Header Page of 16 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ THÚY NHỮNG BÀI TOÁN TÍCH PHÂN VÀ ÁP DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH,VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ CAO HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS.NGUYỄN MINH TUẤN Hà Nội – 2017 Footer Page of 16 Header Page of 16 LỜI MỞ ĐẦU Bài toán tích phân, áp dụng tích phân tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể tròn xoay chương trình Giải Tích 12 dạng toán bản, thực tế quen thuộc Tuy nhiên em học sinh thường chưa có phân tích tư thực tế dẫn tới mắc sai lầm đưa lời giải sai, chưa xác Việc hệ thống hoá phương pháp giải, số sai lầm giải toán cho phép nhìn nhận toán theo hệ thống quán từ giúp em học sinh thấy thuật toán chung tránh sai lầm giải toán có liên quan Khắc phục khó khăn sửa chữa sai lầm cần thiết, giúp cho trình giải toán dễ dàng, thuận lợi đạt hiệu cao Đồng thời phát triển tư duy, lực sáng tạo học sinh học tập môn toán môn học khác Xuất phát từ thực tế trên, tổng hợp phương pháp tính tích phân bản, áp dụng tính diện tích hình phẳng thể tích vật tròn xoay, số toán liên quan Với sáng kiến “Phân loại tập tích phân, ứng dụng tích phân – Chương III- Giải tích 12 nâng cao” chủ yếu vào khai thác số toán ứng dụng tính phân để diện tích thể tích chương trình Giải tích THPT lớp 12- nâng cao toán đề thi đại học năm gần nhằm tìm hướng giải cho toán cách xác, lôgíc khoa học Mục đích nghiên cứu đề tài nhằm xây dựng, hệ thống lại dạng tích phân thường gặp, áp dụng tính diện tích, thể tích cho học sinh đồng nghiệp giáo viên có nhìn toàn diện ứng dụng tích phân hình học tránh nhầm lẫn nhanh chóng giải toán Trên sở học sinh tự tìm tòi phát vướng mắc, cách giải hay nhiều toán khác Bố cục luận văn bao gồm chương:    Chương 1: Một số dạng toán tích phân thường gặp Chương 2: Áp dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, tính thể tích vật thể Chương 3: Một số toán liên quan Do thời gian thực khóa luận không nhiều, kiến thức hạn chế nên làm luận văn không tránh khỏi hạn chế sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cố bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 17tháng 1năm 2017 Học viên Vũ Thị Thúy Footer Page of 16 Header Page of 16 NỘI DUNG Chương 1: Một số dạng toán tích phân thường gặp I Cơ sở khoa học Nguyên hàm - Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K F’(x) =f(x) với x thuộc K Kí hiệu:  f ( x)dx  F ( x)  C - Tính chất: Tính chất 1: ( f ( x)dx) '  f ( x)  Tính chất 2:  kf ( x)dx  k  f ( x)dx Tính chất 3:   f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx - Tích phân Định nghĩa :Ta có công thức Niu tơn – Laipnitz b b  f ( x) dx  F ( x ) a  F (b)  F ( a ) a - Tính chất: b Tính chất 1:  a f ( x)dx    f ( x )dx a Tính chất 2: b b b a a  kf ( x)dx  k  f ( x)dx ∀ 𝑘 ∈ 𝑅 b a II b a a   f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx Tính chất 3: Tính chất 4: b c b c a a b  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx Các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân Footer Page of 16 Header Page of 16 Tính tích phân việc sử dụng nguyên hàm 1.1 Phương pháp: Chúng ta sử dụng nguyên hàm hàm số sơ cấp để xác định nguyên hàm từ tính giá trị tích phân kdx  kx  C    x dx  x 1 C  1 ( (  R,   1) dx  ln x  C x ax  a x dx  C ln a  e x dx  e x  C   1 x dx  arctanx+C ( đặt x= tant/2) dx   cosx dx= sinx  arcsinx+C  x2  sinx dx= - cosx + C +C 1.2 Các ví dụ Tính tích phân phương pháp đổi biến số 2.1 Phương pháp đổi biến số dạng 1.1 Quy tắc :  Bước 1: Đặt x=v(t)  Bước 2: Tính vi phân hai vế đổi cận  Bước 3: Phân tích f(x)dx=f(v(t))v'(t)dt v (b ) b  Bước 4: Tính  f ( x)dx  a   g (t )dt  G(t ) v(a) Bước 5: Kết luận : I= G (t ) v(b) v(a ) v(b) v(a ) 1.2 Nhận dạng : Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu thông thường : Dấu hiệu Cách chọn     x  a sin t    t    x  a cost   t    a     t   ;  x  sin t  2   a    t   0;   \   x  cost 2  a2  x2 x2  a2 Footer Page of 16 Header Page of 16 a2  x2      x  a tan t  t    ;      x  a cot t  t   0;   ax ax  ax ax x=a.cos2t x=a+  b  a  sin t  x  a  b  x  - Chú ý : Trong dạng phân thức hữu tỷ :  *   1 1 dx   du  ax  bx  c dx    0    2 a u  k     b   a  x+       2a   2a     b  Với :  u  x+ , k  , du  dx   2a a    áp dụng để giải toán tổng quát : -   dx a x  2 k 1 k  Z  2.1.3 Một số ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Tính tích phân sau a)   x dx b)  0 1  2x2 dx Giải    ;  2   x   sin t   t   Ta dx = costdt ,    x   sin t   t  a/ Đặt x=sint với : t        0  f ( x)dx   Vậy b/ Đặt x =   x dx   sin tcostdt=cos 2tdt  Do f(x)dx= 1  cos2t  dt      1       2 2 1  cos2t  dt   t  sin 2t   2    sin t t    ;   2  x=0  sint=0  t=0  Ta dx = costdt   1   x=   sin t  t   Footer Page of 16 Header Page of 16  Do :     1 1  dx   dx   costdt   dt  t  1  sin t 20 2  x2    x    2 2.2 Đổi biến số dạng Quy tắc :  Bước 1: Khéo léo chọn hàm số u(x) đặt t : t=u(x)  Bước 2: Tính vi phân hai vế đổi cận : dt=u'(x)dx  Bước 3: Ta phân tích f(x)dx = g[u(x)]u'(x)dx = g(t)dt u (b ) b  Bước 4: Tính  f ( x)dx   a  Kết luận : I= G (t ) g (t )dt  G(t ) u (a) u (b) u (a) u (b) u (a) 2.3 Nhận dạng :  DẠNG : I= P( x)  ax+b dx  a  0  m m dx  ln ax+b Và bậc P(x) lớn ta chia tử cho mẫu dẫn  ax+b  a  Chú ý:     P( x) m dx   Q( x)  dx   Q( x)dx  m dx đến  ax+b  ax+b    ax+b  DẠNG :   ax P( x) dx  bx  c Tam thức : f ( x)  ax  bx  c có hai nghiệm phân biệt  Chú ý:  u '( x) dx  ln u ( x)    u ( x) Tam thức : f ( x)  ax  bx  c có nghiệm kép  Chú ý:    u '( x)dx  ln  u ( x)   u ( x) Tam thức : f ( x)  ax  bx  c vô nghiệm b  u  x  P( x) P( x) 2a  Ta viết : f(x)=  ; 2 2  b      a  u  k  k   a  x        2a  2a   2a     Khi : Đặt u= ktant x3  x  x  dx 0 x2  Ví dụ: Tính tích phân sau : I= Footer Page of 16 Header Page of 16 Giải x  2x  4x   x2 2 x 4 x 4 2 x  2x  4x   dx  1 2 dx    x    dx   x  x      J (1) Do :  x 4 x 4 2  0 x 4 0   Ta có : Tính tích phân J= x dx 4 x   t     dt;   Đặt : x=2tant suy : dx =   t  0;   cost>0 cos t  x   t   4     1 14   Khi :  dx   dt   dt  t  2 x 4  tan t cos t 20 0   Thay vào (1) : I    P( x) dx DẠNG 3:   ax  bx  cx  d Đa thức : f(x)= ax  bx  cx  d  a   có nghiệm bội ba  Công thức cần ý :   x m dx  1  m1 1 m x  2 Đa thức : f(x)= ax  bx  cx  d  a   có hai nghiệm : Có hai cách giải : Hệ số bất định phương pháp nhẩy tầng lầu Ví dụ: Tính tích phân sau : I=   x  1 x  1 dx Giải  A  x  1  B  x  1 x  1  C  x  1 A B C Ta có : Thay hai nghiệm     2  x 1 x  1 x   x  1  x  1  x 1 x  1 1  A   A   mẫu số vào hai tử số :   1  2C C      Khi (1)  A  B  x2   A  C  x  A  B  C  A  B  C   B  A  C       4  x 1 x  1 1 1 1  dx     2  x  1 x  12 2  x   x  1  x  12  dx    Do : Footer Page of 16 Header Page of 16 1 1 3  I   ln  x  1 x  1    ln  ln 2  x  1  4 4 - Phương pháp tích phân phần Một số lưu ý:  + Công thức tính tích phân phần :I=  u.dv  uv     v.du (*)    + Khi tính tích phân : I   f ( x)dx , ta sử dụng phương pháp : Phân tích để sử dụng  trực tiếp bảng nguyên hàm , phương pháp phân tích để tính trực tiếp , ta phải sử dụng phương pháp tích phân phần để tính tích phân I  + Đối với phương pháp tính tích phân phần có dạng: I    f ( x)dx   u  x  dv  x Hay viết    tắt : I  u.dv Trong : u=u(x),v=v(x) ( hàm số theo x ) khó chọn hàm số u(x)  vi phân dv(x) cho nguyên hàm v(x) dễ tìm phải kết hợp với vi phân du cho tích phân   v.du tính trực tiếp phương pháp trình bày    ax  I   P  x  e dx     Tích phân dạng :  I   P  x  sin axdx      I  P x cosaxdx       Trong : P(x) đa thức, a số - Sử dụng phương pháp tích phân phần cách chọn : u=P(x) suy du = P'(x)dx eax dx  dv  sin axdx cosax   ax a e   v    cosax Sau thay vào công thức (*)  a   sin ax  a 3.1.2 Các ví dụ   3.2 Tích phân dạng : P( x).ln k xdx  3.2.1 cách giải : Footer Page of 16 Header Page of 16 - Đặt : u  ln k x  du  k ln k 1 x dx , dv   P( x)dx x 3.2.2 Cách giải * Chú ý : Lũy thừa kcủa lnx số lần lấy tích phân phần , số lần lấy tích phân phần không phụ thuộc vào bậc đa thức P(x) Ví dụ: Tính tích phân sau : a  ln x   x  1 dx ( KB-2009 ) Giải a  ln x   x  1 - Với : dx     x  1 3  x  1 dx   dx   ln x  x  1 dx 1 3  x 1 27 ln 3 ln x ln3  1  ln3 x 16 - Với :  dx    dx         dx    ln x  1 1 x  x  1  x x 1  x 1  x  1 ln x Thay vào (1) : I   ln 27 27  ln 16  16 4  * Chú ý : Qua ví dụ ta thấy tích phân dạng : ln x dx , áp dụng cách giải cho tích phân   P( x)   dạng : I  P( x) ln xdx      3.3 Tích phân dạng : I  e sin bxdx  J  eax cosbxdx  ax  Cách giải  Gọi hai tích phân Sau ta tính tích phân I cách : Đặt u  eax  du  ax e ; dv  sin bxdx  v   cosbx , ta có kết dạng : a b I= A+mJ  I-mJ=A (1)  Sau để tính tích phân J ta làm tương tự cách : Đặt u  eax  du  ax e ; dv  cosbxdx  v  sin bx , ta có kết dạng : a b J=B+nI  J-nI = B (2)  Giải hệ hai phương trình (1) (2) ta tìm I J Ví dụ minh họa Footer Page of 16 Header Page 10 of 16 Chương 2: Diện tích hình phẳng, thể tích vật thể 2.1 Hình phẳng giới hạn đồ thi hàm số trục hoành 2.1.1 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành hai đường thẳng x=a,x=b 2.1.1.1.Một số ý tích phân chứa giá trị tuyệt đối - Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1) , muốn ta phải “phá” dấu giá trị tuyệt đối   b b Nếu f ( x)  , x a ; b S   a a Nếu f ( x)  , x a ; b S  b b  f ( x) dx   f ( x)dx f ( x) dx    f ( x) dx a a Muốn “phá” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu biểu thức f(x) Thường có hai cách làm sau : Cách 1: Dùng định lí “dấu nhị thức bật nhất” , định lí “dấu tam thức bậc hai” để xét dấu biểu thức f(x) ; phải giải bất phương trình f(x) ≥ , f(x) ≤ đoạn a ; b - Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số y =f(x) đoạn a ; b để suy dấu f(x) đoạn  Nếu đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hoành f ( x)  , x a ; b  Nếu đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hoành f ( x)  , x a ; b b Cách 3: Nếu f(x) không đổi dấu [a ; b] ta có : S  b  f ( x) dx  a  f ( x)dx a 2.1.1.2 Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ : Tính I   x  dx 2 Xét dấu nhị thức bậc f(x) = 2x + x -∞ +∞ f(x)=2x + - -2 + + Suy x   , x  - 2;0 Do I   2x  dx   (2x  4)dx  ( x 2 2.1.2 2  x)     (2)  4(2)  2 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số với trục hoành Giả sử hàm số y = f(x) liên tục đoạn a ; b Khi hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b có diện tích S tính theo công thức : Footer Page 10 of 16 10 Header Page 11 of 16 b S   f ( x) dx (1) a Ví dụ 1:Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 2x + , trục hoành , đường thẳng x = - , x = Giải Diện tích S hình phẳng S   x  dx 2 Từ hình vẽ , suy x   , x  - 2;0 Do S  0 2 2  x  dx   (2 x  4)dx  ( x  x)     (2)  4(2)  (đvdt) 2 Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng (được tô màu ) sau : Chú ý: Nếu phương trình f(x) = có k nghiệm phân biệt x1 , x2 , …, xk thuộc (a ; b) khoảng (a ; x1 ) , (x1 ; x2) , …, (xk ; b) biểu thức f(x) có dấu không đổi b Khi để tính tích phân S   f ( x) dx ta tính a sau : b S   f ( x) dx  a x1  f ( x)dx  a x2  b f ( x)dx   x1 Diện tích S hình phẳng S   xk  x dx 0 S   x dx   xdx  ( Footer Page 11 of 16 2 x 3 )    2 2 Giải : Hình phẳng giới hạn bốn đường y = x ,trục hoành hai đường thẳng x = , x = Vì x  , x  0;3 f ( x)dx (đvdt) 11 Header Page 12 of 16 2.1.3 Diện tích hình tròn , hình elip - Diện tích hình tròn : Trong hệ toạ độ Oxy cho đường tròn có phương x2 + y2 = r2 ( r > 0) Khi hình tròn có diện tích : S  r Giải :Ta có x2  y2  r  y   r  x2 Với y ≥ ta có : y  r  x2 r Và có diện tích S1   r có đồ thị nửa đường tròn phía trục hoành r r  x dx  2 r  x dx  2 2  r 2 Do S  2S1   r - Diện tích elip Trong hệ toạ độ Oxy cho elíp có phương Diện tích elip : S  a.b x2 y2 trình :   a b , 0ba (đvdt) 2.2 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số 2.2 Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số Cho hai đồ thị hai hàm số y = f(x) , y = g(x) hai đường thẳng x = a , x =b (a nên x(ln x  1)   ln x    ln x   x  e Vậy hoành độ giao điểm hai đồ thị cho x = e Trên đoạn 1 ; e phương trình xlnx – x = có nghiệm x = e Hình phẳng giới hạn bốn đường y =xlnx , y = x hai đường thẳng x = 1, x = e có diện tích S tính theo công thức: e S   x ln x  x dx Vì x ln x  x  x  1; e nên S  e   e e e 1 x ln x  x dx   ( x ln x  x)dx    x ln x   xdx e 1 x e e 1 e e 3      (đvdt) 4 2 2 2 2.2.2 Bài tập tự luyện 2.3.Thể tích vật thể tạo cách quay hình phẳng quanh trục hoành Giả sử (H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b , ( a < b) Quay hình phẳng (H) quanh trục hoành ta vật thể tròn xoay Thể tích vật thể tính theo công thức : = , x = b Ví dụ 16 Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường sau quanh trục hoành Ox a y = x3 – 3x , y = , x = , x = b y  x  x , y = , x V     f ( x) dx c y  = , x = a Giải: a 1 x7 x5 x3 V    ( x  3x) dx    ( x  x  x )dx   (   ) 0  ( 68 x 6x5   3x )  35 1 (đvtt) b V    x  x dx    ( x  x  x )dx   ( 0 1 x5 x 38  x4  )   15 (đvtt) x 3x 16  )   11 (đvtt) c V    ( x  3x ) dx    ( x  3x)dx   ( Footer Page 13 of 16 13 x  3x , y = , x Header Page 14 of 16 Bài tập tự luyện 2.4 Thể tích vật thể tạo cách quay hình phẳng quanh trục tung Giả sử (H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x = g(y) , trục tung hai đường thẳng y = m , y = n , ( m < n) Quay hình phẳng (H) quanh trục hoành ta vật thể tròn xoay Ví dụ 18 Cho hình phẳng (H) giới hạn đường cong (C ) : x  y  , trục tung , hai đường thẳng x = , y = Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình phẳng quanh trục tung Thể tích vật thể tính theo công thức : n V    g ( y ) dy m Giải Ta có (C ) : x  y   y   x  y   x2 ,y0 Gọi V1 thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn nửa elip (E ) , trục tung hai đường y = , y = quanh trục tung   11 11 V1    (  x ) dx   (4  x )dx   40 12 1 (đvtt) Gọi V2 thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn đường thẳng y = , trục tung hai đường y = , y = quanh trục tung 2 V2    dx    4dx  8 (đvtt) Thể tích vật thể cần tính : V  V2  V1  8  11 85  (đvtt) 12 12 2.5 Thể tích khối cầu, khối trụ,khối nón, khối nón cụt 2.5.1 Thể tích khối cầu Trong hệ tọa độ Oxy cho nửa đường tròn có phương trình (P ) : x2 + y2 = r2 với r> y ≥ (hình 22) Quay nửa hình tròn quanh trục hoành ta mặt cầu có bán hính r Thể tích mặt cầu : V Footer Page 14 of 16   r (đvtt) 14 Header Page 15 of 16 Giải :Ta có x2  y2  r  y   r  x2 Với y ≥ ta có : y  r  x2 có đồ thị nửa đường tròn phía trục hoành r r x3 r V    ( r  x ) dx  2  (r  x )dx  2 (r x  ) Và có diện tích r r3 4 r  2 (r  )  3 2 2 (đvtt) 2.5.2 Thể tích khối trụ Cho hình phẳng ( hình chữ nhật )giới hạn đường thẳng y = r ( r > 0) ; trục hoành đường thẳng x = ; x = h ( h > 0) Quay hình phẳng quanh trục hoành ta khối trụ có bán kính đáy r chiều cao h Thể tích vật thể tròn xoay (khối trụ )này : h h V    r dx  ( r x)   r h   r   r h 0 (đvtt) 2.5.3 Thể tích khối nón tròn xoay Cho hình phẳng (H) (tam giác vuông) giới hạn đồ thị hàm số y  r x (r  , h  0) ; trục hoành h hai đường thẳng x = 0; x = h (hình 23) Quay hình phẳng (H ) quanh trục hoành ta khối nón có bán kính đáy r chiều cao h Khi thể tích khối nón : h r r2 r x h  r h  r h V    ( x) dx    x  (  )   h 3 h h h 0 h 2.5.4 Thể tích khối nón cụt Footer Page 15 of 16 15 (đvtt) Header Page 16 of 16 Cho hình thang vuông giới hạn đồ thị hàm số y  r x , trục hoành hai đường thẳng x = a ; x = a b (b >a > 0; R > r > ) Quay hình thang vuông quanh trục hoành ta khối nón cụt có bán kính đáy lớn R , bán kính đáy nhỏ r chiều cao h = b – a Thể tích khối nón cụt tạo thành : V   R b  r a    ( R 2b  r a) Chương 3: Các toán liên quan Chúng ta biết ứng dụng phép tính tích phân hình học, đại số.Chương giới thiệu số ứng dụng phép tính tích phân đời sống 3.1 Một số ứng dụng tích phân sinh học kinh tế 3.1.1 Bài toán chế hoạt động trái tim người 3.1.2 Bài toán sinh lý tim mạch 3.1.3 Thặng dư tiêu dùng 3.1 Một số ứng dụng tích phân vật lý Công Lực thủy tĩnh TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Văn Mậu, Đặng Huy Ruận, Nguyễn Thủy Thanh (2000), Phép tính vi phân tích phân hàm biến, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Văn Mậu (2004), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Trung Học Phổ Thông: Một số vấn đề chọn lọc tích phân, Nhà xuất Giáo dục Nguyễn Thủy Thanh (2001), Bài tập giải tích, Tập 1, 2, Nhà xuất Giáo dục Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí (2003), Học ôn tập Toán Đại số, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Footer Page 16 of 16 16 Header Page 17 of 16 Footer Page 17 of 16 17 ...Header Page of 16 LỜI MỞ ĐẦU Bài toán tích phân, áp dụng tích phân tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể tròn xoay chương trình Giải Tích 12 dạng toán bản, thực tế quen thuộc Tuy nhiên... tập tích phân, ứng dụng tích phân – Chương III- Giải tích 12 nâng cao” chủ yếu vào khai thác số toán ứng dụng tính phân để diện tích thể tích chương trình Giải tích THPT lớp 12- nâng cao toán. .. chương:    Chương 1: Một số dạng toán tích phân thường gặp Chương 2: Áp dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, tính thể tích vật thể Chương 3: Một số toán liên quan Do thời gian thực khóa luận