mặt cầu ngoại tiếp khối da diện I/ Các khái niệm cơ bản 1. Định nghĩa mặt cầu 2. Vị trí tơng đối giữa a) Mặt cầu và mặt cầu b) Mặt cầu và mặt phẳng c) Mặt cầu và đờng thẳng II/ Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện 1. Định nghĩa: Mặt cầu gọi là ngoại tiếp khối đa diện nếu mặt cầu đó đi qua tất cả các đỉnh của khối đa diện. Tâm của mặt cầu là điểm cách đều tất cả các đỉnh. Khoảng cách từ tâm đến 1 đỉnh nào đó là bán kính 2. Ví dụ: Chu tứ diện ABCD: AB (BCD); góc DCB = 90 0 . Kẻ BH AC, BK AD. a) Chứng minh: bốn điểm A, B, H, K thuộc m/c (S 1 ) 5 điểm B, C, D, H, K, m/c (S 2 ) b) Tìm giao tuyến của (S 1 ) và (S 2 ) c) HK CD tại T , Chứng minh: BT là tiếp tuyến của (S 1 ) và (S 2 ) Giải: a) Các điểm H, K nhìn đoạn AB dới 1 góc vuông nên chúng m/c S 1 đờng kính AB ( ) ABCCD ABCD BCCD CD BH và AC BH BH (ACD) BH HD Các điểm C, H, K nhìn BD dới một góc vuôngnêm nằm trên m/c (S 2 ) đờng kính BD. b) Hai mặt cầu (S 1 ) và (S 2 ) có chung nhau 3 điểm H, K, B nên cắt nhau theo 1 đờng tròn C qua H, K, B. Vì BH (ACD) BH HK và BH AD AD (BHK) AD BK giao tuyến của (S 1 ) và (S 2 ) là đờng tròn đờng kính BK mặt phẳng đi qua B và AD c) BT (AHK) )(ABDBT ABBT ADBT BT BD BT là tiếp tuyến của mặt cầu (S 2 ) và hiển nhiên BT AB BT là tiếp tuyến của mặt cầu (S 1 ) III. Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ: Điều kiện: một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi hình lăng trụ đó là lăng trụ đứng và đáy có đờng tròn ngoại tiếp. Khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của đoạn thẳng nối tâm đờng tròn ngoại tiếp 2 đáy. Ví dụ: Đáy của hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' là cân AB = AC = a; góc = CAB . mặt phẳng (A'BC) tạo với (ABC) một góc . Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ . Giải: Gọi H là trung điểm của BC BC AH BC A'H = ' AHA là góc giữa mặt phẳng (A'BC) và (ABC) Gọi I, I' là tâm đờng tròn ngoại tiếp hai đáy. Trong mặt phẳng (AHH'A') kẻ đờng trung trực AA' cắt II' tại O thì: = == == ' ''' OAOA OCOBOA OCOBOA O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ và R = OA = 22 OIAI + AI = r là bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABC 2 cos a 2 sin a r = == 2 2 sin r B a a R .tg 2 a.cos 2 1 .tg 2 AB.cosAH.tg 2 1 AA' 2 22 2 2 2 cos 4 2 cos 2 1 2 1 ' 2 1 tg a IIBI += ===== IV. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: Điều kiện cần và đủ để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của nó có đờng tròn ngoại tiếp . Khi đó tâm của mặt cầu đợc xác định nh sau: +) Xác định O' là tâm của đờng tròn ngoại tiếp đáy +) Dựng O'x đáy +) Dựng mặt phẳng trung trực (P) của 1 cạnh bên nào đó. (P) O'x tại O thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Đặc biệt: Nếu O'x và một cạnh bên nào đó (chẳng hạn SC) cùng nằm trong mặt phẳng (Q) thì trong (Q) ta dựng đờng trung trực của SC , đờng trung trực này cắt O'x tại O. Thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Hình chóp có cạnh bên nghiêng đều trên đáy (hay cạnh bên bằng nhau) thì đáy luôn luôn có đờng tròn ngoại tiếp (tâm là chân đờng cao) nên hình chóp luôn có mặt cầu ngoại tiếp và đờng cao SH với cạnh bên bất kỳ cùng 1 mặt phẳng nên trong mặt phẳng đó kẻ đờng trung trực của cạnh bên đó , đờng trung trực này cắt đờng cao tại O thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Hình chóp đều có cạnh bên nghiêng đều với đáy nên có kết quả tơng tự Ta xét các ví dụ sau: VD1: Trong mp(P) cho nửa đờng tròn đờng kính AB, C là điểm thay đổi trên nửa đờng tròn. Kẻ CM AB, H là trung điểm của CM dựng Ht (P), ttrên đó lấy S sao cho BSA = 90 0 a) Chứng minh mặt phẳng (SAB) cố định b) Chứng minh tâm mặt cầu ngoại tiếp SAHB chạy trên 1 đờng thẳng cố định Giải: a) CMSSMAB CMAB PSH )( là góc giữa (SAB) và (P) H là trung điểm CM SM = SC Theo hệ thức lợng trong tam giác vuông SCSM SMC CMSM MBMACM MBMASM = = = = . . 2 2 đều CMS = 60 0 mp(SAB) đi qua AB cố định tạo với mp(P) 1 góc không đổi (SAB) cố định. b) Xem tứ diện SAHB là hình chóp HSAB đáy SAB có tâm đờng tròn ngoại tiếp O' là trung điểm AB nên tâm mặt cầu ngoại tiếp HSAB thay đổi trên O'x (SAB) mà O' và (SAB) cố định O'x cố định. VD2: Cho tứ diện OABC; OA; OB; OC vuông góc với nhau từng đôi một. a) Xác định tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện b) Chứng minh: I, O và trọng tâm G của ABC thẳng hàng Giải: a) Xem tứ diện OABC là hình chóp AOBC, đáy hình chóp có đờng tròn ngoại tiếp hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp Tâm đờng tròn ngoại tiếp OBC là O' trung điểm của BC dựng O'x (OBC) O'x // AO O'x và OA cùng thuộc mp(Q). Trong (Q) kẻ đờng trung trực của OA cắt O'x ở I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp OABC b) AO' OI tại G, ta có: 2 '' == IO OA GO GA GA = 2GO' G là trọng tâm ABC . Hay I, O, G thẳng hàng VD3: Cho hình chóp SABC: SA = SB = SC = a, BSA = 90 0 , CSB = 120 0 ; 0 60 = ASC . Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. O nằm trong hay ngoài hình chóp Giải: Theo giả thiết có AB 2 = 2a 2 , AC = a, AC 2 = a 2 , BC = a 3 BC 2 = 3a 2 BC 2 = AB 2 + AC 2 ABC vuông ở A. Kẻ SH (ABC). Vì SA = SB = SC H là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC H là trung điểm của BC. Trong mp(ABC) kẻ trung trực SB cắt SH ở O thì OS = OA = OB = OC O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SH 2 a a SO 2 a 2 1 a.SBcos60 SH :mặt khác 0 =>==== ===== a aa HSI SI OSR 2 1 2 60cos 2 cos 0 nên O nằm ngoài hình chóp VD4: Cho hình chóp tam giác đầu SABC, cạnh đáy bằng a; chiều cao bằng h. a) Xác định h theo a để đoạn thẳng nối trung điểm của cạnh bên và cạnh đáy là đờng vuông góc chung của hai cạnh đó. b) Khi đó chứng minh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và tâm mặt cầu tiếp xúc với các mặt của hình chóp là trùng nhau Giải: a) Gọi I, K lần lợt là trung điểm của BC và SA IK là đờng vuông góc chung của SA và BC khi và chỉ khi SIA là tam giác cân SI = AI SI 2 = AI 2 2 222 2 2 3 2 3 +=+= a hHISH a 3 6a h 2a8a h 22 2 ===+= 312124 3 2 2 2 a h a b) . mặt cầu ngoại tiếp khối da diện I/ Các khái niệm cơ bản 1. Định nghĩa mặt cầu 2. Vị trí tơng đối giữa. (P) H là trung điểm CM SM = SC Theo hệ thức lợng trong tam giác vuông SCSM SMC CMSM MBMACM MBMASM = = = = . . 2 2 đều CMS = 60 0 mp(SAB) đi