x y Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng của phơng pháp toạ độ Đặt vấn đề 1. Lý do chọn chọn đề tài: Trong quá trình giảng dạy toán tôi nhận thấy phơng pháp toạ độ chiếm một vị trí quan trọng trong chơng trình toán ở bậc học PTTH. - Học sinh thờng chỉ sử dụng phơng pháp toạ độ để giải các bài toán trong hình học giải tích hoặc dùng phơng pháp toạ độ để khảo sát hàm số, các emcòn ngờ rằng đây là một phơng pháp rất hay, bằng việc khai thác triệt để các tính chất hình học tiềm ẩn trong một số các bài toán ta có thể giải quyết những khó khăn mà khi giải bằng phơng pháp khác có thể gặp phải. - Phơng pháp toạ độ cho phép ta không những giải đợc các bài toán hình học mà còn có thể giúp ta giải đợc một số bài toán: Số học, đại số, tổ hợp và suy luận lôgíc một cách dễ dàng, trực quan, tránh đợc cả những lý luận dài dòng và thoát ra khỏi những ảnh hởng không có lợi cho trực giác. 2. Mục đích: - Trong khuôn khổ một sáng kiến kinh nghiệm tôi chỉ xin phép đợc trình bày một số ứng dụng của phơng pháp này để giải một số bài, dạng toán đại số về bất phơng trình, hệ bất phơng trình, phơng trình, và hệ phơng trình mà học sinh PTTH thờng gặp. - Và mục đích giúp các em hiểu thêm về phơng pháp này. Và từ đó có thể giải quyết đợc những khó khăn gặp phải khi làm toán. I) Phơng pháp toạ độ để giải bất phơng trình - hệ bất phơng trình chứa tham số: a) Cơ sở lý thuyết: Xét bất phơng trình: f(x) < g(x) (1) TXĐ: D Ta đã biết: Gọi S là tập nghiệm S = {x 0 D f(x 0 ) < g(x 0 )} Phơng pháp toạ độ: Bớc1: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy vẽ đồ thị: y = f(x) và g(x) Bớc2: Tìm những phần đồ thị: y = f(x) nằm dới đồ thị: y = g(x) Bớc3: Tìm hình chiếu của phần đồ thị đó trên trục Ox giao của nó với tập xác định D chính là nghiệm của bất phơng trình (1) Chẳng hạn: cần giải: f(x) < g(x) (1) đồ thị: y = f(x), y = g(x) có dạng nh hình vẽ : Trang: 1 x 1 x 2 x 3 Sáng kiến kinh nghiệm Khi đó nghiệm của bất phơng trình là: << < 32 1 xxx xx Nhận xét trên Oxy: y = m là đờng thẳng // Ox hoặc Ox. 1/ Bất phơng trình: ( ) Dx mxf có nghiệm ( ) mxf D max 2/ Bất phơng trình: ( ) Dx mxf có nghiệm ( ) mxf D min 3/ 4/ VD: Xác định m để: ( )( ) mxxxx +++ 6363 có nghiệm Bài giải: TXĐ: D = [-3; 6] Cách1: Đặt: t = xx + 63 t' = xx x + 634 32 x - -3 2 3 6 - t' + 0 - t 3 3 2 3 Vậy: -3 x 6 thì: 3 t 3 2 t 2 = 9 + 2 ( )( ) xx + 63 ( )( ) xx + 63 = 2 9 2 t Trang: 2 t 1 t 2 Sáng kiến kinh nghiệm Bài toán trở thành: Xác định m để: t 2 -2t 9 - 2m có nghiệm t [ ] 23;3 Cách1: Ta có thể sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai Bằng cách: Xét f(t) = t 2 - 2t + 2m - 9 TH1: ' 0 1 - 2m + 9 0 m 2 10 f(t) 0 t R bất phơng trình (1) có nghiệm t [ ] 23;3 TH2: Nếu < > 0)3( 3 2 0 f S > + < lý) (Vô 231 02629 3 10 m m KL: Vậy với m [3; +) thoả mãn Cách2: Bằng phơng pháp toạ độ: Xét: f(t0 = t 2 - 2t Trên [ ] 23;3 Ta có: f'(t) = 2t - 2 = 0 t = 1 [ ] 23;3 f(3) = 3 f ( ) 261823 = > 3 [ ] ( ) mtf 23;3 min 18 - 6 2 9 - 2m 3 9 - 2m 2m 6 m 3 Xét bất phơng trình 1 ẩn chứa tham số m: ( ) ( ) ( ) 2 Dx 1 0; mxf Bớc1: Vẽ hệ trục Oxm (coi m nh biến tung độ) Giả sử S là miền biểu diễn các điểm: (x, m) thoả mãn (1), (2). Khi đó ta có định lý: là một giá trị của tham số m để hệ (1) - (2) có nghiệm m = bằng miền S CM: Trang: 3 Sáng kiến kinh nghiệm () Giả sử m = cắt S tức (x 0 ;) S: ( ) Dx mxf 0 0 0; Vậy x 0 là nghiệm của hệ (1), (2) () Giả sử hệ ( ) Dx mxf 0 0 0; có nghiệm tức x 0 D: ( ) Dx mxf 0 0 0; Theo định nghĩa (x 0 , ) S nghĩa là m = cắt (S) Định lý trên là một cơ sở cho việc giải và biện luận bài toán chứa tham số trong đó trao đổi biến tham số m thành 1 ẩn của bài toán mới. VD: Tìm m để hệ: ++ 31 0626 0 22 x mmxx xm có nghiệm Nhận xét: với yêu cầu của bài toán. Việc ? bằng phơng pháp đại số thuần tuý gặp rất nhiều khó khăn. Tuy nhiên nếu vận dụng phơng pháp toạ độ thì ta đợc lời giải gọn gàng thuận lợi hơn nhiều. II) Phơng pháp toạ độ để giải phơng trình - hệ phơng trình: 1/ Cơ sở lý luận: ĐL: Giải sử hàm số f(x) lt trên D Nếu ( ) xf D max và ( ) xf D min . Khi đó phơng trình: f(x) = m có nghiệm ( ) xf D min m ( ) xf D max Nếu: hàm số f(x) có tập giá trị là ( ) ( )( ) ff ; Thì phơng trình: f(x) = m có nghiệm f() < m < f() VD: 1/ Xác định m để: mxxxx =+++ 11 22 có nghiệm? 2/ Xác định m để: (x - 1) 2 = 2x - m có 4 nghiệm phân biệt Bài giải: Hệ (I) ( ) ( ) + (3) (2) (1) 31 413 0 2 22 x mx mx Trang: 4 Sáng kiến kinh nghiệm Các điểm M(x; y) thoả mãn hệ (1), (2), (3) đợc biểu diễn bằng miền gạch trên hình vẽ: áp dụng định lý (2) suy ra hệ (1), (2), (3) có nghiệm 1 m 3. NX: Nếu bài toán trên có thể yêu cầu Giải và biện luận theo m. x 2 - 6x + m 2 - 2m + 6 0 với 1 x 3 và m x Ta đi đến kết luận: < > 1 3 m m bất phơng trình vô nghiệm m=3 bất phơng trình có nghiệm x = 3 m = 1 bất phơng trình có nghiệm x = 1 1 < x < 3 bất phơng trình có nghiệm 1 < x < 3 VD: Cho hệ +++ +++ (2) (1) 012 012 22 22 myxx myyx Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất Bài giải: Ta có hệ (1), (2) ( ) ( ) ++ ++ myx myx 2 2 2 2 1 1 Cách1: nếu m < 0 thì hệ vô nghiệm nếu m = 0 khi đó: ( ) ( ) ++ ++ 01 01 2 2 2 2 yx yx Trang: 5 Sáng kiến kinh nghiệm = =+ =+ = 0 01 01 0 y x y x vô nghiệm Nếu m > 0 vẽ trên hệ trục Oxy đờng tròn: O 1 (0, -1) bán kính R 1 = m đờng tròn: O 2 (-1; 0) bán kính R 2 = m Bài toán trở thành xác định m để (O 1 ) tiếp xúc ngoài với (O 2 ) R 1 + R 2 = O 1 O 2 a22 = a = 2 1 Cách2: Học sinh thờng làm bài này bằng phơng pháp điều kiện cần và đủ: Điều kiện cần: Giả sử hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x 0 , y 0 ) (y 0 , x 0 ) cũng là nghiệm của hệ . Hệ có nghiệm duy nhất x 0 = y 0 Thay vào (1) ta đợc: 2x 0 + 2x 0 + 1 - a 0 ' = 1 - 21 - a = -1 + 2a có nghiệm duy nhất = 0 a = 2 1 Điều kiện đủ: Khi a = 2 1 hệ có dạng: ( ) ( ) ++ ++ (2) (1) 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 yx yx x 2 + (x + 1) 2 + (y + 1) 2 + y 2 1 (3) Nhận thấy (3) là hệ quả của hệ (1) (2) 0 2 1 2 2 1 2 22 ++ + yx = = 2 1 2 1 y x Trang: 6 x O y Sáng kiến kinh nghiệm Do (3) có nghiệm duy nhất: = = 2 1 2 1 y x Nên hệ (1) (2) có nhiều nhất là một nghiệm Thử lại ta thấy: = = 2 1 2 1 y x thì thoả mãn hệ (1), (2) Vậy khi a = 2 1 hệ có nghiệm duy nhất: = = 2 1 2 1 y x Nhận xét: Nếu bài toán yêu cầu gải và biện luận theo m thì việc sử dụng phơng pháp dại số gặp rất nhiều khó khăn. Suy ra nếu vận dụng phơng pháp toạ độ Phần I: Cơ sở lý thuyết của phơng pháp toạ độ $1. Kiến thức cơ bản 1. Toạ độ của các điểm và toạ độ của véctơ 2. Trên mặt phẳng toạ độ với hệ toạ độ dềcác vuông góc Oxy. Giả sử điểm A(x 1 , y 1 ) B(x 2 ; y 2 ) Khi đó ( ) 1212 ; yyxxAB = Độ dài ( ) ( ) 2 12 2 12 yyxxAB += 3 điểm A, B, C bất kỳ : ACBCAB =+ ACBCAB + Dấu " = " xảy ra BCAB, cùng hớng BCAB, cùng hớng hoặc 1 véctơ là 0 Giả sử: ( ) 11 ; yxa = ( ) 22 ; yxb = a . b = x 1 x 2 + y 1 y 2 và a . b = a . b .cos( a , b ), a b a . b = 0 a . b a . b Dấu "=" xảy ra a , b cùng phơng hoặc có một véctơ là 0 a cùng phơng b k: b = k a Trang: 7 Sáng kiến kinh nghiệm 2) Trong không gian: Với hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz Giả sử: A(x 1 , y 1 , z 1 ) B(x 2 , y 2 , z 2 ) Khi đó: AB = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) ( ) ( ) ( ) 2 12 2 12 2 12 zzyyxxAB ++= M(x, y, z) chia AB theo tỷ số k + = + = + = = 2 2 2 21 21 21 kzz z kyy y kxx x MBkAM k -1 a = (x 1 ; y 1 ; z 1 ) b = (x 2 ; y 2 ; z 2 ) a cùng phơng b k: b = k a a . b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 cos( a , b ) = 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 zyxzyx zzyyxx ++++ ++ a b a . b = 0 Tích hữu hớng của a . b KH: [ a , b ] [ a , b ] = a . b sin( a , b ) a = (x 1 ; y 1 ; z 1 ) b = (x 2 ; y 2 ; z 2 ) c = (x 3 ; y 3 ; z 3 ) đồng phẳng a [ b , c ] = 0 Gọi d là khoảng cách từ M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) đến : Ax + By + Cz + D = 0 d = 222 000 CBA DCzByAx ++ +++ 3. Miền trên mặt phẳng toạ độ xác định bởi phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình a) Trên mp Oxy. Ta biết rằng đờng thẳng d: ax + by + c = 0 (a 2 + b 2 > 0) Chia mặt phẳng toạ độ ra làm 2 phần S 1 = {(x;y): ax + by + c > 0} S 2 = {(x;y): ax + by + c > 0} trong thực tế để xác định đợc ta chỉ cần xét dấu của f(x; y) = ax + by + c tại 1 điểm trên 1 miền nào đó. NX: 1/ Sau khi xét dấu trên trên 1 miền ta suy ra đợc dấu của miền còn lại Trang: 8 Sáng kiến kinh nghiệm 2/ Để việc xác định dấu của 1 miền đơn giản ta thờng chọn miền có chứa gốc toạ độ O(0; 0) hoặc miền có chứa điểm có toạ độ "đẹp" Chẳng hạn: VD1: Xét đờng thẳng: y - x + 1 = 0 Trên hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy Vẽ đờng thẳng d: x - y + 1 = 0 d đi qua A(-1; 0) B(0; 1) VD2: Biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ miền nghiệm S của hệ: + ++ + (3) (2) (1) 03 01 01 yx yx y (I) Giải: Trên hệ trục toạ độ Đêcác Oxy Xác định miền nghiệm S 1 = {(x;y): y + 1 0} S 2 = {(x; y): x+ y + 1 0} S 3 = {(x; y): x - y + 3 0} Khi đó miền nghiệm của hệ (I) là S S = S 1 S 2 S 3 đợc biểu diễn bằng miền ABC gạch chéo kể cả biên b) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy đờng tròn tâm I(a; b): (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 Khi đó S 1 = ( ) ( ) ( ) { } 2 22 :; Rbyaxyx >+ S 2 = ( ) ( ) ( ) { } 2 22 :; Rbyaxyx <+ là những điểm nằm trong (O) Trang: 9 A B y x Sáng kiến kinh nghiệm Tổng quát: Đờng cong y = f(x) chia mặt phẳng toạ độ ra làm 2 phần: S 1 = ( ) ( ){ } 0:; > xfyyx S 2 = ( ) ( ){ } 0:; < xfyyx Do y = f(x) liên tục nên ta cần xét dấu tại 1 điểm M 0 (x 0 , y 0 ) trên 1 miền từ đó suy ra dấu của y = f(x) trên 1 miền còn lại VD3: Giải hệ phơng trình: ++ (2) (1) 0222 0 22 2 yxyx yx (I) Giải: Trên hệ trục toạ độ Đềcác Oxy Xác định miền nghiệm S 1 = ( ) { } 0:; 2 yxyx Xác định miền nghiệm S 2 = ( ) { } 0222:; 22 ++ yxyxyx Nhận thấy: x 2 + y 2 - 2x + 2y - 2 = 0 (x - 1) 2 + (y + 1) 2 = 4 là phơng trình đờng tròn tâm I(1; -1) bán kính R = 2 nh trên hình vẽ Từ đó suy ra: miền nghiệm của hệ (I) là S thì S = S 1 S 2 là tam giác cong AOB gạch chéo kể cả biên NX: Bằng phơng pháp toạ độ ta có thể giải đợc nhiều bài toán về phơng trình, bất ph- ơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình một cách đơn giản trực quan và ngắn gọn và rất hữu hiệu. Đặc biệt là 1 số bài toán định tính nh: Biện luận theo tham số số nghiệm của phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình có nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất Trang: 10 I [...]... giải còn dài dòng Cách2: Bằng phơng pháp toạ độ: phơng trình (1) x4 - 2x2 = m - 3 Xét : f(x) = x4 - 2x x R có f(x) = 4x3 - 4x = 0 x 0 = = x 1 Bảng biến thiên: x f(x) - + - -1 0 + 0 0 CĐ - 1 0 + + + f(x) CT Dựa vào bảng biết thiên ta có thể biện luận: CT m = 2 phơng trình có nghiệm x = 1 2 < m < 3 phơng trình có 4 nghiệm: x1 < -1 < x2 < 0 < x3 < 1 < x4 m = 3 phơng trình có 3 nghiệm x = 0, x =... trình có 2 nghiệm phân biệt x 1 < >2 x VD4: (Đề 99/II) Xác định m để: (x - 1)2 = 2x - m (*) Giải: Bài toán trên có thể làm bằng nhiều cách khác nhau NX: Một số sách hớng dẫn học sinh phổ thông hay làm theo cách sau: Nhận thấy 2 vế cảu phơng trình (*) không âm: bình phơng hai vế ta đợc: (x - 1)4 = (x - m)2 (x2 - 2m + 1)(x2 - 4x + 1 + 2m) = 0 x 2 = 2m 1 (1) 2 x 4 x +1 + 2m = 0 ( 2 ) phơng trình... tham số VD3: Giải và biện luận phơng trình: x4 + 2x2 + 3 - m = 0 Giải: Cách 1: Đặt t = x2 0 Trang: 12 Sáng kiến kinh nghiệm Bài toán trở thành giải và biện luận theo m số nghiệm t 0 của: t2 + 2t + 3 -m =0 TH1: Nếu P = 3 - m = 0 m = 3 phơng trình (2) có 2 nghiệm t =2 =0 t thoả mãn phơng trình (1) có nghiệm x = 0; x = 1 TH2: Nếu P = 3 - m < 0 m > 3 phơng trình (2) có nghiệm t1 < 0 < t2 phơng... Giải phơng trình: 2x = 6 - x (1) Giải Cách1: Trên hệ trục toạ độ Oxy vẽ y = 2x (C) và (d): y = -x + 6 Nhận thấy (C) (d) tại M(2; 4) duy nhất KL: phơng trình (1) có nghiệm duy nhất x = 2 Cách2: Bằng cách khác và (d): y = -x + 6 Nhận thấy (C) (d) tại M(2; 4) duy nhất KL: phơng trình (1) có nghiệm duy nhất x = 2 Cách2: Bằng cách khác Nhận thấy: x = 2 thì VT = 2x = 4 VP = 6 - x = 4 x = 2 là nghiệm Trang:... 4 VP = 6 - x = 4 x = 2 là nghiệm Trang: 11 Sáng kiến kinh nghiệm VT = 2 x > 2 2 = 4 Nếu x > 2 thì VT > VP không thoả mãn VP = 6 - x < 6 - 2 = 4 Vậy phơng trình (1) không có nghiệm x > 2 VT = 2 x < 2 2 = 4 Nếu x < 2 thì VT < VP không thoả mãn VP = 6 - x < 6 - 2 = 4 Vậy phơng trình (1) không có nghiệm x < 2 KL: Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất x = 2 NX: Khi giải bằng phơng pháp này... (x2 - 2m + 1)(x2 - 4x + 1 + 2m) = 0 x 2 = 2m 1 (1) 2 x 4 x +1 + 2m = 0 ( 2 ) phơng trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt ? 1 phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 2m - 1 > 0 m > 2 3 phơng trình (2) có 2 nghiệm phân biệt ' = 3 - 2m > 0 m < 2 Trang: 14 Sáng kiến kinh nghiệm Các em kết luận: với 1 3 < m < thì phơng trình có 4 nghiệm phân biệt 2 2 Tuy nhiên kết luận trên là hơi vội Ta còn phải kiểm... p 2 0 x Nhận thấy TXĐ: x 2 + 2qx + 2q 2 0 x TXĐ: D = R khi đó f(x) = ( x p ) 2 + p 2 + ( x q ) 2 + q 2 trên mặt phẳng toạ độ với hệ trục toạ độ Oxy Đặt điểm A(x - p; Khi đó OA = OB = AB ( x p) + p 2 = ( p q) + ( q p) ) B(x -q; q ) 2 y ( x q ) 2 + q 2 2 p y= A 2 Khi đó f(x) = ( x p ) 2 + p 2 + ( x q ) 2 + q 2 = OA + OB AB f(x) 2( p q ) 2 = p q Dấu "=" xảy ra A, O, B thẳng hàng x O 2... 3 < m < thì 2 2 2 phơng trình (1) (2) cso nghiệm hay không: Để làm đợc điều này ta giả sử: (1) , (2) x02 = 2m 1 Khi đó x02 4x0 + 1 + 2m = 0 có nghiệm chung x0 x0 = k thay vào (1) ta đợc: k2 = 2k - 1 k = 1 Vậy k 1 thì phơng trình (1) và phơng trình (2) không có nghiệm chung 1< m< 1 2 KL: phơng trình có 4 nghiệm phân biệt 1 < m < 3 2 Bằng phơng pháp toạ độ ta có thể giải bài toán trên đơn giản . trình (1) x 4 - 2x 2 = m - 3 Xét : f(x) = x 4 - 2x x R có f(x) = 4x 3 - 4x = 0 = = 1 0 x x Bảng biến thiên: x - -1 0 1 + f(x) - 0 + 0 - 0 + f(x) +. nghiệm Bài giải: TXĐ: D = [-3 ; 6] Cách1: Đặt: t = xx + 63 t' = xx x + 634 32 x - -3 2 3 6 - t' + 0 - t 3 3 2 3 Vậy: -3 x 6 thì: 3 t 3 2