www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word Giáo viên sưu tầm biên soạn: Lê Viết Nhơn BÀI TOÁN THỰC TẾ BÀI TOÁN TỐI ƯU MIN - MAX Tài liệu có tham khảo nguồn: 1) Bài toán tối ưu Min_max thầy Lê Bá Bảo 2) Tuyển chọn toán thực tế thầy Nguyễn Văn Rin 3) Một số toán thầy Hồ Hà Đặng A BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA PHẦN BÀI TOÁN THỰC TẾ_TỐI ƯU Ví dụ (SGK 12 CB) Trong số hình chữ nhật có chu vi 16  cm  , tìm hình chữ nhật có diện tích lớn Hướng dẫn giải  Hình vuông có cạnh  cm  hình có diện tích lớn max S  16 cm2    Ví dụ (SGK 12 CB) Trong tất hình chữ nhật có diện tích 48 m2 , xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ Hướng dẫn giải: Hình vuông có cạnh  m  hình có chu vi nhỏ P  16  m  Ví dụ (SGK BT 12 CB) Trong hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R , tìm hình trụ tích lớn Hướng dẫn giải: Kí hiệu chiều cao, bán kính đáy thể tích hình trụ nội tiếp hình cầu h , r V Khi đó: V  h r  h2   h3  h2 2 Vì r  R   V  h  R      hR   4 4    h3  Ví dụ trở thành tìm giá trị lớn hàm số V  h     hR2   , h   0; R  4   3h  2R Ta có: V '  h     R2  0h   Bảng biến thiên: h 2R  V' V 4 R 2R  3 0 Facebook: www.facebook.com/viet.nhon Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày Trang www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word Giáo viên sưu tầm biên soạn: Lê Viết Nhơn  R  4 R3 Từ BBT, suy max V  V    0;2 R  3 3 Vậy hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R tích lớn chiều cao Khi đó, thể tích khối trụ 4 R 3 2R Ví dụ (Team 12 Huế) Một kẽm hình vuông ABCD có cạnh 30 cm Người ta gập kẽm theo hai cạnh EF GH AD BC trùng hình vẽ để hình lăng trụ khuyết hai đáy Giá trị x để thể tích khối lăng trụ lớn A x cm B x cm Hướng dẫn giải: Ta có: DF CH x, FH 30 2x C x pΔDHF cm D x 10 cm 15 Thể tích khối lăng trụ hình vẽ V SFDH EF 30 15 15 x 15 x 15 30 30 15 15 x Xét hàm số f x f' x f' x 15 x 15 x x 15 x x 2 x 15 , x 2x 15 ;15 2x 15 15 x 2 15 x 3x 30 10 15 Bảng biến thiên: Facebook: www.facebook.com/viet.nhon Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày Trang www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word Giáo viên sưu tầm biên soạn: Lê Viết Nhơn Dựa vào BBT, max f x 125 x 10 15 ;15 Do thể tích khối lăng trụ hình vẽ lớn x Khi Vmax 10 cm 750 cm3 Lựa chọn đáp án D Ví dụ (SGK BT 12 CB) Một chất điểm chuyển động theo quy luật s  t   6t  t Tính thời điểm t (giây) vận tốc v  m / s  chuyển động đạt giá trị lớn Hướng dẫn giải: Theo giả thiết: s  t   6t  t , t   0;   Vận tốc chuyển động v  t   s '  t   12t  3t Ta có: v '  t   12  6t   t  Bảng biến thiên: t v ' t     12 v t  Dựa vào BBT, ta có max v t 0; v 12 m / s Vậy vận tốc đạt giá trị lớn t   s  Ví dụ (SGK BT 12 CB) Cho số dương m Hãy phân tích m thành tổng hai số dương cho tích chúng lớn Hướng dẫn giải: Cho m  Đặt x số thứ nhất,  x  m, số thứ hai m  x m Xét tích P  x   x  m  x  , x   0; m  Ta có: P '  x   2 x  m   x  Bảng biến thiên: x P '  x P  x  m m  m2  m  m2 m Vậy phân tích m thành tổng hai số Từ BBT, ta có max P  x   P     0; m 2 Ví dụ (SGK BT 12 CB) Tìm hai số có hiệu 13 cho tích chúng bé Hướng dẫn giải: Gọi hai số phải tìm x , ta có số x  13 13 Xét tích P  x   x 13  x  Ta có: P '  x   x  13   x   Bảng biến thiên: Facebook: www.facebook.com/viet.nhon Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày Trang www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word Giáo viên sưu tầm biên soạn: Lê Viết Nhơn 13 x    P '  x   P  x    169  13  169 13 Từ BBT, ta có P  x   P      Vậy tích hai số bé số    13 số Ví dụ (SGK BT 12 CB) Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn tổng cạnh góc vuông cạnh huyền số a  a   Hướng dẫn giải:  a Kí hiệu cạnh góc vuông AB x , x   0;   2 Khi đó, cạnh huyền BC  a  x, cạnh góc vuông AC  BC  AB2  a  x Diện tích tam giác ABC S  x   Ta có: S '  x   a  a  3x   x2  a2  2ax  a x a2  2ax , x   0;   2 a 0x a2  2ax a 0 S'  x  x A Bảng biến thiên: x B C a  a2 S  x Từ BBT, suy max S  x    a  0;   2 a2 AB  a 2a , BC  3 Ví dụ (SGK 12 NC) Cho tam giác ABC cạnh a Người ta dựng hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm cạnh BC , hai đỉnh P Q theo thứ tự nằm hai cạnh AC AB tam giác Xác định vị trí điểm M cho hình chữ nhật có diện tích lớn tìm giá trị lớn Hướng dẫn giải:  a Đặt BM  x; x   0;  ta MN  a  2x; QM  x  2   Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: S  x   MN.QM   a  2x  x  ax  2x2 a Ta có: S '  x    a  x    x  Facebook: www.facebook.com/viet.nhon Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày Trang www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word Giáo viên sưu tầm biên soạn: Lê Viết Nhơn Bảng biến thiên: a a x S'  x   a2 S  x Từ BBT, suy S  x  đạt giá trị lớn điểm x  a giá trị lớn diện tích a2 a hình chữ nhật max S  x   S     a 0;       Ví dụ 10 (SGK 12 NC) Khi nuôi cá thí nghiệm hồ, nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu đơn vị diện tích mặt hồ có n cá trung bình cá sau vụ cân nặng P  n  480  20n  gam  Hỏi phải thả cá đơn vị diện tích mặt hồ để sau vụ thu hoạch nhiều cá nhất? Hướng dẫn giải: Nếu đơn vị diện tích mặt hồ có n cá sau vụ, số cá đơn vị diện tích mặt hồ trung bình cân nặng f  n  nP  n  480n  20n2  gam  Xét hàm số f  x   480x  20x2 ; x   0;   (Biến số n lấy giá trị nguyên dương thay biến số x lấy giá trị khoảng  0;   ) Ta có: f '  x   480  40x   x  12 Bảng biến thiên: x f '  x  12   2880 f  x Từ BBT,  0;   , hàm số f đạt giá trị lớn điểm x  12 Từ đó, suy f  n  đạt giá trị lớn điểm n  12 Ví dụ 11 (SGK 12 NC) Độ giảm huyết áp bệnh nhân cho công thức G  x   0,025x2  30  x  , x liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân ( x tính miligam) Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều tính độ giảm Hướng dẫn giải: Ta có: G  x   0,75x2  0,025x3 x  G '  x   1,5x  0,075x2   x   x  20 Bảng biến thiên: x 20  Facebook: www.facebook.com/viet.nhon Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày Trang www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word Giáo viên sưu tầm biên soạn: Lê Viết Nhơn G '  x   100 G  x Từ BBT, suy max G  x   G  20   100 Vậy liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để  0;   huyết áp giảm nhiều 20 mg Khi đó, độ giảm huyết áp 100 Ví dụ 12 (SGK 12 NC) Một cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách 300 km Vận tóc dòng nước km/h Nếu vận tốc cá bơi nước đứng yên v (km/h) lượng tiêu hao cá t cho công thức E  v   cv3t , c số, E tính jun Tìm vận tốc bơi cá nước đứng yên để lượng tiêu hao Hướng dẫn giải: Vận tốc cá bơi ngược dòng v  (km/h) Thời gian cá bơi để vượt khoảng cách 300 300 km t  (giờ) v6 300 v3  300c Năng lượng tiêu hao cá để vượt khoảng cách E  v   cv (jun), v  v6 v6 v9 Ta có: E '  v   600cv   v   v  (loại v  )  v  6 Bảng biến thiên: v E'  v E v      E 9 Từ BBT, để tiêu hao lượng nhất, cá phải bơi với vận tốc (khi nước đứng yên) (km/h) Ví dụ 13 (SGK 12 NC) Sau phát bệnh dich, chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất bệnh nhân đến ngày thứ t f  t   45t  t , t  0, 1, 2, , 25 Nếu coi f hàm số xác định 0; 25  f '  t  xem tốc độ truyền bệnh (người/ngày) thời điểm t a) Tính tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ b) Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn tính tốc độ c) Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn 600 d) Xét chiều biến thiên hàm số f đoạn 0; 25  Hướng dẫn giải: Số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất bệnh nhân đến ngày thứ t f  t   45t  t , t  , t  0; 25 Để xét tốc độ truyền bệnh, người ta xem hàm số f xác định đoạn 0; 25  a) f '  t   90t  3t  3t  30  t  Facebook: www.facebook.com/viet.nhon Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày Trang www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word Giáo viên sưu tầm biên soạn: Lê Viết Nhơn Tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ năm f '    375 (người/ngày) b) f ''  t   90  6t   t  15 Bảng biến thiên: t f ''  t    15  675 f ' t  Từ BBT, tốc độ truyền bệnh lớn vào ngày thứ 15 Tốc độ f ' 15   675 (người/ngày) c) f '  t   600  90t  3t  600  t  30t  200   10  t  20 Từ ngày 11 đến ngày thứ 19, tốc độ truyền bệnh lớn 600 người ngày Ví dụ 14 (SGK 12 NC) Cho parabol  P  : y  x2 điểm A  3;  Xác định điểm M thuộc parabol  P  cho khoảng cách AM ngắn tìm khoảng cách ngắn Hướng dẫn giải:   Gọi M x; x điểm parabol  P  Ta có: AM   x    x4  x4  x2  6x  Khoảng cách AM đạt giá trị nhỏ f  x   AM đạt giá trị nhỏ   Xét f  x   x4  x2  6x   f '  x   4x3  2x    x  1 4x2  4x    x  1 Bảng biến thiên: x f '  x f  x    1    Dựa vào BBT, ta suy f  x  đạt giá trị nhỏ điểm x  1 f  1  Do đó, khoảng cách AM đạt giá trị nhỏ M nằm vị trí điểm M0  1;1 ; AM0  Ví dụ 15 (SGK 12 NC) Một viên đạn bắn với vận tốc ban đầu v0  từ nòng súng đặt gốc tọa độ O , nghiêng góc  với mặt đất (nòng súng nằm mặt phẳng thẳng đứng Oxy tạo với trục hoành Ox góc  ) Biết quỹ đạo chuyển động viên đạn g parabol    : y   2v2  tan2  x2  x tan    ( g gia tốc trọng trường) Facebook: www.facebook.com/viet.nhon Truy cập www.dethithptquocgia.com để cập nhật tài liệu đề thi ngày Trang www.dethithptquocgia.com website chia sẻ tài liệu đề thi miễn phí – file word Giáo viên sưu tầm biên soạn: Lê Viết Nhơn   Chứng minh với    0;  ,     tiếp xúc với parabol    có phương trình  2 g v02 tìm tọa độ tiếp điểm (    gọi parabol an toàn) y x  2g 2v0 Hướng dẫn giải: Hoành độ tiếp điểm hai parabol nghiệm hệ phương trình:  g g v02 2 (1)   tan  x  x tan    x  2g 2v0  2v0   g  tan  x  tan    g x (2)  v2 v02  v02   Từ (2)  x  Dễ thấy nghiệm phương trình (1) Vậy với x   0;  g tan   2 hai parabol tiếp xúc với v02 Hoành độ tiếp điểm x  g tan      g  v02  v02 v02   Tung độ tiếp điểm y     1     2v0  g tan   g g  tan    v02 v02     Điểm  ; 1  tiếp điểm hai parabol với x   0;    2  g tan  g  tan    Ví dụ 16 (SGK 12 NC) Một tạp chi bán với giá 20 nghìn đồng Chi phí xuất x tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in,