Đang tải... (xem toàn văn)
Cấu trúc đại số trong lý thuyết otomat, tìm hiểu và nghiên cứu các cấu trúc đại số trong lý thuyết otomat mới 2017. Luân văn thạc sĩ Cấu trúc đại số trong lý thuyết otomat, tìm hiểu và nghiên cứu các cấu trúc đại số trong lý thuyết otomat mới 2017.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ HỒNG NHUNG CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ TRONG LÝ THUYẾT ÔTÔMAT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG, 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ HỒNG NHUNG CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ TRONG LÝ THUYẾT ƠTƠMAT Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Gia Định ĐÀ NẴNG, 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các kết quả, số liệu nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Nguyễn Thị Hồng Nhung DANH MỤC CÁC HÌNH Số hiệu hình Tên hình Trang 1.1 Sơ đồ đẳng cấu ψ: ψ= 1.2 Sơ đồ cảm sinh ánh xạ ψ ψ’ 22 1.3 1.4 1.5 2.1 ′ ảnh đồng cấu Sơ đồ với ánh xạ định ψ1 = ψµ3 Sơ đồ ảnh đồng cấu với ánh xạ định ψ2 = ψ’εB’ = ψ’ Sơ đồ giao hốn đồng cấu μ ơtơmat Moore ′ Sơ đồ kết nối song song tích Descartes hai ơtơmat x 23 24 24 39 2.2 Sơ đồ kết nối dãy hai ôtômat 40 2.3 Sơ đồ kết nối tầng hai ôtômat 40 2.4a, 2.4b 2.5a, 2.5b Hai sơ đồ giao hốn đẳng cấu ba µ: (X, α, β)→(X’, α’, β’) Hai sơ đồ giao hoán đẳng cấu ba µ:(X, α, β)→(Xo, αo, βo) 41 42 MỤC LỤC MỞ ĐẦU …………………………… 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu đề tài Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG ÔTÔMAT THUẦN TUÝ 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1.1 Định nghĩa ví dụ 1.1.2 Biểu diễn ôtômat tập nửa nhóm 1.1.3 Đồng cấu ôtômat 1.1.4 Ơtơmat tuần hoàn 11 1.2 ÔTÔMAT PHỔ DỤNG 15 1.2.1.Định nghĩa tính chất ơtơmat phổ dụng 15 1.2.2 Tính khớp ơtơmat phổ dụng rút gọn trái, phải 18 1.3 ÔTÔMAT MOORE .21 1.3.1 Định nghĩa vài thuộc tính 21 1.3.2 Ơtơmat Moore ơtơmat phổ dụng 22 1.3.3 Đồng cấu ôtômat Moore 24 1.4 ÔTÔMAT THUẦN TUÝ TỰ DO 28 1.4.1 Định nghĩa, thực thi 28 1.4.2 Tiêu chuẩn tự 30 1.4.3 Một vài tính chất 33 1.5 TỔNG QUÁT HOÁ .35 1.5.1 Ôtômat với đa tạp tùy ý 35 1.5.2 Ơtơmat tuyến tính 37 1.5.3 Ơtơmat Affine 38 CHƯƠNG XÂY DỰNG VÀ PHÂN RÃ ÔTÔMAT 41 2.1 XÂY DỰNG ÔTÔMAT THUẦN TUÝ 41 2.1.1 Kết nối tầng ôtômat tuyệt đối túy 41 2.1.2 Kết nối tầng tích luồng ơtơmat nửa nhóm túy 45 2.1.3 Các thuộc tính kết nối tầng 46 2.2 PHÂN RÃ ÔTÔMAT THUẦN TUÝ HỮU HẠN 49 2.2.1 Lý thuyết phân rã Krohn-Khodes 49 2.2.2 Phân rã ôtômat Mealy 55 CHƯƠNG ƠTƠMAT TUYẾN TÍNH 57 3.1 ƠTƠMAT TUYẾN TÍNH VÀ SONG ƠTƠMAT 57 3.1.1 Ơtơmat tuyến tính, tuyến tính hóa 57 3.1.2 Ơtơmat tuyến tính Moore 59 3.1.3 Song ôtômat 62 3.1.4 Ơtơmat, song ơtơmat biểu diễn 64 3.2 XÂY DỰNG VÀ PHÂN RÃ ÔTÔMAT .65 3.2.1 Xây dựng Tích tam giác 65 3.2.2 Phân rã ôtômat tuyến tính 69 3.3 TỰ ĐẲNG CẤU CỦA ƠTƠMAT TUYẾN TÍNH VÀ SONG ÔTÔMAT 76 3.3.1 Một số định nghĩa, bổ đề 76 3.3.2 Tự đẳng cấu ôtômat phổ dụng 78 KẾT LUẬN 80 TÀI LIỆU THAM KHẢO 81 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lịch sử phát triển lý thuyết Ơtơmat trải qua thời kỳ huy hoàng từ năm 50 nhu cầu nghiên cứu phát sinh từ ngơn ngữ hình thức, ngơn ngữ lập trình, điều khiển học,…và ngày tỏ rõ vai trị quan trọng nhiều cơng trình Ơtơmat – mơ hình tốn học lý thuyết tính tốn cổ điển – đóng vai trị quan trọng lý thuyết khoa học máy tính Đề tài dành cho việc nghiên cứu cấu trúc đại số liên quan đến khái niệm Ơtơmat Tầm quan trọng thực khung đại số Ơtơmat sở liệu thực Vì vậy, khái niệm xuất dạng cấu trúc đại số nhiều loại, cho phép lý thuyết đại số phát triển Vì việc xử lý mặt cấu trúc đại số mở đường cho cấu trúc dáng điệu Ơtơmat sở liệu thực, hy vọng lý thuyết xây dựng tìm thấy ứng dụng Mặt khác, theo đuổi nhiều mục đích đại số hầu tìm kiếm phương cách làm phong phú cho đại số Khái niệm Ơtơmat xuất nhiều tốn khác liên kết với khoa học máy tính, hệ thống mạng, lý thuyết điều khiển, … Cấu trúc tốn học dựa lập luận trực giác, phản ánh thực thể Ơtơmat thực Bây lý thuyết Ơtơmat lĩnh vực tốn học phát triển Có hai khía cạnh vạch việc nghiên cứu Ơtơmat, tiếp cận tổ hợp lý thuyết đại số Cái thứ thuộc phạm vi lớn liên quan đến dáng điệu, phân tích tổng hợp Ơtơmat Chắc chắn hai hướng không độc lập với nhau: phương pháp đại số dùng toán tổ hợp Chẳng hạn, lý thuyết Ơtơmat đại số đóng vai trị có ý nghĩa lý thuyết thuật tốn ngơn ngữ Tuy nhiên, nói theo khía cạnh đại số lý thuyết Ơtơmat, trước hết ghi nhớ Ôtômat cấu trúc đại số Một phân tích hợp lý cấu trúc đại số mục tiêu đề tài Ngồi ra, cấu trúc đại số Ơtơmat cung cấp thông tin quan trọng cấu trúc Ơtơmat thực Định lý phân rã Krohn-Rhodes hố chứng gây ấn tượng cho điều Một hướng quan trọng khác trình bày việc áp dụng phương pháp đại số phân loại Ơtơmat, mơ tả dáng điệu đồng nhất, nghiên cứu đa tạp Ơtơmat Cuối cùng, cố gắng theo quan điểm phạm trù Ôtômat hệ đại số Xuất phát từ nhu cầu phát triển lý thuyết Ơtơmat ứng dụng nó, chúng tơi định chọn đề tài với chủ đề: Các cấu trúc đại số lý thuyết Ơtơmat để tiến hành nghiên cứu Chúng hy vọng tạo tài liệu tham khảo tốt cho người bắt đầu tìm hiểu Lý thuyết Ơtơmat ứng dụng luận văn số ví dụ minh hoạ đặc sắc nhằm góp phần làm phong phú thêm kết lĩnh vực Mục đích nghiên cứu đề tài Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu lý thuyết Ơtơmat qua cấu trúc đại số số Ơtơmat cụ thể Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu Ơtơmat t - Nghiên cứu xây dựng phân rã Ơtơmat - Nghiên cứu Ơtơmat tuyến tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài cấu trúc đại số số Ơtơmat cụ thể Phạm vi nghiên cứu đề tài lý thuyết Ơtơmat Phương pháp nghiên cứu - Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến cấu trúc đại số lý thuyết Ôtômat, cụ thể Ôtômat túy, Ôtômat phổ dụng, Ơtơmat Moore, Ơtơmat túy tự do, Ơtơmat tuyến tính, song Ơtơmat - Tham gia buổi seminar thầy hướng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu Trao đổi qua email, blog, forum với chuyên gia lý thuyết Ơtơmat Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài - Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến lý thuyết Ơtơmat cấu trúc đại số số Ơtơmat cụ thể nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu cấu trúc đại số lý thuyết Ơtơmat - Chứng minh chi tiết làm rõ số mệnh đề, đưa số ví dụ minh hoạ đặc sắc nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề đề cập Cấu trúc luận văn Ngồi phần danh mục hình vẽ, mục lục, mở đầu, luận văn chia thành chương: - Trong Chương 1, chúng tơi trình bày cấu trúc đại số Ơtơmat túy, Ơtơmat phổ dụng, Ơtơmat Moore, Ơtơmat túy tự - Trong Chương 2, chúng tơi trình bày việc xây dựng phân rã Ơtơmat qua Ơtơmat túy túy hữu hạn - Ơtơmat tuyến tính dự kiến trình bày Chương Cụ thể Ơtơmat tuyến tính, song Ơtơmat, xây dựng phân rã Ơtơmat tuyến tính tự đẳng cấu Ơtơmat tuyến tính song Ơtơmat 67 (3.9) (3.10), trường hợp nửa ơtơmat Ngồi ra, định nghĩa tác động Ψ từ bên trái: a2 (γ2๐ψ)=(a2 ๐γ2 )ψ, tác động 1 Ψ: ψΦ, γΓ , φ ∗ γ phân tử từ ψ cho: a2 (φγ)=(a2 φ)γ, aA Tích Descartes Γ = Γ xΦxΨxΓ nửa nhóm tương ứng với phép nhân sau: (γ1 , φ, ψ, γ2 )(γ′ ,φ′,ψ, γ′ )=γ1 γ′ , γ2 ๐φ'+φ๐γ′ , φ*γ′ + γ2 ๐ψ', γ2 γ′ Trong đó: γ1 , γ′ Γ1, γ2 , γ′ Γ2, φ, φ′Φ, ψ, ψ′Ψ Một ôtômat 1 = A1 A2 , Γ, B1 B2 với phép toán xác định sau: (a , a )๐γ1 = (a ๐γ1 + a φ, a ๐γ2 ) (a , a ) ∗ γ1 = (a ∗ γ1 + a ψ, a ∗ γ2 ) a1 , a2 ∈A1 A2, γ1 ,φ, ψ, γ2 ∈ Γ, gọi tích tam giác ôtômat Nếu = (A , Γ , B ) tích tam giác 1 = (A , Γ , B ) ôtômat tuyến tính khớp, ôtômat A1 A2, Γ, B1 B2 xem nửa nhóm ma trận tổng quát có dạng: α22 φ22 α21 φ21 0 0 α11 φ11 0 0 0 (α11 , φ11 ) ảnh phần tử 1 qua biểu diễn ôtômat, (α22 , φ22 ) ảnh phần tử qua biểu diễn ôtômat, α21 φ21 phần tử thuộc Hom(A2, A1) Hom(A2, B1), phép toán ๐ ∗ xác định sau: (a1 , a2 )๐γ=(a1 α11 +a2 α21 , a2 α22); (a1 , a2 )∗γ=(a1 α11 +a2 α21 , a2 α22 ) 68 Vai trị tích tam giác ơtơmat tuyến tính tương tự tích luồng phạm trù ơtơmat t Một tích luồng 1wr ơíơmat t vật cuối phạm trù kết nối tầng ôtômat (xem mục 2.1) Cho ta định nghĩa kết nối ơtơmat tuyến tính 1 và Giả sử nửa nhóm đồng cấu α1: Γ→Γ1, α2: Γ→Γ2 cho Cho ánh xạ β: Γ→Hom(A2, A1), δ: Γ→Hom( A2, B1) thỏa mãn quan hệ: γ, γ′Γ có (γγ′) = γ (γ′α1 ) + (γα2 ) γ′β , (γγ′) = γ (γ′α1 ) + (γα2 ) γ′δ ; (3.11) (μ , υ ): Γ → EndAxHom(A , B ) biểu diễn ôtômat nửa nhóm 1 (μ , υ ) biểu diễn ơtơmat nửa nhóm = (A A , Γ, B B ) với phép tốn ∗ sau: Một ơtơmat (a , a )๐γ = a ๐γα1 + a γβ , a ๐γα2 ; (a , a ) ∗ γ = a ∗ γα1 + a γβ , a ∗ γα2 ; a A , a A gọi kết nối tầng ơtơmat tuyến tính tương ứng nửa nhóm cho tập ánh xạ α , α , β, γ Từ định nghĩa tích tam giác kết nối tầng tam giác và tích vật cuối phạm trù kết nối tầng ôtômat Theo cách khác, cho kết nối tầng ôtômat đồng cấu kết nối đến tích tam giác Cuối cùng, cho = (A , Γ , B ) 1 tồn = (A , Γ , B ) song ôtômat, Φ = Hom(A , A ), Φ = Hom(B , B ), Ψ = Hom(A , B ) xét nhóm Abel cộng Cho γ Γ , φΦ , i = 1,2, ψΨ Như trên, xác định tác động 1 Φ, φ ๐γ , γ ๐φ ; tác động 1 từ 1 đến Ψ; φ ∗ γ Ψ Tương tự, ta định nghĩa phần tử φ ∗ γ , φ ∗ γ , ψ ∗ γ , γ ๐φ , tác động theo nguyên tắc sau: a2 A2, b2 B2 b (φ ๐γ ) = (b φ ) • γ ; b (φ ๐γ ) = (b • φ )φ 69 a (ψ๐γ ) = (a ψ) • γ ; a (γ ∗ φ ) = (a ∗ γ )φ (3.12) Tất tác động tương thích với phép tốn 1 , , Kiểm tra được: φ ∗ γ γ = (φ ๐γ ) ∗ γ + (φ ∗ γ )๐γ , γ γ′ ∗ φ = γ ๐(γ′ ∗ φ ) + γ ∗ (γ ๐φ ) Tích Descartes Γ = Γ xΦ xΨxΦ xΓ trở thành nửa nhóm Γ tương ứng với phép nhân: (γ , φ , ψ, φ , γ ) γ , φ , ψ, φ′ , γ′ = (γ γ′ , φ1 ๐γ′ + γ ๐φ′ , φ *γ′ + γ ∗ φ′ + γ ๐ψ'+ψ*γ′ , φ ๐γ′ + γ ๐φ′ , γ γ′ ) Song ôtômat 2= ( A 1 A , Γ, B B ) với phép toán xác định sau: (a1, a2) A1 A2 , b1, B B , (γ , φ , ψ, φ , γ )Γ (a , a )๐γ = (a ๐γ1 + a φ , a ๐γ2 ) (a , a ) ∗ γ = (a ∗ γ1 + a ψ, a ∗ γ2 ) (2.13’) (b , b ) • γ = (b • γ1 + b φ , b • γ2 ) gọi tích tam giác song ơtơmat Chú ý: 1) Tích tam giác ôtômat (song ôtômat) kết hợp 1( 2 2) Nếu A1 3) =( ' 1 , A2 2) ’ 2, A1 ' A2 3.2.2 Phân rã ơtơmat tuyến tính Cho ơtơmat đồng (0, 0, B) với khơng gian tuyến tính B ơtơmat (A, B, 0) Xét tích tam giác (0, 0, B)∇(A, Γ, 0) theo cách định nghĩa phép nhân không gian B ôtômat (A, Γ) Ta có ơtơmat 70 B∇(A, Γ)= (A, Hom(A, B)xΓ, B) với (ψ, γ)(ψ, γ')= γ๐ψ' ,γγ' , γ, γ'Γ, ψ, ψ'Hom(A, B); a๐(ψ, γ)= a๐γ, a*(ψ, γ)= aψ, γ๐ψ'Hom(A, B) aA, a γ๐ψ' = (a๐ γ)ψ' Bổ đề 2.3 Bất kỳ ơtơmat tuyến tính =(A, , B) nhúng tích tam giác B∇(A, Γ) Chứng minh Việc nhúng định nghĩa ánh xạ đồng không gian A, B ánh xạ μ: Γ→ Hom(A, B)x Γ, μ: γ→ ψ, γ, đây, aA, γΓ, ψ Hom(A, B), xác định theo qui tắc aψ= a*ψ Ánh xạ đơn cấu nửa nhóm: γ γ = (ψ , γ )(ψ , γ )=(γ ๐ψ , γ γ ) = (γ γ ) , ta có đồng cấu ơtơmat Bổ đề 2.4 Cho ôtômat A1, A2, ∇ A1| , A2| A1∇A2| Chứng minh Cho μ : , →A1, μ : , ôtômat →A2 tồn ơtơmat : khác tồn ơtơmat ß⊂ A1∇ 2′ , 2′ ∇ Thì có tồn cấu 2′→ A1∇ Mặt có tồn cấu : ß→A1∇A2 Ảnh đối ôtômat μ đưa điều cần thiết ôtômat A1∇A2 Từ lý thuyết phân rã song ôtômat tương tự ôtômat tuyến tính Thật vậy, ơtơmat tuyến tính (A, , B) nhúng tích tam giác B∇(A, Γ)=(0, 0, B)∇(A, Γ, 0) Ta áp dụng định lý 2.2 ôtômat (tương ứng song ôtômat) (A, Γ, 0) Do đó, song ơtơmat (A, Γ, 0) nhúng tích tam giác (A , Γ , 0)∇ … ∇(A , Γ , 0) mà thành phần (A , Γ , 0), i=1, 2,…,k biểu diễn bất khả qui Do ơtơmat tuyến tính nhúng tích tam giác ((0, 0, B1)∇ … ∇(0, 0, B )∇(A , Γ , 0)∇ … ∇(A , Γ , 0), 71 khơng gian Bi chiều, B1B2…Bm=B biểu diễn (A , Γ ) bất khả qui Do đó, lấy đồng (0, 0, B) Ai, Γi, với B biểu diễn (A , Γ , 0), ta có (A, , B)|B1∇ … ∇Bm∇(A , Γ )∇ … ∇(A , Γ ) (3.16) (A, , B)| ∇ B ∇ ∇ A , Γ ) =1 =1 (3.16’) Xét tích luồng ơtơmat tuyến tính t xét rút gọn phân rã (3.16) trường hợp 0-simple hồn tồn tác động nửa nhóm Γ Lấy ơtơmat tuyến tính Ơtơmat tuyến tính =(A, Γ , B) ôtômat tuý Λ=(X, Γ , Y) wrΛ=(AKX, Γ xΓ , BKY), với (ax)๐(γ , γ )=(a๐ γ (x))(x๐γ ), (ax)*(γ , γ )=(a ∗ γ (x))(x ∗ γ ), đó, aA, xX, γ Γ , γ Γ , KX khơng gian tuyến tính X gọi tích tam giác Λ Do việc xác định tác động ๐ ∗ tác động tuyến tính nửa nhóm Γ xΓ Thật vậy, X tập khơng gian tuyến tính KX AKX=∑ (Ax) tác động tuyến tính xác định theo tổng luận tổng trực tiếp mở rộng lên tác động tuyến tính AKX Cho tích luồng ơtơmat tuyến tính ơtơmat t, tính chất kết hợp thoả mãn: ( wrΛ )wrΛ = wr(Λ wrΛ ) Để kiểm tra tính chất này, lấy ơtơmat tuyến tính = (A , Γ , B ) ôtômat tuý Λ = (X , Γ , Y ), Λ = (X , Γ , Y )Y Thì, ( wrΛ )wrΛ = A1KX2xKX3, Γ xΓ ( wr(Λ wrΛ ))= A1K(X xX ), (Γ xΓ , B1K(Y xY ), xΓ xΓ ), B1K(Y xY ) Cho khơng gian tuyến tính có đẳng cấu tắc A1KX2xKX3≅ A1K(X xX ), xác định ánh xạ: a1(x2, x3)→ a1x2x3 Tác động 72 nửa nhóm đẳng cấu Thật vậy, lấy μ: (γ , γ , γ )→(σ, γ ), đó, γ Γ , γ Γ , γ Γ , σ Γ xΓ σ(x ) cặp σ , γ (x ) , σ Γ σ (x )=γ (x , x ), ta có đẳng cấu cần thiết Bắt đầu từ ánh xạ ta có ôtômat đẳng cấu: μ a1(x2, x3)๐ γ , γ , γ = ((a1๐γ (x , x ))((x2,x3)๐ γ , γ )) μ = a1๐γ (x , x ))((x2๐γ (x ))(x3๐γ ), μ (a1(x2, x3)) ๐(γ , γ , γ ) =(a1x2x3)๐(σ, γ ) =((a1 x2)๐σ(x ))(x3๐γ )= ((a1 x2)๐(σ , γ (x ))) )(x3๐γ ) = a1๐σ(x )x2γ (x ))(x3๐γ ) = a1๐γ (x , x ))((x2๐γ (x ))(x3๐γ ) Chứng minh tính chất kết hợp có nghĩa là, theo khác nửa nhóm ơtơmat t tác động lớp ơtơmat tuyến tính Lưu ý Ngồi việc chứng minh kết nối tích tam giác tích luồng Tiếp theo kết luận xảy ra: ( ∇( wrΛ) ⊂ ( ∇ ∇ )wrΛ ⊂ ( wrΛ)∇( Ngoài ra, ( | )wrΛ wrΛ) Λ |Λ wrΛ | wrΛ Cuối cùng, thêm lưu ý: Tích luồng biểu diễn (A, Γ) = (A, Γ, 0) Λ biểu diễn Tích luồng khơng gian ôtômat tuý không gian Nửa nhóm Γ gọi 0-simple có phần tử khơng, mà iđêan hai phía ra, Γ ≠ Nếu tập hợp bất biến 0-simple nửa nhóm chứa đựng phần tử nguyên tố nửa nhóm gọi 0-simple nửa nhóm hồn toàn (Tập hợp bất biến tác động theo thứ tự sau: e1e2 e1e2=e2e1=e1) Cho nửa nhóm hữu hạn hai khái niệm trùng 73 Theo lý thuyết Rees 0-simple nửa nhóm Γ hồn tồn đẳng cấu đến ma trận nửa nhóm Rees Γ=(X, G, Y, [X, Y]), X, Y tập hợp G nhóm khơng P=[X, Y] ma trận sandwich với phần tử từ G khơng có dịng khơng P định nghĩa tích Γ Phần tử từ Γ biểu diễn ba (x, g, y), xX, gG, yY, với phép nhân: (x1, g1, y1) (x2, g2, y2) = (x1, g1[y1, x2]g2, y2), đó: x1, x2X, g1, g2G, y1, y2Y, [y1, x2]G Cho M tập hợp, định nghĩa phép toán kết hợp tập M giả sử m1m2=m1, m1, m2M Nửa nhóm có được gọi nửa nhóm khơng trái tập M kí hiệu Ml Tương tự, m1m2=m2, m1, m2M, ta có nửa nhóm khơng phải tập M, ký hiệu M Thỉnh thoảng ta đồng phần tử tập M nửa nhóm Ml M Cho nửa nhóm Rees Γ có kết luận μ: Γ→X l x(GwrY r )=X l x(GxY r ), r G=GY Bổ đề 2.5 Ánh xạ μ: (x, g, y)→ (x, g, y), đây, xX l x(GwrY r ), gG, yY r g định nghĩa công thức gy′=y′, xg, đơn cấu nửa nhóm Γ→X l xGwrYr Chứng minh Ta có [(x1 , g1, y1) (x2 , g2, y2)]μ = (x1, g1[ y1, x2]g2, y2 ); (x1 , g1, y1)μ (x2 , g2, y2)μ =(x1 , g , y1 ) (x2 , g , y2 )=(x1 , g (y1๐g ), y2); Nhưng g1(y1๐g2)y=g1y(y1๐g2)y=g1yg2y =[y, x ]g [y , x ]g = g1[ y1, x2]g2(y) Vì μ đồng cấu Cho (x1, g1, y1)=(x2, g2, y2) Thì rõ ràng, x1 = x2, y1=y2 g1(y) = [y, x ]g , (g2)(y) = [y, x ]g Khi ma trận sandwich khơng có dịng khơng, tồn y cho [y, x] ≠ Lấy G nửa nhóm, ta có g1=g2 74 Cho kết luận G→Γ xác định theo nguyên tắc g→(1, g, 1) (với đơn vị X, Y tương ứng) Xây dựng ôtômat suy từ ôtômat (A, G) tương ứng với kết luận G→Γ Cho ơtơmat (A, Γ), định nghĩa ôtômat =(AKY , Γ) theo qui tắc: (ay)๐(x, g, y1)= (a๐[x, y]g)๐y1 Bổ đề 2.6 Cho (A1 , Γ) ôtômat bất khả quy (biểu diễn) với Γ-nửa nhóm Rees (A, G) ơtơmat bất khả qui Thì (A , Γ)|(A, G)wr(Y, Y ) Chứng minh Xét ánh xạ μ=(μ1, μ2) từ ôtômat rút gọn =AKY, Γ vào ß=A, GwrY, Yr= AKY, GwrY′; μ1 ánh xạ đồng AKY; μ2: Γ→GwrY tích ánh xạ μ bổ đề 2.5 phép chiếu υ:X l x GwrY′→GwrY′ μ đồng cấu ôtômat: (a๐[y,x]gy1 )μ1 (ay)๐(x, g, y1 ) =(a๐[y,x]gy1 )μ1 =(a๐[y, x]g)y1 ; (ay)μ ๐(x, g, y1)μ =(ay) (g, y1)=(ag(y))y y1 =(a๐[y, x]g)y1 Ký hiệu ảnh ôtômat (AKY, Γ) Cho ρ=Kerμ2 Thì, AKY, Γ/ρ≅AKY, Γ Dễ dàng kiểm tra ρ trùng với hạt nhân ôtômat (AKY, Γ) Do đó, AKY, Γ/ρ thuộc (A, G)wr(Y, Y ) Ơtơmat AKY, Γ ôtômat suy (A, G) (A1 , Γ) Vì vậy, có đồng cấu μ: AKY, Γ→A1 , Γ Khi (A1 , Γ) ôtômat bất khả qui, μ toàn cấu Điều kéo theo hạt nhân ôtômat AKY, Γ nằm hạt nhân ơtơmat (A1 , Γ) Do đó, μ xác định toàn cấu μ': AKY, Γ/ρ→A1 , Γ/ρ Do đó, ơtơmat (A1 , Γ/ρ) ảnh đồng cấu ảnh đồng cấu ơtơmat AKY, Γ/ρ, nằm tích luồng cuối (A1 , Γ) ước số tích luồng Từ chứng minh bổ đề sau, cho thấy nửa nhóm Γ thật biểu diễn khớp bất khả qui kết luận (AKY, Γ)(A, G)wr(Y, Y ) xảy Xét trường hợp riêng, nửa nhóm Rees Γ nhúng YwrY 75 Định lý 2.7 Cho =(A, Γ, B) ơtơmat tuyến tính nửa nhóm, Γ nửa nhóm 0-simple hồn tồn Thì, A1 |B∇ ∇i((Ai wrYi Yir )) , Ai =(Ai , Gi ) ơtơmat nhóm bất khả quy ước số ơtơmat =(A, Γ, B), Yir nửa nhóm khơng phải Chứng minh Mỗi ơtơmat tuyến tính thật phân rã (3.16), thành phần Ai , Γi phân rã ước số bất khả quy (A, Γ) Tất nửa nhóm Γi nửa nhóm 0-hồn tồn (là ảnh đồng cấu Γ) Xét tích = (Ai , Γi ) Ta có (bổ đề 2.5) (A, Γi )|(A'i , Gi )wr(Y, Y ), đó, (A'i , Gi ) ơtơmat nhóm bất khả quy Do đó, theo bổ đề 2.3: (A, Γ, B)|B∇ ∇i((A'i wrYi Yir )) tất ôtômat (A'i , Gi ) ôtômat theo (Ai , Γi ) ước số ơtơmat =(A, Γ, B) Bổ đề 2.8 Cho (A, G) ơtơmat nửa nhóm rút gọn A không gian hữu hạn chiều Thì (A, Γ)| ∇i (Ai , H) wr(X, Φ), đó, (Ai , H) ơtơmat nhóm đơn bất khả quy, (X, Φ) ơtơmat nhóm t Chứng minh Lấy G dãy số cấu thành: 1=HnHn-1…H1G Cho H1, (A, G)|(A, H1)wr(X1, G1), G1=G/H1 nhóm đơn X1 nhóm G/H1, xét tập hợp, lập luận H1 có (A, H1)|(A, H2)wr(X2, G2) Ta có phân rã (A, G)|(A, Hn-1)wr(Xn-1, Gn-1)wr…wr(Xi, Gi)= (A, Hn-1)wr(X’, G’), Như biết, nhóm rút gọn tuyệt đối nhóm bình thương rút gon tuyệt đối Do đó, (A, Hn-1) rút gọn tuyệt đối Thì (A, Hn-1)∇(Ai , H), thành phần (Ai , Hn-1) bất khả qui Kí hiệu i H=Hn-1 Đây nhóm đơn Cuối cùng, (A, G)| ∇i(Ai , H) wr(X , G′), Cho ôtômat tuý (X , G′) tồn phân rã vào luồng thành phần nhóm đơn: X′, G′=Xn−1, Gn−1wr…wrX1, G1, Gi nhóm đơn 76 Định lý 2.10 Cho =(A, Γ, B) ơtơmat nửa nhóm tuyến tính, Γ nửa nhóm 0-simple hồn tồn Thì |B∇ ∇i đó, ∇j ij ij wrΛ is wrΛ'i , ơtơmat nửa nhóm tuyến tính bất khả qui, Λ is ơtơmat nhóm t với nhóm tác động đơn, Λ'i-ơtơmat nửa nhóm t tác động nửa nhóm nửa nhóm khơng phải Ngồi ra, tất ơtơmat tuyến tính ij ước số ôtômat 3.3 TỰ ĐẲNG CẤU CỦA ÔTÔMAT TUYẾN TÍNH VÀ SONG ÔTÔMAT 3.3.1 Một số định nghĩa, bổ đề Một tự đẳng cấu biểu diễn tuyến tính (A, ) cặp ánh xạ (A, ), A tự đẳng cấu không gian A, tự đẳng cấu nửa nhóm điều kiện (a ๐ ) A = aA๐ , a A, thỏa mãn Một tự đẳng cấu ơtơmat tuyến tính (3.17) =(A, , B) ba ánh xạ (A, , B) thỏa mãn điệu kiện sau: 1) (A, ) tự đẳng cấu biểu diễn tuyến tính (A, ), B tự đẳng cấu khơng gian B; 2) (a∗)B = aA∗a, a A, (3.18) Theo định nghĩa tự đẳng cấu song ơtơmat, có thêm điều kiện thứ ba sau: 3) (A, ) đẳng cấu biểu diễn tuyến tính (B, ) (3.19) Khi ơtơmat tuyến tính xét trườn hợp đặc biệt song ơtơmat với b•=0, b B, , định nghĩa tự đẳng cấu ôtômat tuyến tính xét trường hợp định nghĩa tự đẳng cấu song ơtơmat Do đó, xét chủ yếu tự đẳng cấu song ôtômat 77 Nếu =(A, , B) song ôtômat khớp, biểu diễn : ` Endb(A, B) định nghĩa đẳng cấu ôtômat ’=(A, ’, B) Atm1(A, B) =(A, , B) Khi đối xứng vật đẳng cấu đồng nhất, tự đẳng cấu vật mơ tả tự đẳng cấu vật khác Bổ đề 3.1 1) khớp Nếu (A, , B) tự đẳng cấu song ơtơmat tuyến tính = (A, , B), = (A,ψ) phần tử ⊂ Endℓ (A, B) = -1 -1 EndAxHom(A, B), =(A AA, A ψB ) 2) Nếu (A, , B) tự đẳng cấu song ôtômat khớp =(A, , B), = (A,ψ, B) phần tử ⊂ End (A, B) = EndAxHom(A, -1 -1 -1 B)xEndB, =(A AA, A ψB, B BB ) Chứng minh 1) Cho = ( , ψ′) ∈ a A Thì, theo định nghĩa tự đẳng cấu ôtômat ( a ๐ )A = aA๐ Khi a ๐ = aA, ( a ๐ )A = aAAvà =(A′,ψ′) aA๐ =aA Do đó, aAA = aA , AA = -1 A , cuối =σA AA Tương tự, từ điều kiện (a∗)A = aA∗ -1 ψ′=σA ψ′B 2) Trạng thái chứng minh Ký hiệu A, B nhóm tấc tự đẳng cấu khơng gian tuyến tính A B xét tích Descartes = A x B định nghĩa tác động Endb(A, B): (A, ψ, B)∈Endb(A, B), (A, B) , -1 -1 -1 (A, ψ, B) ๐ (A, B) = (σA AA, σA ψB, σB BB) Bổ đề 3.2 Cho =(A, , B) song ôtômat khớp, ⊂ End(A, B) (A, B) phần tử AxB cho tất phần tử γ =(A,ψ, 78 B) kết luận (A, ψ, B) ๐ (A, B) Ánh xạ : Γ → Γ định nghĩa theo qui tắc (A, ψ, B) =(A, ψ, B) ๐ (A, B) tự đẳng cấu nửa nhóm , ba (A, , B) tự đẳng cấu song ôtômat Bổ đề có nghĩa phần tử (A, B) thỏa điều kiện bổ đề 3.2 3.3.2 Tự đẳng cấu ôtômat phổ dụng Cho Atm1(A, B) = A, End (A, B), B song ôtômat phổ dụng Từ kết luận trước (A, ψ, B)๐(A, B)End (A, B) từ bổ đề 3.2 mệnh đề sau Mệnh đề 3.3 Nhóm tự đẳng cấu song ôtômat phổ dụng Atm1(A,B) đẳng cấu đến tích Descartes AxB nhóm tự đẳng cấu khơng gian tuyến tính A B Mệnh đề 3.4 Nhóm tự đẳng cấu song ôtômat phổ dụng Atm2 (, B) đẳng cấu đến nhóm tự đẳng cấu biểu diễn (B, ) Chứng minh Cho (B, ) tự đẳng cấu biểu diễn (B, ) (A, , B) tự đẳng cấu ôtômat phổ dụng Atm2 (, B)= (B , B, ) có B Theo định nghĩa tự đẳng cấu song ôtômat, φB γΓ, bB, (φ๐γ) = φ ๐γα, (φ ∗ γ) = φ ∗ γα, (φ • γ) = b • γα Ta viết công thức thứ hai dạng: (φ ∗ γ) = φ(γ) ; φ ∗ γα = φ (γα), Do đó, φ(γ) = φ (γα) Kí hiệu γα=x, γ = xα ; đó, φ (x) = φ(xα ) (3.20) 79 Công thức sau xác định tự đẳng cấu không gian tuyến tính A=B Do đó, (A, , B) với A nên định nghĩa công thức (3.20) Kiểm tra ba (A, , B) với định nghĩa trên, tự đẳng cấu song ôtômat Sự kiện phép biển đổi tuyến tính khơng gian A=B rõ ràng Điều kiện (3.19) từ điều kiện ban đầu Công thức (3.18) thực hiện, A chọn theo cách tiếp cận Để kiểm tra điều kiện (3.17), cách khác biểu diễn (φ๐γ) = φ ๐γα: (φ๐γ) (x) = ((φ๐γ)(xα )) = φ γ(xα ) − φ(γ) • xα = φ γ(xα ) − (φ(γ) • xα ) = φ γ(xα ) − φ(γ) • (xα )α = φ γ(xα ) − φ(γ) • x Theo cách khác, φ ๐γα(x) = φ (γαx) − φ (γα) • x = φ (γαx)α − φ • x = φ γ(xα ) − φ(γ) • x Do (φ๐γ) = φ ๐γα Cuối cùng, dễ dàng để kiểm tra trình bày phù hợp, phép gán cho tự đẳng cấu (B, ) biểu diễn (, B) tự đẳng cấu (A, , B) ôtômat Atm2(, B), trì phép nhân định nghĩa đẳng cấu nhóm tự đẳng cấu đề cập điều kiện mệnh đề 80 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận, nghiên cứu “Các cấu trúc đại số lý thuyết ôtômat”, luận văn hoạt thành đạt mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau: Tổng quan hệ thống cách đầy đủ, chi tiết khái niệm Ơtơmat t, Ơtơmat tuyến tính xây dựng, phân rã Ơtơmat Triển khai cách chi tiết làm dễ hiểu chứng minh mệnh đề 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 3.1, 3.2, 3.3, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, định lý 4.1, 2.1, 2.1’ bổ đề 3.4, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.12, 2.13, 2.14 nhằm nêu bật ý nghĩa quan trọng cấu trúc đại số lý thuyết Ơtơmat mối quan hệ chúng Với khảo sát được, luận văn tài liệu tham khảo cho thân tiếp tục sâu nghiên cứu sau hy vọng nguồn tư liệu tốt cho quan tâm nghiên cứu lý thuyết Ơtơmat 81 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Phan Đình Diệu (1977), Lý thuyết ơtơmat thuật tốn, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, HN [2] Nguyễn Gia Định (2008), Lý thuyết ngơn ngữ hình thức Ơtơmat, NXB Đại học Huế TIẾNG ANH [3] J Almeida, Gracinda M.S Gomes, Pedro V Silva (1996), Semigroups, automata and languages, University of Porto, World Scientific [4] A Ginzburg (1968), Algebraic theory of automata, Acad Press, N.Y [5] Masami Ito (2003), Algebraic Theory of Automata and Languages, Kyoto Sangyo University, World Scientific [6] B.I Plotkin, A.A Gvaramija (1992), Algebraic structures in automata and databases theory, World Scientific ... niệm xuất dạng cấu trúc đại số nhiều loại, cho phép lý thuyết đại số phát triển Vì việc xử lý mặt cấu trúc đại số mở đường cho cấu trúc dáng điệu Ơtơmat sở liệu thực, hy vọng lý thuyết xây dựng... hết ghi nhớ Ôtômat cấu trúc đại số Một phân tích hợp lý cấu trúc đại số mục tiêu đề tài Ngồi ra, cấu trúc đại số Ơtơmat cung cấp thơng tin quan trọng cấu trúc Ơtơmat thực Định lý phân rã Krohn-Rhodes... pháp đại số dùng toán tổ hợp Chẳng hạn, lý thuyết Ơtơmat đại số đóng vai trị có ý nghĩa lý thuyết thuật tốn ngơn ngữ Tuy nhiên, nói theo khía cạnh đại số lý thuyết Ôtômat, trước hết ghi nhớ Ôtômat