vũ văn ninh - tổ toán trờng thpt lý thờng kiệt - HP I) Lý do chọn đề tài: 1) Cơ sở lý luận: Bất đẳng thức là một trong những vấn đề khó giải quyết trong chơng trình toán học phổ thông. Trong bài viết náy tồi không đa ra một phơng pháp giải quyết trọn vẹn vấn đề bất đẳng thức mà chỉ đa ra một phơng pháp áp dụng bộ n số. 2) Cơ sở thực tiễn: Qua kinh nghiệm của tôi cũng nh qua một số năm dạy học tôi thấy rằng học sinh rất ngại và sợ chứng minh bất đẳng thức mặc dù đó là bất đẳng thức rất dễ. Tại sao lại nh vậy. Có lẽ theo tôi câu trả lời là học sinh cha hpát hiện ra đợc những cái hay và đẹp trong những bất đẳng thức. Phơng pháp tôi đa ra đây chỉ mang tính giúp học sinh hiểu đợc chứng minh một bất đẳng thức cũng khoong khó lắm từ đó học sinh they yêu và tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này II) Ưu nh ợc điểm: 1) Ưu điểm: Phơng pháp này cung cấp một cách giải tơng đối ngắn gọn cho rất nhiều so với một số phơng pháp khác để chứng minh một số bất đẳng thức. 2) Nhợc điểm: Tuy nhiên phơng pháp này theo tôi chỉ nên dạy ở các lớp và các đối tợng là học sinh khá, giỏi. Không nên đa ra cho các đối tợng là học sinh sinh trung bình và yếu. Tài liệu tham khảo 1) 17 phơng pháp chuyên đề giải 555 bài toán bất đẳng thức đại số nguyễn đức dồng nguyễn văn vĩnh 2) Bộ đề thi tuyển sinh đại học môn toán ở trong bài viết này tôi bàn về một phơng pháp có thể giúp cho ngời giáo viên có thể ra một số bài toán về bất đẳng thức dựa trên cơ sở phơng pháp bộ n sắp thứ tự . Khi đa các bài tập này cho học sinh theo tôi ngời giáo viên nên yêu cầu học sinh chứng minh bằng các phơng pháp khác bởi vì phơng pháp n bộ sắp thứ tự rất trừu t- trang: 1 vũ văn ninh - tổ toán trờng thpt lý thờng kiệt - HP ợng với học sinh cấp ba nhất là đối với học sinh lớp 10. Là một giáo viên mới ra trờng nên cha có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy rất mong các ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp để có thể đa bài viết này có thể áp dụng trong thực tế giảng dạy. Cơ sở của phơng pháp này dựa trên định lý sau: II) I> Định lý: Cho hai dãy số đơn điệu dơng cùng tăng: b .bbb a .aaa n n > > 0 0 321 321 Gọi (i 1 ; i 2 ; i 3 ; .; i n ) là một hoán vị bất kỳ của 1 , 2 , 3 , . , n . Ta có: )1( . 123121 321332211 321 babababa babababababababa nnnn iniiinn n ++++ ++++++++ Ta chứng minh mệnh đề (1) bằng quy nạp cho VT VG (*) Với n = 1 : (*) luôn đúng. Với n = 2 : Ta cần chứng minh: nếu 21 21 bb aa () thì: a 1 b 1 + a 2 b 2 a 1 b 2 + a 2 b 1 Thật vậy: a 1 b 1 + a 2 b 2 a 1 b 2 + a 2 b 1 a 1 (b 1 - b 2 ) - a 2 (b 1 - b 2 ) 0 (a 1 - a 2 ) (b 1 - b 2 ) 0 đúng do () Giả sử : (*) đúng đến n = k - 1 ; k Z + ; k 2 . Thì ta có giả thiết quy nạp gọi là () Xét (*) khi n = k và cũng gọi (i 1 ; i 2 ; i 3 ; .; i k ) là một hoán vị tuỳ ý của 1,2,3, .,k . Đồng thời i j = 1 mà bài toán vẵn không mất tính tổng quát , ta đợc: ++ ++++=++++++ kk iiij ikijiikijiii bbbaaa bbbbba bababababababababa kkj . và . aaaa b;a :Nhưng ) .()( 3232 1j1j1111 211321 111 21321 Do giả thiết quy nạp () mà (*) đã đúng đến n = k - 2 , nên : k k ikiiikk ikiikk ba .babababa .bababa ba .bababa .baba ++++++++ ++++++ 321 33 321332222 322222 (*) đúng với n = k . trang: 2 vũ văn ninh - tổ toán trờng thpt lý thờng kiệt - HP Theo nguyên lý quy nạp ; Thì (*) đợc chứng minh xong . Dấu đẳng thức trong(*) xảy ra khi và chỉ khi : ( ) ( ) ==== ==== n321 n321 i i b .bbb a .aaa n1, i ; dừngdãy là :b n1, i ; dừngdãy là :a Trờng hợp VG VP của (1) , chứng minh tơng tự. Vậy : VT VG VP ; (1) đợc chứng minh xong bằng quy nạp II> Ph ơng pháp cực trị bộ n sắp thứ tự: Cho hai bộ n : > > 0 . 0 . 321 321 n n bbbb aaaa ba .baba S : dạng có tổng cáccả tất Xét n21 ini2i1 +++= (i 1 , i 2 , . , i n ) là một hoán vị nào đó của các số : 1 , 2 , 3 , ., n Gọi S 1 và S 2 lần lợt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các tổng thì: S 1 = a 1 b 1 + a 2 b 2 + . + a n b n S 2 = a 1 b n + a 2 b n - 1 + . + a n b 1 II> áp dụng để ra các bài toán: ở đây ta luôn giả thiết a , b, c là ba số dơng bất kỳ do đó có thể giả sử a b c > 0 mà không mất tính tổng quát của bài toán: VD1: a b c > 0 222 cba Từ hai bộ số : 222 cba cba ta có bài toán : Chứng minh bất đẳng thức: a 3 + b 3 + c 3 ab 2 + bc 2 + ca 2 ac 2 + ba 2 + cb 2 VD2: a b c > 0 a 3 b 3 c 3 > 0 0 > abc c abc b abc a Từ hai bộ số: abc c abc b abc a bca 333 ta có bài toán sau: Chứng minh bất đẳng thức: trang: 3 vũ văn ninh - tổ toán trờng thpt lý thờng kiệt - HP b ac a cb c ba ab c ca b bc a )c a c c b b a ab c ca b bc a )b b c a b c a ab c ca b bc a )a 222 222222333 222333 222333 + + + + + ++ ++++ ++++ VD3 : a b c > 0 a 2 b 2 c 2 , a 5 b 5 c 5 , a 3 b 3 a 3 c 3 b 3 c 3 333333 111 cbcaba (1) cba cba a : Thức ẳngBất CM :toán bài có tlà cbacba :số bộ haiTừ 222 333 8 555555 333 88 333333333333 333333 555 111 bac cb DaHay cbbacabacacb bacacb cba ++ ++ ++++ 111 :số bộ haiTừ 333 222 abc cba Ta có bất đẳng thức: c 1 b 1 a 1 cba a (2) và (1) Từ (2) c 1 b 1 a 1 c c b b a a b c a b c a 333 888 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 ++ ++ ++=++++ cb VD4: Từ a b c a 5 b 5 c 5 và 222222 111 baaccb Từ hai bộ số: 111 222222 555 baaccb cba cba 111cba 3 3 3 3 3 3 22 5 22 5 22 5 22 5 22 5 22 5 baccb c ba b ac a baacbc ++=++++ Hay là ta có bài toán sau: Cho ba số dơng a, b, c .Chứng minh bất đẳng thức: cbacba 3 3 3 3 3 3 22 5 22 5 22 5 bacbaacbc ++++ VD5: Từ a b c d a 2 b 2 c 2 d 2 và abcd 1111 trang: 4 vũ văn ninh - tổ toán trờng thpt lý thờng kiệt - HP Từ hai bộ số: abcd dcba 1111 2222 dcba dcba b c c b d a 22222222 +++= +++++++++ d d c c b b a a abdca d 1111 2222 Hay là ta có bài toán: Cho bốn số dơng a, b, c, d chứng minh các bất đẳng thức sau: ( ) dcba 2 a dcba c) dcba dcba b) dcba b c c b d a ) 2222 2222 2222 +++ + + + + + ++++++ ++++++ bdc abdc a d a Hải phòng, Ngày 17 Tháng 5 Năm 2002 Ngời thực hiện: vũ văn ninh trang: 5 . 1 b 2 + a 2 b 1 a 1 (b 1 - b 2 ) - a 2 (b 1 - b 2 ) 0 (a 1 - a 2 ) (b 1 - b 2 ) 0 đúng do () Giả sử : (*) đúng đến n = k - 1 ; k Z + ; k 2 . Thì. khác bởi vì phơng pháp n bộ sắp thứ tự rất trừu t- trang: 1 vũ văn ninh - tổ toán trờng thpt lý thờng kiệt - HP ợng với học sinh cấp ba nhất là đối với học