Lê Thanh Bình - Giáo viên Trờng THPT Tĩnh Gia 1 định lý lagrange và ứng dụng A.Định lý Lagrange 1.Định lý Weierstrass Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ] ba; thì nó đạt đợc giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất và mọi giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên [ ] ba; . (SGK ĐS&GT 11) 2.Định lý Fermat Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại 0 x và đạt cực trị tại điểm đó thì ( ) 0' 0 = xf . (SGK Giải tích 12) 3.Định lý Rolle Giả sử f(x) liên tục trên [ ] ba; và có đạo hàm trên );( ba . Nếu )()( bfaf = thì tồn tại ít nhất một điểm );( bac sao cho 0)(' = cf . Chứng minh Vì f(x) liên tục trên [ ] ba; nên f(x) đạt giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M trên [ ] ba; . + Nếu m=M thì f(x)=m=M [ ] bax ; suy ra );(0)(' baxxf = . Do đó );( bac ta có 0)(' = cf . + Nếu m<M thì maf )( hoặc Maf )( . Giả sử mbfaf = )()( . Vì f(x) liên tục trên [ ] ba; nên theo định lý Weierstrass tồn tại ít nhất một điểm ];[ bac sao cho mcf = )( . Hiển nhiên ac và bc suy ra );( bac . Vì );()()( baxcfxf nên f(x) đạt cực tiểu tại c. Theo định lý Fermat ta có 0)(' = cf . ( Chứng minh tơng tự cho TH Mbfaf = )()( ) 4.Định lý Lagrange Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ] ba; và có đạo hàm trên );( ba thì tồn tại ít nhất một điểm );( bac sao cho ( ) abcfafbf = ).(')()( . Chứng minh Xét hàm số )( )()( )()()( ax ab afbf afxfxg = với ];[ bax . Ta có g(x) liên tục trên [ ] ba; và có đạo hàm trên );( ba : ab afbf xfxg = )()( )(')(' . Mặt khác 0)()( == bgag nên theo định lý Rolle tồn tại );( bac sao cho 0)(' = cg . Do đó = = 0 )()( )(')(' ab afbf cfcg ( ) abcfafbf = ).(')()( (Đpcm) 5.ý nghĩa hình học của định lý Lagrange Do f(x) liên tục trên [ ] ba; nên đồ thị của f(x) trên [ ] ba; là một cung liền AB với A(a;f(a)), B(b;f(b)). Giới thiệu Định lý Lagrange và một số ứng dụng của nó ! 1 Lê Thanh Bình - Giáo viên Trờng THPT Tĩnh Gia 1 Cát tuyến AB có hệ số góc ab afbf )()( . Định lý Lagrange khẳng định );( bac sao cho ab afbf cf = )()( )(' nghĩa là hệ số góc của tiếp tuyến của cung AB tại C(c;f(c)) bằng hệ số góc của cát tuyến AB. Nói cách khác, trên cung AB tồn tại ít nhất một điểm C sao cho tiếp tuyến tại C song song với AB. B.Một số ứng dụng của định lý Lagrange I.Một số tính chất của hàm số và đồ thị 1.Định lý Nếu );(0)(' baxxf = thì );()( baxconstxf = . Chứng minh Xét 0 x cố định , );( 0 bax . );( bax ta có + Nếu 0 xx = thì )()( 0 xfxf = . + Nếu 0 xx thì theo định lý Lagrange c nằm giữa 0 x và x sao cho ))((')()( 00 xxcfxfxf = . Vì );( bac nên 0)(' = cf suy ra )()( 0 xfxf = . Vậy );()()( 0 baxconstxfxf == . 2.Điều kiện đủ để hàm số đồng biến ,nghịch biến Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên );( ba . a. Nếu );(0)(' baxxf > thì f(x) đồng biến trên );( ba . b. Nếu );(0)(' baxxf < thì f(x) nghịch biến trên );( ba . Chứng minh 2121 );;(, xxbaxx < ta có f(x) liên tục và có đạo hàm trên [ ] 21 ; xx . Theo định lý Lagrange );( 21 xxc sao cho ))((')()( 1212 xxcfxfxf = . a. Nếu );(0)(' baxxf > thì 0)(' > cf do đó )()( 12 xfxf > suy ra f(x) đồng biến trên );( ba . b. Nếu );(0)(' baxxf < thì 0)(' < cf do đó )()( 12 xfxf < suy ra f(x) nghịch biến trên );( ba . 3.Điều kiện đủ để đồ thị hàm số lồi, lõm Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên );( ba . Đồ thị hàm số f(x) trên );( ba là cung (C).Với );( 0 bax , tiếp tuyến của (C) tại ( ) )(; 00 xfxM có phơng trình là ))((')( 000 xxxfxfy += Định nghĩa: Cung (C) đợc gọi là lồi nếu mọi điểm của cung này đều nằm dới tiếp tuyến bất kỳ của cung ( trừ tiếp điểm ). Tức là : Nếu );( 0 bax ta luôn có 0000 );;())((')()( xxbaxxxxfxfyxf +=< thì cung (C) đợc gọi là lồi. Tơng tự Cung (C) đợc gọi là lõm nếu mọi điểm của cung này đều nằm trên tiếp tuyến bất kỳ của cung ( trừ tiếp điểm ). Tức là : Nếu );( 0 bax ta luôn có Giới thiệu Định lý Lagrange và một số ứng dụng của nó ! 2 Lê Thanh Bình - Giáo viên Trờng THPT Tĩnh Gia 1 0000 );;())((')()( xxbaxxxxfxfyxf +=> thì cung (C) đợc gọi là lõm. Định lý: Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp 2 trên );( ba . a. Nếu );(0)(" baxxf > thì đờng cong y=f(x) lõm trên );( ba . b. Nếu );(0)(" baxxf < thì đờng cong y=f(x) lồi trên );( ba . Chứng minh a. Giả sử );(0)(" baxxf > . );( 0 bax Tiếp tuyến của đờng cong y=f(x) tại ( ) )(; 00 xfxM có phơng trình là ))((')( 000 xxxfxfy += . áp dụng định lý Lagrange cho f(x) trên );( ba , ta có: tồn tại c nằm giữa 0 x và x sao cho ( ) 00 ).(')()( xxcfxfxf = Suy ra ))(('))(('))((')()()( 000000 xxxfxxcfxxxfxfxfyxf == [ ] )()(')(' 00 xxxfcf = (*) Vì );(0)(" baxxf > nên )(' xf đồng biến trên );( ba . Do đó + Nếu 0 xx > thì xcx << 0 suy ra )(')(' 0 cfxf < . Khi đó (*) yxfyxf >> )(0)( + Nếu 0 xx < thì 0 xcx << suy ra )(')(' 0 xfcf < . Khi đó (*) yxfyxf >> )(0)( Vậy 0000 );;())((')()( xxbaxxxxfxfyxf +=> Đờng cong y=f(x) lõm trên );( ba . b. Chứng minh tơng tự. Giới thiệu Định lý Lagrange và một số ứng dụng của nó ! 3 Lê Thanh Bình - Giáo viên Trờng THPT Tĩnh Gia 1 II.ứng dụng của định lý Lagrange trong chứng minh Bất đẳng thức Bài 1: CMR a) < 2 ;0sin xxx b) Rxxx sin Bài 2: CMR Ryx , Ta có a) yxyx sinsin b) yxyx coscos Bài 3: CMR 2 ;0, yx Ta có a) yxtgytgx b) yxgygx cotcot Bài 4: CMR 2 ;0, ba Ta có a) b ab tgatgb a ab 22 coscos << b) a ab gbga b ab 22 sin cotcot sin << Bài 5: Cho 0<a<b CMR a ab a b b ab << ln Bài 6: Cho x>y>0 CMR ( ) ( ) yxxyxyxy << 2005200620062005 20062006 Bài 7: CMR 0)1ln( 1 ><+< + xxx x x Bài 8: Cho * Nn Tìm GTLN của hàm số += n x exf x 1)( trên [ ) + ;0 . Bài 9: Cho a<b<c. CMR a) cabcabcba ++>++ 222 b) <++++< cabcabcbacbaa 222 3 ccabcabcbacba 3 222 <+++++< Bài 10: Cho 0<a<b<c<d CMR 64 3 cdbdbcadacabbcdacdabdabc +++++ < +++ Bài 11: Cho > << 0 10 x CMR ( ) xx +<+ 11 Bài 12: Cho Zn 3 CMR ( ) n n nn 1 1 +> + Bài 13: Cho a<b ; 0 k . CMR a) ba k kbka sinsin Giới thiệu Định lý Lagrange và một số ứng dụng của nó ! 4 Lê Thanh Bình - Giáo viên Trờng THPT Tĩnh Gia 1 a) ba k kbka coscos Bài 14: CMR baabeeeabe baba <<< )()( Bài 15: CMR 0, 1 . >< < xaa x e ea ax ax Bài 16: CMR 0 1 1 1 1 1 1 > +> + + + x xx xx Bài 17: CMR 0 1 1 1 1 1 > +<< + + x x e x xx Bài 18: Cho * ,)1;0( Nnx .CMR ne xx n 2 1 1 < Bài 19: Tìm GTNN của hàm số + ++ = 2 ;0voi, 12 1sin )( x x tgxx xf Bài 20: Cho 2 0 +< yxx . CMR xyxyx cossin)sin( +<+ Bài 21: Cho Rbaf );(: có đạo hàm cấp 2 trên );( ba . CMR a) Nếu );(0)(" baxxf > thì );(, 2 )()( 2 bayx yfxfyx f + + b) Nếu );(0)(" baxxf < thì );(, 2 )()( 2 bayx yfxfyx f + + Bài 22: Cho Rbaf );(: có đạo hàm cấp 2 trên );( ba . CMR a) Nếu );(0)(" baxxf > thì ( ) 1,0,);(,)()( =+>++ bayxyfxfyxf b) Nếu );(0)(" baxxf < thì ( ) 1,0,);(,)()( =+>++ bayxyfxfyxf Bài 23: Cho [ ) Raf + ;: thoả mãn 2 điều kiện sau: a) 0)( < af b) [ ) +> ;1)(' axxf CMR [ ] 0)( > afaf Bài 24: CMR a) 0)1ln( ><+ xxx b) > 2 ;0 xxtgx c) 01 >+> xxe x d) 0 2 2 )1ln( + + x x x x Bài 25: CMR 21cos 1 cos)1( >> + + x x x x x Bài 26: Cho [ ) Rf + ;0: thoả mãn 3 điều kiện sau: a) f liên tục trên [ ) + ;0 b) f' tăng trên ( ) + ;0 c) f(0) =0 CMR x xf xgx Rg )( )( );0(: = + tăng trên ( ) + ;0 . Bài 27: (Định lý Cauchy) Giới thiệu Định lý Lagrange và một số ứng dụng của nó ! 5 Lê Thanh Bình - Giáo viên Trờng THPT Tĩnh Gia 1 Cho f, g là các hàm liên tục trên [ ] ba; và có đạo hàm trên );( ba , );(0)(' baxxg . CMR );( bac sao cho )(' )(' )()( )()( cg cf agbg afbf = Bài 28: Cho f, g có đạo hàm trên R, 0 )(')(' xxxgxf < ( 0 x là hằng số ), g là hàm đồng biến trên R. CMR 000 )()()()( xxxgxgxfxf Bài 29: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên [ ] ba; (a>0). CMR );( bac sao cho )('.)( )()( 1 cfccf bfaf ba ba = Bài 30: Giả sử f liên tục trên [ ] ba; ,có đạo hàm cấp 2 trên );( ba , 0)()( == bfaf và c là một điểm cho trớc của );( ba . CMR );( bad sao cho 2 )(" ).)(()( df bcaccf = Bài 31: Giả sử f(x) khả vi trên );( ba và Axfxf bxax == + )(lim)(lim . CMR );( bac để 0)(' = cf . Bài 32: CMR Nếu f(x) liên tục trên [ ] ba; , khả vi trên );( ba và f(x) không là hàm bậc nhất thì );( bac để ab afbf cf > )()( )(' Bài 33: CMR 2001 1 2001 2002 ln 2002 1 << Bài 34: CMR 0)1ln( 2 2 ><+< xxx x x Bài 35: Cho 2 0 yx CMR yyxx coscos ++ Bài 36: a) CMR + 2 ;03sin2 xxtgxx b) Tìm GTNN của hàm số + ++ = 2 ;0 20063 2006sin2 )( x x tgxx xf c) CMR ABC nhọn , ta có : 3)()sinsin(sin2 >+++++ tgCtgBtgACBA Bài 37: CMR nnnn wvwuvu < với { } <<< 1;0\ 0 Nn uvw Bài 38: Cho x>1,a>1. CMR )1(1 > xax a Bài 39: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [ ] 2;0 và thoả mãn các điều kiện [ ] 2;01)(',1)2()0( == xxfff . CMR > 2 0 1)( dxxf Bài 40: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [ ] ba; và 0)()( == bfaf . Đặt [ ] )('max ; xfM bax = . CMR b a dxxf ab M )( )( 4 2 Giới thiệu Định lý Lagrange và một số ứng dụng của nó ! 6 Lê Thanh Bình - Giáo viên Trờng THPT Tĩnh Gia 1 III. ứng dụng của định lý Lagrange trong phơng trình Bài 1: Cho m>0 và 0 12 =+ + + + m c m b m a CMR Phơng trình 0 2 =++ cbxax có nghiệm thuộc )1;0( . Bài 2: Cho 0 23 . 1 0 12 1 =+++++ + a aa n a n a nn CMR Phơng trình 0 . 02 1 1 =++++ axaxaxa n n n n có nghiệm thuộc )1;0( . Bài 3: CMR Phơng trình 0cos3sin5cos7sin =+++ xdxcxbxa luôn có nghiệm với mọi số a,b,c,d. Bài 4: Giải phơng trình xxx 2001.220022000 =+ Bài 5: Cho [ ] + Rbaf ;: có đạo hàm trên );( ba CMR Phơng trình )( )(' ).( )( )( xf xf ba e bf af = có ít nhất một nghiệm trên );( ba . Bài 6: Cho f(x) khả vi trên [ ] ba; và phơng trình f'(x)=0 có đúng một nghiệm trên [ ] ba; . CMR Phơng trình f(x)=0 không thể có quá hai nghiệm phân biệt trên [ ] ba; . Bài 7: Cho a-b+c=0 .CMR Phơng trình 05sin253sin9sin =++ xcxbxa có ít nhất 4 nghiệm phân biệt thuộc [ ] ;0 . Bài 8: CMR Phơng trình ( ) ( ) 03sin97sin49sin5sin25 =+ xxbxxa có ít nhất 7 nghiệm trên [ ] 2;0 . Bài 9: Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp n trên [ ] ba; . CMR Nếu pt f(x)=0 có n+1 nghiệm phân biệt trên [ ] ba; thì phơng trình 0)( )( = xf n có ít nhất 1 nghiệm trên );( ba . Bài 10: CMR Phơng trình 0cos2cos3cos4cos =+++ xdxcxbxa luôn có nghiệm trong );0( với mọi a,b,c,d. Bài 11: CMR Nếu phơng trình 0 1 1 10 =+++ xaxaxa n nn có nghiệm dơng 1 x thì phơng trình 0 )1( 1 2 1 1 0 =+++ n nn axanxna cũng có nghiệm dơng 2 x , )( 12 xx < . Bài 12: Cho f(x) liên tục trên [ ] ba; . CMR Nếu Giới thiệu Định lý Lagrange và một số ứng dụng của nó ! 7 . Chứng minh tơng tự. Giới thiệu Định lý Lagrange và một số ứng dụng của nó ! 3 Lê Thanh Bình - Giáo viên Trờng THPT Tĩnh Gia 1 II .ứng dụng của định lý Lagrange. Lê Thanh Bình - Giáo viên Trờng THPT Tĩnh Gia 1 định lý lagrange và ứng dụng A .Định lý Lagrange 1 .Định lý Weierstrass Nếu hàm số f(x) liên tục trên