Header Page of 16 ĐạI HọC THáI NGUYÊN Tr-ờng Đại học KHOA học nguyễn THị NGọC áNH Một số chuyên đề tổ hợp dành cho học sinh có khiếu toán bậc trung học phổ thông luận văn thạc sỹ TOáN học THáI NGUYÊN - 2009 Footer Page of 16.S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 ĐạI HọC THáI NGUYÊN Tr-ờng Đại học KHOA học -*** - nguyễn THị NGọC áNH Một số chuyên đề tổ hợp dành cho học sinh có khiếu toán bậc trung học phổ thông Chuyên ngành: Ph-ơng pháp toán sơ cấp Mã số : 60 46 40 luận văn thạc sỹ TOáN học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: TS Nguyễn Đức Hoàng THáI NGUYÊN - 2009 Footer Page of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 ợ t t tì ủ ễ ứ tỏ ò í trọ ết s s tớ ì t ệ trờ ọ ọ Pò t ứ ọ q t ú ỡ t ọ ề ệ t ợ t ợ ọ t tốt t ụ t ỉ rờ r ọ ổ t ệt tổ ú ỡ t ề t t t t tr sốt q trì ọ t Footer Page of 16 Header Page of 16 ụ ụ ế tứ t ộ q t ị tổ ợ ý ý rt ị tổ ợ tổ qt tứ trừ ột số ề ề tổ ợ ọ s ó ế t tr ọ ổ t ề t ộ q t ề ị tổ ợ ề ý ề số s ề số t ề số tr ề ị tổ ợ tổ qt ề ý trừ ề ữ trộ ữ s t trớ ề ợ t ế Footer Page of 16 ột số t ề ị Header Page of 16 ệ t Footer Page of 16 Header Page of 16 ó tể ó t ề tổ ợ r từ rt sớ tờ t ết ế ì ẽ ó q ế ữ ì t í ổ trết ọ rt số tế ỷ tứ trớ ết tí số từ từ ột ữ trớ t ọ Pt ọ trò ủ tì r ề số ó tí t ệt ệ tì r ợ số ò ỏ ó ột ệ tt tổ ợ t ị ó tể ó r ý tết tổ ợ ợ ì t ột t ọ q tế ỷ ột t trì ứ tú ủ t ọ t s Ps rt t r ù tr sốt tế ỷ rỡ tổ ợ ó trò ề tr ệ ứ tự ế ỗ trợ ự ủ tí tổ ợ ể s ĩ ự t ứ ụ t trể ẽ ó ề ết q ó í tứ ợ trò ủ ý tết tổ ợ ố số ệ ý tết tổ ợ ợ trì ọ ổ t ế ột tr ỳ t t qố qố tế t t ệ ết ề tổ ợ ề ó t ột t ệ ề tổ ợ ọ s ổ t ệt ữ ọ s ó ế t ú t ọ ứ ợ ò tí t ọ ủ tờ ũ ột t ệ ể ệ t ột ú t trì ột số ế Footer Page of 16 Header Page of 16 tứ ủ tổ ợ t ột s s ổ t ọ s trọ t ủ r ọ s ợ tì ể ề ề t ộ q t ề ị tổ ợ ề ý ề số s ề số t ề số tr ề ị tổ ợ tổ qt ề ý trừ ề ữ trộ ữ s t trớ ề 10 ợ t ế r ỗ ề t tờ ợ t t ữ ủ ề t ị ó ọ s tự tì t ì ữ ế tứ q ế ủ ề ợ tờ ỗ ề ó tết ọ s t t tr t ệ ề tổ ợ ó tr tị trờ ọ í ề í tí ể ết ò s ủ ọ s ó ế t ó ộ ữ t ề ị ợ ọ ự ĩ ỡ ú ụ ữ ế tứ t ợ từ trớ ể ỹ t tổ ợ ủ ì ột tờ ứ ợ t tr ỏ ề s sót í ó ý ủ qý t ệ ọ s ú t t Footer Page of 16 Header Page of 16 ế tứ t ộ q t t ộ ế Ei (i = 1, , k) k ệ t (i) ó ệ tr số ú r tờ (ii) Ei ó tể r t tì ột tr k ni ệ ó tể r t ột ọ ó í ụ 18 + 12 = 30 18 (n1 + n2 + + nk ) ọ s 12 ọ s ữ tì ó ọ ột ọ s ể ữ ệ í ụ tết E ệ ọ số tố ỏ ệ ọ số tự ỏ ì E ó r F ó tố ột tr ệ 10 r ì E F 10 F ột số ó tể r t 4+41 = t n1 E2 ế ó tể r t r tế E1 E2 Ei (i = 1, , k) E3 n2 k ệ E1 ụ tộ ế ệ ó tể r t n3 í ụ nk ệ trớ r tế tì k r tờ t n1 n2 n3 nk ột s ó E1 ụ tộ ế ệ r tế Ek ó tể r t tộ ế k ó tể r t ụ ệ ó tể qể s tế ột qể s tế P ột 10 qể s tế ứ ột (i) ó 6.8.10 = 480 ọ qể s tr ó ỗ qể ột Footer Page of 16 Header Page of 16 tứ tế (ii) ó + + 10 = 24 ọ qể s t ỳ tr số qể s ó tr ế ột t tr ệ ó í ụ ỏ ỗ ỏ ó tr ột ú s số ọ tr ủ tt ị tổ ợ X ị ĩ tử r ột số n r ị ủ X ột ột ộ s tứ tự r tử n tử ủ X ột ố n ột t ợ ỏ từ ỏ tr 38 = 6561 n ị ủ X ợ ọ ột ị ủ X r ị ủ ột t ợ n tử ợ ý ệ P (n, r) í ụ {2, 3, 4} {2, 4, 3} ị ủ X = {1, 2, 3, 4, 5} ị ĩ ột rtổ ợ ủ X ột t r tử ủ X rtổ ợ ủ ột t ợ n tử ợ ý ệ C(n, r) n! ị ý (i) P (n, r) = (n r)! P (n, r) n! (ii) C(n, r) = = = C(n, n r) r! r!(n r)! ố ú t r từ m! (1).(2) (m) ứ t tr r (i) ó ị trí ó n 0! ọ ột tử t ỳ ủ (n 1) X ọ ột tử từ ó tử ò ể ế ị trí tứ tr số r ị trí (n 1) ị trí ú ý r số ọ tử ế ị trí tứ ụ tộ ọ tử ế ị trí tứ t tế Footer Page of 16 Header Page 10 of 16 ó t q t ị trí t ó tể r tt n(n 1) ị trí ó tể n! (n r)! P (n, r) = n(n 1) (n r + 1) = (ii) ể C(n, r) ú ý r ột r ị ủ t ợ n tử X rt ó ủ X ị ủ ột ữ ữ rt ệt s r rtổ ợ ệt ó q t ộ t ó P (n, r) = P (r, r) + P (r, r) + + P (r, r) ố số ế số rt ủ X tứ C(n, r) ó t ó P (n, r) = C(n, r)P (r, r) = C(n, r)r! ỗ rt ủ X (n r)t ó ột t ù t ó t ó ột q ệ q trọ C(n, r) = C(n, n r) ệt số ị ủ n tử P (n, n) = n! ét ợ ó r ị ủ ột t ủ n tử ột r tổ r trì ổ t ột n tử ợ ọ ột ỉ ợ r ợ ủ ột t ợ ó n tử ợ ọ ột tổ ợ r ủ n tử ó í ụ ột ộ ọ s ố 10 ọ s ố 11 Footer Page 10 of 16 12 ọ s ố 12 10 ọ s ố 11 r ột ệ ọ s ố 10 t ó ọ s ố C(12, 4) = 12 12! = 495 4!8! Header Page 56 of 16 2; p2 = 3; p3 = 5; p4 = 100 100 100 100 S1 = + + + = 117 100 100 100 100 100 100 S2 = + + + + + = 45 (2).(3) (2).(5) (2).(7) (3).(5) (3).(7) (5).(7) 100 100 100 100 S3 = + + + =6 (3).(5).(7) (2).(5).(7) (2).(3).(7) (2)(3).(5) 100 =0 S4 = (2).(3).(5).(7) (100) = 100 + 117 + 45 + = 25 t ộ ó 30 s tr ý tú 15 s t ọ s t ọ s ọ s t ọ ọ ọ ết r ó r ó t s t tr ứ s t ọ ọ A t ợ s tr ý tú t ộ B t ợ s tr ý tú t s ọ s tr ý tú t ọ ó S3 = ọ X C t ợ S1 = 15 + + = 19 số s t ọ ó x = 30 29 + S2 = S2 t n(A B C) = n(A B) n(A C) n(B C) r S2 x = ề ữ trộ ữ s t trớ ị ĩ Footer Page 56 of 16 ột ị P ủ t X = {x1 , x2 , , xn } ợ ọ Header Page 57 of 16 P (xi ) = xi ột trộ ế ị ý Dn = n! ứ ọ Ai i = 1, 2, , n ọ Dn số trộ ủ t ợ X = {x1 , , xn } ó n! ọ ọ Q 1 + + (1)n 1! 2! n! t ợ tt ị ủ t ủ Q X ứ tt ị ó s r xi n(Q) = ố ị (i = 1, 2, , n) ụ tứ n(Ai1 Ai2 Aik ) = C(n, k)(n k)! = Sk = n! k! ó Dn = n(A1 A2 Ak ) = n! ệ q tí Dn 1 + + (1)n 1! 2! n! n = 1, 2, , 10 Dn t r ột ọ ó n ọ s n qể s ệt t ỗ ọ s ột qể s ọ s ộ s t s ữ qể s ó ợ t n ọ s ỏ ó ố s ọ s ù ột qể s qể s ó tể t t t ó ó Dn t ủ t tứ s t t ết q tì t ó n! ứ ỗ n!Dn n ụ ữ t ự ột ổ tệ ế ỗ ề t ột ế ũ ột ế ò tế t r ề ỗ ụ ữ ột ế ũ ột ế ì số ữ ế ũ ữ ế ế a) ụ ữ ú ũ ủ Footer Page 57 of 16 Header Page 58 of 16 b) ụ ữ ú ũ ủ a) ữ ế ị trộ t Dn trộ t Dn t ó (Dn )2 ữ ế ũ ị ữ ế ũ ữ ế t t b) Ai ọ t ủ t tt ố tr ó ụ i ú ũ ủ (i = 1, 2, , n) ữ tứ n(X) = (n!)2 ; Sr = C(n, r)[(n r)!]2 , (r = 1, 2, , n) ết q tì n(X) S1 + S2 + (1)n Sn t ó số ố ứ t ể ế ị ỉ ì ứ t s t ột ứ t ế ú t ễ t ết q tì t 8! D8 = 40320 14833 = 25487 ì số từ t ữ X n tử í ó ó s ỗ ó t ột ể ố ị n0 tì n0 X ế f (n0 ) = n0 ợ ọ ột ể ố ị ủ tự tr ết q tì t ó n! Dn t tr tr ột ộ ó sử ế t ợ t s ó ữ ế t tr ợ t 6 ó ì st ể a) t ù ợ b t ề t ù ợ c) ỉ ó ột ợ t ù ợ d) t ợ t ù ợ ế t ó t 6! t ế t tr ó tt r Footer Page 58 of 16 ó ó (6!)2 6! ó tể Header Page 59 of 16 a) ó 6! t ế t ứ ỗ ó ó D6 ố ế t tr ể ó ết q t ủ t st tì b) ứ ỗ t t c) 6!D6 D6 = (6!)2 6! ế t tì ó ột ế t tr ó t ó ết q ứ ỗ t 6!.1 = (6!)2 6! ế t tì ó 6.(1).D5 t tr s ó ú ột ợ t D5 6!.(6).(1).D5 = ù ợ t ó ết q (6!)2 5! D6 D5 d) ụ ết q a) c) t ó st tì 6! 5! t ề ợ t ế ợ t ế ột tí t ủ t t ổ q t ộ ế ổ ủ ệ tố ề t t ệ r ố tì t r ữ ế ó tí t t ế ệ t ế từ ó t ế ết ủ t t r t ết ộ trừ t ị trí t ì tự ệ ó t ì ết ó ột ộ ế ó ố trừ ế ó ế tr ỉ ò ột ỏ ó ì t ỗ ộ số ò ỗ trừ số t tự ệ ó số ết ột số tí ủ ú ì tế tí ủ tt số ết tr ổ tí số ố ù tì trừ ỗ t t số trừ t ổ số trừ t ó tì trừ Footer Page 59 of 16 Header Page 60 of 16 ỗ ộ số ò ỗ trừ số t tự ệ tổ số tì ết số tổ số số tì ết số s ỗ t t tự ệ tổ số tr ổ t tổ số tr số số ố ù số ó tì trừ ét P tí t t ợ ụ tí ổ ủ tí số ết tr ổ ủ số trừ sử ụ ổ tí ủ tổ số t r t ết số ó ó ột số t ó tổ ủ số ò trừ t ế t ợ số ỏ số t ó sử số t ỗ t t tr số ó số ột số ết q ề số tr tì số t ét t tr ợ t ệ r tí ủ số t ổ từ tr t t t tể ợ tr t ết tú t tr n2 r n ì n n2 r ù ột ột ột t ì t t tt tr t t tr ỏ ó tể tự ệ ữ t ổ ể tr ỉ ò ột ế ó ú k tr ột ột ột trớ tự ệ t ổ tì s tự ệ ột t ổ số tr ó tr ột ó n k ự t ổ số tr (n k) k = n 2k ột số ó tí ủ số ữ ữ t t ó số tể ỉ ò ột tr t ột ế ổ ó t ó ố sỏ ó số ợ t ứ sỏ ợ é ọ ố sỏ ể ột sỏ ủ ỗ ố sỏ Footer Page 60 of 16 Header Page 61 of 16 ọ s ố tứ ột số tì ó t r ó sỏ ề ó sỏ t số sỏ tr ố t ứ a b c ét số ủ số t ữ số ỗ tự ệ ữ số ữ tứ tự ó tt ố sỏ ề tể ợ ì ó số t ỗ t ủ ột ộ ó ề t ố tủ tr ộ ố tủ t t ứ r ữ t ủ ộ ó tể t ó s ỗ t tr ỗ ó ó ề t ột ố tủ tr ó t t ữ t tr ộ t ó í ệ số ố tủ tr ù ột ó ế ột t ó t ố tủ tr ù ột ó tì t ó ề t ột ố tủ tr ó ợ ể s ó t t ì ột số ó tể ợ s ột số ữ ể ổ tỏ t t tế trò t ột ỏ ố t t trớ t ợ t s ù ế t ó ế tt ể t ế tt ó tế t ế tự ệ ế tt s ột t tế t x t x số t trớ ó t s t ò t ế ó t ế tt tr tì s ỗ rồ ế số t ò tr ố ộ số ủ ố ù ế ợt tì ò t ù tự ệ tì ũ ế t Footer Page 61 of 16 Header Page 62 of 16 ột số t ề ị ợ A = {1, 2, , 100} ợ t t ợ t rỗ ột ứ r tồ t t ột t s tr t tì ợ tử tì ợ tử s a+b = c+d e + f = 2g ụ ý rt t ợ ỗ t ợ ó tử ết r t ợ t ỳ ó ú ột tử ứ r tồ t t ột tử tộ tt t ợ ụ ý rt t ợ rỗ số s ỗ tử ủ t ợ ỏ số trớ n 2) ứ r ế tổ số tử ủ t ợ é tì ó tể ọ tr ỗ t ợ ột tử s tổ số ủ ú ụ ý rt A = {0, 1, , 8} tì số f : A A tỏ ề ệ ế tộ tì ế i + j = tì f (i) + f (j) = ụ q t ứ r từ t ợ số ó tể ọ ợ số tổ ệ ủ ú trù số ò ụ ý rt Footer Page 62 of 16 t ợ ó tử t ợ ó tử ỏ ó Header Page 63 of 16 từ ế ụ q t S = {1, 2, , 280} ì số tự ỏ t s ọ t ợ tử ủ ề ứ số ột tố ù ụ tứ ề số tử ủ ợ t ợ ý rt ứ r ỗ n N t ó tứ =n 1i1 < A = {a1 , a2 , , an } N số s ết r số tr é tử ủ ột ứ r ỗ k Z tết s số tồ t + aj k i, j {1, 2, , n} ết t m ụ ý rt n N ứ tứ n n + n+1 2k = n+1 C(n, k) k k=1 k=0 ế ổ tổ ợ k [n, n] P (x) R[x] tì ó | P (x) | 1ứ 2n ết r ỗ số r ọ x [n, n] tì | P (x) | 22n ù tứ ộ s r ế ổ tổ ợ số xn + a1 xn1 + + an x0 < x1 < < xn tứ P (x) = P (xj ), j = 0, 1, , n n! tồ t t ột số ó trị tệt ố ỏ 2n ứ r tr số ố Footer Page 63 of 16 Header Page 64 of 16 ì tt số tỏ ề ệ ế F (x) Z(x) s F (c) k ọ c {0, 1, , k + 1} tì F (0) = F (1) = = F (k + 1) ụ ý rt (1.x + 2.x2 + + n.xn )2 = a0 + a1 x + a2n x2n ứ n(n + 1)(5n2 + 5n + 2) r an+1 + an+2 + + a2n = 24 sử ế ổ tổ ợ (bn ) P (x) Z[x] ị s d N s ỗ x N b1 = 1, bk+1 = P (bk ), k tồ t t ột số ủ r t ó P (x) > x ết r ỗ (bn ) ết ứ P (x) = x + 1, x N P ứ ù ý rt p1 , p2 , , pn [0, 1] ứ r t trì 1 1 8n(1 + + + + ) ó ệ tộ [0, 1] 2n i=0 | x pi | n số ụ ý rt [n/2] (C(n, k) C(n, k 1))2 ứ n N t Sn = k=0 r Sn = C(2n, n) n+1 ế ổ tổ ợ tộ số tự , , , n , , , n ứ r tồ t số ụ s ó số ộ số | m1 + + n mn |< c | m1 | + + | mn |n1 (m1 , m2 , , mn ) Z n ù q t ý rt t ợ {1, 2, , 14} M = {1, 2, , 27} A = {a1 , , ak } ó tí t s ỗ tử ủ ột tử ủ tổ ủ tử t tết ệt ủ ì trị ỏ t ủ ù tổ ợ ứ ứ ể ó ết q trị ỏ t ủ Footer Page 64 of 16 Header Page 65 of 16 ệ trì q = 2p a11 x1 + + a1q xq = ap1 x1 + + apq xq = tr ó aij {1, 0, 1} ứ r tồ t ệ (x1 , , xq ) (0, 0, , 0), xj Z | xj | q, j = 1, 2, , q ù q t ý rt t ợ số ỗ số ỉ ó tố ợt q ứ r tồ t số ệt tr ó tí ũ từ ủ ột số ý rt t ợ tố ệt t n+1 số tự ệt s ỗ số tr ề số í ỉ ó tố tộ ứ r ó tể ọ r tr ột số ó tí ột số í ý rt S = {1, 2, 3, , 100} P t t ủ S |T | = 49 ỗ T P t số ột số từ t S ứ r tồ t t M ủ S ó số tử ỗ x M t M \ {x} ợ số x ý rt ủ tr ứ r ọ t tồ t ột ì ữ t ó tr s ó ù ý rt ét ề ỗ ột số s tổ số tr ỗ tổ số tr ỗ ột ỏ ó Footer Page 65 of 16 Header Page 66 of 16 tr ó số ỗ út t t ột tr ỏ s ỗ ì ị ó ỉ ỏ ỉ ỏ ó 2n+2 số í ệ Zn = {0, 1, 2, , n 1} ét t An = {(a, b, c) : a, b, c Zn , a < b < c, a + b + c 0(modn)} Bn = {(a, b, c) : a, b, c Zn , a b c, a + b + c 0(modn)} ứ r í |Bn | = |An | + n |An | ù s s ể ứ |An+3 | = |Bn | r |An+3 | = |An | + n ó tí ợ |An | t X = {1, 2, , 2000} tổ tử ủ T m ột tứ tứ t t s 1990 ủ X 402 (2 + 22000 ) í ệ ủ tứ T ết số ố t tì ỏ ó t n (m, n) ủ t q t s (r, s), (r + 1, s + 1), (r + 2, s + 2) r 1989 tứ ỗ t ó tr ù ột tr ù ột ột ỏ t ó tể t ết tt ủ ợ số ụ t ế Footer Page 66 of 16 ó ó ó t ì ị Header Page 67 of 16 t s s í ệ ủ ò tứ i ột tứ j (i, j) tứ tự ò ột ợ tí từ từ tr s ự ệ tt t s ỗ r ỏ ó (i, j) ó t (i + 1, j) (i, j + 1) ề ó tờ t ỗ ột ỏ s ột số tự ệ tt t t ó tể ợ tr t ề ó ề ó số ó ụ t ế ết số ủ ọ An Bn t ứ trị t ủ tổ số tộ ù ột tổ số tộ ù ột ột tứ t t ế An > Bn ợ tì tứ t ỏ ó ế ợ t số tứ ó ế ợ t r trớ số n0 s tứ t ợ é ết số n0 tứ ợ é ết số n2 s n1 n2 n1 trò s n0 n1 ps tr ó ó số tố s số ó t trị ủ trị ủ n2 n0 tế tụ tứ t t ế ết ợ số tứ t ế ết ợ số tết r ề rt t ỏ ế t số ế n0 {2, 3, 4, 5} tì tứ t ế n0 {6, 7} tì ò trờ ợ ò tì tứ t t r ột ộ t ỗ ợ ề ị tí s ò ết ột ó tí s ọ ợ ố ế tr ó ó ó t ột tí s ề ị ết Footer Page 67 of 16 Header Page 68 of 16 r t ì ề tồ t ột ó ú tí s ó ợ ố ó ứ r tồ t ột ó tí s ó ợ ố ọ t ủ P ứ t 3k k, n số ột n q tr ì ữ t 3k n ét s ỗ q ọ q ột ề ó ứ q ể ế tế t ế ò trố tì ỏ q ị qỏ ó tr ỉ ò ú ột q ụ t ế r ì trò ị ể t t A1 A2 A2 000 ứ r tồ t ể tr số ó t t t ó ệ tí ợt q 31250000 P ự r t ột số ể ỏ ột số ể ột số ể ợ ố ột ể ợ ọ ì ị ế q số t t t từ ể ó út ò ó ự ệ tt t s ỗ ọ tr ột ể ì ị ổ ó ứ r s ữ tt ể ì ị ề ị ó P ự ết q ọ t ủ ột ọ t t số ọ s t ể ỏ ũ tờ t ể ỏ t ý số ọ s t ể ỏ t ý ũ tờ t ể ỏ ữ số ọ s t ể ỏ ữ ũ tờ t ể ỏ ị sử số ọ s t ể ỏ ị sử ũ tờ t ể ỏ ứ r tồ t t ột ọ s t ể ỏ ố tr Footer Page 68 of 16 Header Page 69 of 16 ý ù trừ trớ n số tự ỗ ị a = (a1 , a2 , , an ) tr số n! ị ủ 1, 2, , n t t n 2i S(a) = i=1 ứ r tồ t ị ủ b c b c s n! ột số S(b) S(c) P ứ ột ì trò ợ t ì qt tr ỗ ì qt t ột q ỗ é ể ột q ột ì qt s ột tr ì qt ứ r tể q ột ì qt s tự ệ ự ệ tứ tr P1 , P2 , , Pn N, p n n ể tr ù ột trò ó t n ể ể ề ợ t số Footer Page 69 of 16 a1 = p, a2 = p(p 1), an = (p 1)an2 + (p 2)an1 p p s Header Page 70 of 16 ệ t ế ệt ễ ữ ể t ợ t ế ụ ộ ễ ứ ĩ ễ rờ r ọ ố ộ ộ ễ r ũ ũ ì ò ù ề ọ ọ tổ ợ t rờ r ụ ộ ý tết tổ ợ tị ọ ố ộ ộ ế rs P r rs trs r r t rs Pt t trts r r rts t trts rsr st t stts r Footer Page 70 of 16 ... ĐạI HọC THáI NGUYÊN Tr-ờng Đại học KHOA học -*** - nguyễn THị NGọC áNH Một số chuyên đề tổ hợp dành cho học sinh có khiếu toán bậc trung học phổ thông Chuyên ngành: Ph-ơng pháp toán. .. ữ số số t t t r 100000 số t ó số tr ể ễ t ủ ó ứ ú ột ữ số ột ữ số ột ữ số ết 100000 số t t s ố ết 00000 ố ết 00001 ố ết 00002 ố 99999 ết 99999 ết tr ỗ số tì... of 16 Header Page 19 of 16 ột số ề ề tổ ợ ọ s ó ế t tr ọ ổ t r t trì ề ề t ộ q t ề ị tổ ợ ề ý ề số s ề số t ề số tr ề ị tổ ợ tổ qt ề ý trừ ề ữ trộ ữ