PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN THANH XUÂN TRƯỜNG THCS KHƯƠNG MAI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ( Sáng kiến đạt giải C cấp Thành phố năm học 2012-2013) Lĩnh vực: Toán Họ tên: Đỗ Kim Hương Chức vụ: Giáo viên Hà Nội, tháng năm 2013 PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài a Cơ sở pháp chế Đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi công tác mũi nhọn ngành giáo dục & đào tạo Trong xu phát triển nay, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi nhu cầu cấp thiết xã hội, góp phần khơng nhỏ vào việc đào tạo, bồi dưỡng nhân tài cho đất nước Chính vậy, năm gần đây, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi ngành giáo dục trọng b Cơ sở lý luận Tốn học mơn học giữ vai trị quan trọng suốt bậc học phổ thơng Là mơn học khó, địi hỏi học sinh phải có nỗ lực lớn để chiếm lĩnh tri thức cho Chính vậy, việc tìm hiểu cấu trúc chương trình, nội dung SGK, nắm vững phương pháp dạy học, để từ tìm biện pháp dạy học có hiệu công việc mà thân giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn thường xuyên phải làm Trong công tác giảng dạy môn Tốn, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh có khiếu mơn Tốn Giúp cho em trở thành học sinh giỏi thực mơn tốn cơng tác mũi nhọn cơng tác chuyên môn ngành giáo dục trọng Các thi học sinh giỏi cấp tổ chức thường xuyên năm lần thể rõ điều Chương trình Tốn bậc THCS có nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, chun đề “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” chuyên đề giữ vai trị quan trọng, giúp cho học sinh hình thành kỹ biến đổi đồng biểu thức đại số Chẳng hạn, để thực rút gọn biểu thức đại số khơng thể thiếu việc phân tích đa thức thành nhân tử, hay việc giải phương trình bậc cao gặp nhiều khó khăn học sinh khơng thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, chí nhiều đề thi học sinh giỏi cấp Quận, Thành phố, nhiều năm có tốn chun đề phân tích đa thức thành nhân tử Chính vậy, việc bồi dưỡng cho học sinh chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề mà thân quan tâm c Cơ sở thực tiễn Năm học này, thân Nhà trường giao cho nhiệm vụ đào tạo bồi dưỡng học sinh Đây hội để đưa đề tài áp dụng vào công tác đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi Với tất lý nêu trên, định chọn đề tài “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” Nhiệm vụ đề tài - Nghiên cứu lí luận phân tích đa thức thành nhân tử - Xây dựng hệ thống tập phân tích đa thức thành nhân tử với phương pháp giải tập thích hợp cho - Thực nghiệm việc sử dụng phương pháp giải tập phân tích đa thức thành nhân tử giảng dạy - Một số học kinh nghiệm trình nghiên cứu Giới hạn đề tài Đề tài áp dụng Trường THCS Khương Mai dành cho đối tượng học sinh giỏi mơn Tốn lớp Đối tượng nghiên cứu Học sinh giỏi lớp Trường THCS Khương Mai – Quận Thanh Xuân Phương pháp nghiên cứu Để thực đề tài này, sử dụng phương pháp sau đây: a) Phương pháp nghiên cứu lý luận b) Phương pháp khảo sát thực tiễn c) Phương pháp quan sát d) Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa e) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Tài liệu tham khảo Để thực đề tài này, sử dụng số tài liệu sau: - Sách giáo khoa, sách giáo viên Toán - Chuyên đề bồi dưỡng Đại số (Nguyễn Đức Tấn) - “23 chun đề giải 1001 tốn sơ cấp” Nhóm tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh – Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng số đồng nghiệp (NKTH) - Nâng cao & phát triển toán (Tập I & II) (Vũ Hữu Bình) - Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp (phần Đại số) (Võ Đại Mau; Võ Đại Hoài Đức) PHẦN II NỘI DUNG ĐỀ TÀI I Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Nhiều định lý chứng tỏ đa thức phân tích thành tích đa thức trường số thực R Song mặt lí thuyết, cịn thực hành khó khăn nhiều, địi hỏi “kĩ thuật”, thói quen kĩ “sơ cấp” Dưới qua ví dụ ta xem xét số phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp vận dụng trực tiếp tính chất phân phối phép nhân phép cộng (theo chiều ngược) Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by) Giải: Ta có : A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by) = 2x2 (ax + 2by + ax – by) =2x2(2ax + by) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) Giải: Ta có: B = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) = (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax)) = (5y + 2b)(- 4a2 + ax) = (5y + 2b)(x – 4a)a Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử C = 3x2(y – 2z ) – 15x(y – 2z)2 Giải: Ta thấy hạng tử có nhân tử chung y – 2z Do : C = 3x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2 = 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z)) =3x(y – 2z)(x – 5y + 10z) Bài : phân tích đa thức sau thành nhân tử D = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d) Giải: Ta có: D = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d) = (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax) = (5c + 2d)(ax – 4a2) = a(5c + 2d)(x – 4a) Bài 5: phân tích đa thức sau thành nhân tử E = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy Giải: Ta có: E = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy = 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1) = 3xy((x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2)) = 3xy((x – 1)2 – (y + z)2) = 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + y+ z)) = 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1) Bài : Phân tích đa thức thành nhân tử: F = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) Giải: Ta có : F = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) = (y – 2z)(16x2 – 10y) Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử G = x3 + 3x2 + 2x + Giải: Ta có : G = x3 + 3x2 + 2x + = x2(x + 3) + 2( x + 3) = (x2 + 2)(x + 3) Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử H = 6z3 + 3z2 + 2z +1 Giải: Ta có : H = 6z3 + 3z2 + 2z +1 = 3z2(2z + 1) + (2z + 1) = (2z + 1)(3z2 + 1) Phương pháp nhóm hạng tử Phương pháp vận dụng cách thích hợp tính chất giao hốn, tính chất kết hợp phép cộng, để làm xuất nhóm hạng tử có nhân tử chung, sau vận dụng tính chất phân phối phép nhân với phép cộng Sau số ví dụ : Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 Giải: Ta có : A = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 = (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2) = x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y) = x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z) = (y – z)((x(y + z) – yz – x2)) = (y – z)((xy – x2) + (xz – yz) = (y – z)(x(y – x) + z(x – y)) = (y – z)(x – y)(z – x) Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử B= 4x5 +6x3 +6x2 +9 Giải: Ta có : B = 4x5 +6x3 +6x2 +9 = 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3) = (2x3 + 3)(2x2 + 3) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử C = x + x4 + x2 + Giải: Ta có : C = x6 + x4 + x2 + = x4(x2 + 1) + ( x2 + 1) = (x2 + 1)(x4 + 1) Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử D = x2 + 2x + – y2 Giải: Ta có: D = x2 + 2x + – y2 = (x2 + 2x + 1) – y2 = (x + 1)2 – y2 =(x +1 – y)(x + + y ) Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử E = x2 + 2xy + y2 – xz - yz Giải: Ta có : E = x2 + 2xy + y2 – xz - yz = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz) = (x + y)2 – z(x + y) = (x + y)(x + y – z) Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử F = 2xy + z + 2x + yz Giải: Ta có : F = 2xy + z + 2x + yz = (2xy + 2x) + (z + yz) = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z) Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử G = x m + + xm + – x - Giải: Ta có : G = xm + + xm + – x – = xm + 3(x + 1) – ( x + 1) = (x + 1)(xm + – 1) Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử H = x2(y – z) + y2(z - x) + z2(x – y) Giải: Khai triển hai số hạng cuối nhóm số hạng làm xuất thừa số chung y - z Ta có : H = x2(y – z) + y2z – xy2 + xz2 – yz2 = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2 – z2) = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z) = (y – z)((x2 + yz – x(y + z)) = (y – z)(x2 + yz – xy – xz) = (y – z)(x(x – y) – z(x – y)) = (y – z)(x – y)(x – z) Nhận xét : dễ thấy z – x = -((y – z) + (x – y) nên : H = x2(y – z) - y2((y – z) + (x – y)) + z2(x – y) =(y – z)(x2 – y2) – (x – y)(z2 – y2) = (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y) = (y – z) (x – y)(x + y – (z + y)) = (y – z) (x – y)(x – z) Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử I = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc Giải: Ta có : I = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + bc2 + c2a + abc – abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c2( a + b) = ( a + b)(bc + ca + ab + c2) = ( a + b)( c(b + c) + a(b + c)) = ( a + b)(b + c)(c + a) Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: K = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc Giải: Ta có : K = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc = (a2b + ab2 + abc) + (b2c +bc2 +abc) + (c2a + ca2 + abc) = ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c) = ( a + b + c)(ab + bc + ca) Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc Giải: Ta có : Q = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc = (2a2b + 4ab2) – (a2c + 2abc) + (ac2+ 2bc2) – (4b2c+ 2abc) = 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c2(a + 2b) – 2bc(a + 2b) = (a + 2b)(2ab – ac + c2 – 2bc) = (a + 2b)(a(2b – c) – c(2b –c)) = (a + 2b)(2b – c)(a – c) Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z) Giải: Ta có : P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z) = 4x2y2(2x + y) + z2(y2(z – y) – 4x2(2x + z) = 4x2y2(2x + y) + z2( y2z – y3 – 8x3 – 4x2z) = 4x2y2(2x + y) + z2(z(y2 – 4x2) – (y3 + 8x3)) = 4x2y2(2x + y) + z2(z(y – 2x)(y + 2x) – (y + 2x)(y2 – 2xy + 4x2)) = (2x + y)( 4x2y2 + z3 – 2xz3 – z2y2 + 2xyz2 – 4x2z2) = (2x + y)(4x2(y2 – z2) – z2y (y – z) +2xz2( y – z)) = (2x + y)(y – z)(4x2y + 4x2z – z2y + 2xz2) = (2x + y)( y – z)(y(4x2 – z2) + 2xz(2x + z)) = (2x + y)( y – z) (2x + z)(2xy – yz + 2xz) Phương pháp dùng đẳng thức Phương pháp dùng đẳng thức để đưa đa thức dạng tích, luỹ thừa bậc hai, bậc ba đa thức khác Các đẳng thức thường dùng : A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 A2 - B2 = (A + B) (A - B) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2) A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2) Sau số tập cụ thể: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + x2y2 + y4 Giải: Ta có : A = x4 + x2y2 + y4 = (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2 = (x2 + y2)2 - x2y2 = (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 – xy) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 Giải: Ta có : B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 = (a6 – b6) + (a4 + a2b2 + b4 ) = (a3 + b3) (a3 - b3) + (a4 + a2b2 + b4 ) = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) + (a4 + 2a2b2 + b4) – a2b2 = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 + b2 )2– a2b2 = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) ((a – b)(a + b) + 1)) = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử C = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 Giải: Ta có : C = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + + x2 – x + 1) = 2(x2 – x + 1)(x2 + 1) Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử D = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2 Giải: Ta có: D = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2 = (x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2 + 2y2z2) – 4y2z2 = (x2 – y2 – z2)2 – 4y2z2 = (x2 – y2 – z2 – 2yz) (x2 – y2 – z2 + 2yz) = (x2 – (y + z)2 )( x2 – (y - z)2 ) = (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z) Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử E = (x + y)3 +(x - y)3 Giải: Dựa vào đặc điểm vế trái áp dụng đẳng thức ta có cách khác giải sau : Cách 1: E = (x + y)3 +(x - y)3 = ((x + y) +(x - y))3 – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y) = 8x3 – 3.2x(x2 – y2) = 2x(4x2 – 3(x2 – y2)) = 2x(x2 + 3y2) Cách 2: E = (x + y)3 +(x - y)3 = ((x + y) +(x - y))((x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2 = 2x(2(x2 + y2) - (x2 – y2)) = 2x(x2 + 3y2) Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử F = 16x2 + 40x + 25 Giải: Ta có: F = 16x2 + 40x + 25 = (4x)2 + 2.4.5.x + 52 = (4x + 5)2 Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử G = (a + b+ c) – (a3 + b3+ c3) Giải: Ta có: G = (a + b+ c) –(a3 + b3+ c3) = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3) = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c + c3 - (a3 + b3+ c3) = 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c) = 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc) = 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b) = 3(b + c)(a + b)(a + c) Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử H = x8 – 28 Giải: Ta có : H = x8 – 28 = (x4 + 24) (x4 - 24) = (x4 + 24)((x2)2 – (22)2 ) = (x4 + 24)(x2 – 22)(x2 + 22) = (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2) * Trong thực hành giải toán thường phải phối hợp ba phương pháp kể để phân tích đa thước thành nhân tử Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : M = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2 Giải: M = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2 = (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2) (Nhóm hạng tử) = 3(a - b) + (a - b)2 (đặt NTC dùng đẳng thức) = (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung) Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : N = a2 - b2 - 2a + 2b Giải: N = a2 - b2 - 2a + 2b 10 = 3(x – 1)2 - 2(x2 – 1) = 3(x – 1)(3(x – 1) – ( x + 1)) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + = (5x2 – 10x + 5) – 4x2 + = (x – 1)2 – 4x(x – 1) = (x – 1)( (5(x – 1) – 4x)) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + = (6x2 – 6x) – 5x2 + = 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1) = (x – 1)(6x – 5(x + 1)) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + Đặt f(x) = x2 – 6x + Dễ thấy tổng hệ số f(x) hay f(x) = nên f(x) chia hết cho (x- 1) Thực phép chia f(x) cho (x –1) thương (x – 5) Vậy A = (x – 1)(x – 5) Chú ý: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c (c ≠ 0) phương pháp tách số hạng ta làm sau : Bước : lấy tích a.c = t Bước : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất trường hợp) t = pi.qi Bươc : tìm cặp nhân tử pi, qi cặp pa, qa cho : pa + qa = b Bước : viết ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c Bước : từ nhóm số hạng đưa nhân tủ chung dấu ngoặc Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x4 + 2x2 - Giải: Cách 1: B = x4 + 2x2 - = x4 – x2+ 3x2 – = x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Cách 2: B = x4 + 2x2 - 18 = x4 + 3x2 – x2– = x2(x2 + 3) - (x2 + 3) = (x2 + 3)(x2 – 1) = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) Cách : B = x4 + 2x2 - = (x4 ) + 2x2 – – = (x4 – 1) + 2x2– = (x2 – 1)(x2 + 1) + 2(x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Cách : B = x4 + 2x2 - = (x4 + 2x2 + 1) - = (x2 + 1)2 – = (x2 + 1)2 – 22 = (x2 + – 2)(x2 + + 2) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Cách : B = x4 + 2x2 - = (x4 – 9) + 2x2 + = (x2 + 3)(x2 - 3) + 2(x2 + 3) = (x2 + 3)( x2 - + 2) = (x2 + 3)(x2 – 1) = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) Cách : B = x4 + 2x2 - = (3x4 – 3) – 2x4 + 2x2 = 3(x4 – 1) – 2x2(x2 – 1) = 3(x2 – 1)(x2 + 1) - 2x2(x2 – 1) = (x2 – 1)(3( x2 + 1) - 2x2) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử C = x4 + x2 + Giải: Cách : C = x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) - x2 19 = (x2 + 1)2 - x2 = (x2 + - x)(x2 + + x) Cách : C = x4 + x2 + = (x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1) = (x2 + - x)(x2 + + x) Cách : C = x4 + x2 + = (x4 - x3 + x2) + (x3 - x2 + x) + (x2 - x + 1) = x2(x2 - x + 1) + x(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x2 + x + 1) Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử D = 5x2 + 6xy + y2 Giải: Cách : D = 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 5xy) + (xy + y2) = 5x(x + y) + y(x + y) = (x + y)(5x + y) Cách : D = 5x2 + 6xy + y2 = (6x2 + 6xy) – (x2 - y2) = 6x(x + y) – (x – y)(x + y) = (x + y)(6x – x + y) = (x + y)(5x + y) Cách : D = 5x2 + 6xy + y2 = (4x2 + 4xy) +(x2 + 2xy + y2 ) = 4x(x + y) + (x + y)2 = (x + y)(4x + x + y) = (x + y)(5x + y) Cách : D = 5x2 + 6xy + y2 = (3x2 + 6xy + 3y2) + (2x2 – 2y2 ) = 3(x + y)2 + 2(x2 – y2 ) = (x + y)(3x + 3y + 2x – 2y) = (x + y)(5x + y) Cách : D = 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 10xy + y2) – (4xy + 4y2) = 5(x + y)2 – 4y(x + y) = (x + y)(5(x + y) – 4y)) 20 = (x + y)(5x + y) Cách : D = 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 - 5y2) + (6xy + y2) = 5(x2 – y2) + 6y(x + y) = 5(x – y)(x +y) + 6y(x + y) = (x + y)(5x – 5y + 6y) = (x + y)(5x + y) Cách : D = 5x2 + 6xy + y2 = (9x2 + 6xy + y2) – 4x2 =(3x + y)2 – 4x2 = (3x + y – 2x)(3x + y + 2x) = (x + y)(5x + y) Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử E = x4 + x2y2 + y4 Giải: Ta có : E = x4 + x2y2 + y4 = (x4 + 2x2y2 + y4) – x2y2 = (x2 + y2)2 – (xy)2 = (x2 + y2 – xy)(x2 + y2 + xy) Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử F = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 Giải: Ta có : F = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 = x4 + (x2 – x + 1) + (x2 – x + 1)2 + x = (x2 – x + 1)(x2 – x + 2) + x(x + 1)(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)((x2 – x + 2) + x(x + 1)) = (x2 – x + 1)(2x2 + 2) Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = 4x4 + 81 Giải: Ta có : P = 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 =(2x2 + – 6x)(2x2 + + 6x) Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = 3x3 – 7x2 + 17x - 21 Giải: Ta có : Q = 3x3 – 7x2 + 17x - = 3x3 – x2 – 6x2 + 2x + 15x – = x2(3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5(3x – 1) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5) Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = x3 – x2 – x - Giải: Ta có : M = x3 – x2 – x - = x3 – – (x2 + x + 1) = (x – 1)(x2 + x + 1) - (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x – – 1) = (x2 + x + 1)(x – 2) Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử N = x + x2 – x + Giải: Ta có : N = x3 + x2 – x + = (x3 + 1) + (x2 - x + 1) = (x + 1)(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x + 1+ 1) = (x2 - x + 1)(x + 2) Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử H = x3 – 6x2 – x + 30 Giải: Ta có : H = x3 – 6x2 – x + 30 = x3 + 2x2 – 8x2 – 16x + 15x + 30 = x2(x + 2) – 8x(x + 2) + 15 ( x + 2) = (x + 2)(x2 – 8x + 16 – 1) = (x + 2)((x – 4)2 – 1)) = (x + 2)(x – – 1)(x – + 1) = (x + 2)(x – 5)(x – 3) Phương pháp hệ số bất định Phương pháp dựa vào định nghĩa hai đa thức nhau, ta tính hệ số biểu diễn đòi hỏi cách giải hệ phương trình sơ cấp Sau số ví dụ : Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 22 Giải: Biểu diễn đa thức dạng : x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = x4 + (a+c )x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng hai đa thức, ta hệ điều kiện : a + c = −16 ac + b + d = 12   ad + bc = −14 bd = Xét bd = với b, d ∈ Z , b ∈ {1;3 } với b = 3; d = Hệ điều kiện trở thành :  a + c = −6  ac = a + 3c = −14  Suy 2c = - 14 + = - 8, c = - , a = -2 Vậy A = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 Giải: Biểu diễn đa thức dạng : B = ( ax + by + c )( dx + ey + g ) = adx2 + aexy + agx + bdxy + bey2 + bgy + cdx + cey + cg = adx2 + ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey2 + ( bg + ce )y + cg = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 Đồng hai đa thức, ta hệ điều kiện : ad = ae +bd = 22  ag +cd =11   be = bg +ce = 37   cg =10 ⇒ a =3   b =1   c =5   d =1   e =7   g =2 Vậy C = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 = ( 3x + y + )( x + 7y + ) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử C = x4 – 8x + 63 23 Giải: Ta biểu diễn B dạng : C = x4 – 8x + 63 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a+ c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd a + c = ac + b + d =  Đồng hai đa thức ta hệ điều kiện:  ad + bc = −8  bd = 63 ⇔ a   b   c   d  =− =7 =4 =9 Vậy : C = x4 – 8x + 63 = (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9) Phương pháp xét giá trị riêng Đây phương pháp khó, áp dụng cách “linh hoạt” phân tích đa thức thành nhân tử nhanh Trong phương pháp ta xác định dạng thừa số chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể để xác định thừa số cịn lại Sau số ví dụ : Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) Giải: Thử thay x y A = y2(y – z) + y2(z – y) = Như A chứa thừa số x – y Ta lại thấy thay x y, thay y z, thay z x A khơng đổi ( ta nói đa thức A hốn vị vịng quanh x → y → z → x Do A chứa thừa số x – y chứa thừa số y – z, z – x Vậy A có dạng : k(x – y)(y – z)(z – x) Ta thấy k phải số, A có bậc tập hợp biến x, y, z, cịn tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc ba tập hợp biến x, y, z Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) với x, y, z nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = 2; y = 1; z = (*), ta được: 4.1 + 1.(-2) + = k.1.1.(-2) = -2k 24 k = -1 Vậy P = -1(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) Chú ý: (*) giá trị x, y, z chọn tuỳ ý cần chúng đôi khác để (x – y)(y – z)(z – x) ≠ Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) + z2x2(y – z) Giải: Thay x = y B = y2z2(z – y) + z2x2(y – z) = Như B chứa thừa số x – y Ta thấy đa thức B hốn vị vịng quanh x → y → z → x Do B chứa thừa số x – y chứa thừa số y – z, z – x Vậy B có dạng : k(x – y)(y – z)(z – x) Mặt khác B đa thức bậc ba x, y, z, nên phép chia B cho (x – y)(y – z)(z – x) thương số k, nghĩa : B = k(x – y)(y – z)(z – x) , k số Cho : x = 1; y = -1; z = ta : 12.(-1)2.(-2) + (-1)2.0.(0 + 1) + 02.12.(1 – 0) = k 2.(-1).(-1) -2 = 2k k = -1 Vậy B = -1(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử C = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) Giải: Nhận xét: Nếu hốn vị vịng quanh a, b, c, C khơng thay đổi Thay a=b vào C ta có: C = + bc(b – c) + cb(c – b) = Do C chia hết cho (a – b) Suy C chia hết cho (b – c) C chia hết cho (c – a) Từ : C chia hết cho (a – b)(b – c)(c – a) Mặt khác C đa thức bậc ba a, b, c, nên phép chia C cho (a – b)(b – c)(c – a) thương số k, nghĩa : C = k(a – b)(b – c)(c – a) Cho a = 1; b = 0; c = ta = -2k hay k = - C = -1(a – b)(b – c)(c – a) 25 = (a – b)(b – c)(a – c) Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) Giải: Nhận xét: Nếu hốn vị vịng quanh x, y, z P khơng thay đổi Thay z = y vào P ta có: P = + z(z3- x3) + z(x3 –z3) = Do : P chia hết cho (y – z) Suy P chia hết cho (z – x) P  (x – y) Từ : P chia hết cho (y – z)(z – x)(z – x) Mặt khác P đa thức bậc ba x, y, z nên phép chia P cho (y – z)(z – x)(z – x)được thương số k, nghĩa : P = k(y – z)(z – x)(z – x) Cho : x = 2; y = 1; z = 0, ta : 2.13 + 1.(-2)3 + = k.1.(-2) - = - 2k k=3 Vậy P = 3(y – z)(z – x)(z – x) Hay x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) = 3(y – z)(z – x)(z – x) Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2 + (a + b – c)(b +c – a)(c +a – b) Giải: Nếu hốn vị vịng quanh a, b, c, Q khơng thay đổi Thay a = vào Q ta có : Q = + b(c – b)2 + c(b – c)2 + (b – c)(b + c)(c – b) = Do Q  a Suy Q  b Q  c Từ : Q  abc Mặt khác Q đa thức bậc ba a, b, c nên phép chia Q cho abc thương số k, nghĩa : Q = k.abc Cho a = b = c = 1, ta : 1.12 + 1.12 + 1.12 + 1.1.1 = k.1.1.1 k=4 26 Vậy Q = 4.abc Hay: a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2+ (a +b – c)(b +c – a)(c +a – b) = 4abc II Kết áp dụng đề tài: Tôi ứng dụng nội dung nêu vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn lớp Trường THCS Khương Mai năm học 2012 - 2013 thu kết khả quan Kết học tập học sinh nâng lên, đặc biệt em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo thủ thuật phân tích đa thức thành nhân tử để làm dạng tốn có liên quan đến việc phân tích đa thức đạt kết tốt Đa số em học sinh biết sử dụng phương pháp phân tích thông thường cách thành thạo, số em học sinh có kỹ nắm vững thủ thuật phân tích đa thức dựa vào phương pháp phân tích nêu sáng kiến kinh nghiệm Bên cạnh phương pháp em dễ dàng tiếp 27 cận với dạng tốn khó kiến thức việc hình thành số thủ thuật q trình học tập giải tốn học mơn Tốn III Bài học kinh nghiệm giải pháp thực Trong trình thực đề tài thân người trực tiếp thực việc bồi dưỡng học sinh giỏi Tôi rút số học kinh nghiệm giải pháp thực sau: - Để thực tốt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, trước hết giáo viên cần phải có trình độ chun mơn vững vàng, nắm vững thuật tốn, giải tốn khó cách thành thạo Cần phải có phương pháp giảng dạy phù hợp kích thích tị mị, động, sáng tạo, tích cực học sinh - Tốn học mơn khó, vấn đề tốn rộng Chính vậy, giáo viên cần phải biết chắt lọc, xây dựng thành giáo trình ơn tập bao gồm tất chuyên đề Với chuyên đề cần phải chọn lọc tốn điển hình, để học sinh từ phát huy khả mình, vận dụng cách sáng tạo vào giải tốn khác thể loại - Trong q trình bồi dưỡng học sinh giỏi cần thường xuyên bám sát đối tượng học sinh, theo dõi động viên kịp thời cố gắng, nỗ lực học sinh Đồng thời, kích thích em phát huy tối đa khả q trình ơn luyện, học tập Bên cạnh đó, cần theo dõi kiểm tra, uốn nắn kịp thời sai sót mà học sinh mắc phải, giúp em có niềm tin, nghị lực tâm vượt qua khó khăn bước đầu học tập chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi mà giáo viên đưa - Trong trình bồi dưỡng học sinh giỏi cần tránh cho học sinh biểu tự đắc, cho giỏi Điều làm cho em khó tránh khỏi thất bại tham dự thi lớn Chính vậy, giáo viên cần ln có tốn khó, u cầu cao để em thấy trình học bồi dưỡng học sinh giỏi q trình khơng thể diễn ngày một, ngày hai, mà trình lâu dài, thường xuyên, liên tục Tuy nhiên, cần tránh cho học sinh tự ti, liên tục khơng giải tốn khó gây cho em nản chí, niềm tin vào khả IV Kết luận 28 Bồi dưỡng học sinh giỏi cho học sinh bậc THCS trình lâu dài, bền bỉ Bởi em có q trình năm học tốn Để có học sinh giỏi, cần phải tập trung bồi dưỡng cho em từ năm học lớp Với năm liên tục, với nỗ lực thầy lẫn trị, chắn có học sinh giỏi thực mơn Tốn Trên đây, đề tài đề cập đến vấn đề nhỏ trình bồi dưỡng học sinh giỏi Tuy nhiên, theo mạch kiến thức trọng tâm chương trình Tốn Đề tài áp dụng có hiệu song khơng tránh khỏi hạn chế định Bản thân tơi mong có đóng góp, bổ sung bạn đồng nghiệp, nhà quản lý giáo dục để đề tài tơi hồn thiện Tơi xin trân trọng cảm ơn! Khương Mai, ngày 01 tháng năm 2013 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác NGƯỜI VIẾT ĐỀ TÀI Đỗ Kim Hương 29 ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN THANH XUÂN ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… 30 ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… 31 ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… 32 ... tài ? ?Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử? ?? Nhiệm vụ đề tài - Nghiên cứu lí luận phân tích đa thức thành nhân tử - Xây dựng hệ thống tập phân tích đa thức thành nhân tử với phương pháp. .. 5, ta đưa đa thức (1) đa thức bậc hai từ phân tích đa thức A thành tích nhân tử 15 Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử E = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + Giải: Giả sử x ≠ , ta viết đa thức dạng... phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp vận dụng trực tiếp tính chất phân phối phép nhân phép cộng (theo chiều ngược) Bài : Phân tích