GV: THANHwww.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan T NG GIAO NG TRÒN - NG TH NG Giáo viên: Nguy n Thanh Tùng I BÀI TOÁN N i dung ng tròn (C1 ) (C2 ) c t t i hai m A, B Vi t ph ng trình đ ng th ng AB 01 Cho đ H oc Cách gi i chung (C1 )  A    Ph ng trình AB  (C1 )  B Cách 2: Gi s (C1 ) : x  y  a1 x  b1 y  c1  (C2 ) : x  y  a2 x  b2 y  c2  Khi t a đ A, B nghi m c a h : nT hi D Cách 1: T a đ A, B nghi m c a h iL ie uO  x  y  a1 x  b1 y  c1   (a1  a2 ) x  (b1  b2 ) y  c1  c2   2  x  y  a2 x  b2 y  c2  Suy ph ng trình AB : (a1  a2 ) x  (b1  b2 ) y  c1  c2  Ta Chú ý: cách gi i có m t u m h n so v i cách gi i ta không c n bi t t a đ m A, B song hoàn toàn vi t đ c ph ng trình AB Trong cách đ vi t ph ng trình AB ta c n tìm đ c c th t a đ hai m A, B +) Cách s phù h p cho nh ng toán c n tìm c th t a đ giao m hai đ ng tròn t ng minh Còn cách s thích h p cho nh ng toán ch a tham s (ít nh t m t hai ph ng trình đ ng tròn ch a t ng minh) +) ng th ng AB tr c đ ng ph ng c a hai đ ng tròn .c om /g ro up s/ +) bo ok Ví d g c fa ce Cho hai đ ng tròn (C1 ) : x  y  x  y  17  (C2 ) : x  y  x  y   c t t i hai m A, B Vi t ph ng trình đ ng th ng AB Gi i: w Cách 1: T a đ A, B nghi m c a h : w w  x  y  x  y  17   x  1; y   A(1; 2), B (3; 2)    2  x  3; y  2  A(3; 2), B (1; 2)  x  y  x  y   Suy ph ng trình đ ng th ng AB : x  y   Cách 2: T a đ A, B nghi m c a h : 2  x  y  x  y  17   12 x  y  24   x  y    2  x  y  x  y   V y ph ng trình đ ng th ng AB : x  y   Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANHwww.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan II CÁC VÍ D M R NG Ví d (Kh i B – 2006) Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho đ ng tròn (C ) : x  y  x  y   m M ( 3;1) G i A B ti p m c a ti p n k t M đ n (C ) Vi t ph ng trình đ ng th ng AB Gi i: (?) A M( 3;1) 01 H oc I(1;3) nT ng tròn (C ) có tâm I (1;3) bán kính R  IA  uO +) hi D B ng trình: s/ Ta ( x  3)2  ( y  1)  16  x  y  x  y   iL ie Ta có MI  , đó: MB  MA  MI  IA2  20   +) Suy A, B n m đ ng tròn tâm M ( 3;1) bán kính b ng , có ph ng trình đ /g ng th ng AB là: x  y   om +) V y ph ro up 2  x  y  x  y    x  y  12   x  y   +) Khi t a đ A, B nghi m c a h :  2  x  y  x  y   ce bo ok c Ví d Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC cân t i A , có tr c tâm H ( 3; 2) G i D, E chân đ ng cao k t B C Bi t r ng m A thu c đ ng th ng  : x  y   , m F ( 2;3) thu c đ ng th ng DE HD  Tìm t a đ m A Gi i: A(?) 3y 3=0 w w w fa :x I E F D H B C Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANHwww.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan +) Do ABC cân t i A nên HE  HD  , suy E , D thu c đ bán kính b ng có ph ng tròn tâm H ( 3; 2) ng trình: ( x  3)2  ( y  2)2   x  y  x  y   +) G i I trung m c a AH 5m  16m  20  3m m   IH G i A(3m  3; m)    I  ;    2    3m m   ; Ta có ADHE n i ti p đ ng tròn tâm I   bán kính IH nên có ph   2 Suy ph hi D 2  x  y  x  y    (6  3m) x  (m  2) y  m  18   2  x  y  3mx  (m  2) y  m   H oc 3m   m   5m  16m  20   x  y  3mx  (m  2) y  7m   x  y       +) Khi t a đ m E , D nghi m c a h : 01 ng trình: ng trình ED : (6  3m) x  ( m  2) y  m  18  ie uO nT +) Do F ( 2;3)  ED  2(6  3m)  3( m  2)  m  18   m   A(3; 0) V y A(3; 0) up s/ Ta iL Ví d Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC có A( 2; 1) , tr c tâm H (2;1) BC  G i B ', C ' l n l t chân đ ng cao k t đ nh B, C L p ph ng trình đ ng th ng BC , bi t r ng trung m M c a c nh BC n m đ ng th ng có ph ng trình x  y   , tung đ c a M d ng đ ng th ng B ' C ' qua m N (3; 4) w w w fa ce bo ok c om /g ro Gi i: +) Do M n m đ ng th ng có ph Vì B ', C ' nhìn BC d (v i MB  ng trình x  y   nên g i M (2m  1; m) v i m  i m t góc vuông nên BCB ' C ' n i ti p đ ng tròn  M ; MB  BC  5) Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANHwww.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Do đ +) ng tròn (T ) qua m B , C , B ', C ' có ph ng trình:  x  2m  1   y  m   ng tròn (T ') qua m A, B ', H , C ' nh n AH làm đ nên có ph ng kính O(0;0) trung m c a AH làm tâm ng trình: x  y  +) Do (T )  (T ')   B '; C ' nên B ' C ' có ph ng trình: x  y   x  2m  1   y  m   2  2(2m  1) x  2my  5m  4m   M t khác N (3; 4)  B ' C '  6(2m  1)  8m  5m  4m    m   m  ho c m  1 (lo i)  ng th ng BC qua M (3;1) nh n AH  (4; 2)  2(2;1) làm vecto pháp n nên có ph V y ph ng trình đ ng trình: 2( x  3)  ( y  1)   x  y   H oc +) Khi đ 01 Suy M (3;1) ng th ng BC là: x  y   ng nT hi D Ví d Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC n i ti p đ ng tròn tâm I (6; 6) ngo i ti p đ tròn tâm J (4;5) Bi t m A(2;3) Tìm t a đ đ nh l i c a tam giác ABC +) bo ok c om /g ro up s/ Ta iL ie uO Gi i: ng tròn ngo i ti p ABC có tâm I (6; 6) bán kính IA  nên có ph ng trình: ce ( x  6)2  ( y  6)  25 fa Ta có AD qua A(2;3), J (4;5) nên có ph ng trình : x  y   w w w x   ( x  6)  ( y  6)  25  D(2;3)  A y   Khi t a đ m D nghi m c a h :     D(9;10) x   D(9;10) x  y 1     y  10 +) G i E giao m th hai c a BJ v i đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC Khi đó:    AmE  EnC (góc n i ti p b ng ch n cung b ng )    DqB  CpD   CpD   hay ECD   (1)  EnC AmE  DqB AmE  DqB Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANHwww.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan    EBD  sd ECD M t khác:  (2)     DJB  sd AmE  sd DqB    DJB  hay tam giác DBJ cân t i D , suy DB  DJ (*) T (1) (2) suy ra: EBD   DB  DC (2*) L i có  A A   T (*) & (2*) suy ra: DB  DJ  DC hay D tâm c a đ ng tròn tâm D (9;10) bán kính DJ  Suy B, C n m đ ng trình : ( x  9)  ( y  10)  50 01 có ph ng tròn ngo i ti p tam giác JBC H oc  x    B (2;9), C (10;3) ( x  6)  ( y  6)  25 y   Khi t a đ B, C nghi m c a h :    2   x  10  B (10;3), C (2;9) ( x  9)  ( y  10)  50    y  nT hi D uO V y B (2;9), C (10;3) ho c B (10;3), C (2;9) ng tròn (C ) có tâm I (4; 0) bán kính R  fa +) ce bo ok c om /g ro up s/ Ta iL ie Ví d Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho đ ng tròn (C ) : ( x  4)  y  m E (4;1) Tìm t a đ m M tr c tung, cho t m M k đ c hai ti p n MA, MB đ n (C ) (v i A, B ti p m) cho AB qua E Gi i: w +) G i M (0; m)  Oy  IM  m  16  MA2  MB  MI  R  m  12 w Suy A, B thu c đ ng tròn tâm M bán kính MA có ph ng trình: x  ( y  m)  m  12 w +) Khi t a đ A, B nghi m c a h : 2 2  x  ( y  m)  m  12  x  y  2my  12    x  my  12    2 2 ( x  4)  y   x  y  x  12  Suy ph ng trình AB : x  my  12  +) M t khác E (4;1)  AB  16  m  12   m   M (0; 4) V y M (0; 4) Ví d Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho đ ng tròn (T ) : ( x  1)2  ( y  1)  v i tâm I m A(4;5) T A k m t đ ng th ng c t đ ng tròn (T ) t i hai m B, C , ti p n t i B, C c t t i K Qua K k đ ng th ng vuông góc v i IA , c t (T ) t i E , F Xác đ nh t a đ m E , F Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANHwww.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan H oc 01 Gi i: Do IBKC n i ti p đ nT ng tròn có ph (a  1)  (b  1)2 ng trình: uO nên B, C thu c đ ng tròn tâm M bán kính MI  hi D  a 1 b 1  +) G i K ( a; b) M  ;  trung m c a IK   2 iL ie a 1   b 1  ( a  1)  (b  1)  x y      x  y  (a  1) x  (b  1) y  a  b      2     +) Do B, C thu c đ Ta ng tròn ( x  1)2  ( y  1)   x  y  x  y   up s/ Khi t a đ B, C nghi m c a h : ng trình đ ng th ng BC : (a  1) x  (b  1) y  a  b   om Suy ph /g ro 2  x  y  (a  1) x  (b  1) y  a  b   (a  1) x  (b  1) y  a  b    2  x  y  x  y   bo ok c +) Do A  BC  4(a  1)  5(b  1)  a  b    3a  4b  12   +) EF  IA  (3; 4) EF qua K ( a; b) nên có ph ng trình: 3( x  a )  4( y  b)   3x  y  (3a  4b)   x  y  12  w fa ce  x  0; y  3 x  y  12   Khi t a đ m E , F nghi m c a h :   16 2 x  ; y  ( x  1)  ( y  1)  5  w w  16   16  V y E  ;  , F  0;3 ho c E  0;3 , F  ;   5  5 Ví d Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy , cho đ ng tròn (C ) : x  y  x  y   đ ng th ng  : x  y   Tìm t a đ m M thu c đ ng th ng  cho qua M k đ c hai ti p n MA, MB đ n 3  đ ng tròn (C ) ( v i A, B ti p m), đ ng th i kho ng cách t m N  1;  đ n AB l n nh t 2  Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANHwww.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan ng tròn (C ) có tâm I (1; 2) bán kính R  IA  G i M ( m; m  1)   t M k đ c hai ti p n t i (C ) : hi D +) H oc 01 Gi i: nT MI  R  (m  1)  (m  3)   2m  4m   (*) uO +) Ta có MB  MA  IM  R  2m  4m  Ta iL ie Suy A, B thu c đ ng tròn tâm M ( m; m  1) bán kính b ng 2m  4m  có ph ng trình: ( x  m)2  ( y  m  1)2  2m  4m   x  y  2mx  2(m  1) y  2m  up s/ Khi t a đ A, B nghi m c a h : ng trình AB : (m  1) x  (m  3) y  m   om Suy ph /g ro 2  x  y  2mx  2(m  1) y  2m   (m  1) x  (m  3) y  m    2  x  y  x  y   c +) G i K ( x0 ; y0 ) m c đ nh mà AB qua, : bo ok (m  1) x0  (m  3) y0  m   m  ( x0  y0  1)m  x0  y0  m w w w fa ce   x0    x0  y0    1    K  ;   4  x0  y0   y   +) G i H hình chi u vuông góc c a N lên AB , đó: d ( N , AB)  NH  NK  26 26 H  K hay NK  AB (2*)     Mà ta có: NK    ;     (1;5) u AB  (m  3;1  m)  4 Suy (2*)  m   5(1  m)   m  (th a mãn (*)) Suy d ( N , AB ) max  V y M (2;3) Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANHwww.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Ví d Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho đ ng tròn (T ') : x  y  m A(1;3) Vi t ph ng trình đ ng tròn (T ) qua A tâm c a đ ng tròn (T ') , đ ng th i c t đ ng tròn (T ') t i hai m B, C cho kho ng cách t m A đ n đ ng th ng BC l n nh t Gi i: +) G i I tâm R bán kính c a đ ng tròn (T ) , đó: R  IO  IA Suy I thu c đ ng trung tr c c a OA có ph  : x  3y   ng trình ng trình đ H oc Suy ph 01 +) Khi I (5  3m; m)   bán kính: R  OI  10m  30m  25 ng tròn (T ) : ( x  3m  5)2  ( y  m)  10m  30m  25 hi D  x  y  2(3m  5) x  2my  nT Khi t a đ B, C nghi m c a h : ie  iL  Ta 4(3m  5)  4m 3  40  m    10 2  s/ 10 ng trình đ ng tròn (T ) : x  y  x  y  /g hay ph om D u “=” x y m  ro up +) Ta có d ( A, BC )  uO  x  y  2(3m  5) x  2my   2(3m  5) x  2my    2  x  y  Suy ph ng trình BC : 2(3m  5) x  2my   Gi i: w w w fa ce bo ok c Ví d Cho đ ng tròn (C ) : x  y  3x  y  12  m A(1; 2) Tìm t a đ đ nh c a hình ch nh t ABCD n i ti p (C ) có di n tích b ng Bi t AB chi u dài c a hình ch nh t B có hoành đ nguyên +) +) 10 3 7 ng tròn (C ) có tâm I  ;  bán kính R  Khi I trung m c a AC  C (2;5) 2 2  AB  a t  (v i a  b  ) :  AD  b Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANHwww.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan S ABCD  ab  a  2 a    ho c  (lo i)  2 2 a  b  10  AB  AD  BD  R b  b  2 +) V y AB  2  B thu c đ ng tròn tâm A(1; 2) bán kính R '  2 có ph ng trình: ( x  1)  ( y  2)   x  y  x  y   2 2 +) Khi t a đ m B nghi m c a h : Ví d 10 Cho đ ng tròn (C ) : x  y  x  y   Vi t ph ng trình đ nT +) iL ie ng trình: uO ng tròn (C ) có tâm I (1; 2) bán kính R  Cách 1: +) G i (C ') có bán kính R ' , (C ') có ph ng tròn (C ') tâm M (5;1) bi t hi D (C ') c t (C ) t i hai m A, B cho AB  Gi i: H oc 01  x   x  y  x  y  12  x   x  y  15   x  15  y     (lo i) ho c    2 y  x  y  2x  y   5 y  44 y  96   x  y  x  y    y  24   B (3; 4)  D(0;3) ( I trung m c a BD ) V y B (3; 4), C (2,5) D(0;3) +) Ta có AB   IAB đ u  d ( I , AB )  s/ om /g  R '2  43   R '  28  15   2  R '  13 ng tròn (C ') c n l p : c 82  +) V y đ AB 3  2 bo ok   12  R '2  24 up ng trình AB có d ng: x  y  R '2  24  ro Suy ph Ta ( x  5)2  ( y  1)  R '2  x  y  10 x  y  16  R '2  ( x  5)2  ( y  1)  43 ho c ( x  5)  ( y  1)  13 fa ce Cách 2: +) G i (C ') có bán kính R ' Ta có MI  3 AB  IH  IA2  AH     2 13 +) Khi MH  MI  IH    ho c MH  MI  IH    2 2 w w w G i IM  AB  H   AH    R '  MA      R '  MA    +) V y đ 2 7  3   13        2  13      43        ng tròn (C ') c n l p : ( x  5)  ( y  1)  13 ho c ( x  5)2  ( y  1)  43 Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANHwww.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan OA2  OM  5 OH +) V y M n m đ ng tròn tâm O bán kính b ng có ph +) Suy t a đ m M nghi m c a h : ng trình: x  y  25 up s/ Ta Suy OH  OA2  AH  uO AB 4,8 12   2 ie G i H giao m c a OH AB , suy AH  nT ng tròn (C2 ) có tâm O(0;0) bán kính R  OA  iL +) hi D H oc 01 Ví d 11 Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hai đ ng tròn (C1 ) : x  y  18 x  y  65  (C2 ) : x  y  T m M thu c đ ng tròn (C1 ) k hai ti p n v i đ ng tròn (C2 ) v i hai ti p m A, B Tìm t a đ m M , bi t đ dài đo n AB  4,8 Gi i: bo ok V y M (4;3) ho c M (5; 0) c om /g ro  x   2  x  y  25  x  y  25  y   M (4;3)      2  x   x  y  18 x  y  65   M (5; 0) 3 x  y  15     y  fa ce Ví d 12 Cho đ ng tròn (C ) : ( x  1)2  ( y  2)2  m K (3; 4) L p ph ng trình đ ng tròn (T ) tâm K c t đ ng tròn (C ) t i hai m A, B cho di n tích tam giác IAB l n nh t v i I tâm c a đ ng tròn (C ) w w w +) Gi i: ng tròn (C ) có tâm I (1; 2) bán kính R  +) Ta có: S IAB  R2 R2 IA.IB.sin 舞 sin 舞 D u “=” x y sin 舞 AIB = AIB  AIB =  舞 AIB  900 2 R2 V y S IABmax  IAB vuông t i I  AB  R  2 +) Khi toán t ng t nh Ví d 10 nên ta có đáp s ng tròn (T ) c n l p : ( x  3)  ( y  4)  ho c ( x  3)  ( y  4)  20 Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANHwww.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Ví d 13 Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho đ ng tròn (C ) : x  y  x  y   Vi t ph ng trình đ ng tròn có tâm K (1;3) c t đ ng tròn (C ) t i hai m A, B cho di n tích tam giác IAB b ng , v i I tâm c a đ ng tròn (C ) Gi i: +) ng tròn (C ) có tâm I (1; 2) bán kính R  2 IH AB  R  AH AH   a a   a (8  a )  16  (a  4)2   a   a   AH   AB  +) G i IM  AB  H  đ t AH  a , : S IAB  H oc Ví d 14.Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hai đ 01 +) Khi toán t ng t nh Ví d 10 nên ta có đáp s ng tròn (C ) c n l p : ( x  1)  ( y  3)  13 ho c ( x  1)  ( y  3)  53 ng tròn (C1 ) : ( x  1)  ( y  2)  nT ng th ng x  y   ng tròn đ i x ng v i (C1 ) qua đ bo ok +) G i (T ) đ c om /g ro up s/ Ta iL ie uO t a đ nguyên thu c (C2 ) đ nh B, D thu c đ Gi i: hi D (C2 ) : ( x  2)  ( y  10)  Tìm t a đ đ nh c a hình vuông ABCD , bi t m A thu c (C1 ) , m C có ng th ng d Khi tâm I c a (T ) đ i x ng v i tâm I1 (1; 2) qua đ ng th ng II1 có ph ng trình: x  y   Khi t a đ giao m H c a II1 d nghi m c a h : ce +) ng th ng d có bán kính R  R1  w w w fa  x     x y    H   ;   I (4;7)      2 x  y   y   +) Khi ph ng trình đ ng tròn (T ) : ( x  4)  ( y  7)  Do A, C đ i x ng qua d nên A  (C1 )  C  (T ) Suy t a đ m C nghi m c a h : ( x  4)  ( y  7)    2 ( x  2)  ( y  10)  16  x   x  4   16 106  13  C ( 4;10) ho c C   ; ho c    (lo i)  13 13   y  10  y  106  13 Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANHwww.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Do A đ i x ng v i C qua d nên đ ng th ng AC có ph ng trình: x  y   Khi t a đ giao m K c a AC d nghi m c a h : x  y   x    K (0; 6)  A(4; 2)  x  y   y  +) ng tròn tâm K ngo i ti p hình vuông ABCD có bán kính KA  có ph ng trình: x  ( y  6)2  32 N CÁC B N Ã hi D C TÀI LI U GV: Nguy n Thanh Tùng w w w fa ce bo ok c om /g ro up s/ Ta iL ie uO nT C M x   B (4; 2), D (4;10)    y  10  B (4;10), D ( 4; 2) ho c A(4; 2), B (4;10), C ( 4;10), D( 4; 2) H oc  x  ( y  6)  32  x  4  ho c   y x y      V y A(4; 2), B ( 4; 2), C ( 4;10), D (4;10) 01 Khi t a đ m B, D nghi m c a h : Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01