Tuyển tập 20 đề thi vào 10 chuyên toán có đáp án

ĐỀ SỐ 01 ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI 2016 Môn thi: Toán (dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a P a a a a a a                         với 0 1   a . Chứng minh rằng P  1. Câu 2. (2,5 điểm) Cho Parabol ( ) : P y x   2 và đường thẳng d y mx : 2 1   với m là tham số. a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) khi m=1. b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A B , . Gọi y y 1 2 , là tung độ của A B , . Tìm m sao cho: y y 1 2 2 2   3 5 . Câu 3. (1,5 điểm) Một người đi xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 120km. Vận tốc trên 3 4 quãng đường AB đầu không đổi, vân tốc trên 1 4 quãng đường AB sau bằng 1 2 vận tốc trên 3 4 quãng đường AB đầu. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút và trở lại A với vận tốc lớn hơn vận tốc trên 3 4 quãng đường AB đầu lúc đi là 10 km/h. Thời gian kể từ lúc xuất phát tại A đến khi xe trở về A là 8,5 giờ. Tính vận tốc của xe máy trên quãng đường người đó đi từ B về A? Câu 4. (3,0 điểm) Cho ba điểm A M B , , phân biệt, thẳng hàng và M nằm giữa A B , . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB,dựng hai tam giác đều AMC và BMD . Gọi P là giao điểm của AD và BC . a) Chứng minh AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh CP CB DP DA AB . .   . c) Đường thẳng nối tâm của hai đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMPC và BMPD cắt PA PB , tương ứng tại E F , . Chứng minh CDFE là hình thang. Câu 5. (1,0 điểm) Cho a b c , , là ba số thực không âm và thỏa mãn a b c   1.Chứng minh rằng: 5 4 5 4 5 4 7 a b c       .[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 2 ĐỀ SỐ 02 ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI 2016 Môn thi: Toán (dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin) Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1. (1,5 điểm) Chứng minh biểu thức sau nhận giá trị nguyên dương với mọi giá trị nguyên dương của n: P n n n n n n           2 2 2 2 2 4 ( 1) ( 1) 4 2 2 4 1.  Câu 2. (2,5 điểm) c) Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn: x y x y 3 3 2 2    95( ) d) Tìm số thực x,y thỏa mãn: x y 2 2 4 4 8 4 1 1  x y  x y         . Câu 3. (2,0 điểm) Cho S là tập hợp các số nguyên dương n có dạng n x y   2 2 3 , trong đó x, y là các số nguyên. Chứng minh rằng: a) Nếu a b S ,  thì ab S  . b) Nếu N S  và N chẵn thì N chia hết cho 4 và N 4  S . Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn AB AC  . Kẻ đường cao AH.Đường tròn ( ) O đường kính AH cắt các cạnh AB AC , tương ứng tại D và E.Đường thẳng DE cắt đường thẳng BC tại S. d) Chứng minh BDEC là tứ giác nội tiếp. e) Chứng minh rằng SB SC SH .  2 . f) Đường thẳng SO cắt AB AC , tương ứng tại M và N, đường thẳng DE cắt HM HN , tương ứng tại P và Q.Chứng minh rằng BP CQ , và AH đồng quy. Câu 5. (1,0 điểm) Giả sử mỗi điểm của một mặt phẳng được tô bởi một trong 3 màu xanh, đỏ, vàng. Chứng minh rằng tồn tại ba điểm cùng màu là ba đỉnh của một tam giác cân.[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 3 ĐỀ SỐ 03 ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM 2015 Môn thi: Toán (Dùng cho mọi thí sinh vào trường chuyên) Câu 1: (2.5 điểm) Cho biểu thức 2 2 2 2 2 1 1 a b 1 b a a b P a b a b b a b a                       với a b a b    0, 0, . a) Chứng minh rằng: P 1 ab  . b) Giả sử a, b thay đổi sao cho 4 1 a b ab    . Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Câu 2: (2 điểm) Cho hệ phương trình: 2 4 3 1 x my m mx y m          với tham số m. a) Giải hệ phương trình với m = 2. b) Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Giả sử (�0; �0) là một nghiệm. Chứng minh đẳng thức: x y x y 0 0 0 0 2 2      5( ) 10 0. Câu 3: (1.5 điểm) Cho a, b là các số thực khác 0. Biết rằng phương trình a x a b x b      2 2   0 có một nghiệm duy nhất. Chứng minh rằng: a b  . Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có các góc ABC và góc ACB nhọn, góc BAC = 60o . Các đường phân giác trong BB1, CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại I. a) Chứng minh tứ giác AB1IC1 nội tiếp. b) Gọi K là giao điểm thứ hai khác B của đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác BC1I. Chứng minh tứ giác CKIB1 nội tiếp. c) Chứng minh AK B C  1 1. Câu 5: (1 điểm) Tìm các số thực không âm a, b thỏa mãn: 2 2 3 3 1 1 2 2 4 4 2 2             a b b a a b              .[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 4 ĐỀ SỐ 04 ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM 2015 (Dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin) Câu 1: (2.5 điểm) a) Cho a a   0, 1. Rút gọn biểu thức:   3 3 1 6 4 2. 20 14 2 ( 3) 3 1 : 1 2 1 a S a a a a                   . b) Cho x, y thỏa mãn 0 1,0 1, 1 1 1 x y x y x y         . Tìm giá trị của biểu thức: P x y x xy y      2 2 Câu 2: (2 điểm) Một xe tải có chiều rộng là 2,4m và chiều cao 2,5m muốn đi qua cái cổng hình Parabol. Biết rằng khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng tới mỗi chân cổng là 2 5m (bỏ qua độ dầy của cổng). a) Trong mặt phẳng Oxy, gọi Parabol (P) y ax  2 với a < 0 là hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh a  1. b) Hỏi xe tải có qua cổng không? Tại sao? Câu 3: (1.5 điểm) Cho 2 số nguyên a,b thỏa mãn a b ab a b 2 2      1 2( ). Chứng minh a và b là hai số chính phương liên tiếp. Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB 1) thì số k + 1 được viết vào ô (i – 1; j + 1) iii) Nếu số k được viết vào ô (i; j) thì số k + 1 được viết vào ô (j + 1, 1). (xem hình) Khi đó, số 2015 được viết vào ô (m, n). Hãy xác định m và n. 2) Giả sử a, b, c là các sô thực dương thỏa mãn: ab bc ca abc     4. Chứng minh rằng a b c a b c ab bc ca 2 2 2         2( ) 1 3 6 10 … 2 5 9 … … 4 8 … 7 … …[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 8 ĐỀ SỐ 08 ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN KHTN ĐHQG HÀ NỘI NĂM 2015 Môn thi: Toán (Dành cho tất cả thí sinh chuyên Toán - Tin) Thời gian: 150 phút Câu I. (3 điểm) 1) Với a, b, c là các số thực thỏa mãn: (3 3 3 ) 24 (3 ) (3 ) (3 ) a b c a b c b c a c a b             3 3 3 3 Chứng minh rằng: ( 2 )( 2 )( 2 ) 1 a b b c c a     2) Giải hệ phương trình: 3 3 2 2 2 5 27( ) 7 26 27 9 x y xy x y y x x x             Câu II. (3 điểm) 1) Tìm số tự nhiên n để n + 5 và n + 30 đều là các số chính phương. 2) Tìm x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: 1 3      x y x y . 3) Giả sử x, y, z là những số thực lớn hơn 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 4 4          x y z P y z z x x y . Câu III. (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân (AB < AC). Gọi M là trung điểm đoạn BC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên đoạn AM. Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN = 2MH. 1) Chứng minh rằng BN = AC. 2) Gọi Q là điểm đối xứng với A qua N. Đường thẳng AC cắt BQ tại D. Chứng minh bốn điểm B, D, N, C cùng thuộc một đường tròn, gọi đường tròn này là (O). 3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD cắt (O) tại G khác D. Chứng minh rằng NG song song với BC. Câu IV. (1 điểm) Kí hiệu S là tập hợp gồm 2015 điểm phân biệt trên mặt phẳng. Giả sử tất cả các điểm của S không cùng nằm trên một đường thẳng. Chứng minh rằng ít nhất 2015 đường thẳng phân biệt mà mỗi đường thẳng đi qua ít nhất hai điểm của S.[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 9 ĐỀ SỐ 09 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN NGỮ NĂM 2014 Môn thi: Toán (Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1. Cho biểu thức: 2 4 2 1 1 2 : 3 8 2 1 1 x x x x A x x x x x                           . 1. Rút gọn A. 2. Tìm giá trị của x để A > 1. Câu 2. 1. Giải phương trình x x x x 2 2      2 7 3 ( 1)( 3) . 2. Giải hệ phương trình 2 2 4 4 3 2 x y xy x y           . Câu 3. Cho phương trình ẩn x: x m x m m 2 2       3( 1) 2 5 2 0 . Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x x 1 2 ; phân biệt thỏa mãn x x x x 1 2 1 2    2 . Câu 4. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi P, Q lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H đến các cạnh AB, AC. 1. Chứng minh rằng BCQP là tứ giác nội tiếp. 2. Hai đường thẳng PQ và BC cắt nhau tại M. Chứng minh rằng: MH MB MC 2  . . 3. Đường thẳng MA cắt đường tròn (O) tại K (K khác A). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCQP. Chứng minh rằng ba điểm I, H, K thẳng hàng. Câu 5. Chứng minh rằng 1 ... 4        2 3 4 2014 2015 2 2 2 2 2 2 3 2013 2014 .[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 10 ĐỀ SỐ 10 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN NGỮ NĂM 2015 Môn thi: Toán (Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1. Cho biểu thức  2 . 2 2 8 2 x x x x A x x x x                      . 1. Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. Rút gọn A. 2. Cho x   1 2 3 . Tìm giá trị của biểu thức B x x x      5 4 3 2 2 3x 1942 . Câu 2. 1. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 3x 2 0 1 0 x y y x y x y              . 2. Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số sao cho bình phương của số này là một số có hai chữ số tận cùng của nó bằng 96. Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho (P): y x  2 và đường thẳng (d): y m   x 2 , m là tham số 1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. 2. Gọi A x y  1 1 ;  , B x y  2 2 ; là các giao điểm của d và (P). Tìm giá trị của m để y y 1 2 2 2  đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một điểm I thay đổi trên cạnh AB (I khác A và B). Đường thẳng qua I vuông góc với BC cắt các đường thẳng AC, BC lần lượt tại E và M. Đường thẳng CI cắt BE tại F. 1. Chứng minh bốn điểm B, F, I, M nằm trên một đường tròn và bốn điểm C, E, F, M cũng nằm trên đường tròn. 2. Gọi D là điểm đối xứng của A qua BC. Chứng minh rằng D, F, M thẳng hàng. 3. Đường tròn đường kính AM cắt AB và AC tại P và Q (khác A). Chứng minh rằng đường thẳng qua M và vuông góc với PQ luôn đi qua điểm cố định khi I thay đổi trên AB. Câu 5. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x y   3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 28 1 P x y 2 x y    [TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 11 ĐỀ SỐ 11 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN NGỮ NĂM 2016 Môn thi: Toán (Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1. (2đ) 1. Rút gọn biểu thức: A x              3 8 5 1 1 x x x x x x x       2 1 2 2 : 1   2. Cho B     3 3 1007 1014048 1007 1014048 Tính giá trị của biểu thức B B 3   3 2 Câu 2. (2.5đ) 1. Giải phương trình: 3 3 3 3 3 3 1 x x x x x            2. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 10 7 50 5 x xy y x y           Câu 3. (1.5đ) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) : y m x     1 2  và parabol (P) : y x  2 1. Chứng minh rằng với mọi số thực m d ,  luôn cắt P tại hai điểm phân biệt. 2. Gọi A, B là hai giao điểm của ( ) d vàP . Tìm � để diện tích của tam giác OAB bằng 3. Câu 4. (3đ) Cho đường tròn O R ;  và điểm T nằm ngoài đường tròn. Qua điểm T kẻ hai tiếp tuyến TA và TB đến O R ;  , A và B là các tiếp điểm. Trên đoạn thẳng TA lấy điểm M (M khác T và A). Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AB với MO. Đường thẳng qua E vuông góc với MO cắt đoạn thẳng TB tại N, NO cắt đoạn AB tại F. 1. Chứng minh rằng OAMF và EMNF là các tứ giác nội tiếp. 2. Khi M thay đổi trên đoạn thẳng TA, chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác MON luôn thuộc một đường thẳng cố định. 3. Chứng minh rằng MN tiếp xúc với đường tròn (O;R). Xác định vị trí của điểm M để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất. Câu 5 (1đ) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a b c    3.Chứng minh rằng 3 1 1 1 2 a b c P bc ac ab       [TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 12 ĐỀ SỐ 12 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN TP.HỒ CHÍ MINH NĂM 2013 Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1: (2 điểm) 1. Giải phương trình: x x x 2 3 3 4    2. Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn: x + y + z = 0 và xyz ≠ 0. Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z P y z x z x y x y z          Câu 2: (1,5 điểm) Giải hệ phương trình: 2 1 9 4 4 x y y x y x y x x             Câu 3: (1,5 điểm) Cho tam giác đều ABC và M là một điểm bất kì trên cạnh BC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC. Xác định vị trí của M để tam giác MDE có chu vi nhỏ nhất. Câu 4: (2 điểm) 1. Cho x, y là các số thực khác 0. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 x y x y y x y x    2. Cho a, b là hai số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 3 ( ) a ab b P ab a b     Câu 5: (2 điểm) Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O) (A,B là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AB với OM, I là trung điểm của MH. Đường thẳng AI cắt (O) tại điểm K (K khác A). 1. Chứng minh HK vuông góc với AI. 2. Tính số đo góc MKB. Câu 6: (1 điểm) Tìm cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình: 2015 2014 2 1 25  x y xy 2 2       [TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 13 ĐỀ SỐ 13 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN TP.HỒ CHÍ MINH NĂM 2014 Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian: 150 phút Câu 1: (1,5 điểm) Cho a,b thỏa mãn điều kiện ab a b    1, 0. Tính giá trị của biểu thức: 3 3 3 4 2 2 5 1 1 1 3 1 1 6 1 1 ( ) ( ) ( ) P a b a b a b a b a b a b                            Câu 2: (2,5 điểm) 1. Giải phương trình: 2 3 3 3 x x x x 2     2. Chứng minh rằng: abc a b b c c a ( )( )( ) 7 3 3 3 3 3 3    với mọi số nguyên a,b,c. Câu 3: (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD. Đường thẳng qua C vuông góc với CD cắt đường thẳng qua A vuông góc với BD tại F. Đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt đường thẳng trung trực của AC tại E. Hai đường thẳng BC và EF cắt nhau tại K. Tính tỉ số KE KF . Câu 4: (1 điểm) Cho 2 số dương a, b thỏa mãn điều kiện a b  1. Chứng minh rằng: 2 3 9 4 4 a a a b     Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhon nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là trung điểm của cạnh BC và N là điểm đối xứng của M qua O. Đường thẳng qua A vuông góc với AN cắt đường thẳng qua B vuông góc với BC tại D. Kẻ đường kính AE. Chứng minh rằng: 1. BA.BC=2BD.BE. 2. CD đi qua trung điểm đường cao AH của tam giác ABC. Câu 6: (1 điểm) Mười vận động viên tham gia cuộc thi quần vợt. Cứ hai người trong họ chơi với nhau đúng một trận. Người thứ nhất thắng x1trận và thua y1trận, người thứ hai thắng x2 trận và thua y2 trận, …, người thứ mười thắng x10 trận và thua y10 trận. Biết rằng trong một trận đấu quần vợt không có kết quả hòa. Chứng minh rằng: x x x y y y 1 2 10 1 2 10 2 2 2 2 2 2        ... ...[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 14 ĐỀ SỐ 14 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN ĐHQG TP. HỒ CHÍ MINH NĂM 2013 Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian: 150 phút Câu 1: Cho phương trình: x mx m m 2 2      4 2 1 0 (1) với m là tham số. 1. Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm x x 1 2 ; phân biệt?Chứng minh rằng khi đó x x 1 2 ; không thể trái dấu nhau? 2. Tìm m sao cho: x x 1 2   1. Câu 2: Giải hệ phương trình sau:       2 2 2 3 2 1 2 2 3 2 1 2 2 3 2 1 2 2 x y x x y x x y x x y z                    Câu 3: Cho x, y là hai số không âm thoả mãn: x y x y 3 3    1. Chứng minh rằng: y x   1? 2. Chứng minh rằng: x y x y 3 3 2 2    1 Câu 4: Cho M a a    2 3 1 với a là số nguyên dương. 1. Chứng minh rằng mọi ước của M đều là số lẻ? 2. Tìm a sao cho M chia hết cho 5. Với những giá trị nào của a thì M là luỹ thừa của 5? Câu 5: Cho ABC có A ˆ  600 . Đường tròn (I) nội tiếp tam giác (với tâm I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường thẳng ID cắt EF tại K và đường thẳng qua K song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự tại M, N. 1. Chứng minh rằng: các tứ giác IFMK và IMAN nội tiếp? 2. Gọi J là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh 3 điểm A, K, J thẳng hàng? 3. Gọi r là bán kính của đường tròn (I) và S là diện tích tứ giác IEAF. Tính S theo r và chứng minh IMN 4 S S  ( SIMN là diện tích tam giác IMN). Câu 6: Trong một kỳ thi có 60 thí sinh phải giải 3 bài toán. Khi kết thúc kỳ thi, người ta nhận thấy rằng với hai thí sinh bất kỳ luôn có ít nhất một bài toán mà cả hai thí sinh đó đều giả được. Chứng minh rằng: 1. Nếu có một bài toán mà mọi thí sinh đểu không giải được thì phải có một bài toán khác mà mọi thí sinh đều giải đựơc? 2. Có một bài toán mà có ít nhất 40 thí sinh giải được?[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 15 ĐỀ SỐ 15 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN HÀ NỘI NĂM 2011 Môn thi: Toán (chuyên)-Thời gian: 150 phút Bài 1. (2,0 điểm) 1. Với a b   , giải phương trình a b x a b x a b 4 4 2 3 3 2 2        2 0.   2. Giải hệ phương trình: 2 2 2 3 2 . 6            x y xy x y Bài 2. (2.0 điểm) 1. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n n 2   9 3 chia hết cho n – 11. 2. Với ba số không âm x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: � = �2 + �2 + �2. Bài 3. (3,5 điểm) Trên đường tròn tâm O đường kính AB = 2R lấy điểm N sao cho AN = R và M là một điểm bất kì trên cung nhỏ BN (M không trùng với B, N). Gọi I là giao điểm của AM và BN. Đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với AB tại điểm H cắt tia AN tại điểm C. 1. Chứng minh ba điểm B, M, C thẳng hàng. 2. Xác định vị trí điểm M để chu vi tứ giác ABMN lớn nhất. 3. Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNH luôn thuộc một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên cung nhỏ BN của đường tròn (O; R). 4. Gọi P là điểm chính giữa cung AB không chứa điểm N của đường tròn (O; R). Đường thẳng MP cắt AB tại điểm D. Chứng minh MD MD MA MB  không đổi khi M thay đổi trên cung nhỏ BN của đường tròn (O; R). Bài 4. (1,5 điểm) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương (x; y; z) thỏa mãn xyz x z    2 2 2 Bài 5. (1,0 điểm) Chứng minh rằng từ 53 số tự nhiên bất kì luôn chọn được 17 số mà tổng của chúng chia hết cho 27.[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 16 ĐỀ SỐ 16 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN HÀ NỘI NĂM 2012 Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian: 150 phút Bài 1. 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n n n 5 3   5 6 chia hết cho 30. 2. Cho số tự nhiên n thỏa mãn n n ( )   1 6không chia hết cho 3. Chứng minh rằng 2 8 n n 2   không phải là số chính phương. Bài 2. 1. Giải hệ phương trình sau 2 2 2 2 2 1 0 4 4 4 1 0 x y x x xy y x                2. Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x y z 2 2 2    2012. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M xy yz zx    2 . Bài 3. Cho đường tròn (O,R) và dây cung BC cố định ( 2 ) BC R  . Một điểm A di động trên đường tròn (O;R) sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn. Gọi AD là đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC. 1. Đường thẳng chứa phân giác ngoài góc ��� ̂ cắt AB,AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng tam giác AMN cân. 2. Gọi E, F là hình chiếu của D lên BH, CH. Chứng minh rằng OA vuông góc với EF. 3. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường phân giác trong góc ��� ̂ tại K. Chứng minh rằng HK luôn đi qua một điểm cố định. Bài 4. Tìm x y z Z , ,   thỏa mãn ( ) x y z xyz   1 2 )(   Bài 5. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R = 2 cm. Chứng minh rằng trong số 17 điểm A1, A2,..., A17 bất kì nằm trong tứ giác ABCD luôn tìm được 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1 cm.[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 17 ĐỀ SỐ 17 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN HÀ NỘI NĂM 2013 Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian: 150 phút Bài 1. 1. Tìm các số tự nhiên n để 7 3 2013  n có chữ số hàng đơn vị là 8. 2. Cho a, b là các số tự nhiên lớn hơn 2 và p là số tự nhiên thỏa mãn: 1 1 1 2 2 p a b   Chứng minh p là hợp số Bài 2. 1. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x y xy x y 2 2       3 2 2 6 8 0 2. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 3 2 4 0 3 5 4 12 0 x xy y y x y x             Bài 3. Cho a, b là các số thực thỏa mãn a b ab a b     4 4 4 2 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A a b a b      20 6 2013.  3 3 2 2    Bài 4. Cho tam giác ABC không phải là tam giác cân. Đường tròn (O) tiếp xúc vói BC, AC, AB lần lượt tại M, N, P. Đường thẳng NP cắt BO, CO lần lượt tại E và F. 1. Chứng minh rằng OEN và OCA bằng nhau hoặc bù nhau 2. Bốn điểm B, C, E, F thuộc 1 đường tròn. 3. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp OEF. Chứng minh O, M, K thẳng hàng. Bài 5. Trong mặt phẳng cho 6 điểm A A A 1 2 6 , ,..., trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong 3 điểm luôn có 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 671. Chứng minh rằng trong 6 điểm đã cho luôn tồn tại 3 điểm là 3 đỉnh của 1 tam giác có chu vi nhỏ hơn 2013.[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 18 ĐỀ SỐ 18 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN HÀ NỘI NĂM 2014 Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian: 150 phút Bài 1. (2 điểm) 1. Giải phương trình: x x x (5 2) 2( 2 1 1) 0 3      2. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 (4 1) 2 3 ( 12 ) 4 9 x y y x x y y             Bài 2. (2,5 điểm) 1. Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì: 25 7 4 (3 5 ) 65 n n n n n    2. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x y xy x x 2 2      2 3 4 0 3. Tìm các cặp số tự nhiên a a a a 1 2 3 2014 ; ; ;...; thỏa mãn: 2 1 2 3 2014 2 2 2 2 3 1 2 3 2014 ... 2014 ... 2014 1 a a a a a a a a                 Bài 3. (1,5 điểm) Với ba số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:          x y z Q x x yz y y zx z z xy . Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O), H là trung điểm BC, M là điểm bất kì thuộc đoạn BH (M khác B). Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA sao cho CN = BM. Gọi I là trung điểm MN. 1. Chứng minh bốn điểm O, M, H, I cùng thuộc một đường tròn. 2. Gọi P là giao điểm OI và AB. Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều. 3. Xác định vị trí điểm M để tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất. Bài 5. (1 điểm) Cho bảng ô vuông kích thước 3 x n (3 hàng, n cột, n là số tự nhiên lớn hơn 1) được tạo bởi các ô vuông nhỏ kích thước 1 x 1. Mỗi ô vuông nhỏ được tô bởi một trong 2 màu là xanh hoặc đỏ. Tìm số n nhỏ nhất để với mọi cách tô màu như thế luôn tìm được hình chữ nhật tạo bởi các ô vuông nhỏ sao cho 4 ô vuông nhỏ ở 4 góc của hình chữ nhật cùng màu.[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 19 ĐỀ SỐ 19 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN HÀ NỘI NĂM 2015 Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian: 150 phút Bài 1. (2 điểm) 1. Giải phương trình: x x x      8 3 1 0 2. Giải hệ phương trình 2 2 3 3 5 2 10 10 x y x y x y           Bài 2. (2.5 điểm) 1. Cho số nguyên dương n thỏa mãn n và 10 là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng ( 1) n4  chia hết cho 40. 2. Tìm tất cả các số nguyên tố p và các số nguyên dương x,y thỏa mãn: 2 1 2 ( 2) 1 2 ( 2) p x x p y y          3. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x y z nx y z 3 3 3 2 2 2    . Bài 3. (1.5 điểm) Cho 3 số thực dương a b c , , thỏa mãn a b b c c a        1. Chứng minh rằng : 3 4 ab bc ca    . Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AM, BN, CP của tam giác ABC cùng đi qua điểm H. Gọi Q là điểm bất kì trên cung nhỏ BC(Q khác B và C). Gọi E, F theo thứ tự là điểm đối xứng của Q qua các đường thẳng AB và AC. 1. Chứng minh MH MA MP MN . .  . 2. Chứng minh E, H, F thẳng hàng. 3. Gọi J là giao điểm của QE và AB, I là giao điểm của QF và AC. Tìm vị trí của điểm Q trên cung nhỏ BC để AB AC QJ QI        nhỏ nhất. Bài 5. (1 điểm) Chứng minh tồn tại các số nguyên a, b, c sao cho : 1 0 2 3 1000     a b c[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 20 ĐỀ SỐ 20 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN HÀ NỘI NĂM 2016 Môn thi: Toán (chuyên)_ Thời gian: 150 phút Bài 1. (2 điểm) 1. Giải phương trình: x x x x x 4 3 2      2 2( ) 0. 2. Giải hệ phương trình: 2 2 2 4 2 4 0 4 4 2 4 0 x y x x xy y y              Bài 2. (2 điểm) 1. Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn: a b c abc 3 3 3    3 và abc  0. Tính 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ab bc ca P a b c b c a c a b          2. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x, y) thỏa mãn: 2 . 9 6 16 x x y y 2 2    Bài 3. (2 điểm) 1. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: a b c 2 2 2    3. Chứng minh 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b b c c a         2. Cho số nguyên dương n thỏa mãn: 2 2 12 1   n2 là số nguyên. Chứng minh 2 2 12 1   n2 là số chính phương Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB AC  và nội tiếp đường tròn O. Các đường cao BB’ và CC’ cắt nhau tại điểm H. Gọi M là trung điểm BC, tia MH cắt O tại điểm P 1. Chứng minh hai tam giác BPC’ và CPB’ đồng dạng. 2. Các đường phân giác của các góc BPC '''' và CPB '''' lần lượt cắt AB và AC tại các điểm E và F. Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF; K là giao điểm HM và AO’. a. Chứng minh tứ giác PEKF nội tiếp. b. Chứng minh các tiếp tuyến tại E và F của đường tròn O '''' cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn O. Bài 5. (1 điểm) Cho 2017 số hữu tỷ dương được viết trên một đường tròn. Chứng minh tồn tại hai số được viết cạnh nhau trên một đường tròn sao cho khi bỏ hai số đó thì 2015 số còn lại không thể chia thành hai nhóm mà tổng các số ở mỗi nhóm bằng nhau.[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 1 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 01 ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI 2016 Môn thi: Toán (dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên) Câu 1. (2,0 điểm) Vì 0 1   a nên ta có: 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a P a a a a a a                             2 1 1 1 1 2 . 1 1 1 1 1 a a a a a a a a a                        1 1 1 1 1 1 2 2  1 1 2 . . 1 1 2 a a a a a a a a a a a                2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a a a . 1 a a a           . (Đpcm) Câu 2. (2,5 điểm) Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):        x mx x mx 2 2 2 1 2 1 0(*) a) Thay m = 1 và phương (*) ta có: x x 2    2 1 0 . Phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt là x    1 2 .[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 2 Đồ thị d cắt (P) tại 2 điểm M x y ( , ) M M và N x y ( , ) N N . Thay x vào ta có: 2 2 2 2 ( 1 2) 3 2 2 ( 1 2) 3 2 2 M M N N y x y x                   Vậy 2 điểm M ( 1 2, 3 2 2)     và N( 1 2, 3 2 2)     . b) Ta có phương trình hoành độ giao điểm (*) là phương trình bậc 2 có '''' 1.( 1) 1 0        m m m 2 2 nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt  (P) và d luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. Gọi giao điểm của d và P là A x y B x y ( , ), ( , ) 1 1 2 2 . Theo định lý Vi-et ta có: 1 2 1 2 2 . 1 x x m x x         Vì A, B thuộc A, B thuộc (P) nên 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 4 4 2 2  2 2   2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )( )( ) ( )( ) ( ) 2 2 (4 2) y y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x m m                        Ta có: 2 2 2 2 ( ) ( ) 4 4 4 4 4 x x x x x x m x x m 1 2 1 2 1 2 1 2           . 2 2 2 2      y y m m m 1 2 4 (4 2) 1 . Nếu 0 1 2   m thì vế phải nhỏ hơn 3 5 . Nếu 1 2 m  thì vế phải lớn hơn 3 5 . Vậy 1 1 . 2 2 m m     Thử lại thỏa mãn. Câu 3. (1,5 điểm) Gọi vận tốc trên 3 4 quãng đường AB đầu tiên đi từ A đến B là: x (km/h, x > 0). Theo bài ra ta có:[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 3 Vận tốc trên 1 4 quãng đường AB sau bằng 1 2 vận tốc trên 3 4 quãng đường AB đầu là: 1 2