Đang tải... (xem toàn văn)
TÍCH PHÂN BỘI kèm lời giải chi tiết dễ hiểu. Có hình ảnh minh họa các mặt và đường phức tạp. Được biên soạn cẩn thận, có hình minh họa. Bài tập và lời giải dễ hiểu Giải theo nhiều cách. Phù hợp với sinh viên chuyên ngành toán năm 1 và năm 2
Tích phân bội 1.1 x2 + y + z dxdydz, x2 + y + z ≤ R V Đổi sang tọa độ cầu x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ, với < r ≤ R, ≤ θ ≤ π va ≤ φ ≤ 2π Ta có định thức Jacobi J = r2 sin θ = Khi r3 sin θ drdθdφ x2 + y + z dxdydz = V 2π = V 0 = r3 dr sin θ dθ dφ R4 = R π π 2π sin θ dθ dφ 0 R4 φ 2π π −cos θ 0 = R4 π 1.2 x2 + I= V miền V giới hạn ellipsoid x2 + Đặt x = x¯, y = 2¯ y , z = 3¯ z , y2 z2 + y2 z2 + dxdydz, = x¯2 + y¯2 + z¯2 d¯ xd¯ y d¯ z, I=6 V¯ miền V¯ giới hạn ellipsoid x¯2 + y¯2 + z¯2 = Đổi sang tọa độ cầu ta r4 sin θ drdθdφ I=6 V 2π =6 π R5 =6 =6 = R r4 dr sin θ dθ dφ 0 2π π sin θ dθ dφ R5 φ π 2π −cos θ 0 24 R π 1.3 (x + y)dxdy, I= D giới hạn y = − x2 , y = 2x − D Ta có D = − ≤ x ≤ 1, 2x − ≤ y ≤ − x2 Do 2−x2 I= (x − y) dy dx −3 2x−1 (xy − y ) = 2−x2 dx 2x−1 −3 (2x − 1)2 − x(x2 − 2) − x(2x − 1) − (x2 − 2)2 dx = −3 − x4 − x3 + 6x2 − x − dx = −3 = − x /5 − x /4 + 2x − x /2 − 3x −3 96 = 1.4 x2 − y dxdy I= D Miền tính tích phân Dxy giới hạn y = x, y = −x x = Đổi biến u=x+y x= ⇒ y= v =x−y u+v u−v Miền tính tích phân trở thành miền Duv giới hạn u = 0, v = u + v = Định thức Jacobi phép đổi biến J= ∂u x ∂v x ∂u y ∂v y 1/2 1/2 −1/2 1/2 = Khi I= 2−u du 0 = √ uv dv = Cách khác Đổi biến x = r cos φ y = r sin φ, Dễ thấy ≤ r ≤ −π ≤ φ ≤ π4 Do ta có x2 − y dxdy I= D r2 cos2 φ − r2 sin2 φ r drdφ = Drφ π cos2 = φ − sin φ dφ − π4 = = 3 r2 dr π − π4 π cos2 φ − sin2 φ dφ − sin2 φ dφ − π4 Đổi biến √ sin φ → −1 ≤ u ≤ √ ⇒ du = cos φdφ du du ⇒ dφ = √ =√ 2 − u2 1− u u= Khi √ 1 − u2 √ du I= −1 − u2 = 1.5 • xy − y dxdy I= D Đổi biến u=x−y x=u+v ⇒ ⇒J =1 v=y y=v Miền D biến thành miền Duv Do ta có xy − y dxdy I= D √ = uv dudv Duv 1√ = u du √ = = = = 3 v dv u/9 = √ u du v √ u 1− √ u du − u/9 u 3/2 1 93/2 2 3/2 1 u − 3/2 u3 3 2− √ 729 du u2 du 1.6 x2 + y + z dxdydz I= V V giới hạn hình cầu x2 + y + z ≤ x Đổi sang tọa độ cầu x = r cos φ sin θ, y = r sin φ sin θ, z = r cos θ, Định thức Jacobi J = r2 sin θ = Phương trình hình cầu trở thành r2 ≤ r cos φ sin θ ⇒ r ≤ cos φ sin θ suy < r ≤ cos φ sin θ, ≤ θ ≤ π −π ≤ φ ≤ π Do x2 + y + z dxdydz I= V r3 sin θ drdφdθ = V π π = −π = = 4 = = 60 cos φ sin θ r3 dr sin θ dθ dφ 0 π π sin θ r4 dφ −π π cos φ sin θ dθ 0 π sin5 θ dθ cos4 φ dφ −π π cos3 θ cos5 θ cos φ dφ − cos θ − −π π π cos4 φ dφ −π 3φ sin 2φ sin 4φ = + + 60 32 π = 10 π −π 1.7 Thể tích V giới hạn x2 y z2 + = (S1 ) 16 z = (S2 ) Đặt x = 2X, y = 3Y, z = 4Z, phương trình S1 S2 trở thành X2 + Y = Z2 Z= (S1 ) (S2 ) Đổi sang tọa đồ cầu X = r cos φ sin θ, Y = r sin φ sin θ, Z = r cos θ, Định thức Jacobi J = r2 sin θ = Phương trình mặt S2 trở thành r = thành miền V∗ = (r, φ, θ) : ≤ r ≤ cos θ, ≤ φ ≤ 2π, ≤ θ ≤ π4 Do π 2π V= sin θ dθ dφ = = = cos θ 0 π 2π sin θ dθ r dφ 64 64 = 128 9π = 64 r2 dr π 2π dφ 2π sin θ dθ cos3 θ dφ cos θ 0 tan θ 2π dφ π cos θ Miền V trở 1.8 Tính thể tích V giới hạn − 2z ≤ x2 + y + z ≤ Giao tuyến đường tròn x2 + y = Thể tích V cần tính phần giao hình cầu Chia V thành phần: phần V1 phía Oxy phần V2 phía Oxy Dễ thấy V2 = 32 π Còn V1 tính đơn giản cách đổi sang tọa độ cầu x = r cos φ sin θ, y = r sin φ sin θ, z = −1 + r cos θ, với lưu ý ≤ φ ≤ 2π ≤ θ ≤ arccos( √ ) √ ≤r≤ cos θ Còn lại D tự tính nha 1.9 • I= D xdxdy x2 + y Đổi sang tọa độ cực x = r cos φ y = r sin φ Định thức Jacobi J = r Dễ thấy miền D biến đổi thành miền D∗ = (r, φ) : ≤ r ≤ 1, ≤ φ ≤ Do xdxdy 2 D x +y r cos φ r drdφ r2 D∗ I= = π = cos φ dφ dr √ = 10 π 1.10 • x e y dxdy I= D Đổi biến u = x/y x = uv ⇒ v=y y=v Định thức Jacobi phép đổi biến J= ∂u x ∂v x ∂u y ∂ v y v u = =v Phương trình y = x2 trở thành u = v Do x : y2 → u : v → v1 ⇒ y : −1 → v : −1 → Ta có v I= v dv eu du v2 −1 1 v e v − ev dv = −1 1 v −1 −1 = 11 vev dv ve dv − = 1.11 • Diện tích mặt cầu x2 + y + z = nằm phía mặt phẳng Oxy chắn Mặt cầu x2 + y + z = hoàn toàn nằm mặt trụ x2 + 1 S = Smặt cầu = 4πR2 = 8π 2 12 y2 x2 + y2 =1 = nên diện tích cần tìm 1.12 • Diện tích mặt z = x2 + y nằm mặt trụ x2 + y = Dễ thấy giao tuyến mặt phẳng đường cong C = (x, y, z) : x2 + y = 1, z = Do hình chiếu phần mặt paraboloid cần tính diện tích xuống mặt phẳng Oxy hình tròn Dxy = (x, y) : x2 + y = Ta có zx = 2x zy = 2y ⇒ + zx2 + zy2 = + 4(x2 + y ) Diện tích cần tìm + 4(x2 + y ) dxdy S= Dxy Đổi sang tọa độ cực x = r cos φ y = r sin φ Định thức Jacobi J = r Miền Dxy biến đổi thành miền Drφ = (r, φ) : ≤ r ≤ 1, ≤ φ ≤ 2π 13 Do + 4(x2 + y ) dxdy S= Dxy √ = + 4r2 r drdφ Drφ 2π = dφ = √ + 4r2 r dr 2π dφ √ + 4u du (đặt u = r2 ) 2π (4u + 1) = dφ √ 5 − 2π = dφ 12 √ 5−1 = π 14 ... x /2 − 3x −3 96 = 1.4 x2 − y dxdy I= D Miền tính tích phân Dxy giới hạn y = x, y = −x x = Đổi biến u=x+y x= ⇒ y= v =x−y u+v u−v Miền tính tích phân trở thành miền Duv giới hạn u = 0, v = u + v... trở 1.8 Tính thể tích V giới hạn − 2z ≤ x2 + y + z ≤ Giao tuyến đường tròn x2 + y = Thể tích V cần tính phần giao hình cầu Chia V thành phần: phần V1 phía Oxy phần V2 phía Oxy Dễ thấy V2 = 32... Diện tích mặt cầu x2 + y + z = nằm phía mặt phẳng Oxy chắn Mặt cầu x2 + y + z = hoàn toàn nằm mặt trụ x2 + 1 S = Smặt cầu = 4πR2 = 8π 2 12 y2 x2 + y2 =1 = nên diện tích cần tìm 1.12 • Diện tích