ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN TUÂN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LYAPUNOV BẰNG PHƯƠNG PHÁP LUÂN PHƯƠNG ẨN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN TUÂN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LYAPUNOV BẰNG PHƯƠNG PHÁP LUÂN PHƯƠNG ẨN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN THANH SƠN Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cảm ơn iii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số phân tích 1.1.1 Một số khái niệm 1.1.2 Một số phân tích đại số tuyến tính số 1.1.3 Phân tích Cholesky kiểu Cholesky 1.2 Độ phức tạp tính toán 1.3 Phương pháp đưa hệ phương trình tuyến tính 1.4 Phương pháp Bartels - Stewart Phương pháp ADI CF-ADI 12 2.1 Phương pháp ADI 12 2.1.1 Thuật toán ADI 12 2.1.2 Giải thích 12 2.1.3 Cách chọn tham số 14 Phương pháp CF-ADI 15 2.2.1 Thuật toán CF-ADI 15 2.2.2 Tiêu chuẩn dừng 19 2.2.3 Độ phức tạp 19 2.2.4 Thuật toán CF-ADI thực cho tham số phức 20 2.2 ii Ví dụ số 21 3.1 Mô hình phương trình truyền nhiệt 21 3.2 Mô hình FOM 23 Kết luận 25 Tài liệu tham khảo 27 iii Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn với đề tài "Giải phương trình Lyapunov phương pháp luân phương ẩn", bên cạnh nỗ lực thân vận dụng kiến thức thu trình học tập, tìm tòi học hỏi thu thập thông tin số liệu có liên quan đến đề tài, em nhận giúp đỡ, hướng dẫn tận tình thầy cô lời động viên khuyến khích từ phía gia đình, bạn bè, đồng nghiệp Em xin gửi lời cảm ơn đến toàn thể thầy, cô giáo tham gia giảng dạy khóa học khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên Em xin chân thành cảm ơn thầy TS Nguyễn Thanh Sơn, người hướng dẫn em làm luận văn này, thầy tạo điều kiện thuận lợi nguồn động lực quan trọng để em hoàn thành luận văn Em xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, Ban chuyên môn đồng nghiệp trường THPT Nam Khoái Châu tạo điều kiện tốt cho em trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên,tháng 11 năm 2015 Nguyễn Văn Tuân Học viên Cao học Toán K7Y, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên Mở đầu Phương trình Lyapunov, đặc biệt với vế phải hạng thấp, xuất phân tích giảm bậc hệ điều kiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian có số chiều lớn Trong trường hợp cỡ hạng điều khiển lớn nhiều so với số đầu vào đầu Một hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian có dạng dx(t) dt = Ax (t) + Bu (t) y (t) = Cx (t) (1) (2) Hàm vector x (t) : R → Rn cho ta biết trạng thái hệ thời điểm t Đầu vào u (t) : R → Rrb đầu y (t) : R → Rrc có rb tương ứng rc thành phần Ma trận A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×rb , C ∈ Rrc ×n tương ứng ma trận hệ thống, ma trận hệ số đầu vào, ma trận hệ số đầu Nếu A ổn định tức giá trị riêng A nằm nửa mặt phẳng trái mở gramian điều khiển P ∈ Rn×n gramian quan sát Q ∈ Rn×n ứng với hệ nhất, đối xứng nửa xác định dương Chúng nghiệm phương trình Lyapunov (1) - (2) AP + P AT = −BB T , (3) AT Q + QA = −C T C (4) Nếu số đầu vào rb nhỏ nhiều so với số trạng thái n, rank BB T = rank (B) ≤ rb n Và vế phải (3) có hạng thấp Tương tự vế phải (4) có hạng thấp Tính quan trọng mặt vật lý vector riêng trội gramian miền P Q thể chỗ hướng nhạy cảm đầu vào hướng mà theo đầu nhạy cảm Vì thế, thông tin không gian bất biến trội P = Q đủ để giảm bậc hệ ban đầu (3) - (4) phương pháp chặt cân Đã có nhiều phương pháp đưa để giải phương trình Lyapunov (3) - (4) Những phương pháp giải trực tiếp phương pháp Bartels-Stewart [1] giải với phương trình ma trận cỡ nhỏ Để giải phương trình Lyapunov cỡ lớn, người ta buộc phải sử dụng phương pháp lặp Trong phương pháp lặp bao gồm phương pháp Smith, phương pháp lũy thừa, phương pháp dựa không gian Krylov, phương pháp luân phương ẩn [2], [3], [4] trội lên phương pháp hiệu Đây lí khiến chọn đề tài "Giải phương trình Lyapunov phương pháp luân phương ẩn" làm đề tài luận văn Thạc sĩ Mục đích luận văn tìm hiểu trình bày phương pháp luân phương ẩn (ADI: Alternative Direction Implicit) [3], [4] phương pháp luân phương ẩn với nhân tử Cholesky (CF-ADI: Cholesky Factorization Alternative Direction Implicit) [2] để giải phương trình Lyapunov cỡ lớn Luận văn hệ thống phương pháp giải phương trình Lyapunov cỡ lớn từ trước tới ưu nhược điểm phương pháp Từ phương pháp ADI CF-ADI lên cách tối ưu để giải toán Đối tượng nghiên cứu đề tài nghiên cứu phương pháp giải phương trình cỡ lớn Phạm vi nghiên cứu hai phương pháp bật ADI CF-ADI để giải phương trình Lyapunov cỡ lớn Phương pháp nghiên cứu sử dụng đọc hiểu tài liệu, báo lớn có uy tín giới trình bày lại cách có hệ thống Mặt khác thực kiểm tra số phương pháp thông qua việc lập trình MATLAB Ý nghĩa khoa học lớn đề tài thực cứu liên tục, liền mạch phương pháp giải phương trình Lyapunov cỡ lớn từ đơn giản đến phức tạp trình bày lại cách có hệ thống, dễ hiểu Sau bảo vệ luận văn xong tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên ngành toán học viên cao học chuyên ngành Toán ứng dụng Để đạt mục tiêu trên, luận văn trình bày sau: Chương dùng để trình bày kiến thức chuẩn bị quan trọng phân tích Cholesky kiểu Cholesky, phân tích Schur, độ phức tạp tính toán, phương pháp đưa hệ phương trình tuyến tính phương pháp Bartels - Stewart Chương trình bày chi tiết hai phương pháp ADI CF-ADI, làm bật ưu điểm việc sử dụng hai phương pháp để giải phương trình Lyapunov cỡ lớn Chương trình bày số ví dụ để minh họa, kiểm chứng cho thuật toán Tuy cố gắng điều kiện thời gian nghiên cứu hạn hẹp nên luận văn tránh khỏi thiếu xót Rất mong góp ý quý báu thầy (cô) giáo, bạn đồng nghiệp Thái Nguyên, ngày 01 tháng 11 năm 2015 Nguyễn Văn Tuân Học viên Cao học Toán lớp Y, khóa 02/2014-02/2016 Chuyên ngành Toán ứng dụng Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Email: tuannguyen.ntn@gmail.com Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Một số phân tích Một số khái niệm Định nghĩa 1.1 Ma trận A gọi ma trận đối xứng A = AT AT ma trận chuyển vị A Định nghĩa 1.2 Mọi phần tử A bên đường chéo 0, A gọi ma trận tam giác Tương tự, phần tử A bên đường chéo 0, A gọi ma trận tam giác Nếu phần tử nằm bên đường chéo 0, A gọi ma trận chéo Định nghĩa 1.3 Ma trận vuông A gọi khả nghịch tồn ma trận B cho AB = BA = In , với In ma trận đơn vị Nếu B tồn tại, gọi ma trận nghịch đảo A, kí hiệu A−1 Định nghĩa 1.4 Ma trận vuông A ma trận trực giao ma trận chuyển vị ma trận nghịch đảo AT = A−1 , mà AT A = AAT = I, với I ma trận đơn vị Định nghĩa 1.5 Ma trận xác định dương (âm) ma trận thỏa mãn xT Ax > (xT Ax < 0), ∀x ∈ Rn khác Và xT Ax = x = Ma trận A gọi nửa xác định dương (âm) xT Ax ≥ xT Ax ≤ ∀x ∈ Rn Thông thường người ta hay xét tính chất đối xứng với tính chất xác định nửa xác định 1.1.2 Một số phân tích đại số tuyến tính số Định lí 1.1 (Phân tích Schur) Cho A ma trận vuông phức cấp n Khi tồn ma trận Unita U ∈ Cn×n cho T = U ∗ AU ma trận tam giác Các đường chéo T giá trị riêng A Cho U ∗ AU = T phân tích Schur A với U = [u1 , u2 , , un ] Các phần tử Schur viết AU = U T Cột thứ k phương trình k−1 tik ui , λk = tkk , Auk = λuk + (1.1) i=1 nghĩa Auk ∈ span {u1 , , uk } , ∀k (1.2) Như vậy, k vector Schur u1 , , uk tạo thành không gian bất biến A (một không gian V ∈ F n gọi bất biến A AV ⊂ V ) Từ (1.1) ta có vector Schur vector riêng A Định lí 1.2 (Phân tích Schur thực) Nếu A ∈ Fn×n có ma trận trực giao Q ∈ Rn×n cho   R11 R12 R1n       R R 22 2n  QT AQ =        Rn×n tựa tam giác Các khối chéo Rii ma trận × × Một khối × tương ứng với giá trị riêng thực, khối × tương ứng với cặp giá trị riêng phức liên hợp 13 đường chéo không ổn định Tuy nhiên hầu hết trường hợp ứng dụng A ma trận thưa nên ta bỏ qua bước Algorithm 2.1 Thuật toán ADI INPUT: A, B If v → Av, v ∈ Rn , độ phức tạp O (n), biểu diễn ma trận ba đường chéo A a Tìm ma trận A với A = SAS −1 b Lập B := SB Mặt khác lập A := A, B := B Chọn tham số ADI {p1 , p2 , , pJ } , Re{pj } < (các cặp liên hợp phức tạp) Giả sử ban đầu (2.2) X0 = 0n×n FOR j = 1, 2, J , DO A + pj I Xj− = −BB T − Xj−1 AT − pj I , (2.3) T A + pj I Xj = −BB T − Xj− AT − pj I (2.4) 2 END Nếu ma trận A quy ma trận tam giác chéo, khôi phục nghiệm XJadi := S −1 XJ S −T (2.5) Hoặc, XJadi := XJ OUTPUT: XJadi ∈ Rn×n , XJadi ≈ X Độ phức tạp tính toán phương pháp O n3 + O Jn2 J số bước lặp ADI Số hạng O n3 bước ba đường chéo hóa ma trận tổng quát A bước chuyển nghiệm cuối phương pháp ADI nghiệm Xj Nếu ma trận A dạng thưa dạng có cấu trúc ta làm bước Trong trường hợp độ phức tạp O Jn2 J bước lặp (2.3) - (2.4) So với phương pháp Bartels - Stewart độ phức tạp tính toán tương đương độ phức 14 tạp tính toán Bartels - Stewart O n3 Tuy nhiên A ma trận thưa tức độ n nên O Jn2 < O n3 phức tạp tính toán O Jn2 , thông thường J Nếu A chéo hóa được, người ta sai số phương pháp XJadi − X F 2 ≤ T T −1 2 k(p) X0adi − X F , J (pj − x) , (p + x) j j=1 k (p) = max x∈spec(A) T ma trận gồm cột vector riêng A p = {p1 , p2 , , pJ } tham số ADI 2.1.3 Cách chọn tham số Việc có tham số tốt mang ý nghĩa định đến thành công phương pháp Bộ tham số tối ưu {p1 , p2 , , pJ } xác định việc giải toán minmax sau J max p1, p2 , , pJ x∈R (pj − x) , (p + x) j j=1 R miền nằm nửa mặt phẳng mở bên trái x1 , , xn ∈ R ⊂ C− Sau đây, mô tả vắn tắt cách chọn tính xấp xỉ tham số tốt Đặt a = (Re {λi }) , i α = tan−1 max b = max (Re {λi }) , i i Im {λi } , Re {λi } λi có cặp giá trị riêng −A Đặt cos2 β = m= 1+ 2 a b + b a , 2cos α − cos2 β Nếu m < tham số phải chọn có giá trị phức Tuy nhiên, ta giới hạn luận văn m ≥ ta chọn tham số thực Ta định nghĩa k = √ , m + m2 − k= − k 15 Định nghĩa tích phân elliptic K v: ψ dx F [ψ, k] = K = K (x) = F π ,k , − k sin2 x , v = F arcsin a ,k bk Khi đó, người ta số phép lặp ADI cần có k(p) ≤ ε1 J= K 2vπ log ε41 pj = − ab (2j − 1) K dn ,k , k 2J j = 1, 2, , J, dn (u, k) hàm elliptic 2.2 2.2.1 Phương pháp CF-ADI Thuật toán CF-ADI Ý tưởng phương pháp xuất phát từ quan sát nghiệm phương trình (2.1) đối xứng nửa xác định dương Và nhiều trường hợp X xấp xỉ tốt ma trận hạng thấp Từ ta suy X xấp xỉ tốt ma trận dạng ZZ T , Z ∈ Rn×k với k n Không tính tổng quát, ta giả sử Z có hạng đủ, tức rank (Z) = k Ta gọi Z phân tích hạng thấp Như vậy, trình lặp, thay tính toán lưu trữ Xj , ta tính toán lưu trữ nhân tử hạng thấp Zj Trong Xj = Zj ZjT (2.6) Nhờ thuật toán CF-ADI hiệu nhiều so với thuật toán ADI ban đầu Cũng nhờ mối quan hệ (2.6) phương pháp có tên gọi CF-ADI (Cholesky Factorization Alternative Direction Implicit) Để cho đơn giản mặt ký hiệu trình phân tích thuật toán ADI, ta bỏ qua dấu ∼ Trong thuật toán ADI, hai bước giải phương trình ma trận (2.3) - (2.4) đắt đỏ Trước tiên, ta kết hợp hai 16 bước lại để thu −1 −T Xj = −2pj (A + pj I) BB T (A + pj I) +(A + pj I) −1 T (A − pj I) Xj−1 (A − pj I) (A + pj I) −T (2.7) Từ (2.7) ma trận khởi tạo X0 = 0, ta dễ dàng suy Xj đối xứng với j rank (Xj ) ≤ rank (Xj−1 ) + rank (B) từ ta suy rank (Xj ) ≤ jrb với rb số cột B Chú ý ta giả sử B ma trận hạng đủ Như bước Xj biểu diễn Xj = Zj ZjT , với Zj có jrb cột Thay Xj Zj ZTj (2.7), ta (2.8) Z0 = 0n×p −1 −1 Zj ZjT = −2pj (A + pj I) B + (A + pj I) −1 T (A + pj I) B −1 (A − pj I) Zj−1 (A + pj I) T (2.9) (A − pj I) Zj−1 Từ (2.9), ta suy Zj = −1 −2pj (A + pj I) B , (A + pj I) −1 (A − pj I) Zj−1 Như vậy, thuật toán ADI ban đầu tiến hành cho Xj trở thành thuật toán CF-ADI tiến hành cho nhân tử Cholesky Zj Dạng trực tiếp CF-ADI mô tả qua bước Z1 = Zj = −1 −2p1 (A + p1 I) B, Z1 ∈ Rn×rb , −1 −2pj (A + pj I) B, (A + pj I) −1 (A − pj I) Zj−1 , Zj ∈ Rn×jrb Dưới dạng này, bước lặp nhân tử Cholesky tính Zj−1 ∈ Rn×(j−1)rb cần phải cập nhật cách nhân vào bên trái với (A + pj I) −1 (A − pj I) Vì vậy, số 17 cột cần phải cập nhật tăng rb sau bước Điều rõ ràng bất tiện toán mà số vector B lớn Ta phương pháp để giữ nguyên đại lượng Thật Jrb cột ma trận Zj biểu thị tường minh sau: ZJ = SJ −2pJ B, SJ (TJ SJ−1 ) −2pJ−1 B, , SJ TJ S2 (T2 S1 ) −2p1 B , −1 Si = (A + pi I) , Ti = (A − pi I) Lưu ý rằng, ma trận Si Ti giao hoán Si Sj = Sj Si , Ti Tj = Tj Ti , Si Tj = Tj Si ∀i, j Các nhân tử Cholesky ZJ viết lại ZJ = [zJ , PJ−1 (zJ ) , PJ−2 (PJ−1 zJ ) , , P1 (P2 PJ−1 zJ )] với zj := Pl := √ −2pl √ −2pl+1 −1 −2pJ SJ B = −2pJ (A + pJ I) B, √ −2pl −1 (A + pl I) (A − pl+1 I) Sl Tl+1 = √ −2p √ l+1 −2pl −1 = √ I − (pl+1 + pl ) (A + pl I) −2pl+1 Ta nhận thấy số i phân tích trên, tức không thuộc vào thứ tự vòng lặp Từ số 1, 2, , J thay sử dụng lặp lại Theo đó, thuật toán CF-ADI phát biểu dạng Thuật toán 2.2 Định lí sau Thuật toán 2.2 sinh liệu Thuật toán 2.1 Định lí 2.1 Giả sử XJadi nhận cách chạy J bước thuật toán 2.1 với tham số ADI {p1 , , pJ } ZJcf adi nhận cách chạy J bước thuật toán 2.2 với tham số Khi XJadi = ZJcf adi ZJcf adi T (2.10) 18 Chứng minh Từ thuật toán 2.2, rõ ràng (2.10) thỏa mãn thứ tự tham số đảo ngược Thật vậy, từ đẳng thức −1 −1 Xj = (A + pj I) (A + pj−1 I) T (A − pj I) (A − pj−1 I) Xj−2 (A − pj I) (A − pj−1 I) −2 (pj + pj−1 ) ABB T AT + pj pj−1 BB T −T (A + pj I) T (A + pj−1 I) Dễ dàng nhận thấy biểu thức không phụ thuộc vào thứ tự pj pj−1 Ta suy thứ tự tham số không ảnh hưởng đến hai thuật toán Algorithm 2.2 Thuật toán CF-ADI 1: INPUT: A, B 2: Chọn tham số CF-ADI (p1 , p2 , , pJmax ) , Re{pi } < (Các cặp liên hợp phức tạp thực) √ 3: Xác định: Pi = a −2pi + √ −2pi I − (pi+1 + pi ) (A + pi+1 I) −1 −1 z1 = −2p1 (A + p1 I) B, (2.11) Z1cf adi = [z1 ] (2.12) zj = Pj−1 zj−1 , (2.13) b 4: FOR j = 1, 2, , Jmax a b If ( zj > tol1 or zj zj−1 > tol2 ) and (j ≤ Jmax ) cf adi Zjcf adi = Zj−1 zj (2.14) Mặt khác, J = j − 1, dừng lại END 5: OUTPUT: ZJcf adi ∈ Cn×Jrb , X ≈ XJcf adi := ZJcf adi ZJcf adi T ∈ Rn×n T 19 Ta kí hiệu T XJcf adi := ZJcf adi ZJcf adi Từ trở sau XJcf adi ZJcf adi coi xấp xỉ CF-ADI thứ J Thông thường phân tích lý thuyết, ta hiểu XJcf adi tính toán ta hiểu ZJcf adi Chú ý 2.1 Cách chọn tham số: Ta sử dụng y nguyên cách chọn tham số phương pháp ADI 2.2.2 Tiêu chuẩn dừng Thông thường, người ta hay sử dụng tiêu chuẩn cf adi Xjcf adi − Xj−1 (2.15) ≤ tol2 Từ thuật toán, ta có T Zj ZjT − Zj−1 Zj−1 Vì (2.15) viết lại zj 2 = zj zjT = zj 2 ≤ tol Về mặt lý thuyết, zj nhỏ suy zj+k nhỏ ∀k Tuy nhiên, điều quan sát thực tế Tiêu chuẩn dừng dựa sai số tương đối sử dụng Ở tiêu chuẩn zj zj−2 ≤ tol Chuẩn zj−1 phải tính thông qua giá trị kỳ dị lớn T T Zj−1 giá trị riêng lớn Zj−1 Zj−1 hay Zj−1 Zj−1 Mặc dù j ≤ n tính giá trị riêng thuật toán đắt đỏ Vì vậy, ta kiểm tra sau loạt bước lặp 2.2.3 Độ phức tạp Trước tiên để tiện cho việc lập luận, ta định nghĩa rb -vector v ∈ Rn×rb ma trận có rb cột Xấp xỉ CF-ADI cuối ZJcf adi nhận từ việc bắt đầu với rb vector sau J −1 bước lặp dạng Pi zi Độ phức tạp tính toán phép nhân Pi zi tương 20 Bảng 2.1: CF-ADI ADI Sparse A O (Jrb n) O Jn2 Full A O Jrb n2 O n3 + O Jn2 đương với độ phức tạp tính toán việc giải ma trận-vector rb Khởi động Z1 nhận sau rb phương trình ma trận - vector giải với vế phải cột B Mỗi rb - vector ZJcf adi nhận từ rb - vector trước với chi phí tính toán tương đương giải rb phương trình ma trận - vector Vì lượng tính toán bước lặp giảm từ hai tích ma trận - ma trận giải hệ phương trình ma trận - ma trận (2.2) - (2.3) thuật toán ADI xuống giải rb phương trình ma trận - vector (2.13) thuật toán CF-ADI Một ưu điểm khác CF-ADI nhiều tình huống, chẳng hạn giảm bậc mô hình, người ta lại phân tích Cholesky XJcf adi thay thân Thuật toán CF-ADI cho kết trực tiếp −1 Giả sử A ma trận thưa cho chi phí tính toán v → vA v → (A + pi I) v O (n) Bảng 2.1 cung cấp cho ta độ phức tạp hai thuật toán Thông thường J n, nên CF-ADI đặc biệt có lợi so với ADI áp dụng ma trận thưa 2.2.4 Thuật toán CF-ADI thực cho tham số phức Thuật toán 2.2 cho nghiệm Zj phức có tham số phức ZJ ZTJ thực cặp tham số phức liên hợp Bằng cách thay đổi ma trận Qi , Ri tương ứng với cặp số phức {pi , pi } sau Qi := A2 − σi A + τi I −1 , σi = 2Re {−pi } , Ri := A2 + σi A + τi I , τi = |pi | , ta đảm bảo kết dãy lặp thực 21 Chương Ví dụ số Trong chương này, ta xét vài ví dụ Các ví dụ lấy từ dự án SLICOT [5] Đây tập hợp mô hình hệ điều khiển sử dụng phổ biến để kiểm tra phương pháp số lý thuyết điều khiển hệ thống Chúng không sâu chi tiết mô hình người đọc tìm hiểu [5] Trong ví dụ, ta xét phương trình Lyapunov AX + XAT = −BB T Để đánh giá sai số, ta sử dụng thặng dư chuẩn hóa Nó định nghĩa sau: R= F AX + XAT + BB T BB T F F , tiêu chuẩn Frobenius ma trận định nghĩa sau n a2ij A = i,j=1 Ta kiểm tra hai phương pháp dựa phân tích Schur phương pháp CF - ADI 3.1 Mô hình phương trình truyền nhiệt Dữ liệu mô hình lấy từ việc rời rạc hóa mô hình truyền nhiệt ma trận A ∈ R200×200 , B ∈ R200 Đây ma trận thưa Để chạy cho phương pháp dựa phân tích Schur, ta phải chuyển ma trận đặc Ngoài phương pháp này, ta tham số cần điều chỉnh Trong phương pháp CF-ADI có số tham số đầu vào thay đổi: 22 i) Số bước lặp lớn nhất: maxit ii) Tiêu chuẩn dừng thặng dư chuẩn hóa: tol Đối với thông tin đầu ta quan tâm đến i) Tốc độ hội tụ: Đây thông tin ghi lại thặng dư chuẩn hóa qua bước lặp ii) Thời gian tính toán iii) Sai số cuối Thử nghiệm 1: Đặt tol = 10−8 , maxit = 50 Khi tốc độ hội tụ biểu thị qua hình 3.1 Đối với tiêu chuẩn dừng tol = 10−8 , phương pháp cần lặp 24 bước, thời gian tính toán 0, 0156 giây cuối 1, 339.10−10 thặng dư chuẩn hóa Trong đó, phương pháp dựa phân tích Schur có thặng dư chuẩn hóa 7, 3572.10−14 cần 0, 0625 giây để tính Như có thặng dư lớn so với phương pháp phân tích Schur, thời gian tính toán ưu điểm vượt trội CF-ADI Thử nghiệm 2: Đặt tol = 10−14 , maxit = 50 Đối với tiêu chuẩn dừng tol = 10−18 , phương pháp cần lặp 34 bước, thời gian tính toán 0, 0313 giây cuối 7, 6397.10−15 thặng dư chuẩn hóa Trong đó, phương pháp dựa phân tích Schur có thặng dư chuẩn hóa 7, 3572.10−14 cần 0, 0625 giây để tính 23 Hình 3.1: Sự hội tụ phương pháp CF-ADI cho mô hình truyền nhiệt 3.2 Mô hình FOM Ta lấy từ mô hình FOM hai ma trận A B với A ∈ R1006×1006 , B ∈ R1006 Đây ma trận thưa phù hợp cho phương pháp CF-ADI Thử nghiệm 1: Chọn maxit = 100, tol = 10−8 Khi tốc độ hội tụ biểu thị qua hình 3.2 Đối với tiêu chuẩn dừng tol = 10−8 , phương pháp cần lặp 57 bước, thời gian tính toán 0, 0313 giây thặng dư chuẩn hóa cuối 8, 7126.10−9 Trong đó, phương pháp dựa phân tích Schur có thặng dư chuẩn hóa 7, 3354.10−17 cần 13, 6563 giây để tính Như có thặng dư lớn so với phương pháp phân tích Schur, thời gian tính toán ưu điểm vượt trội CF-ADI Thử nghiệm 2: 24 Hình 3.2: Sự hội tụ phương pháp CF-ADI cho mô hình FOM Đặt maxit = 100, tol = 10−18 Khi CF-ADI cần 30 bước lặp, cần 0,0625 giây để tính thặng dư chuẩn hóa 5, 8709.10−20 Trong đó, phương pháp dựa phân tích Schur có thặng dư chuẩn hóa 7, 3354.10−17 cần 13, 6563 giây để tính Như vậy, kể trường hợp thặng dư tự dừng CF-ADI cần thời gian 25 Kết luận Trong thực tế động lực để giải phương trình Lyapunov xuất phát từ lí thuyết điều khiển mô hệ động lực tuyến tính Thông thường, trước chế tạo thiết bị, người ta phải thiết kế sơ Sau người ta cần mô máy tính; dựa vào kết mô phỏng, người ta tinh chỉnh tham số vật lí để thu thiết kế hoàn chỉnh trước chế tạo Để mô hệ, nhiều trường hợp, người ta cần giải phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả quy luật vật lí, hóa học, hệ Nói chung người ta cần phải làm việc với hệ không phụ thuộc thời gian, tuyến tính Việc tìm nghiệm phương trình Lyapunov có ý nghĩa quan trọng xác định tính chất mô hệ cách hiệu Do nhu cầu đó, có nhiều phương pháp giải phương trình Lyapunov tìm Đầu tiên, phải kể đến phương pháp trực tiếp dựa phân tích Schur Bartels - Stewart Tuy nhiên phương pháp đắt dựa phân tích Schur vốn có độ phức tạp O n3 đòi hỏi O n2 cho nhớ Một phương pháp đưa phương trình hệ tuyến tính có độ phức tạp O n6 Trong đó, vấn đề thực tiễn, tính toán, thử nghiệm, nghiên cứu sản phẩm đòi hỏi cách giải phải nhanh "rẻ" Nhu cầu đòi hỏi phải có cách khắc phục nhược điểm phương pháp cổ điển Đó phương pháp luân phương ẩn (ADI CF-ADI) Bản luận văn giới thiệu, trình bày nêu bật tính ưu việt phương pháp luân phương ẩn Việc nghiên cứu giải phương trình Lyapunov vấn đề thú vị vô sâu rộng, đòi hỏi phải có thời gian nghiên cứu, tìm tòi Vì khoảng thời gian nghiên cứu làm luận văn tránh khỏi thiếu xót Tôi mong nhận 26 đóng góp quý báu từ thầy, cô giáo anh chị em đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn! 27 Tài liệu tham khảo [1] Bartels R.H., Sterwart G.W (1972), "Solution of the matrix equation AX + XA = C" Algorithms 432 [2] Li J.R., White J (2004), "Low - rank solution of Lyapunov equations" Siam Review, 46(4), pp 693 - 713 [3] Peaceman D.W., Rachford H.H (1995), "The numerical solution of parabolic anh elliptic differential equations" SIAM, 3(1), pp 28 - 41 [4] Wachspress E.L (1998), "Iterative solution of the Lyapunov matrix equation" Appl Math Lett, 1(1), pp 87 - 90 [5] SLICOT - Subroutine library in systems anh control theory http://slicot.org/20site/126-benchmark-examples-for-model-reduction ... (3) - (4) phương pháp chặt cân Đã có nhiều phương pháp đưa để giải phương trình Lyapunov (3) - (4) Những phương pháp giải trực tiếp phương pháp Bartels-Stewart [1] giải với phương trình ma trận... Để giải phương trình Lyapunov cỡ lớn, người ta buộc phải sử dụng phương pháp lặp Trong phương pháp lặp bao gồm phương pháp Smith, phương pháp lũy thừa, phương pháp dựa không gian Krylov, phương. .. dựa không gian Krylov, phương pháp luân phương ẩn [2], [3], [4] trội lên phương pháp hiệu Đây lí khiến chọn đề tài "Giải phương trình Lyapunov phương pháp luân phương ẩn" làm đề tài luận văn Thạc