     xk  x  , n1 i 1 n1  k 1 y n2 n1 y ; S   yk  y   i n  1 n2 i 1 k 1 2 Định lý 2.4 (Xem [1]) Cho X Y biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn phương sai (D(X) = D(Y)) Khi đại lượng thống kê F  s12 có phân phối Fisher Fn11,n 22 s22 d Chuẩn Cochran ( Zlt  GPf ,n ) Định lý 2.5 (Xem [6]) Phương sai mẫu loạt liệu j coi giá trị mức ý nghĩa α Ct vượt giới hạn giá trị quan trọng CUL CUL phụ thuộc vào α mức ý nghĩa mong muốn, số lượng coi hàng loạt liệu N, số lượng điểm liệu (n) chuỗi liệu Lựa chọn giá trị cho CUL lập bảng mức ý nghĩa α = 0.01, α = 0.025, α = 0.05 CUL tính toán từ: 1     N 1 CUL( , n, N )  1    Fc (  ,(n  1),( N  1)(n  1)  N   Trong 20 CUL : giới hạn giá trị quan trọng cho thử nghiệm chiều thiết kế cân α : mức ý nghĩa n : số điểm liệu chuỗi liệu Fc : giá trị quan trọng tỷ lệ F Fisher; Fc thu từ bảng phân phối F sử dụng phần mềm máy tính cho chức 2.4.2 Đánh giá kết nhận đƣợc phƣơng pháp bình phƣơng nhỏ a Kiểm định tham số aj khoảng xác định sai lệch chúng Khi hệ số aˆ j nhỏ, ta có quyền nghi ngờ aˆ j không, tức không tồn số hạng f j ( x1 xk ) hàm hồi quy thu Tức aˆ j khác không sai số ngẫu nhiên gây Ta cần kiểm định xem aˆ j  hay aˆ j  Nếu biểu thức sau tồn tại, tức aˆ j thực khác aˆ j Sdu   t (n  m  1,1  ), m jj đó: Sdu phương sai dư, tính theo S( aˆ j ): sdu  S (aˆ ) , n  m 1 n số thử nghiệm; m số thông số cần xác định, trừ thông số a0 , 21  1  t (n  m  1,1  ) phân vị luật phân bố Student với 2 (n  m  1) bậc tự Đồng thời ta có khoảng sai lệch aˆ j với độ tin cậy (1   ) là: aˆ j  Sdu m jj t (n  m  1; 1  1  )  a j  aˆ j  Sdu m jj x(n  m  1; ) 2 với m jj số hạng thứ jj ma trận M 1 ma trận nghịch đảo ma trận M  F T F b Kiểm tra phương sai   D( yi ) Các ước lượng  thường dùng chưa dựa vào giả thiết dạng mối quan hệ biến y biến vào xi Khi thí nghiệm lặp lại r lần, phương sai y gọi phương sai tái sinh, kí hiệu (Sts): S 2ts    D( y) Nếu thí nghiệm i, xác định điểm thí nghiệm xi lặp lại r lần giá trị đầu yi1 yir Tính Si2  yi  r ( yij  yi )2  r  j 1 r  yij r j 1 Phương sai tái sinh biến y với số lần lặp lại r định nghĩa: Sts2  n r n S1  ( yij  yi )2   n n(r  1) i 1 j 1 22 Phương sai Sts có bậc tự n(r-1) coi ước lượng   D( y) phương sai y điểm thí nghiệm xi coi Cần kiểm định giả thuyết theo tiêu chuẩn Cochran Giả sử biến ngẫu nhiên  có   max Si2 n  Si2  Ct So sánh Ct với C (r  1; n;1   ) bảng phân vị Cochran Nếu Ct  C (r  1; n;1   ) công nhận giả thiết Ho, có nghĩa phương sai y gần  Nếu Ct  C (r  1; n;1   ) bác bỏ giả Ho, hay  y khác c Kiểm tra tương hợp hàm hồi quy Giả sử : Sdu2  Sts2 ta có: Sdu2 Ft  tuân theo phân phối Fisher – Snedekor Sts Nếu Sdu2  F (n  m  1; n(r  1);1   ), Sts2 bác bỏ tương hợp hàm hồi quy với mức ý nhĩa  Ngược lại nếu: Sdu2  F (n  m  1; n(r  1);1   ) Sts2 23 coi thực nghiệm chấp nhận hàm số hồi quy với mức ý nghĩa  Sự chênh lệch Ft F nhiều hay ít, có tương hợp mạnh hay yếu; kết thực nghiệm hồi quy, thay đổi mức ý nghĩa  từ công nhận tương hợp sang không tương hợp d Tìm khoảng sai lệch yi m y   a j f j ( xi xik ) j 0 Ta có S y2i  D( yi )   2uii  S 2du uii , uii số hạng thứ ii ma trận U, với: U  F M 1.F T  (uij ) nn m m uii   f j ( xi )mij f j ( xi ) i 0 j 0 Tính tỷ số: tt  yi  yi Sdu uii , so sánh tt với t(n-m-1) bậc tự theo phân phối Student, suy khoảng sai lệch y là: yi  Sdu uii t (n  m  1; 1  1  )  yi  yi  Sdu uii t (n  m  1; ) 2 24 KẾT LUẬN Sau thời gian nghiên cứu thực hiện, luận văn hoàn thành mục đích nhiệm vụ sau: * Trình bày số khái niệm, định lý liên tục hàm nhiều biến; sơ lược phép tính vi phân hàm nhiều biến; điều kiện đạt cực trị hàm nhiều biến; ma trận tính chất liên quan; dẫn nhập hệ phương trình tuyến tính * Trình bày nội dung phương pháp bình phương nhỏ nhất; toán phương pháp bình phương nhỏ để xấp xỉ hàm thực nghiệm; ưu điểm hạn chế phương pháp bình phương nhỏ mô hình tuyến tính số tiêu chuẩn đánh giá mô hình tuyến tính Ứng dụng phương pháp bình phương nhỏ * Luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn đọc yêu thích tìm hiểu nội dung phương pháp bình phương nhỏ ứng dụng * Trong thời gian thực luận văn tránh khỏi sai sót, kính mong thầy đóng góp ý kiến để luận văn thêm hoàn thiện ... Phương pháp bình phương nhỏ ứng dụng Chương trình bày nội dung phương pháp bình phương nhỏ nhất; toán phương pháp bình phương nhỏ để xấp xỉ hàm thực nghiệm; ưu điểm hạn chế phương pháp bình phương. .. dẫn nhập hệ phương trình tuyến tính * Trình bày nội dung phương pháp bình phương nhỏ nhất; toán phương pháp bình phương nhỏ để xấp xỉ hàm thực nghiệm; ưu điểm hạn chế phương pháp bình phương nhỏ...  c, mô hình phức tạp Có nhiều phương pháp để xác định hàm nêu ví dụ như: Phương pháp nội suy, Phương pháp bình phương nhỏ nhất, Phương pháp Picard… Để tìm hiểu phương pháp xây dựng hàm số nêu