Header Page of 258 Tr-ờng THPT CHUYÊN QUảNG BìNH ti nghiờn cu khoa hc PHƯƠNG PHáP CHứNG MINH BấT ĐẳNG THứC Giỏo viờn hng dn : Nguyễn Chiến Thắng Nhóm tác giả: Tập thể chuyên Toán khóa 2012-2015 Footer Page of 258 Header Page of 258 LI NểI U Trong mụn Toỏn trng THPT, bt ng thc ngy cng c quan tõm ỳng mc v t cú sc hp dn mnh m nh v p v tớnh c ỏo ca phng phỏp v k thut gii chỳng cng nh yờu cu cao v t cho ngi gii Bt ng thc l mt nhng dng toỏn hay v khú i vi hc sinh quỏ trỡnh hc cng nh cỏc k thi, trc ht l k thi i hc m hu ht hc sinh THPT u phi vt qua Ngoi bt ng thc cng l mt dng thng gp cỏc k thi hc sinh gii toỏn cỏc cp tnh, Quc gia, Olympic khu vc v Olympic quc t Cỏc bi toỏn bt ng thc khụng nhng rốn luyn t sỏng to, trớ thụng minh m cũn em li say mờ v yờu thớch mụn Toỏn ca ngi hc Trong ti nghiờn cu khoa hc ny, th lp 10 Toỏn trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh xin trỡnh by mt s v bt ng thc, mt s phng phỏp chng minh bt ng thc ti gm cỏc bi vit ca cỏc nhúm tỏc gi c trỡnh by di dng cỏc chuyờn Nhúm tỏc gi Footer Page of 258 -2- Header Page of 258 MC LC LI NểI U MC LC BT NG THC AM-GM V NG DNG Bt ng thc AM-GM 1.1 nh lớ 1.2 Chng minh 1.3 Cỏc dng thng gp Vớ d Bi t gii 23 BT NG THC MINKOWSKI V NG DNG 24 Bt ng thc Minkowski 24 1.1 Bt ng thc Minkowski dng 24 1.1.1 nh lớ 24 1.1.2 Chng minh 24 1.2 Bt ng thc Minkowski dng 25 1.2.1 nh lớ 25 1.2.2 Chng minh 25 Vớ d .25 Bi t gii 28 BT NG THC HOLDER V NG DNG 29 Bt ng thc Holder .29 1.1 Dng tng quỏt 29 1.1.1 nh lớ 29 1.1.2 Chng minh 29 1.2 M rng ca bt ng thc Holder 30 1.3 M rng ca bt ng thc Holder 30 1.4 M rng ca bt ng thc Holder 30 Vớ d .30 Bi t gii 41 BT NG THC CAUCHY-SCHWARZ 43 Footer Page of 258 -3- Header Page of 258 1.Bt ng thc Cauchy-schwarz .43 1.1 nh lớ 43 1.2 Chng minh .43 1.3 H qu 45 Vớ d .45 Bi t gii 78 BT NG THC CHEBYSHEV 82 1.Bt ng thc Cheybyshev .82 1.1 nh lớ 82 1.2 Chng minh .82 Vớ d .83 Bi t gii 96 BT NG THC MUIRHEAD 97 Gii thiu bt ng thc Muirhead 97 Mt s khỏi nim liờn quan n Bt ng thc Muirhead .97 2.1 B tri 97 2.2 Trung bỡnh loi [a] .98 2.3 Tng hoỏn v .98 2.4 Tng i xng 98 2.5 Lc Young 99 nh lý Muirhead .99 K thut s dng nh lớ Muirhead 101 Phng phỏp chung 101 S dng nh lý Muirhead vi AM GM, Holder, ASYM, Schur 102 5.1 Bt ng thc AM GM 102 5.2 Bt ng thc Holder 102 5.3 Bt ng thc ASYM 102 5.4 S dng nh lý Muirhead vi bt ng thc Schur 102 Vớ d 103 Bi t gii 112 Footer Page of 258 -4- Header Page of 258 PHNG PHP PQR 114 Kin thc liờn quan 114 1.1 nh ngha v cỏc phộp bin i 114 1.2 Phng phỏp pqr kt hp bt ng thc Schur 114 1.3 M rng phng phỏp pqr kt hp hm s 117 Bi t gii 119 PHNG PHP PHN TCH TNG BèNH PHNG S.O.S 124 Lý thuyt v vớ d 124 1.1 nh lý v cỏc k thut phõn tớch 124 1.2 Cỏc tiờu chun v k thut sp xp bin 130 1.3 ng dng tỡm hng s k tt nht 135 Bi t gii 137 M rng 141 S DNG PHNG PHP S.O.S TRONG CHNG MINH BT NG THC 142 Li núi u 142 Xõy dng nh lớ, tiờu chun 142 Phõn tớch c s 143 Cỏc ng dng ca phng phỏp S.O.S 144 Bi dng 149 Bi dnh cho bn c 151 PHNG PHP DN BIN 153 Kin thc liờn quan 153 Vớ d minh 157 Bi dng 184 S DNG TIP TUYN TRONG VIC CHNG MINH BT NG THC 187 Phng trỡnh tip tuyn tng quỏt 187 S dng tip tuyn chng minh bt ng thc 187 Vớ d 188 Footer Page of 258 -5- Header Page of 258 PHNG PHP NHN T LAGRANGE 203 C s lớ thuyt 203 Mt s vớ d 204 Bi dng 215 KT LUN 218 Footer Page of 258 -6- Header Page of 258 BT NG THC AM-GM V NG DNG on Quc t Ngụ Hong Thanh Quang Bt ng thc AM-GM 1.1 nh lớ nh lớ (Bt ng thc AM-GM) Vi mi s thc dng a1 , a2 , , an ta cú bt ng thc a1 a2 an n a1a2 an n ng thc xy v ch a1 a2 an 1.2 Chng minh Phng phỏp Quy np Cauchy Vi n : a1 a2 a1a2 a1 a2 2 a1 a2 a1a2 (ỳng) Gi s bt ng thc ỳng vi n k ta s chng minh bt ng thc ỳng vi n 2k S dng gi thit quy np ta cú: a1 a2 a k a1 a2 ak ak ak a2 k 2k k 2k k a1a2 ak k ak 1ak a2k k a1 ak k ak a2k 2k a1a2 ak a2k Gi s bt ng thc ỳng vi n p ta s chng minh bt ng thc ỳng vi n p Tht vy, xột p s: a1 , a2 , , ap S dng gi thit quy np vi n p ta cú: a1 a2 a p p a1a2 a p p p a1 a p p a1 a p p a1a2 a p a1 a2 a p p a1a2 a p p p a1a2 a p Footer Page of 258 -7- Header Page of 258 a1 a2 a p p p a1a2 a p a1 a2 a p p p a1 a p Theo nguyờn lớ quy np ta cú bt ng thc ỳng vi mi n 2, n ng thc xy v ch a1 a2 an 1.3 Cỏc dng thng gp n n2 n3 n4 iu kin a, b a, b, c a, b, c, d Dng ab ab abc abc abcd abcd Dng ab ab abc abc abcd abcd Du bng a b a bc a bc d Vớ d Vớ d 1: (Bt ng thc Nesbit) Chng minh rng vi mi s thc khụng õm a, b, c ta cú a b c bc a c a b Gii: Xột cỏc biu thc sau a b c bc a c a b b c a M bc a c a b c a b N bc a c a b S Ta cú M N Mt khỏc theo bt ng thc AM-GM thỡ Footer Page of 258 -8- Header Page of 258 ab bc ca bc ac ab ac ab bc N S bc ac ab M S Vy M N 2S 2S hay a b c bc a c a b ng thc xy v ch a b c (pcm) Nhn xột: Bi ny cũn nhiu cỏch gii khỏc nhng cú l õy l cỏch hay nht vỡ vic ngh cỏc biu thc M , N khụng phi l d dng Vớ d trờn phn no cho ta thy c sc mnh v s tinh t ca bt ng thc AMGM, nhng ú ch mi l mt vớ d n gin Chỳng ta s xột n k thut thờm bt bt ng thc AM-GM qua vớ d sau Vớ d 2: Chng minh rng vi mi s thc khụng õm a, b, c ta cú a2 b2 c2 a bc bc a c a b Gii: S dng bt ng thc AM-GM, ta cú: a2 bc a2 b c a bc bc b2 ac b2 a c b ac ac c2 ab c2 a b c ab ab Cng theo v bt ng thc trờn ta cú: a2 b2 c2 a bc abc bc a c a b a2 b2 c2 a bc Hay bc a c a b Footer Page of 258 -9- Header Page 10 of 258 ng thc xy v ch a b c (pcm) Nhn xột: õy l dng bi ỏnh giỏ im ri t AM sang GM Nu nhng mi ch tip xỳc qua bt ng thc AM-GM thỡ cú th nhn xột rng vic tỡm a2 bc a2 b c ỏnh giỏ a cú v mang nhiu tớnh may mn Nhng bc bc khụng phi vy, chỳng ta cựng ý, im ri ca bt ng thc trờn ti a b c Khi ú a a2 a , chỳng ta phi to mt biu thc va cú giỏ tr bng , va bc cú th loi c mu ca biu thc a2 Hn na, v ca bt ng thc l ng bc bc 1, t ú d dng nhn biu thc thờm vo phi l bc S dng kt qu bi ny ta cú th lm bi toỏn sau: Vớ d 3: [IMO 1995] Cho a, b, c tha abc Chng minh rng: 1 a b c b a c c a b (1) Gii: Bt ng thc cn chng minh tng ng vi: abc abc abc 11 1 a b c b a c c a b a b c 1 2 11 1 a b c 1 1 1 2a b c b c a c a b 1 t x , y , z , ta quay tr li vớ d a b c Nhn xột: Bi ny cú th gii bng bt ng thc Cauchy Schwarz m chỳng ta s xột phn sau Vớ d 4: Cho a, b, c Chng minh rng: ab bc ca a bc a b 2c b c 2a c a 2b Footer Page 10 of 258 - 10 - Header Page 204 of 258 Mt s vớ d Vớ d 1: Vi x, y dng tho x y 10 Tỡm giỏ tr ln nht ca: x y Gii Thit lp hm Lagrange L( x, y, ) x y ( x3 y 10) x x im cc tr l nghim ca h y y x y 10 T phng trỡnh th nht v th hai ta suy 2x 2y 3x 3y Ta cú cc tr xy v ch x y , t õy cú im dng 5, 5, x Giỏ tr ln nht ca x y l 25 2 25 15 y x3 y x3 y3 Chỳ ý: Vi vớ d ny, du bng xy ti tõm nờn khụng khú ta cú th ngh cỏch gii sau: Theo bt ng thc Holder: x y (1 1) x3 y x3 y 200 x y 25 Ta cựng xột mt vớ d n gin na sau õy Vớ d 2: Cho a, b, c, d tho a b c d Tỡm Min P a2 2b2 2c2 3d Li gii Thit lp hm Lagrange L(a, b, c, d , ) a 2b 2c 3d (a b c d 2) Footer Page 204 of 258 - 204 - Header Page 205 of 258 2a 4b im cc tr l nghim ca h 4c d a b c d Khi ú P a b tng ng vi: c d 12 12 Kt lun: Min P 12 3 ti a ; b ; c ; d 7 7 7 7 Chỳ ý rng sau bit giỏ tr Min ca P xy b a ; b ; c ; d bng phng phỏp nhõn t Lagrange thỡ cú th ngh cỏch li gii sau: Li gii Ta thy 2 2 3 a b c d 7 7 12 84 12 84 12 a 2b 2c 3d a b c d 49 49 Hoc khụng s dng nhõn t Lagrange, ta cú th dựng phng phỏp im ri AMGM Ta cn cú , , , dng thc hin cỏc phộp ỏnh giỏ sau bng AM-GM: a a.2 2b b.2 2c c.2 3d d a 2b 2c 3d a.2 b.2 c.2 d ( ) Footer Page 205 of 258 - 205 - Header Page 206 of 258 s dng c iu kin a b c d , ta cn cú 2 2 (1) a 2b M theo iu kin du bng ca bt ng thc AM-GM 2c 3d (2) Thay (2) vo (1): a2 4b2 4c2 9d Chỳ ý rng a, b, c, d nờn a 2b 2c 3d 7 T ú cựng vi a b c d thỡ a ; b ; c ; d Qua cỏc bi toỏn trờn, ta ó thy c s tin li s dng phng phỏp nhõn t Lagrange Nhng s cú ý kin cho rng phng phỏp Lagrange cha tht s thuyt phc, vỡ s dng cỏc phng phỏp n gin hn cú th gii quyt mt cỏch nhanh chúng, nhng vi nhng bi toỏn cú iu kin du bng phc tp, cỏc phng phỏp khỏc lp tc s gp khú khn, xột bi toỏn sau Vớ d 3: (British Mathematical Olympiad 1996) Cho a, b, c thc tho a b c v a2 b2 c2 Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc : A a2b b2c c2a Nhn xột: Vi loi bi toỏn cú iu kin nh th ny, nhõn t Lagrange t vụ cựng hu hiu Ta cựng tham kho li gii sau: Xột hm nhõn t Lagrange L(a, b, c, , ) a 2b b2c c a (a b c) (a b2 c 6) 2ab c 22 a 2bc a 22b im cc tr l nghim ca h 2ca b 22 c a b c a b c Footer Page 206 of 258 - 206 - Header Page 207 of 258 Cng v theo v ca ba phng trỡnh u tiờn li, ta c a b c 31 22 (a b c) 2ab c 22 a 2bc a 22b T ú 2ca b 22 c a b c a b c Suy ra: 2ab c2 2bc a 2ca b2 (quy c mu bng thỡ t bng 0) (*) a b c Ta ó tỡm c iu kin xy du bng ca bi toỏn ny, t õy cú th s dng Cauchy Schwarz nh sau 2 2 a 2ab c b 2bc a c 2ca b a b c 2ab c 2bc a 2ca b Li cú a 2ab c b 2bc a c 2ca b a 2b b 2c c 2b V 2ab c 2bc a 2ca a 2(ab bc ca)2 (a b2 c )2 54 2 Do ú A Gi ta cn gii tỡm iu kin du bng xy vi b a, b, c nh th no Ta cú: 2ab c2 2bc a 2ca b2 a b c (2ab c )2 (2bc a )2 (2ca b )2 (2ab c )2 (2bc a )2 (2ca b )2 a2 b2 c2 a b2 c2 2ab c 2bc a 2ca b a b c Li cú Footer Page 207 of 258 - 207 - Header Page 208 of 258 2ab c 2bc a a b 2 2ab c b 2abc a 2b (b c) c 2b 2bc(b c) (6 b c )(b c) 2bc 6b 6c 3b3 b c c Xõy dng ng thc tng t ri cng li, ta c 2bc 2ca 2ab 4(a b3 c3 ) b c c a a 2b 4(a b3 c ) bc ca ab 2(a b3 c ) Vi (1) 2ab c2 2bc a 2ca b2 a b c Ta cú 2ab c 3a 2ab2 c 2b 3ab Xõy dng cỏc ng thc tng t ri cng li ta c ab bc ca 2 a b c ab bc ca a b2 c (2) T (1) v (2) ta cú a3 b3 c3 2ab c 2bc a 2ca b2 Vi a b c Tng t trờn ta cú a3 b3 c3 Tng hp li ta cú h a b c a b c a b c 2 2 2 a b c (b c) b c b c bc 3 3 3 a b c (b c) b c bc(b c) a b c a b c a b c 2 2 2 a b c (b c) b c b c bc 3 bc(b c) 3 a b c (b c) b c Xột h (I) Footer Page 208 of 258 - 208 - Header Page 209 of 258 a b c a b c 2 2 b c bc b c a 3a a bc(b c) abc Mt cỏch tng t, ta cú a, b, c ln lt l ba nghim ca a thc f ( x) x3 3x f (1) f ( 2) Ta thy f (1) f (1) f (1) f (2) Nờn nghim ca f ( x) thuc khong (2;2) T ú t x 2cos xột (0; ) , ta cú: 8cos3 cos cos (0; ) nờn ta cú nghim x 2cos 2 k ; x cos ; x cos 9 a b c a 2 Xột h (II) b c bc b bc(b c) c T quy c (*) ta suy mt s bng thỡ c s bng 0, trỏi iu kin a2 b2 c2 Kt lun: A Du bng xy v ch a 2cos ; b cos ; c cos 9 v cỏc hoỏn v vũng quanh tng ng Qu vy iu kin ng thc ca loi bi toỏn ny rt phc tp, vic tỡm nú bng cỏc cỏch gii s cp l khụng kh thi, phng phỏp nhõn t Lagrange c a chớnh gii quyt iu kin du bng, dự phc n õu cng tng minh trn Vớ d 4: Cho a, b, c tho a2 b2 c2 Tỡm GTLN ca P a3 b3 c3 abc Footer Page 209 of 258 - 209 - Header Page 210 of 258 Nhn xột : Trc gii quyt bi toỏn ny, ta cú nhng nhn xột sau õy: t biu thc bờn du giỏ tr tuyt i l Q thỡ Q nhn c cỏc giỏ tr õm v dng vi iu kin bi toỏn T ú max P max Q , maxQ Vỡ vy cú th i theo ng sau: tỡm giỏ tr ln nht , nh nht ca Q ri so sỏnh giỏ tr tuyt i ca chỳng Hng i ny lm ta ngh n phng phỏp nhõn t Lagrange tỡm cc tr ca hm nhiu bin cú iu kin Gii Chuyn biu thc Q sang n p, q, r ( p a b c ;q ab bc ca ;r abc ) ta cú Q p pq 2r Xột f (r ) Q , ta cú f (r ) l hm n iu trờn nờn theo nh lớ ABC, giỏ tr nh nht v ln nht t ba s a, b, c cú hai s bng Gi s a b , ú Q 2a c a c vi iu kin rng buc 2a2 c2 Xõy dng hm Lagrange L 2a c a 2c (2a c 1) 6a 2ac 4a 2 im dng l nghim ca h 3c a 2c 2a c Xột a thỡ a 0, b 0, c v P Khi c thỡ a b , c v P 2 Khi a, b, c khỏc 0, t h im dng ta cú 6a 2ac 3c a 4a 2c 4c 3ac a (a c)(4c a ) a c a 4c Kt hp 2a2 c2 1ta cú Footer Page 210 of 258 - 210 - Header Page 211 of 258 a a 4c 2 c 2a c a c a 2a c c 33 33 13 P 33 P 3 So sỏnh cỏc giỏ tr ca P ta thu c: max P Kt lun: max P ti b (a, b, c) (0;0;1), (0;0; 1) v cỏc hoỏn v Chỳ ý: ta cú th gii bi toỏn ny bng li gii s cp hn, tham kho cỏch lm ca mt thnh viờn diendantoanhoc.net nh sau: S dng bt ng thc Cauchy Schwarz: a b3 c3 abc a b3 c3 abc a3 b3 c(c ab) 2 (a b c ) a b (c ab)2 a b4 c 2c ab a 2b Ta cú ỏnh giỏ sau: ( a b) a b 2ab a 2c b2c 2abc Vỡ th a b4 c 2c ab a 2b2 a b4 c a 2b2 b2c c a a b4 c 2(a 2b2 b2c c a ) (a b2 c )2 Vy P 1, ng thc xy v ch a,b,c l mt hoỏn v ca mt hai b (0,0,1) v (0,0,-1) Li gii s cp trờn rt d hiu nhng cú c li gii p ny, thc s ngi lm toỏn cn cú mt k nng ỏnh giỏ iờu luyn, bi cú nhng bc ỏnh giỏ khỏ thiu t nhiờn, nh bc a 2b b 2c c a 2(a 2b b 2c c a ) Do vy dự õy Footer Page 211 of 258 - 211 - Header Page 212 of 258 l li gii s cp, nhng vic ngh li gii ny vụ cựng khú khn, ớt nht l bng cỏch no ú, ta phi bit trc iu kin ng thc ca bi toỏn Vớ d 5: Cho x, y , z khụng õm tho x y z Tỡm Min v Max ca P x y 3z Thit lp hm nhõn t Lagrange L( x, y, z ) x y 3z ( x y z ) im Max, Min l nghim ca h x 81 x y y 81 z z x y z 27 81 Khi ú P 14 6561 Xột cỏc trng hp ti biờn Trng hp 1: z Khi ú x y v L( x, y, 0) x y ( x y ) g ( x, y ) im Max, Min l nghim ca h x 27 x y y 27 x y 27 Khi ú P 243 11 46 32 ; ; ; ; 243 243 81 81 243 Tng t vi cỏc trng hp cũn li P Footer Page 212 of 258 - 212 - Header Page 213 of 258 So sỏnh tt c, ta i n ỏp ỏn: Kt lun: MinP 14 2 v ch x ; y ; z 6561 81 81 27 MaxP v ch x 0; y ; z 81 Vớ d (1999 Canada Math Olympiad) Cho x, y , z l cỏc s dng tho x y z Chng minh rng: 2 A= x y y z z x xyz 27 Gii Thit lp hm Lagrange L x y y z z x xyz .( x y z 1) Lx ' im dng ti h Ly ' L ' z xy z yz Hay ta cú yz x zx zx y xy Rỳt ta c xy z2 yz yz x2 xz xz y2 xy ( x y )( x y z ) y( x z) Cú h mi ( y z )( y z x) z ( y x) ( z x)( z x y) x( z y) Vi x y z ta cú L 27 Vi x, y , z ụi mt khỏc ta cú xyz ( x y z)( y z x)( z x y) Vụ nghim do: xyz ( x y z)( y z x)( z x y) (*) vi mi x, y , z khỏc nhau, dng Footer Page 213 of 258 - 213 - Header Page 214 of 258 Tht vy xột x, y , z l ba cnh tam giỏc: x yz yzx ( x y z )( y z x) y yzxzx y ( y z x)( z x y ) z zx yx yz ( z x y )( x y z ) x Nhõn theo v cỏc bt ng thc trờn ta cú xyz ( x y z)( y z x)( z x y) Khi x, y , z khụng l ba cnh tam giỏc thỡ cú cỏc trng hp sau xy i Mt tng ( x y z );( y z x);( z x y ) khụng dng, hai tng cũn li dng, gi s tng khụng dng ú l ( x y z) Thỡ v phi ca (*) khụng dng, v trỏi ca (*) dng nờn (*) hin nhiờn ỳng ii Tn ti hai ba tng ( x y z );( y z x);( z x y ) khụng dng, gi s l ( x y z) v ( y z x) , ta cú x y z y x (vụ lớ) Vy (*) luụn ỳng Du bng ch xy x y z T ú im dng ti x y z f Li cú f 1 ; ; 3 27 1 ; ; 4 64 27 2 Kt lun ta cú A= x y y z z x xyz 27 Vớ d 7: Cho a, b, c thc tho a b c Chng minh rng: 2 a b c (a b c ) 3abc 3 2 (*) Nhn xột: Bi toỏn ny cha cú iu kin rng buc nờn ta cha th s dng phng phỏp nhõn t Lagrange, nhng chỳ ý bt ng thc (*) l bt ng thc thun nht, nờn ta cú th lm nh sau Footer Page 214 of 258 - 214 - Header Page 215 of 258 Gii Chun hoỏ a2 b2 c2 ta cú (*) tr thnh: a3 b3 c3 3abc Thit lp hm nhõn t Lagrange: L(a, b, c, ) a b3 c3 3abc (a b c 1) 3a 3bc 2a 3b 3ca 2b im dng l nghim ca h 3c 3ab 2c a b c Rỳt ta c 3(a bc) 3(b ac) 3(c ab) 2a 2b 2c (a b)(ab bc ca) a b c (a c)(ab bc ca) ab bc ca (b c)(ab bc ca) Khi a b c thỡ a3 b3 c3 3abc Khi ab bc ca thỡ (a b c) a b c 2(ab bc ca ) Li cú a b c nờn a b c T ú a b3 c3 3abc (a b c)(a b c ab bc ca ) Bi dng Cho cỏc s thc dng a,b,c tho a2 b2 c2 Chng minh rng 2(a 2b b c c a ) 15 3(a b c) 4(ab bc ca ) Hng dn: Thit lp hm Lagrange, gii h im dng ta c a b c Cho a, b, c tho a b c Tỡm Max ca P = (2a c)b (a c)(2c a)b Hng dn: xột riờng cỏc trng hp biờn, ri lp hm Lagrange cho trng hp tng quỏt ỏp s Max P= Cho a, b, c Chng minh: a b3 c3 3abc ab(a b) bc(b c) ca (c a ) Hng dn: Sau thit lp hm Lagrange, gii h im dng c a b c , sau ú xột trng hp biờn Footer Page 215 of 258 - 215 - Header Page 216 of 258 Tng t trờn chng minh cỏc bt ng thc sau vi a, b, c i a (a b)(a c) b (b c)(b a ) c (c a )(c b) ii a k (a b)(a c) b k (b c)(b a ) c k (c a )(c b) Cỏc bi toỏn ny l cỏc dng c bit v tng quỏt ca bt ng thc Schur Cho a, b, c tho a b c v a2 b2 c2 Tỡm giỏ tr nh nht v ln nht ca : P a3 b3 c3 Hng dn: tng t bi VD2, ta s dựng nhõn t Lagrange tỡm iu kin du bng xy ri s dng bt ng thc Cauchy Schwarz Cho n v x1 , x2 , , xn ; y1 , y2 , , yn l 2n s thc tho iu kin n n n i i i xi 1; yi 1; xi yi 2 n n Chng minh rng: xi yi n i i n n i i Hng dn: t A= xi , B= yi Lp nhõn t Lagrange, vit phng trỡnh tỡm im dng tng quỏt Suy c du bng xy Axi Byi ri phõn tớch thnh tng cỏc bỡnh phng Cho x, y tho iu kin x xy y Tỡm giỏ tr nh nht ca: x xy y Cho a,b,c,d Chng minh rng a b c d 2abcd a 2b sym Hng dn: Sau lp hm nhõn t Lagrange v a h im dng, dựng bi toỏn v bt ng thc Schur chng minh rng h cú nghim nht a b c d hoc a 0, b c d v cỏc hoỏn v, t ú i n kt qu Cho i 51 a 11 i i Tỡm giỏ tr ln nht ca P i Footer Page 216 of 258 - 216 - Header Page 217 of 258 Hng dn: Tng t bi Cho i 51 Tỡm giỏ tr nh nht ca P i a 13 i i Hng dn: Tng t bi 10 Cho a, b, c, d , e thc tho a b c d e Chng minh rng ab bc cd de ea 2 2 a b c d e Ti liu: i Vừ Quc Bỏ Cn Trn Quc Anh S dng phng phỏp Cauchy-Schwarz chng minh bt ng thc ii Trn Phng Nhng viờn kim cng bt ng thc toỏn hc iii Diendantoanhoc.net Footer Page 217 of 258 - 217 - Header Page 218 of 258 KT LUN Bi vit trỡnh by mt s k thut chng minh bt ng thc t c in n hin i, cỏc ý tng, vớ d v bi ó c sp xp mt cỏch cú h thng nhm giỳp cho i tng hc sinh cú iu kin ụn tp, nghiờn cu v phỏt trin Do trỡnh cũn hn ch nờn bi vit khụng th trỏnh nhng sai sút v trỡnh by cng nh v chuyờn mụn Rt mong quý thy cụ v bn c úng gúp ý kin ti cú th tr thnh mt ti liu tham kho tt Xin chõn thnh cm n Footer Page 218 of 258 - 218 - ... thích môn Toán người học Trong đề tài nghiên cứu khoa học này, tập thể lớp 10 Toán trường THPT Chuyên Quảng Bình xin trình bày số vấn đề bất đẳng thức, số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Đề... 101 Phương pháp chung 101 Sử dụng định lý Muirhead với AM – GM, Holder, ASYM, Schur 102 5.1 Bất đẳng thức AM – GM 102 5.2 Bất đẳng thức Holder 102 5.3 Bất đẳng. .. kết hợp bất đẳng thức AM-GM với số bất đẳng thức phương pháp khác Đầu tiên xét tới kết hợp bất đẳng thức AM-GM CauchySchwarz: Ví dụ 11 [diendantoanhoc.net] Cho số thực dương a, b, c Chứng minh