Header Page of 16 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  Đỗ Thị Phương Quỳnh MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH Chuyên ngành : Giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Thị Tuyết Mai Thái Nguyên – 2008 Footer Page 1Sốofhóa 16.bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 MỤC LỤC Mở đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ánh xạ chỉnh hình 1.2 Khoảng cách 1.3 Không gian Hyperbolic 12 1.4 Đa tạp phức 13 1.5 Miền giả lồi - giả lồi mạnh 14 1.6 Miền taut 17 Chương MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH 2.1 Mặt cực hạn 21 2.2 Mặt cực hạn miền giả lồi 25 2.3 Dãy lặp ánh xạ chỉnh hình 31 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 Footer Page 2Sốofhóa 16.bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 MỞ ĐẦU Cho D miền bị chặn  n f : D  D ánh xạ chỉnh hình Khi định nghĩa dãy lặp f n  f sau: f  f  n n 1 f  f f Một vấn đề đặt dãy f n  có hội tụ tập compact hay không, hội tụ có hội tụ đến ánh xạ chỉnh hình h : D   n hay không ? Vào năm 1926 Wolff Denjoy giải vấn đề D   (  đĩa đơn vị  ) Cụ thể họ đ ã chứng minh định lí Denjoy – Wolff sau: “ Cho f :    hàm chỉnh hình từ đĩa đơn vị   lên Khi dãy lặp  f  không hội tụ n f đẳng cấu  có điểm cố định Hơn nữa, giới hạn  f  , tồn tại, số x   ” Để chứng minh định lí n trường hợp f có điểm cố định z0  Denjoy Wolff sử dụng bổ đề Schwarz Tuy nhiên trường lại, f điểm cố định, tiếp tục sử dụng bổ đề Schwarz mà cần công cụ để thay Để đáp ứng yêu cầu đó, định nghĩa đường cực hạn sử dụng bổ đề Wolff: “Cho f :    hàm chỉnh hình điểm cố định Khi tồn x  cho với R>0 có f  E  x, R    E  x, R  ” thay cho bổ đề Schwarz Về chất, đường cực hạn đường tròn tiếp xúc với biên  x Đến năm 1941 Heins mở rộng định lí Denjoy - Wolff miền tổng quát  : “ Cho D   miền hữu hạn liên thông Footer Page 3Sốofhóa 16.bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 bị chặn đường cong Jordan, f : D  D hàm chỉnh hình Khi dãy lặp hội tụ f tự đẳng cấu D Hơn giới hạn, tồn tại, ánh xạ x  D ” Năm 1983, MacCluer mở rộng kết Denjoy - Wolff hình cầu đơn vị  n việc đưa khái niệm mặt cực hạn cổ điển Bn Đến năm 1988, Marco Abate dựa vào mối liên hệ khoảng cách Kobayashi mặt cực hạn cổ điển để định nghĩa mặt cực hạn miền Bây giờ, cho D miền bị chặn  n xét ánh xạ chỉnh hình f : D  D Giả thiết f có điểm cố định z0  D , khả vi z Theo định lí Cartan - Carathéodory, giá trị riêng df z thuộc vào  Sử dụng dạng tắc Jordan df z , dễ dàng kiểm tra  df z 0  n hội tụ giá trị riêng nằm   1 cho ta kết sau: “ Cho D miền taut, compact tương đối  n , f : D  D ánh xạ chỉnh hình có điểm cố định z0  D Khi dãy lặp  f  hội tụ n df z giá trị riêng     ” Định lí mô tả cách rõ ràng giới hạn điểm dãy lặp f  n Mục đích luận văn nghiên cứu mặt cực hạn hội tụ dãy lặp ánh xạ chỉnh hình, nội dung luận văn gồm hai chương : Chương trình bày số kiến thức sở có liên quan chặt chẽ với nội dung luận văn : ánh xạ chỉnh hình, giả khoảng cách Kobayashi, giả khoảng cách Carathéodory, miền lồi, miền giả lồi mạnh, không gian hyperbolic, miền taut Footer Page 4Sốofhóa 16.bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 Chương trình bày khái niệm tính chất mặt cực hạn miền D miền giả lồi mạnh, hội tụ dãy lặp ánh xạ chỉnh hình Trong trình hoàn thành luận văn nhận bảo, hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Thị Tuyết Mai Với lòng thành kính xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc cô Nhân dịp xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Nguyễn Văn Khuê, GS.TSKH Lê Mậu Hải, TS Phạm Hiến Bằng, PGS.TS Phạm Việt Đức, thầy cô giảng dạy, bảo suốt trình học tập hoàn thành luận văn Trường ĐHSP - ĐHTN Đồng thời xin cảm ơn Trường ĐHSP - ĐHTN, Trường ĐHYK - ĐHTN tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập nghiên cứu Cuối xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp người động viên giúp đỡ suốt trình học tập hoàn thành khoá luận Thái Nguyên, tháng 10 năm 2008 Đỗ Thị Phương Quỳnh Footer Page 5Sốofhóa 16.bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ánh xạ chỉnh hình [1] 1.1.1 Định nghĩa + Giả sử X tập mở  n , hàm số f : X   gọi khả vi phức x  X tồn ánh xạ tuyến tính  :  n   cho lim f  x0  h   f  x0    h   h h 0 n Trong h   n ,h   h1 ,h , ,h n  , h  h i 1 i + Hàm f gọi chỉnh hình x  X tồn lân cận mở U x cho f khả vi phức với x  Ux0 + Hàm f gọi chỉnh hình X f chỉnh hình điểm thuộc X + Cho ánh xạ f : X   n   m ; viết dạng f  f1 ,f , ,f m  Trong fi  i  f : X   , i=1, ,m hàm toạ độ, i :  m    f ,f , ,f   f m i Khi f gọi chỉnh hình X fi chỉnh hình X với i=1, ,m Chú ý : Ánh xạ f : X  f  X    n gọi song chỉnh hình f song ánh, chỉnh hình f 1 ánh xạ chỉnh hình 1.1.2 Tính chất Định lí : Giả sử U tập mở  n , với ánh xạ f : U   điều kiện sau tương đương Footer Page 6Sốofhóa 16.bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 a f hàm chỉnh hình b f liên tục c f liên tục f |U M chỉnh hình với M   n , M không gian hữu hạn chiều 1.2 Khoảng cách 1.2.1 Định nghĩa [1] Khoảng cách d tập X hàm d:XX    x, y   d  x, y  thoả mãn điều kiện sau với x, y thuộc X i) d  x, y   0;d  x, y   x  y ; ii) d(x,y)=d(y,x); iii) d  x, y   d  x,z   d  z, y  ; Nếu d thoả mãn ii) iii) d  x, y   d gọi giả khoảng cách X 1.2.2 Khoảng cách Bergman Poincaré [4]   z   :| z | 1 đĩa đơn vị mặt phẳng phức  Trên  , ta xét khoảng cách Bergman Poincaré cho   0,z   log 1 | z | , z  1 | z | Lấy a,b , phép biến đổi w= biến b thành biến a thành z-b tự đẳng cấu  mà - bz ab Vậy  ab Footer Page 7Sốofhóa 16.bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 ab  ba   a,b   log ab 1  ba 1 1.2.3 Giả khoảng cách Kobayashi [1] 1.2.3.1 Định nghĩa Giả sử X không gian phức, x y hai điểm tuỳ ý X Hol(D, X) tập tất ánh xạ chỉnh hình từ D vào X, trang bị tôpô compact mở Xét dãy điểm p0  x,p1, ,pk  y X, dãy điểm a1,a , ,a k D dãy ánh xạ chỉnh hình f1,f , ,f k Hol (D, X) thoả mãn fi  0  pi1,fi  a i   pi ; i  1, ,k Tập hợp   p0 , ,pk ,a1,a , ,a k ,f1,f , ,f k  thoả mãn điều kiện gọi dây chuyền chỉnh hình nối x y X Ta định nghĩa k  d X  x, y   inf  D  0,a i  ,   x,y  ,   i1   x,y tập hợp tất dây chuyền chỉnh hình nối x y X Khi d X : X  X   giả khoảng cách X gọi giả khoảng cách Kobayashi không gian phức X Tổng k    0,a  i 1 D i gọi tổng Kobayashi dây chuyền chỉnh hình 1.2.3.2 Một số tính chất giả khoảng cách Kobayashi + Nếu f : X  Y ánh xạ chỉnh hình hai không gian phức f làm giảm khoảng cách giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa d X  x, y   d Y  f  x  ,f  y   x, y  X , Footer Page 8Sốofhóa 16.bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 dấu xảy f song chỉnh hình Hơn d X giả khoảng cách lớn X thoả mãn ánh xạ chỉnh hình f : D  X giảm khoảng cách + Giả sử X không gian phức Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi d X : X  X   hàm liên tục + Nếu D đĩa đơn vị  giả khoảng cách Kobayashi trùng với khoảng cách Bergman Poincaré 1.2.4 Giả khoảng cách Carathéodory [10] 1.2.4.1 Định nghĩa: Cho không gian phức X, kí hiệu Hol(X,  ) tập ánh xạ chỉnh hình f: X   Giả khoảng cách Carathéodory Cx X định nghĩa sau C x  p,q   sup   f  p  ,f  q   ; p,q  X Trong supremum lấy theo toàn f  Hol  X,   Khi  đĩa đơn vị nhất, thoả mãn để lấy supremum toàn tập F  f  Hol  X,D  ;f  p   0 1.2.4.2 Một số tính chất *Mệnh đề Cho đa tạp phức X, ta có dX  p,q   CX  p,q  , p,q  X Chứng minh: Như định nghĩa d X  p,q  , chọn p  p0 ,p1, ,pk  q X, điểm a1,a , ,a k ,b1, ,bk  ánh xạ chỉnh hình f1,f , ,f k Hol(  ,X) thoả mãn fi  a i   pi1,fi  bi   pi Cho f ánh xạ chỉnh hình X vào  Khi Footer Page 9Sốofhóa 16.bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 10 of 16 k k i 1 i 1    a i ,bi     f  fi  a i  ,f  fi  bi      f  f1  a1  ,f  f k  b k     f  p  ,f  q   , Trong bất đẳng thức thứ suy từ bổ đề Schwarz bất đẳng thức thứ hai hệ tiên đề tam giác Do , k d X  p,q   inf    a i ,bi   sup   f  p  ,f  q    CX  p,q   i=1 * Mệnh đề 2: Nếu X Y không gian phức CY  f  p  ,f  q    C x  p,q  f  Hol  X,Y  ;p,q  X f : X  Y có tính giảm khoảng cách *Mệnh đề 3: Cho  đĩa mở  , C   Chứng minh: Sử dụng bổ đề Schwarz ánh xạ chỉnh hình f :    ta thu   p,q   C  p,q  , p,q  Từ định nghĩa C , xét phép biến đổi đồng  , ta thu bất đẳng thức   p,q   C  p,q  , p,q   * Mệnh đề 4: Cho X không gian phức a) Nếu X giả khoảng cách sau   f  p  ,f  q    X  p,q  f  Hol  X,   ;p,q  X CX  p,q   X  p,q  ; p,q  X b) Nếu X giả khoảng cách thoả mãn 10 Footer Page 10 Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 35 of 16 định z0  D , xét vi phân f z0 Theo định lí Cartan- Caratheodory giá trị riêng df z0 chứa  Sử dụng dạng tắc df z0 , dễ  kiểm tra df z0  hội tụ giá trị riêng thuộc   1 , n định lí cho ta kết sau: 2.3.2 Định lí [5] Cho D miền taut compact tương đối  n , cho f : D  D ánh xạ chỉnh hình với điểm cố định z0  D Thì dãy lặp  f n  hội tụ df  z0  giá trị riêng     Chứng minh: Giả sử f n  h  Hol  D,Cn  Thì h  z0   z0 ,  df z0  n  d  f n   dh z0 z0 Trong trường hợp đặc biệt,  giá trị riêng df z0 , n  phải hội tụ đến giá trị riêng dh z0 ; (theo định lí Cartan – Carathéodory)     1, chiều định lí chứng minh Đảo lại, giả sử tất giá trị riêng df z0 nằm   1 , đặt df z0 dạng chuẩn tắc Jordan Ta cần chứng minh rằng, giá trị riêng df z0 ma trận tương ứng ma trận chéo Nếu không, ma trận có dạng 35 Footer Page 35 Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 36 of 16 1 0  :  : 0  Khi  df z  k 0 :  :   1  có dạng khối tương ứng  k    :  :    :  :  ,  k    và, cho k   , ta có mâu thuẫn ( df z0  Bây dễ dàng kiểm tra df z0  k   có dãy hội tụ) k hội tụ đến ma trận phức A cấp n  n (thực tế , A có dạng  Ir   0 ,   I r ma trận đồng cấp r  r r bội số giá trị riêng df z0 ) Vì vậy, h  Hol(D,  n ) điểm giới hạn f n  , nên ta có h  z   z ;dh z0  A Do đó, theo tính taut, h  Hol  D,D , theo định lí tính Cartan, h xác định Mặt khác, f n  có  điểm giới hạn nhất, hội tụ 36 Footer Page 36 Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 37 of 16 Hệ Cho D miền taut compact tương đối  n , f : D  D ánh xạ chỉnh hình với điểm cố định z0  D Thì f  n hội tụ đến số z0 df z0  , || || dạng chuẩn tắc toán tử Tổng quát hoá định lí ta định lí sau: 2.3.3 Định lí [10] Cho X không gian phức taut, f  Hol  X , X  Nếu dãy f  k hội tụ, hội tụ đến co chỉnh hình  , điểm không kì dị z0   X  vi phân df z0 có giá trị riêng tập   1 Đảo lại, f có điểm không kì dị cố định z0  X cho df z0 có giá trị riêng   1 ,  f k  hội tụ Chứng minh:   hội tụ Theo định lí Bedford hội tụ đến co f    z    lim f  f  z    lim f  z     z    X  Giả sử f k chỉnh hình k 1 k k  k  cố định theo điểm f Cho z0   X  điểm không kì dị    giá trị riêng df z0 Thì  k tiến đến giá trị riêng dz0 , tức là, hay Do   1 Đảo lại, giả sử f có điểm không kì dị cố định z0 cho df z0 có giá trị riêng   1 , đặt df z0 dạng chuẩn tắc Jordan Thì có dạng sau I A r 0 0 A  37 Footer Page 37 Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 38 of 16 Trong r bội giá trị riêng df z0 , A ma trận cho   lim A k  Khi f có điểm cố định, f k không phân kì Cho    co chỉnh hình, h điểm giới hạn f k Thì h cố định z0 I dh z0   r 0 0  dz0  Vì  đẳng cấu, giới hạn điểm   f k  Các định lí cho ta thấy f n  hội tụ nào, để mô tả cách có hiệu giới hạn điểm dãy f n  Bedford chứng minh định lí sau: 2.3.4 Định lí (Bedford) [10] Cho  miền liên thông có tính taut compact tương đối ~   , cho f j , 1  2    dãy lặp f, hội tụ tập  Khi compact  đến hàm F :    i) f     hay ii) Có đa tạp nhẵn V   , co chỉnh hình  :   V  Aut  V  cho F  . Hơn thế, dim V phụ thuộc vào f mà không phụ thuộc vào dãy   j Chứng minh i) Nếu i) không đúng, theo tính taut F:    Thay  j dãy con, ta giả sử dãy 38 Footer Page 38 Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 39 of 16 q j  p j1  p j , rj  q j  p j  p j1  2p j , hai tiến vô Nếu cần thiết có hàm ~ ,G :    lim f j    z  q j lim f j  G  z  r j hội tụ tập compact  Xét đến f  j1  z   f q  f   z   , cho qua giới hạn j j F z    F z  j   , ta có (2.7) Vì     , lại theo tính taut,     Qua giới hạn j   hai vế đẳng thức f  j1  z   f  f q  z  j j Ta F z   F z  (2.8) Đặt V  z   :   z   z Thì V đa tạp  F    V    (2.9) Theo (2.9) hạng F điểm nhỏ hay hạng  Cho qua giới hạn j   hai vế đẳng thức f qj  z   f r f p  z  j j ta 39 Footer Page 39 Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 40 of 16  z   G  F z  (2.10) Tương tự ta chứng minh hạng  nhỏ hạng F Khi  F có hạng Từ (2.10) suy 1  V  đa tạp n chiều  1  V  =  tức V    Do 2    co vào V Sau ta chứng minh V đa tạp Đặt k=dimV Với z0  V ta chứng minh hạng vi phân  '  z0   k Nếu vậy, có lân cận nhỏ U z0 cho   U  đa tạp nhẵn k chiều Vì vậy,  U     U  V   U  V , theo định nghĩa V, V nhẵn z0 Nhưng  đồng V, khoảng biến thiên vi phân  '  z0  chứa nón tiếp xúc Whitney C  V,z0  Vì C(V) đa tạp phức k chiều, bao tuyến tính C(V) có chiều nhỏ k Cuối cùng, đặt   F|V cần chứng minh  Aut  V  Theo (2.9)   V   V , theo tính taut (2.10), G :    , ta lấy giới hạn j   đẳng thức f qj  z   f  f r  z  j j thu  z   FG  z  Vì   z   z với z  V , từ (2.10) suy F tương ứng 1-1 Hơn nữa, F    tập mở V, V liên thông nên từ (2.10) suy G |V  1 40 Footer Page 40 Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 41 of 16   dãy hội tụ khác, f Nếu f j j  F , giả sử s j   j   j t j   j1   j tiến đến vô Lí luận tương tự trên, ta kết luận F F có hạng, chiều V phụ thuộc vào f, không phụ thuộc vào  j Xét ánh xạ phép thấu xạ f* : Hk  ,    Hk  ,   Chọn sở Hk  ,   chứa phần tử Hk  ,   ta viết f*  Tk Trong Tk ma trận vuông với phần tử nguyên  2.3.5 Mệnh đề [5] Cho D tập compact tương đối  n f  Hol  D, D  cho f(D) tập compact tương đối D f có điểm cố định z0  D Định lí dạng tổng quát bổ đề Wolff 2.3.6 Định lí [5] Cho D miền lồi compact tương đối  n f : D  D ánh xạ chỉnh hình điểm cố định Khi tồn x D cho z0  D, R  n     f n Ez0  x, R   Fz0  x, R  Chứng minh: Ta giả sử  D Chọn dãy số thực dương r  hội tụ đến 1, định nghĩa g : D  D z  g   z   r z 41 Footer Page 41 Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 42 of 16 Khi D lồi, g  D  compact tương đối D với  , dãy g  hội tụ đến ánh xạ đồng D Đặt f  g  f Theo mệnh đề 2.3.5, f  có điểm cố định w   D Lấy dãy con, ta giả sử w   hội tụ đến điểm x  D Nếu x  D , f  x   lim f   w    lim  w    x ,   Điều không thể, x D Bây giờ, với z0  D có lim  k D  z, w    k D  z , w    limsup k D  z, w   k D  z , w  (2.11) z  D,  w x Cố định R>0 z  E z0  x,R  , theo (2.11), tồn 0    cho k D  z, w    k D  z , w    log R      Vì w  điểm cố định  f   n  , ta có n   n k D  f    z  , w   k D  z , w    log R      Và     k D  f    z  , w   k D  f n  z  , w    k D  f    z  ,f n  z   , n n    ; tồn 1  0 cho   1  k D  f n  z  , w    k D  z , w    log R  2 Vì lim inf  k D  f n  z  , w   k D  z , w    liminf  k D  f n  z  , w    k D  z , w     log R w x  n f  z   Fz0  x,R   42 Footer Page 42 Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 43 of 16 2.3.7 Định lí [5] Cho D miền C giả lồi mạnh compact tương đối  n , f : D  D ánh xạ chỉnh hình điểm cố định Khi dãy lặp f hội tụ đến điểm biên Chứng minh : Vì f điểm cố định, theo định lí (2.3.6) với điểm x D cần chứng tỏ f n  x Gọi h  Hol  D,  n  điểm giới hạn f n  ; ta cần chứng minh h  x   hội tụ đến h Theo định lí 2.3.4 Bedford, Chọn dãy f n có hai trường hợp xảy ra: h  D  D , h  Hol  D,D + Trong trường hợp thứ nhất, h số, D miền lồi mạnh Theo định lí 2.3.6, cho z0  D R > ta có   , f n  E  x,R   F  x,R  z0 z0 Cho qua giới hạn    ta   h E z0  x,R   Fz0  x,R   D  x Do h  x + Trường hợp thứ hai: Giả sử ngược lại h  Hol  D,D theo định lí 2.3.4 (Bedford), ta thay h co chỉnh hình từ D vào đa tạp X, kí hiệu h Đặt   f |x ; ta  Aut  X  Trước tiên, qua giới hạn đẳng thức f f n f n f ta z  X; f  z   f  h  z   h f  z , 43 Footer Page 43 Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 44 of 16 f  X   X Lấy dãy con, giả sử f  1  hội tụ đến ánh xạ chỉnh hình  Qua giới hạn đẳng thức f  1 f  f f   f f  1 ta f  z   h  z   z  f    z , z  X, (2.12) đặc biệt,     id X  Hol  D,D Bây giờ, qua giới hạn đẳng thức f n  1 f n f n f n  1 ta  z    h  z   h   z  Vậy   X   X ; từ (2.12) suy    |X  idX  Aut  X  Gọi  bao đóng n  Hol  X, n  ; ta chứng tỏ  nhóm giao hoán, compact tự đẳng cấu X Vì D taut,  compact; nên cần phần tử  có nghịch đảo  (rõ ràng id X nằm  )   hội tụ đến  ; dãy k  Lấy    , chọn dãy  k  số,  luỹ thừa  Ta giả sử  k   k    n k  k       hội tụ đến ánh xạ chỉnh hình  Lấy giới hạn  k  k    ta z  X, z     z      z  Vì   1  Bây ý k X  k D |XX Thực 44 Footer Page 44 Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 45 of 16 z1 ,z  X k D  z1 ,z   k X  z1 ,z   k X  h  z1  ,h  z    k D  z1,z  Đặc biệt, hình cầu Kobayashi X giao hình cầu Kobayashi D với X Lấy z0  X ;   z0     z0  |  tập compact chứa X Đặt   C  Bk  w,r  | w  X,r>0;Bk  w,r     z  , (trong Bk  w,r  cầu Kobayashi D) Mọi Bk  w,r  tập compact lồi (vì D tập lồi ); vậy, C   C khác rỗng tập compact lồi D Ta cần f  C  C Cho z  C , ta phải f  z   Bk  w,r  với w  X r>0 Bk  w,r     z0  Bây Bk  1  w  ,r   C :   Bk  1  w  ,r   X  1 Bk  w,r   X  1    z      z  Vì z  Bk  1  w  , r    k D  w,f  z    k D f  1  w  ,f  z    k D  1  w  ,z   r , nên f  z   Bk  w,r  Cuối cùng, f  C  C Theo định lý Brouwer, f phải có điểm cố định C, mâu thuẫn Vì f n  có giới hạn điểm  Hol(D,D) 45 Footer Page 45 Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 46 of 16 2.3.7.1 Hệ Cho D miền C lồi mạnh compact tương đối  n , f : D  D ánh xạ chỉnh hình Lấy điểm z tuỳ ý thuộc D; f có điểm cố định dãy  f  z  có điểm giới hạn n D Chứng minh: Nếu dãy f n  z  có giới hạn điểm D, dãy f  không hội tụ đến điểm biên, theo định lí 2.3.7, f phải n có điểm cố định Đảo lại, giả sử f có điểm cố định w  D Khi dãy f  z  chứa hình cầu Kobayashi đóng tâm w bán kính n k D  z0 ,w  tập compact Do f n  z  có điểm giới hạn D. 2.3.7.2 Hệ Cho D miền C lồi mạnh compact tương đối  n , f  Hol  D, D  Giả sử tồn tập compact K D cho f  K   K Khi f có điểm cố định D 2.3.7.3 Chú ý Định lí 2.3.7 không tổng quát hoá miền lồi tuỳ ý hay miền giả lồi mạnh Thực vậy, cho D  2    , cho f :    cho   z1 i  f  z1 ,z    ,e z  ,   z1    ei  Khi dễ thấy f có điểm cố định, f n  không hội tụ 46 Footer Page 46 Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 47 of 16  Mặt khác, cho D   z, w    | z  w  w 2 2   ; D miền giả lồi mạnh nhẵn  Định nghĩa f : D  D 1  f  z, w    z,ei w  , 2    ei  Khi (z, w) D , w  , f có điểm cố định f n  không hội tụ Năm 1964, Shields chứng minh hệ thú vị định lí Denjoy - Wolff: “nếu f ,g :    chỉnh hình  , liên tục  f  g  g  f , ta có điểm cố định  ” Kết mở rộng lần miền    Eustice, mở rộng Bn Sau tổng quát hoá miền lồi nhẵn 2.3.8 Mệnh đề [5] Cho D miền lồi mạnh nhẵn compact tương đối  n , cho f, g : D  D chỉnh hình D, liên tục D cho f  g  g  f f g có điểm chung cố định D Chứng minh: Giả sử f điểm cố định D Thì theo định lí 2.3.7, dãy f n  hội tụ đến điểm x D Hiển nhiên, f(x)=x, ta cần g(x)=x Thực vậy, lấy z  D , g  x   limg  f n  z    limf n  g  z    x n  n  Vì vậy, giả sử giao tập điểm cố định X f với D khác rỗng Vì f g giao hoán, g  X   X Dễ thấy X đồng phôi với tập lồi đóng  n  47 Footer Page 47 Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 48 of 16 KẾT LUẬN Dựa vào kiến thức sở trình bày chương 1, luận văn trình bày lại cách có hệ thống kiến thức sau: Mặt cực hạn cổ điển Mặt cực hạn miền tính chất Mặt cực hạn tính chất miền giả lồi Các tính chất dãy lặp ánh xạ chỉnh hình Và cuối luận văn có trình bày mối liên hệ mặt cực hạn lớn, mặt cực hạn nhỏ ánh xạ lặp ánh xạ chỉnh hình   f n Ez0  x,R   Fz0  x,R  48 Footer Page 48 Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 49 of 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt Phạm Việt Đức (2005), Mở đầu lý thuyết không gian Hyperbolic, NXB Đại học Sư Phạm Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2006), Hàm biến phức, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội Đoàn Quỳnh (2000), Hình học vi phân, NXB Giáo dục Đỗ Đức Thái (2003), Cơ sở lý thuyết hàm hình học, NXB Đại học Sư Phạm Tiếng Anh Abate M (1988), Horospheres and Iterates of holomorphic maps, Math.Z, 198, tr 225- 238 Burkel R (1981), Iterating self – maps of the disk Am, 88, tr 396407 Bedford E (1983), On the automorphism group of a stein manifod, Math Ann, 266, tr 215- 227 Josph J, H Kwach M (1977), A generalization of a theorem, New York, 199, tr 235- 249 Hiens M (1941), On the iteration of functions which are analytic and single valued in a given multiply connected region,Math, 63, tr 461- 480 10 Kobayashi S (1998), Hyperbolic complex spaces, Berlin 11 Kobayashi S (1970),Hyperbolic manifolds and holomorphic mappings, Berlin 12 Sabat BV (1979),Nhập môn giải tích phức, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp Hà Nội 13 sYang P (1978), Holomophic curves and boundary regularity of biholomorphic maps of pseudoconvex domain, Preprin 49 Footer Page 49 Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... Ánh xạ chỉnh hình 1.2 Khoảng cách 1.3 Không gian Hyperbolic 12 1.4 Đa tạp phức 13 1.5 Miền giả lồi - giả lồi mạnh 14 1.6 Miền taut 17 Chương MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH 2.1 Mặt. .. , ,f   f m i Khi f gọi chỉnh hình X fi chỉnh hình X với i=1, ,m Chú ý : Ánh xạ f : X  f  X    n gọi song chỉnh hình f song ánh, chỉnh hình f 1 ánh xạ chỉnh hình 1.1.2 Tính chất Định... Header Page 20 of 16 Chương MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH Denjoy Wolff chứng minh định lí sau:“ Cho f :    hàm chỉnh hình đĩa đơn vị   lên Khi dãy lặp  f  không hội tụ f đẳng