VII đờng tròn VII.1: định nghĩa xác định đờng tròn Kiến thức bản: - Định nghĩa: Tập hợp điểm cách điểm O cho trớc khoảng cách R(R>0) không đổi đợc gọi tìm tâm O bán kính R Kí hiệu( O;R) (O) - Vị trí tơng đối điểm với đờng tròn cho trớc: (O;R) điểm M: gäi OM = d: NÕu: d < R M n»m (O; R) d = R M  (O; R) d > R M n»m (O; R) -Một số khái niệm khác: - Giả sử A B điểm phân biệt thuộc (O; R) đờng tròn thì: +Đoạn thẳng AB đợc gọi dây cung +Nếu O AB AB đựoc gọi đờng kính: +Phần đờng tròn nằm nửa mặt phẳng bờ AB đợc gọi cung tròn: kí hiệu AB - Sự xác định đờng tròn: Một đờng tròn hoàn toàn đợc xác định + Biết tâm O bán kính R +Qua điểm A;B;C phân biệt không thẳng hàng Đờng tròn qua đỉnh tam giác ABC Gọi đờng tròn ngoại tiếp ABC Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác giao điểm trung trực tam giác Các điểm cần lu ý: Khái niệm tơng đơng với định nghĩa đờng tròn: Tập hợp điểm M tạo với điểm phân biệt A, B cho tríc mét gãc AMB b»ng 900 lµ đờng tròn đờng kính AB - Tam giác có cạnh đờng kính đờng tròn tam giác tam giác vuông Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác vuông trọng điểm cạnh huyền: Các ví dụ: Ví dụ1: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) Gäi M lµ trung diĨm cđa CD a Chứng minh điểm A;B;C;D nằm đờng tròn tâm O b Chứng minh rằng: Nếu AB = BC = CD th× M B  AC Giảỉ: a Dựng d d' lần lợt đờng trung trùc cđa AB vµ BC Gäi O lµ giao cđa d vµ d' Ta cã d cịng lµ trung trùc cđa CD Nªn OB = OB = OC = OD Do ®ã ®iĨm A, B, C, D nằm đờng tròn tâm (O) b Nếu AB = BC = d A B O D C CD B A gọi M trung điểm CD Ta có AB // CM nên ABCM, hình bình hành mà D AB = BC => ABCM h×nh thoi => MB  AC Ta thÊy : MB = MC = MD = MA nªn M O Hình thang cân ABCD nửa lục giác CD đờng kính cđa (O) VÝ dơ 2: Cho tø gi¸c ABCD cã AC BD Gọi M, N, P, Q lần lợt trung điểm AB; BC; CD DA Chøng minh ®iĨm M, N, P, Q cïng n»m đờng tròn Giải : C M N B Ta có: MN đờng trung bình BAC => MN = AC(1) T¬ng tù PQ = AC(2) C M P A Q D Tõ (1) (2) => MN = PQ => hình bình hành: Ta lại có: AC BD => MN BD Vµ NP // BD => NM  NP => MNP = 900 => MNPQ hình chữ nhật: Gọi O giao điểm NP Và NQ => OM = ON = OP = OQ => ®iĨm M;N;P;Q nằm đờng tròn tâm O Bài tập tự luyện Bài 1: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB Trên tia đến tia AB lấy điểm C M điểm tùy ý đờng tròn O đờng kính AB Chứng minh: CA CM BC Bài 2: cho tam giác nhọn ABC gọi H trực tâm tam giác ABC Các điểm D,E,F lần lợt điểm đối xứng H qua BC, CA AB Chứng minh điểm D,E,F nằm đờng tròn ngoai tiếp ABC Bài 3: Cho ABC có góc chon nội tiếp đờng tròn (O) đờng cao AA1 cắt đờng tròn (O) a Chứng minh BM = CN b Gọi H G lần lợt trực tâm trọng tâm ABC Chứng minh rằng: H; O; G thẳng hàng *Bài 4: Cho ABC nội tiếp đờng tròn (O) gọi D;E;F thứ tự trọng điểm BC;AC AB Kẻ đờng thẳng DP' // OA; EE'//OB; EF//OC Chứng minh đờng thẳng DD'; EE'; FE' đồng quy Hơng dẫn giải Bài 1: Nèi OM Ta cã: CO - OM  CM  CO + OM hay CA CM  BC C A O E B A M Bµi 2: Ta chøng minh đợc đờng cao ABC đờng phân giác DEF từ suy D,E,F đờng tròn ngoại tiếp ABC F Bài 3: a) Ta cã: ABC  ANC (cïng ch¾n AC )  BAM = NAC ( cïng phơ víi ABC = CAN)  BM = CN b, KỴ trung tun AM ; CO x (0)  E Ta cã: EBC = 900 nªn BE  BC mµ AA1  BC  BE // AA1 Tơng tự: AE // BH AEBH hình bình hành nên AH = BE DA BC OM // BE nên OM đờng trung bình  EBC B H G B GO  hay GH = 2GO vµ AGH = MGO GH VËy điểm h, G,o thẳng hàng C M N A *Bài 4: Lấy H trực tâm ABC Ta cã DE // BH; OD //AH; DE // AB   ODE   HAB OD DE nªn    2DE = AH D' F H LÊy K trung điểm AH OD = AK KH = OD mà OD // KH KĐH hình bình hành Do DD' qua trung ®iĨm I cđa OH c/m t¬ng tù: EE' ; FF' cịng ®i qua I VËy DD' ; EE' ; FF' ®ång quy K O D Do ®ã:  AGH   MGO (g.g) AB D E 1 BE VËy OM = AH 2 OM GM Ta cã:   vµ GAH = GOM (so le trong) AH GA AH C A  OM =  O H K E I E' B O D F' C VII 2: Tính chất đối xứng đờng tròn: Kiến thức bản: - Tâm đối xứng: Tâm đờng tròn tâm đối xứng đờng tròn - Trục đối xứng: Đờng kính đờng tròn truc đối xứng đờng tròn đó: (Đờng tròn có vô số trục đối xứng) - Mối quan hệ đờng kính dây cung lớn nhất: + Đờng kính vuông góc với dây cắt dây cung trung điểm dây cung + Đờng kính cắt dây cung trung điểm dây cung( đờng kính) vuông góc với dây cung - Dây cung khoảng cách đến tâm: + Trong đờng tròn hai dây chúng cách tâm + Trong giây không đờng tròn: dây lớn chúng gần tâm hơn: Các điểm cần lu ý: - Tất định lý yêu cầu học sinh phải hiểu đợc lời chứng minh định lý để nắm vững nội dung kiến thức - Phân biệt rõ định lý có đủ chiều thuận đảo giúp học sinh tránh sai sót vận dụng giải toán: Các ví dụ: Ví dụ1: Đờng tròn tâm O dây cung AB , điểm M nằm bên đờng tròn a, Nêu cách xác định dây cung AB để dây cung AB có độ dài ngắn b, chứng minh AB thay đổi qua M trung điểm I AB nằm đờng tròn cố định Giải: a Kẻ dây cung AB qua M Kẻ OI AB ta có OI OM VËy AB nhá nhÊt vµ chØ OI lín nhÊt Khi OI = OM I  M O Vậy dây cung đỉnh dây cung qua M B vuông góc với OM ( dây cung nhất) b Gọi I trung điểm cđa AB I XÐt trêng hỵp: M NÕu I M I (O;OM) A NÕu I  M ta cã OI  AB Nên I nằm đờng tròn đờng kính OM cố định Ví dụ 2: Cho đờng tròn tâm O dây cung CD = cm đờng kính AB vuông góc với CD H Biết AD = cm Tính bán kính đờng tròn (O) Giải: Xét tam giác AHD ( vuông H) Có AD = cm ; HD = cm ; A D AH2 = AD2 - HD2 = 25 - 16 = => AH = cm Do D n»m trªn đờng tròn đờng kính AB H => ADB vuông D => AD2 = AH.AB => AB = AD 25 AH AB 25 Bán kính đờng tròn : R =  cm 26 Bµi tËp tự luyện: C O Bài 1: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB dây cung CD không qua tâm O HaiBđiểm M K thứ tự hình chiếu vuông góc hai điểm A;B lên CD Gọi I trung điểm CD a, Chứng minh: I trung điểm cảu HK b, Chứng minh: AHKB =  ACB +  ADB Bµi 2: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R nửa đờng tròn lấy điểm C D cho AC = CD = (cm) vµ DB = 10(cm) Tính bán kính R Bài 3: cho góc xOy, tia Ox Oy lấy điểm B C cố định khác điểm O I điểm thay đổi đoạn thẳng BC kẻ I D  Ox; I E  Oy; (D  Ox; E Oy) Các điểm M N thứ tự ®iĨm ®ãi xøng cđa O qua D vµ E Chøng minh đờng tròn qua điểm O,M,N qua điểm cố định khác điểm O Bài 4: Cho tâm giác ABC cân A nội tiếp đờng tròn tâm O Gọi D trung điểm AB Goi E trung điểm tam giác ADC chứng minh OE  CD Híng dÉn gi¶i: E H D I K F Bµi 1: C a, Nèi OI Ta có: AH // DI //BK (vì vuông góc với CD) O Theo tính chất đờng trung bình C' I' D' B IH = IK hay I trung điểm b, Qua I kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AH BK E F, kẻ đờng vuông góc với AB CC' ; DD'; II' (c'; D'; I'; AB) Ta cã: AE + BF = KB + AH  SAHKB = SAEFB = AB.II' (1) CC '.AB DD '.AB Do SABC = ; SADB = 2 Mà II' đờng trung bình CC'D'D nªn II' =  SABC + SADB = AB (CC ' DD' ) CC ' DD ' (2) Tõ (1); (2) suy ra: SAHKB = SACB = SADB Bài 2: Kẻ OC x AD I Do OI đờng trung bình D C ADB  OI = BD = 5cm v× OA = R  CI = R-5 Ta cã: ( )2 - (R-5)2 = R2 - 25 = AI2  R2 - 25 = 23 - R2 + 10R  (R - 8) (R + 3) =  R= 8cm Vậy bán kính R= 8cm Bài 3: Đờng tròn điểm K cố định giao (C; BC) (B; OC) cố định A CD B O x K B D O A Bµi 4: Gäi G lµ trọng tâm ABC kẻ trung tuyến CM; DN (MA; NAC) CE CG Ta cã: = = CM I E C M EG//AB; OD AB nªn EG  OD (1) mµ OG BC vµ DN //BC  OG  DE (2) Tõ (1); (2) suy ra: G lµ trực tâm ODE Do OE GD hay OE  CD D O N G B C VII.3: Vị trí tơng đối đờng thẳng với đờng tròn tiếp tuyến đờng tròn 1, Kiến thức bản: * Vị trí tơng đối đờng thẳng đờng tròn: - Cho (O;R) đờng thẳng a Từ O lại OH a (H a) đặt OH = d ba vị trí tơng đối đờng thẳng với đờng tròn: Vị trí tơng đối Số điểm chung Đờng thẳng đờng tròn không cắt Đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn( tiếp tuyến) Hệ thức d R d>0 d=R y Đờng thẳng cắt đờng tròn ( cát tuyến) d IH = ID = a I (đặt AD = a) => BC lµ tiÕp tun cđa (I; IA) b Ta cã: AB cịng lµ tiÕp tun cđa (I; IA) AB // DC => BK AB mµ AB = BH  KD CD BK BH => => KH // DC  KD HC D Ví dụ 2: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R Từ A B kẻ tia tiếp tuyến Ax By với (O) đờng thẳng d thay đổi cắt Ax By lần lợt C D a Chứng minh d la tiếp tuyến đờng tròn O chØ COD 900 C b Khi d lµ tiÕp tuyÕn cña (O) TÝnh 1  OC OD Giải : a * Chứng minh CD tiÕp tuyÕn th× COD 900 ThËt vËy theo tÝnh chÊt cđa tiÕp tun ta cã:  O  vµ O  O  O Do ®ã : OC OD ( Đờng phân giác hai gãc kÒ bï )  Hay COD 900  * Chứng minh n ếu COD 900 CD tiếp tun ThËt vËy KỴ OH  CD; H  CD Gäi giao ®iĨm cđa DO víi tia ®èi cđa Ax lµ K Ta cã : DOB = KOA => OD = OK Do OC  DK => CKD c©n C Do AOC = HOC => OH = OA = R => CD Lµ tiÕp tun cđa (O) b Tam giác COD vuông OI có OH ®êng cao 1   2 OH OD OC 1 =>   2 OD OC R => D H C O A B K H  (O;R) => OH = R VÝ dơ 3: Cho ®êng tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC Tiếp xúc víi BC t¹i D BiÕt BC = a; CA = b; AB = c; BD = x a Chøng minh 2x = a + c - b b Chøng minh bc = 2x(a - x) Giải: a Gọi tiếp điểm cđa (I) Víi AB; AC thø tù lµ E vµ F Ta cã: 2BD + 2CF + 2AE = AB + AC + BC => => 2BD = AB + BC + AC - 2CF - 2AF (v× AE = AF) =>2BD = AB + BC - AC => 2x = a + c - b b Ta chøng minh bc = 2x( a - x)  = 900 ThËt vËy ta cã: 2x = a + c - b 2(a - x) = a + b - c B => 4x(a - x) = a2 - (c - b)2 = a2 - b2 - c2 + 2bc Theo gi¶ thiÕt ta cã: a2 - b2 - c2 + 2bc = 2bc a2 = b2 + c2 => ABC cân vuông A  =900 Chứng minh nÕu ¢ = 900 => bc = 2x(a - x) Ta cã: a2 = b2 + c2 => a2 - b2 - c2 =0 => a2 - b2 - c2 + 2bc = 2bc a2 - ( c - b)2 = 2bc => 4x(a - x) = 2bc => 2x( a - x) = bc A E F I D Bµi tËp tù lun: Bµi 1: Cho gãc vuông xoy điểm A;B lần lợt Ox Oy cho OA = OB =a M điểm di động AB khác điểm A B Đờng tròn (O1) qua M tiếp xúc với Ox A Đờng tròn (O2) qua M tiếp xúc với Ox B Đờng tròn (O1) cắt (O2) điểm thứ N a Chứng minh O,N tiếp tuyến đờng tròn (O2) b xác định vị trí M để O1O2 ngắn Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A, Đờng cao AH HB = cm; HC = 12 cm Về đờng tròn tâm A bán kính AH, kẻ tiếp tuyến BM, CN với đờng tròn(A; AH) (M; N) tiếp điểm khác H a Không giao điểm CN với HA b TÝnh diƯn tÝch BMNC c TÝnh AK vµ KN Bài 3: Cho hình vuông ABCD có cạnh a Hai điểm M N di đọng cạnh BC CD cho chu vi tam giác MCN 2a chứng minh MN tiếp xúc với đờng tròn cố định = gọi I trung ®iĨm cđa BC ˆ = C Bµi 4: Cho tam giác ABC cân A, B = thay ®ỉi quanh I cho tia Ix vµ Iy cắt cạnh AB AC theo thứ tự tai M Gọi xIy N a Chứng minh đờng thẳng MN thay đổi tiếp xúc với đờng tròn cố định C b.Tìm vị trí tiếp tuyến M để (BM + CN) nhỏ Bài 5: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB M điểm nửa đờng tròn kẻ MH vuông góc với AB; H AB tìm vị trí M để AH + HM lớn Bài 6: cho nủă đờng tròn (O) đờng kính AB = R bán kính OC vuông góc với AB Gọi d tiếp tuyến A đờng tròn qua M kẻ tiếp tuyến với đờng tròn tiếp tuyến cắt d E cắt đờng thẳng OC D Gọi F giao điểm BD với d chứng minh AE.è không đổi Phần 3: Vị trí tơng đối đờng thẳng với đờng tròn - Tiếp tuyến đờng tròn Bài 1: x a) ta có: O1MB vuông cân O1 O2M = 450 O2MA vuông cân O2 O2MA = 450 nên O1MO2 = 900 2(R12+R22) (R1+R2)2 nªn O1O22  D N  MO1O2 = NO2O1 O1NO2 = 900 Do đó: O1N tiếp tuyến (O2) b) Gọi R1; R2 độ dài bán kính O1; O2 Ta có: O1MO2D hình chữ nhật nên O1O22 = R12 + R22 R1+R2 = a Vậy O1O2 ngắn nhÊt b»ng O A B O2 M O a2 y  O1O2  a a a  R1 = R2 = 2 M trung điểm AB Bµi 2: K a) M, A, N  BMNC hình thang Ta có: SBMNC = 2SABC mà AH = 6cm  SBMNC = 90cm2 b) Ta cã: N KNA  KHC (g.g)  AK KN AN = = CK KH CH  AK KN = = KN  12 AK   AK = 16,8cm KN = 19,2cm Bài 3: MN qua điểm E cố định thuộc cung BD (A; a) M vµ MN lµ tiÕp tuyÕn A M H B B C a A N D E Bµi 4: C a) §Ỉt IMB = IMN=; INM = INC = A x BMNC cã: 2 + 2 +28 = 3600   ++8 = 1800 mµ MIN cã: MIN + +8=1800  MIN= nªn: BMI  CIN (g.g)  y N E H K I B MI BM MI BM =  = NI CI NI BI C Do ®ã: BMI  MIN (c.g.c) BMI = IMN Ta cã: MI lµ tia phân giác BMN IH=IE MN tiếp tuyến (I; IH) Vậy MN thay đổi tiếp xúc với đờng tròn cố định b) Theo câu a: MIN =   BMI  IMN (g.g) IMN  CIN (g.g)   BMI  CIN BM BI = CI CN  BN.CN = BI.CI = a2 (a lµ độ dài BC ) Do tích BM.CN không đổi nên tổng BM+CN nhỏ BM=CN MN//BC Bài 5: Lấy D' điểm đối xứng D qua AB VÏ (D'; D DD ' ) tiÕp xóc víi AB t¹i H B VÏ tiÕp tun cđa D'K cắt AB M điểm cần xác định C/m: DMH = DMH HMD' = D'MK mµ AMC - BMK (®èi ®Ønh) C M H K D'  AMC = BMD F Bài 6: Kẻ tiếp tuyến B cắt ED K Ta có: EF = BK; BK = MK; AE = ME Do ®ã: AE.EF=ME.MK=OM2=R2 K D E (không đổi) đpcm A M O Bài 5: TH: C vµ D ë phÝa cđa AB, dùng (D) tiÕp xóc víi AB, tõ C kỴ tiÕp tun với (D), cắt AB M điểm cần xác ®Þnh C B D M B A C A VII 4: Vị trí tơng đối hai đờng tròn: kiến thức bản: Cho đờng tròn(O;R) (O';R') Giả sử R > R', OO' = d Bavị trí tơng đối hai đờng tròn Hai đờng tròn cắt điểm phân biệt 1.1: Dấu hiệu nhËn biÕt: R - R' < d < R + R' 2.1: Tính chất: (O;R) cắt (O';R') A B Đờng thẳng OO' trung trực dây AB Đờng thẳng OO' qua điểm cy đờng tròn nhận AB dây cy có tiếp tuyến dy ngoài: Hai đờng tròn tiếp xúc nhau: (O;R) Và (O';R') tiếp xúc A 2.1: Hai đờng tròn tiếp xóc ngoµi: DÊu hiƯu nhËn biÕt: d = R + R' Tính chất điểm O;O',A thẳng hàng: Cã tiÕp tuyÕn chung: tiÕp tuyÕn đờng thẳng vuông góc với OO' A Hai tiếp tuyến dy 2.2: Hai đờng tròn tiếp xóc trong: dÊu hiƯu nhËn biÕt: d = R - R' Có tiếp tuyến chung đờng thẳng qua A góc với OO' Hai đờng tròn không cắt nhau: 3.1: Hai đờng tròn nhau: DÊu hiÖu nhËn biÕt d  R +R' cã tiÕp tuyÕn chung gåm tiÕp tuyÕn chung hai tiếp tuyến chung Các tiếp tuyến dy trong; cắt đọan nối tâm OO' Các tiếp tuyến dy cắt đờng nối tâm OO' Hai đờng tròn đựng nhau: 4.1 Dấu hiệu nhËn biÕt: d > R - R' hc d = 0(đồng tâm) Không có tiếp tuyến chung: Các ví dụ: Cho hai đờng tròn ( O;R) (O',r) tiếp xúc A Kẻ tiếp tuyến chung BC (( B  (O); C  (O'))  a Chøng minh BAC = 900 b TÝnh BC theo R r c Gọi D giao điểm CA với đờng tròn (O; R) D A Chứng minh điểm B; O; D thẳng hàng: Giải: a Kẻ tiếp tuyến đờng tròn với đờng tròn (O) (O') A Tiếp tuyến cắt BC I Ta cã IA = IB = IC => ABC Vu«ng t¹i A  => BAC = 900 b Nèi IO; IO' cắt AB; AC E F => IEAF hình chữ nhật => OIO ' = 90 , điểm O, A, O' thẳng hàng => OIO' vuông I có IA OO' => IA2 = OA.AO' => IA2 = R.r => IA = Rr mµ IA = C I B E F O A' O' D BC => BC = Rr   c V× BAC = 900 => BAD = 900 => BD đờng kính (O; R) => điểm B; O; D thẳng hàng Ví dụ2: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB, đờng thẳng d tiếp xúc với nủa đờng tròn C gọi D E thứ tự hình chiếu A B lên d a xét vị trí tơng tơng đối (A;AD) (B;BE) d b Chứng minh AB tiếp tuyến đờng tròn đờng kính DE E Gi¶i a) NÕu OC => OC  DE => AC đờng trung bình hình thang vuông ADEB => OC = (DA + EB) => DA + EB = 2OC = AB C D B A H O =>(A; AD) tiÕp xóc ngoµi (B; BE) b) KỴ CH  AB (H  AB) ta cã OC // AD     => OCA (so le trong) mµ COA  DAC CAO =>   => CHA = CDA => CH = CD = DE DAC CAO Vậy H nằm đờng tròn đờng kính DE Hay AB tiếp tuyến đờng tròn ®êng kÝnh DE Bµi tËp tù lun Bµi 1: Cho đờng tròn (O; 13 cm) (O' ;15 cm) Cắt theo dây cung chung AB = 24 cm TÝnh OO' Bµi 2: Cho (O;36 cm) vµ (O';9 cm) tiÕp xóc ngoµi víi Gäi AB lµ tiếp tuyến chung hai đờng tròn ( A  O  ; B   O ' ) Tính bán kính đờng tròn tâm I tiếp xúc với đờng thẳng AB tiếp xúc với hai đờng tròn đà cho *Bài 3: Cho ( O,36 cm) vµ (O', 9cm) tiÕp xóc ngoµi Gäi AB tiếp tuyến chung hai đờng tròn (A (O); B (O')) Tính bán kính đờng tròn (I) Tiếp xúc với Đờng thẳng AB tiếp xúc với hai đờng tròn (O; 36 cm) (O'; cm) Bài 3: Cho hai đờng tròn(O;R) (O',R') Tiếp xúc A Gọi BC DE tiếp tuyến chung hai đờng tròn: với B D thuộc đờng tròn (O) C D thuộc đờng tròn (O') Tính diện tích tứ giác BDEC Bài 4: Cho hai đờng tròn (O) (O') K ẻ tiÕp tuyÕn chung ngoµi AB vµ tiÕp tuyÕn chung EF, víi A vµ E thc (O); B vµ D thuéc (O') a Chøng minh AE  BF b Gäi M giao điểm AB EF N giao điểm AE BF Chứng minh điểm O; N; O' thẳng hàng Bài 5: Cho đờng tròn (O) điểm A bên đờng tròn kẻ cát tuyến BAC Gọi (O1) đờng tròn qua A tiếp xúc với (O) B (O2) đờng tròn qua A tiếp xúc với (O) C a) Tứ giác AO1OO2 hình b) Gọi giao điểm thứ hai (O1) (O2) E; (E A) Tìm tập hợp điểm E cát tuyến BAC quay quanh A Bài 6: Cho góc vuông xOy Các điểm O1 ; O2 thứ tự di chuyển tia Ox Oy cho OO1 + OO2 = 2007 Vẽ đờng tròn (O1;OO2) (O2; OO1) a) Chứng minh hai đờng tròn (O1) (O2) cắt b) Gọi M, N giao điểm hai đờng tròn (O1) (O2) chứng minh đờng thẳng MN qua điểm cố định O1 O2 thay đổi Phần 4: Vị trí tơng đối đờng tròn A Bài 1: AB x OO' K Khi đó: OO' = 13  15 = O 4cm K O' B K O O' Bµi 2: A H' B I r O' R O I' Gäi R, N lÇn lợt bán kính (O; 36); (O'; 9) x bán kính (I) Xét trờng hợp: TH1: H thuộc AB Ta cã: AH = Rx BH = rx mà AH+BH= AB nên x= Rx +2 rx =2 Rx Rr ( R  r)2 Thay R = 36cm; r = 9cm  x = 4cm TH2: H thc tia ®èi cđa tia BA; HH' Ta cã: H'A - H'B = AB T¬ng tù ta cã: I'H' = 36cm Bài 3: Theo tính chất đối xứng BD  OO'; CE  OO'; BD // CE  BDEC hình thang tiếp tuyến chung A cắt BC DE M N Ta có: MN = 24; M = BC = RR' B F Bµi 4: a Ta cã: MO  AE ; MO' BF mà MO MO' (tia phân giác góc kề bï) Nªn AE  BF b OM  AE  I Ta có: AOM BMO' (g.g) nên AI BK đờng cao tơng ứng = Mà MK = IN nªn =  DIN  OMO' (c.g.c) Do ®ã: ION = MOO'  O, N, O' C H O KỴ CH  BD ; CH  OB = {F} Trong BFC vu«ng cã: BC2 = CK CH  4RR' = (R+R') CH  HC = Do MN đờng trung bình hình thang BDEC SBDEC = MN CH = = 8RR' Bài 5: a AO2c cân O2 A1 = C1 BOC cân O B1 = C AO2C = BOC nên AO2 // OB Tơng tự AD1 // OC M A D O' E N M A B I' K E O' N O C O O B E Do đó: AO1OO2 hình bình hành b AO  O1O2  I  AI = IO Ta cã: AE  O1O2 vµ AK = KE  KI đờng trung bình AEO AEO = 900 Vậy quỹ tích điểm E (I ; AO) x Bµi 6: a Ta cã: |OO1 - OO2| < O1O + O2O nên (O1) (O2) cắt b Gọi C giao điểm O1 (O2) tia Oy Ta cã: OC = OO2 + O2C = OO2 + OO1 = 2007 C cố định Kẻ đờng vuông góc với O2C C, cắt Oy ởM K O Ta cã: O1O2O = CKM (v× cïng bï víi O1O2C) K N I O2 y Kẻ O1N cắt CK I nên OO1IC hình chữ nhật OO1 = IC vµ O1OO2 = NIK  OO2 = IK Do ®ã: CK = IC + IK = OO1 + OO2 = 2007 (không đổi) Vậy MN qua điểm K cố định VII 5: Góc với đờng tròn: Kiến thức bản: Góc tâm: 1.1: Góc cố định tâm đờng tròn đợc gọi góc tâm Góc nội tiếp: 2.1: Định nghĩa: Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đờng tròn hai cạnh góc chứa hai dây cung 2.2 Mối quan hệ góc nội tiếp cung bị ch¾n    Cho BAC néi tiÕp đờng tròn (O) Sđ BAC Sđ BC Các hệ quả: 3.1: Trong đờng tròn góc nội tiếp chắn cung cung 3.2: Trong đờng tròn góc nội tiếp không 90 có số ®o b»ng mét nưa sè ®o gãc ë t©m cïng chắn cung Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung 4.1 Nếu xy tiếp tuyến với (O) A, AB dây cung đờng tròn Thì xAB góc tạo tiếp tuyến Ax dây cung AB Sđ xAB = sđ AB 4.2: Các hệ - Số đo góc tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung - Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây không 90 nửa số đo góc tâm chắn cung Góc có đỉnh hay bên đờng tròn 5.1: Góc có đỉnh bên đờng tròn cã sè ®o b»ng nưa tỉng sè ®o cđa cung bị chắn 5.2: Góc có đỉnh nằm đờng tròn có số đo nửa hiệu số đo hai cung bị chắn ( hiệu số đo cung lớn số đo cung bé ) Các ví dụ: Ví dụ1: Trong hình vuông ABCD, Vẽ đờng tròn đờng kính AD (D) bán kính DA Nối D với ®iĨm P bÊt kú trªn cung nhá AC cđa (D) ; DP cắt nửa đờng tròn đờng kính AD K I chân đờng vuông góc kẻ từ điểm P lên AB Chứng minh PK = PI Giải: Gọi giao điểm PA với đờng tròn đờng kinh AB lµ F Nèi FD ta cã AFD = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) => FD AP mà DAP cân D => D1 = D2 Ta cã D1 = IAP ( hai gãc nhän cã cạnh tơng ứng vuông góc PAK = FDK ( góc néi tiÕp cïng cïng ch¾n FK ) I A B P K => AP phân giác IPK => PI = PK C D VÝ dô 2: Cho đờng tròn tìm (O1) (O2) biết đờng tròn qua tâm đờng tròn Qua giao điểm đờng tròn kẻ cát tuyến cắt(O1) C (O2) D Tính góc tạo hai tiếp tuyến với đờng tròn C D E Giải: C Nối AD AC - Chứng minh đợc AO1O2B hình thoi => AO1 B  AO2 B = 1200 B D O1 O2 1 VËy S® ADC = S® AO1 B = 600 S® ACD = S® AO2 B = 600 A 2 nên ACD tam giác đều: ) ; CDE    ) Ta l¹i cã: DCE = CAB ( cïng ch¾n CB = DAB ( cïng ch¾n BD     => DCE + CDE = CAD = 600 => CED = 1200 VÝ dụ 3: Gọi I J tâm đờng tròn nội tiếp tâm đờng tròn bàng tiếp góc A củaABC ĐA ờng tròn ngoại tiếp ABC cắt đoạn thẳng IS K Chứng minh KI = KJ B' Giải: I B Ta có điểm A,I; K ,J thẳng hàng: Gọi giao điểm BI với đờng tròn ngoại tiếp B' ' C ;KB  KC  ; Ta cã: AB  B K J  ) = S® B  'K)  S® BIK  S® ( AB '  BK C    => KBI mµ BI  BJ hay BIJ 900  BIK Tõ ®ã chøng minh đợc KI = KJ Bài tập tự luyện Bài 1: Cho đờng tròn (O) từ điểm M nằm đờng tròn kẻ hai tiếp tuyến MA MB với (O), A;B tiếp điểm C điểm đờng tròn tâm M bán kính MA nằm đờng tròn (O) AB BC cắt (O) AC BC cắt(O) lần lợt P Q chứng minh điểm P; O; Q thẳng hàng: Bài 2: Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt A B Qua A kẻ đờng thẳng vuông góc với AB cắt (O) C; cắt (O') D Tia CO cắt (O') F tia DO' cắt (O) E Chứng minh AB phân giác góc EAF Bài 3: Cho hai đờng tròn (O1) (O2) cắt M N đờng thẳng O,M cắt (O1) (O2) thứ tự A1 A2 Đờng thẳng O2M cắt (O1) (O2) thứ tự B, B2 Chứng minh đờng thẳng A, B; A2B2; MN đồng quy Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC, I tâm đờng tròn nội tiếp; O tâm đờng tròn ngoại tiếp, phân giác góc ACB cách đờng tròn ngoại tiếp O, K; biết IK = R (R bán kính đờng tròn ngoại tiếp) Gọi D E chân đờng cao ABC hạ từ A B, gọi P giao điểm OK với AB, chúng minh DEP tam giác Bài 5: Cho hai đờng tròn (O) (O') đờng nối tâm OO' cắt (O) A B cắt (') C D (Với B C nằm A B) kẻ tiếp tuyến chung EF; E ờng thẳng EB PC N; AE cắt DF M chứng minh: a MENF hình chữ nhËt b MN vu«ng gãc víi AD  (O); F (O') đ- Bài 6: Cho hai đờng (O) (O') cắt A B cho OAO ' = 90 §iĨm C thc đờng tròn (O') nằm đờng tròn (O); CA CB cắt (O) D''D E chứng minh C thay đổi DE qua điểm cố định Bài 7: Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt A B Đờng thẳng d thay đổi qua A cắt (O) cắt C cắt (O') D Từ C D vẽ hai tiếp tuyến với hai đờng tròn (O) (O') hai tiếp tuyến với hai đờng tròn (O) (O') hai tiếp tuyến nà cắt M Chứng minh CMD không đổi Bài 8: Cho ABCD nối tiếp đờng tròn (O) Cách điểm O1; O2; O3; O3 theo thứ tự tâm đờng đờng tròn nội tiếp c¸c tam gi¸c ABC; BCD; CDA; DAB Chøng minh O1O2O3O4 hình chữ nhật Bài 9: Cho góc xoy đờng tròn tiếp xúc với hai cạnh góc A B Qua A kẻ đờng thẳng song song với OB cắt đờng tròn C Gọi K trọng điểm OB Đờng thẳng AK cắt đờng tròn tai E a Chứng minh điểm O, E, C thẳng hàng b đờng thẳng AB cắt OC D chøng minh OE DE  OC DC Bµi 10: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), lấy điểm P tùy ýy cung nhỏ BC, AP cắt BC Q đặt PB = a; PC = b; PQ = c a Chøng minh r»ng : 1   a b c Sù t¬ng giao đờng thẳng đờng tròn - Tiếp tuyến đờng tròn VII.6: Tứ giác nội tiếp Kiến thức bản: - Định nghĩa: Tứ giác nội tiếp tứ giác có bốn đỉnh nằm đờng tròn P Khi đờng tròn đợc gọi đờng tròn ngoại tiếp tứ giác - Cho ABCD; AB cắt CD P; AC cắt BD M Tứ giác ABCD néi tiÕp (O) vµ chØ : + đỉnh cách điểm O D A + Tổng hai góc đối diện 1800 Hay góc mét ®Ønh b»ng gãc cđa ®Ønh ®èi diƯn ( Hai góc đối 900 trờng hợp đặc biệt nhng hay gặp M toán ) O + Hai đỉnh kề nhìn cạnh díi mét gãc b»ng B + PA PB = PD.PC + MA MC = MD.MB C¸c Ví dụ Ví dụ1: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB: Một điểm M nằm cung AB điểm C đờng kính AB cho CA < CB Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hai tiếp tuyến Ax By với (O) Đờng thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax By theo thứ tự P Q Gọi R; S giao điểm AM với CP; BM với CQ a Chứng minh tứ giác APMC PQMC nội tiÕp b Chøng minh RS // AB c Tø gi¸c ARSC hình bình hành đợc không? Tại sao? Gi¶i   a Ta cã PAC  PMC 900 => PMCA néi tiÕp: T¬ng tù PQMC néi tiÕp: b Do APMC néi tiÕp    ) (gãc néi tiÕp cïng ch¾n PA PCA  PMA   Tơng tự: QCB QMB C x P y M mà AMB 90 (Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn)  => QMB = 900  PMA     => PCA = 900=> RCS  QCB  RMS 900    ) Nªn RMSC néi tiÕp RMC (cùng chắn PC RSC Ta lại cã: AMC  APC (cïng ch¾n AC ) APC  BCQ ( Góc có cạnh tơng ứng vuông góc) Nên RSC => RS//AB (đpcm) BCS c Giả sử ARSC hình bình hành ta có AM PC => MRSC hình chữ nhật =>AR = RM = CS Q R S A C O B Nên R trung điểm AM mà AM PC nên PC qua O Hay C O ( trái giả thiết CA < CB ) Vậy ARSC hình bình hành Ví dụ2: Tõ mét ®iĨm M n»m gãc xOy ( xOy 1800 ) Hạ đờng vuông góc MP MQ xuống Ox Oy Kẻ OK PQ; K   Chøng minh r»ng: POM  KOQ Gi¶i:   Ta cã: MPQ  MQO 900  Nên OPMQ nội tiếp POM (Cùng chắn PM ) PQM I Mặt khác KOQ ( Cïng phơ víi OQP )  PQM   Do ®ã: POM (®pcm)  KOQ  PQ x P M K y O Q VÝ dô 3: Cho ABC đờng tròn(I;r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB BC thứ tự E F Gọi M N lần lợt trung điểm AC BC Đờng thẳng MN cắt AI K a Chøng minh r»ng CK  AI b Chøng minh điểm K; F; E thẳng hàng c Gọi giao điểm cực AI với đờng tròn ngoại tiếp ABC J Chứng minh IB.IC =2r.IJ A Giải: a) Theo (gt) ta cã:   MN//AB => AKM  BAK KAM Tam giác AMK cân M nên AM = MK = MC Nên AKC vuông K => KC  AI M b Ta cã IF  BC => IFC = IKC = 900 (cïng ch¾n KC) O I => FI, CK nội tiếp đợc E ABC ABC => CIK = CFK ta l¹i cã: AIC = 900 + => 900 2 ABC => CFK = 900 Do AEF cân B => EFB = 900 - C B N F ABC K => CFK = EFB => điểm K; F; E thẳng hàng c Ta chứng minh đợc: JI = JB => BIJ cân J kẻ JH BI ( H BI ) =>BJH = 1 sđ AB ICF = s® AB 2 => BJH = ICF => IHJ  IFC HI IJ => = Mµ IH = BI Vµ IF = r IF IC BI IC => = R.IJ => BIIC =2r.IJ c Bµi tập tự luyện: Bài 1: Cho tam giác ABC có góc nhọn, đờng cao AD; BE; CF cắt H Gọi I; K thứ tự hình chiếu vuông góc B C lên Đờng thẳng EF a Điểm H có vị trí tam gi¸c DEF b Chøng minh DE + DF = IK Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn đờng thẳng d tiếp tuyến đờng tròn C Gọi AH BI đờng cao cđa tam gi¸c a Chøng minh HI//d b Gäi MN EF lần lợt hình chiếu đoạn thẳng AH BI lên đờng thẳng d chứng minh MN = EF Bài 3: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB Trên đờng tròn lấy điểm D khắc A B Trên đờng kính AB lấy điểm C, kẻ CH vuông góc với AD H phân giác góc DAB cắt đờng tròn E cắt CH F Đờng thẳng DF cắt đờng tròn N Chứng minh rằng: a điểm N, C, E thẳng hàng b Nếu AB - BC DN qua trung điểm AC Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn O đờng tròn tâm I tùy ý qua B C cắt AB cắt đờng tròn (O) taij điểm thứ D chng minh rằng: a tứ giác AKIO hình bình hành b ADI = 900 Bài 5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) cạnh AB CD kéo dài cắt K Các cạnh BC AD kéo dài cắt L Các đờng phân giác góc BKC lần lợt cắt AD BC lần lợt M N đờng phân giác BLA cắt CD AB E F a Chứng minh: MENF hình thoi b Gọi I J lần lợt trung điểm AC BD chứng minh đờng thẳng KN; LF; IJ đòng quy Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm (O) H trực tâm tam giác ABC, M điểm cung BC không chứa A a Xác định vị trí điểm M để tứ giác BHCM hình bình hành b Gọi N E lần lợt điểm ®èi xøng cđa M qua AB vµ AC chøng minh điểm N, H, E thẳng hàng Bài 7: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đờng tròn (O), điểm cạnh AB; AC; Là D E đờng phân giác góc B C cắt DE M N Chứng minh điểm B; M; N; C nằm đờng tròn Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có góc B tù AC cắt BD O Hình chiếu vuông góc D lên AB; BC; CA lần lợt A'; D'; C' chứng minh điểm O nằm đờng tròn ngoại tiếp tam giác A'B'C' Bài 9: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O điểm M N di động đờng tròn không trùng với đích tam giác Gọi điểm M1; M2; M3 lần lợt hình chiếu vuông góc điểm M lên đờng thẳng AB; BC; CA Các Điểm N1; N2; N3 hình chiếu vuông góc điểm N lên AB; BC; CA a Chøng minh ba ®iĨm M1; M2; M3 thẳng hàng b Chứng minh đoạn thẳng MN lớn hai đoạn đờng thẳng qua điểm M1; M2; M3 vuông góc với Bài 10: Hai đờng tròn (O1) (O2) cắt M P kẻ dây MA (O 1) tiếp xúc với (O2) M kẻ dây MB (O2) tiếp xúc với (O1) M Trên đờng thẳng MB lấy ®iĨm N ®èi xøng víi ®iĨm M qua P Chøng minh tứ giác MAHB nội tiếp đợc Bài 11: Cho tam giác ABC cân A, đờng thẳng AH gọi (O1) (O2) tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABH tam giác AHC đờng thẳng O1O2 cắt cạnh AB AC lần lợt E vµ F Chøng minh AE vµ AF Bµi 12: Cho tam giác ABC I điểm bên tam giác cho ABI = ACI vẽ hình bình hành BICK chøng minh r»ng BAI = CAK Bµi 13: Cho tam giác ABC; điểm M N dy động AB vµ AC cho BM = CN chøng minh M N thay đổi đờng trung trực MN qua điểm cố định Bài 14: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) I điểm cung BC không chứa A Đờng tròn (O1) qua I tiếp xúc với AB B đờng tròn (O2) qua I tiếp xúc với AC C gọi K giao điểm thứ đờng tròn (O1) (O2) a Chứng minh điểm B; K; C thẳng hàng b Lấy điểm D bất ký thuộc cạnh AB ®iĨm E thc tia ®èi cđa tia CA cho BD = CE chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADE qua điểm cố định khác A Bài 15: Cho hai điểm A B cố định góc XAY = 450 thay đổi quanh A cho B không thuộc Ax By từ B kẻ BN BM lần lợt vuông góc với Ax Ay M N gọi E giao ®iĨm cđa BM víi AI; F lµ giao ®iĨm BN với Ax a Chứng minh rằng: Đoạn thẳng Mn có độ dài không đổi đờng tròn đờg kinh Mn qua điểm cố định b Chứng Minh EF có độ dài không đổi trung điểm EF nằm đờng tròn cố định Bài 16: Cho góc XAY = 900 điểm B cố định Ay điểm C di chuyển Ax đ ờng tròn tâm y nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC vµ BC thø tù M vµ N chóng minh đờng thẳng MN qua điểm cố định Bai 17: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn t©m (O) Chøng minh r»ng AC.BD = AB.DC + AD.BC hớng dẫn giải Tứ giác nội tiếp Bài 1: a H tâm đờng tròn nội tiếp ABC A b B; C tâm đờng tròn báng tiếp DEF Theo tính chất tiếp tuyến kẻ đến đờng tròn 2EI = EF + DF + DE 2FK = EF + DF + DE K E F H I B  Chu vi DEF = EI + EK  DE + DF = IF + EF + FK  DE + DF = IK Bµi 7: C D MEC cã : E = NMC + C1 = NMC + ADE cân A E= NMC = = = NBC Vậy BA'DC nội tiếp đợc Bài 8: A M D BA'DC néi tiÕp (O; )  A'OB' = A'DB' vµ B + A'DB' = 1800 mµ A + B = 1800 O B' B B A' A E N O C C C' D  A'DB' = A  A'OB' = 2A (1) Ta cã: AA'C'D néi tiÕp (O; )  AC'A' = ADA' = 900 - A T¬ng tù: B'C'C = B'DC = 900 - C mµ A = C  B'C'C = 900 - A Do ®ã: AC'C = AC'A' + B'C'C + A'C'B' = 1800  A'C'B' = 1800 - (AC'A' + B'C'C) = 1800 - [(900 - A) + (900 - A) = 2A Tõ (1), (2) suy ra: A'DB' = A'C'B' VËy O  đờng tròn ngoại tiếp A'B'C' (2) Bài 2: a Ta có: AIHB nội tiếp đờng tròn B = HIC mà B = AOX nên HIC = AOX IH //  A x I M E b Theo c©u a ta đợc: IHNE hình chữ nhật HN = IE (1) H C N F Ta cã: ICFB nội tiếp đờng tròn IFE = IBC AHNM nội tiếp HAC = HMN mà HAC = IBC nên HMN = IFE Tõ (1), (2) suy ra: MNH = FEI  MN = EF B O  (2) Bµi 3: a Do BDA = CHA = 900  CH // BD nên DBA = HCA mà HAC = DNA  FCAN néi tiÕp  FAC = DNC (1) MỈt kh¸c: DE = BE  EAB = DNE (2) Tõ (1), (2) suy ra: N, C, E b KỴ CK // AD (2) (K  AN) D H E F A A Ta cã: CKNB néi tiÕp mµ KNC = CNB = CBK Nên CKB = CBK CKB cân  CK = BC = AD (2) K Tõ (1), (2) suy ra: ADCK hình bình hành điều kiện qua trung điểm AC Bài 4: a C.m đợc OA MN IK MN OA // IK T¬ng tù: AK // IO B C N K N E D M B C C ... c - b b Ta chøng minh nÕu bc = 2x( a - x) th× ¢ = 900 ThËt vËy ta cã: 2x = a + c - b 2(a - x) = a + b - c B => 4x(a - x) = a2 - (c - b)2 = a2 - b2 - c2 + 2bc Theo gi¶ thi? ?t ta cã: a2 - b2 - c2... ABC cân vuông A  =900 Chøng minh nÕu ¢ = 900 => bc = 2x(a - x) Ta cã: a2 = b2 + c2 => a2 - b2 - c2 =0 => a2 - b2 - c2 + 2bc = 2bc a2 - ( c - b)2 = 2bc => 4x(a - x) = 2bc => 2x( a - x) = bc... cđa ®êng tròn: Kiến thức bản: - Tâm đối xứng: Tâm đờng tròn tâm đối xứng đờng tròn - Trục đối xứng: Đờng kính đờng tròn truc đối xứng đờng tròn đó: (Đờng tròn có vô số trục đối xứng) - Mối quan