Phơng pháp tọa độ .hitech Page 1 6/24/2013 Bn cú th cha hiu bit (hoc cha kp hiu bit) v vecto (hỡnh phng) Khụng sao! Chỳng ta s cựng nhau li t u bi ti liu ny. A. Đặt vấn đề: I. mở đầu: Để giải các bài tập hình học không gian ở lớp 11, vẽ hình đúng và đẹp là yêu cầu có tính bắt buộc của cấu trúc một bài giải; Tìm ra lời giải cho bài toán phụ thuộc rất nhiều vào việc chọn đ ợc một hình vẽ hợp lý, dễ nhìn. Đáp ứng đ ợc yêu cầu này đòi hỏi học sinh phải có đầy đủ các kiến thức cơ bản của môn hình học không gian lớp 11; Thêm vào đó học sinh cũng cần nắm đ ợc các quy tắc cơ sở và phải có một năng khiếu nhất định về hình họa. Nh ng đây lại là một hạn chế còn phổ biến ở phần đông các em học sinh hiện nay. Khả năng vẽ hình và sự t ởng tợng về hình khối không gian của các em còn kém. Ph ơng pháp véc tơ và tọa độ một phần khắc phục đợc các hạn chế trên đây. Hơn nữa, trình bày lời giải theo phơng pháp này thờng theo một lợc đồ nhất định, đơn giản và dễ nhớ. Tuy nhiên, chính điều này lại là một mặt hạn chế của ph ơng pháp. Nghĩa là phơng pháp chỉ đợc sử dụng hữu hiệu trong những dạng toán nhất định theo những dạng hình hình học cụ thể . Bài viết này nhằm giới thiệu mặt u việt của nó; Giúp số đông các em học sinh còn yếu về vẽ hình minh họa trong việc ôn tập và ôn thi vàoĐại học, Cao đẳng. Phần lý thuyết và ví dụ minh họa đợc trình bày theo hệ thống của sách giáo khoa hình học lớp 12, phần bài tập tham khảo tác giả s u tầm từ các đề thi vào Đại học và Cao đẳng hàng năm. Các bạn đồng nghiệp có thể lấy làm tài liệu tham khảo. Tác giả rất mong nhận đợc góp ý xây dựng của bạn đọc. 1 Phơng pháp tọa độ .hitech Page 2 6/24/2013 II. Thực trạng vấn đề Đang đ ợc nghiên cứu 1. Thực trạng: Trong chơng trình hình học phổ thông sách giáo khoa (SGK); Lớp 10 trình bày về véc tơ và tọa độ trong mặt phẳng, lớp 11 là chơng trình hình học không gian ( kế tiếp và chi tiết của chơng trình lớp 9). Hình học giải tích lớp 12, phần hình học không gian chủ yếu là các kiến thức cơ bản về phơng trình đờng thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. Phơng pháp tọa độ cho việc giải các bài toán hình học không gian của lớp 11 đợc đặt ra chỉ dới dạng giới thiệu một vài bài tập đơn giản, cha đủ để học sinh hình thành đợc kỹ năng giải toán theo phơng pháp này. Vì vậy, cần phân phối thêm vào chơng trình chính khóa hoặc ngoại khóa các buổi ôn tập chuyên đề này, nhằm trang bị thêm cho học sinh một phơng pháp để giải một số bài toán hình không gian của lớp 11 trong các đề thi tuyển Đại học và Cao đẳng nh đã nói ở trên. Mặt khác, phơng pháp này sử dụng các phép toán giải tích để nghiên cứu hình học vừa là sự gắn kết giữa chơng trình hình học hai lớp 11 và12 vừa giúp học sinh làm quen, tiếp cận dần với toán học hiện đại ở các bậc học tiếp sau này 2. Biện pháp giải quyết và hiệu quả Từ thực trạng trên, tôi đã cải tiến giờ dạy của mình bằng cách giới thiệu cho học sinh một cách chuẩn mực về lý thuyết phơng pháp tọa độ. Thời điểm là vào khoảng sau khi học xong khái niệm tích có hớng của hai véc tơ. Các bài tập minh họa sẽ đợc cho rải vào các buổi ngoại khóa sau đó. Và đảm bảo yêu cầu tăng dần về việc phát huy tính u việt của phơng pháp bằng cách thay đổi về các dạng câu hỏi trong từng bài tập. Tôi đã sử dụng phơng pháp này cho tất cả các lớp 12 do tôi dạy toán trong nhiều khóa học liên tục. Nhận thấy, học sinh rất hứng thú trong việc tiếp nhận phơng pháp và điều đáng nói là các em vận dụng rất tốt vào các bài giải, góp một phần vào nâng cao kết quả điểm trong các kỳ thi Đại học và Cao đẳng hàng năm. Khi thực hiện truyền thụ chuyên đề này cho học sinh tôi thực hiện theo đúng các bớc nh đã nêu trong phần nội dung. Phần kiến thức phụ trơng kèm theo có thể coi nh một chuyên đề tổng hợp ôn tập hình giải tích phần hình học không gian. b. nội dung: 2 Phơng pháp tọa độ .hitech Page 3 6/24/2013 nội dung cơ bản: 1. Tóm tắt lý thuyết về tọa độ véc tơ trong không gian: 1.1. Véc tơ trong không gian 1.2. Tọa độ trong không gian 1.3. Tích có hớng của hai véc tơ 2. Một số ứng dụng của các phép toán tọa độ trong không gian 3. Giải một số bài toán bằng phơng pháp tọa độ 3.1. Sơ lợc về phơng pháp tọa độ (Nhận dạng bài toán và Lợc đồ bài giải) 3.2. Các bài toán và hớng dẫn lời giải. 4. Bài tập tham khảo phụ trơng p.1. Tóm tắt lý thuyết về phơng trình đờng thẳng và mặt phẳng p.2. Các dạng bài toán về phơng trình mặt phẳng và đờng thẳng 3 Phơng pháp tọa độ .hitech Page 4 6/24/2013 1. tóm tắt lý thuyết về tọa độ trong không gian 1.1. véc tơ trong không gian *Một số khái niệm và phép toán về véc tơ trong không gian đ ợc giữ nguyên nh véc tơ trong mặt fẳng. Tuy vậy để giúp các em học sinh trong việc ôn tập lại các kiến thức cũ, đồng thời tiếp thu kiến thức mới một cách có hệ thống, các khái niệm đó vẫn đ ợc nhắc lại trong phần lý thuyết này dới dạng tóm tắt I. Các định nghĩa: 1. Định nghĩa véc tơ: Đoạn thẳng AB, quy ớc chiều " từ A đến B " ta đợc một véc tơ AB, ký hiệu AB uuur Véc tơ không: vecto_không là véc tơ dạng AA uuur , ký hiệu 0 r 2. Phơng, hớng, độ dài véc tơ: Phơng của AB uuur là phơng (song song) của đờng thẳng AB Hớng (chiều) của AB uuur là hớng "từ A đến B", vectơ_ không quy ớc là cùng chiều với mọi véc tơ Độ dài của AB uuur là độ dài đoạn thẳng AB, ký hiệu AB uuur 3. Hai véc tơ bằng nhau: Nếu chúng có cùng hớng và cùng độ dài 4. Xác định véc tơ: + Với mỗi véc tơ v r và một điểm A, tồn tại duy nhất điểm B sao cho AB uuur = v r + - - - - -- - - - - - - , tồn tại vô số các cặp điểm (A, B) sao cho AB uuur = v r 5. Phép cộng, trừ hai véc tơ: ( Quy tắc 3 điểm ) u r + v r = AB uuur + BC AC = uuur uuur u r v r = AB uuur AC CB = uuur uuur 6. Phép nhân một số với một véc tơ: k. v r = w ur ; ( w ur cùng chiều v r nếu k 0, ngợc chiều nếu k < 0 và w k v.= ur r ) 7. Tích vô hớng của hai véc tơ: ( ) u v u v cos u v. . . , = r r r r r r 8. Diện tích tam giác: ( ) ( ) 2 2 2 ABC 1 S AB AC AB AC 2 . . = uuur uuur (*) II. Véc tơ đồng phẳng: 4 Phơng pháp tọa độ .hitech Page 5 6/24/2013 *Khái niệm tơng tự trong mặt fẳng: Hai véc tơ cùng phơng: u r // v r a, b R: a u r + b v r = 0 r - Trờng hợp riêng: u r // v r , u r và v r cùng khác 0 r k R: u r = k v r - Trong mặt fẳng: Nếu u r , v r không cùng phơng thì mọi véc tơ w ur bất kỳ trong mặt fẳng đều có thể biểu diễn đợc qua u r và v r . Nghĩa là a, b R: w ur = a u r + b v r , (cặp số a, b là duy nhất). *Khái niệm riêng trong không gian: Ba véc tơ đồng fẳng: u r , v r , w ur Nếu chúng cùng nằm trên một mặt fẳng, hoặc trên các mặt fẳng song song - Trờng hợp riêng: + Hai véc tơ bất kỳ thì đồng fẳng + Ba véc tơ, trong đó có hai véc tơ cùng fơng thì đồng fẳng + -----------, -------------- véc tơ 0 r thì đồng fẳng - Đ. lý1: + Nếu u r , v r , w ur đồng fẳng a, b, c R: a u r + b v r + c w ur = 0 r + -----------------------------, và không có hai véc tơ nào cùng fơng thì một trong ba véc tơ biểu diễn đợc theo hai véc tơ còn lại. - Đ. lý2: Nếu u r , v r , w ur không đồng fẳng, thì mọi véc tơ x r bất kỳ trong không gian đều biểu diễn đợc qua chúng. Nghĩa là a, b, c R: x r = a u r + b v r + c w ur 1.2. tọa độ trong không gian * Các khái niệm vè tọa độ véc tơ, tọa độ điểm, độ dài véc tơ . Và các phép toán cộng, trừ hai véc tơ, nhân một số với một véc tơ, tích vô hớng của hai véc tơ, . Hoàn toàn t ơng tự nh tọa độ trong mặt fẳng. Từ đây, các em có thể tự ôn tập lại các kiến thức về tọa độ trong mặt fẳng. I. Các định nghĩa: 1. Hệ tọa độ Đề-các : Oxyz trong đó Ox, Oy, Oz là ba đờng thẳng vuông góc với nhau từng đôi một. i r , j r , k r là các véc tơ đơn vị tơng ứng trên ba trục Ox, Oy, Oz 2. Tọa độ : Véc tơ v r đợc gọi là có tọa độ a, b, c và viết là v r = (a; b; c) hoặc v r (a; b; c). Nếu v r = a i r + b j r + c k r 5 z x y O k i j Phơng pháp tọa độ .hitech Page 6 6/24/2013 Véc tơ không: 0 r = ( 0; 0; 0) Tọa độ điểm: M = (a; b; c) OM uuuur = (a; b; c) Tọa độ véc tơ MN uuuur = (x N x M ; y N y M ; z N z M ) I. Các phép toán: Ta giả sử u r =(x 1 ; y 1 ; z 1 ) , v r =(x 2 ; y 2 ; z 2 ) 1. Hai véc tơ bằng nhau : u r = v r 1 2 1 2 1 2 x x y y z z = = = 2. Cộng , trừ hai véc tơ : u r v r = w ur ( x 1 x 2 ; y 1 y 2 ; z 1 z 2 ) 3. Nhân một số với một véc tơ : k R , v r = ( x; y; z ) k. v r = w ur ( kx; ky; kz) 4. Độ dài véc tơ : v r = ( x; y; z ) v r = 2 2 2 x y z + + 5. Tích vô hớng của hai véc tơ: u r . v r = x 1 . x 2 + y 1 .y 2 + z 1 .z 2 6. Góc giữa hai véc tơ : cos ( u r , v r ) = 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 x x y y z z x y z x y z . . . . + + + + + + 1.3. tích có hớng của hai véc tơ * Đây là một phần kiến thức mới hoàn toàn khác với kiến thức trong hình fẳng. Hơn nữa khái niệm này là cơ sở để tiếp tục phát triển các kiến thức cơ bản của hình học giải tích trong không gian. Vì vậy, yêu cầu đối với học sinh fần này cần nắm chính xác định nghĩa khái niệm và kỹ năng tính nhanh tọa độ véc tơ có h - ớng cùng với khả năng vận dụng các ứng dụng của nó trong giải toán. 1. Định nghĩa: Ta gọi tích có hớng của hai véc tơ: u r =(x 1 ; y 1 ; z 1 ) và v r =(x 2 ; y 2 ; z 2 ) là một véc tơ w ur . Và ký hiệu là: w ur = u v, r r = 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 y z z x x y y z z x x y ; ; ữ Ví dụ : ( ) ( ) ( ) u 5 2 1 u v 0 13 14 v 3 4 2 ; ; , ; ; ; ; = = = r r r r 6 Phơng pháp tọa độ .hitech Page 7 6/24/2013 2. Tính chất: 1. Hai véc tơ cùng fơng: u r // v r u v, r r = 0 r . 2. Tích có hớng vuông góc với mỗi véc tơ thành fần: u v, r r u r , u v, r r v r 3. u v, r r = u r . v r .sin . Trong đó là góc giữa hai véc tơ u r và v r 2. một số ứng dụng của các phép toán tọa độ * Phần này đ ợc trình bày một cách tóm tắt theo kiểu liệt kê, những ứng dụng của các phép toán tọa độ d ới dạng công thức đã đợc công nhận mà không chứng minh. Mỗi ứng dụng có kèm theo một ví dụ minh họa trực tiếp, có lời giải hoặc h ớng dẫn cụ thể . Ví dụ đơn giản, lời giải ngắn gọn , dễ hiểu và phù hợp với mọi đối t - ợng học sinh 2.1. Tính độ dài đoạn thẳng : MN = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 N M N M N M x x y y z z + + Ví dụ: Cho M = (1; 2; 0) và N = ( 3; 2; 4) a) Tính độ dài MN b) Tìm điểm I Oz và cách đều M, N Giải: a) MN = ( ) 2 2 2 2 4 4+ + = 6 b) I Oz I(0; 0; k) IM uuur = ( ) 1 2 k; ; , IN uur = ( ) 3 2 4 k; ; . IM = IN 1+ 4 + k 2 = 9 + 4 +(4+k) 2 k = 3 I = ( ) 0 0 3; ; 2.2. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng hoặc hai đ ờng thẳng song song: A, B, C thẳng hàng AB uuur // AC uuur Ví dụ: Các điểm A(1; 2; 0), B(2; 1; 1), C( 0; 3; 5), D( 4; m+ 5; 2n+1) a) Chứng minh rằng A, B, C không thẳng hàng . b) Tìm các giá trị của m và n sao cho AB//CD Giải: a) Ta có: AB uuur (1; 3; 1), AC uuur ( 1; 5; 5 ). Tỉ số (1:3: 1) ( 1:5:5) đpcm b) Ta có AB uuur (1; 3; 1), CD uuur ( 4; m + 2; 2n 4), với A, B, C không thẳng hàng. 7 Phơng pháp tọa độ .hitech Page 8 6/24/2013 Vậy AB//CD 4 1 = m 2 3 + = 2n 4 1 m = 10 và n = 0 2.3. Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc: AB CD AB uuur . CD uuur = 0 Ví dụ: Trong hệ Oxyz. Cho các điểm A(1; 2; 0), B(2; 1; 1), C( 0; 3; 5). a) Tìm trên trục Oz điểm M sao cho tam giác ABM vuông tại A . b) Tìm điểm O' là hình chiếu vuông góc của O trên mf(ABC) Giải: a) M Oz M( 0; 0; m) AB uuur = (1; 3; 1), AM uuuur = ( 1; 2; m). AB AM AB uuur . AM uuuur = 0 1 + 6 m = 0 m = 5 . M( 0; 0; 5) ( Chú ý: Có thể sử dụng định lý Pitago: AB 2 + AM 2 = BM 2 ) b) Giả sử O' = ( x; y; z ) OO' uuuur = ( x; y; z ) , ta cú: AB uuur = (1; 3; 1), AC uuur = ( 1; 5; 5 ) và AO' uuuur = ( x 1; y+2; z ). O' là hình chiếu của O trên (ABC) AB uuur , AC uuur , AO' uuuur cùng vuông góc OO' uuuur (*) ( ) ( ) 2 x 3y z 0 x 5y 5z 0 x x 1 y y 2 z 0. + = + + = + + + = Giải hệ O' = 7 7 6 30 7 ; ; 15 ữ . Chú ý : + Trờng hợp x = y = z = 0, thỏa mãn hệ. Lúc này OO' uuuur = 0 r , thỏa mãn (*). Nhng vì O (ABC) O' O không đúng! + Cách khác: O' = mf(ABC) I (d). Trong đó (d) là đờng thẳng qua O và vuông góc với mf(ABC). Tọa độ O' thỏa mãn hệ hai phơng trình (d) và (ABC). 2.4. Tính diện tích tam giác : áp dụng tính chất 3. của tích có hớng đối với hai véc tơ AB uuur và AC uuur của ABC . Diện tích ABC là : S = 1 AB AC 2 , uuur uuur Ví dụ : Cho A = (1; 2; 0) , B = (2; 1; 1) . a) Tính diện tích tam giác AOB b) Tìm C Ox sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất c) Khi đó, chứng minh rằng góc ã ACB tù Giải: a) Ta có: OA uuur = (1; 2; 0) 8 A B C Phơng pháp tọa độ .hitech Page 9 6/24/2013 và OB uuur = (2; 1; 1) OA OB, uuur uuur = ( 2; 1; 5 ). Vậy: S OABV = 1 OA OB 2 , uuur uuur = 2 2 2 1 2 1 5 2 + + = 30 2 (đvdt) b) C Ox Tọa độ có dạng C = ( a; 0; 0) CA uuur = (1 a; 2; 0) và CB uuur = (2 a; 1; 1) Ta đợc: CA CB, uuur uuur = ( 2; 1 a; 5 3a ). Diện tích ABC là : S = 1 CA CB 2 , uuur uuur = ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 a 5 3a 2 + + = 2 1 10a 32a 27 2 + . S đạt min a = 8 5 . Vậy C = 8 0 0 5 ; ; ữ c) Khi đó: CA uuur = 3 2 0 5 ; ; ữ , CB uuur = 2 1 1 5 ; ; ữ cos ã ACB = cos ( ) CA CB, uuur uuur = 6 2 25 9 4 4 1 1 25 25 . + + + < 0 ã ACB tù. 2.5. Tính thể tích hình hộp: Hình hộp ABCD.A'B'C'D', đờng cao AH , là góc giữa AA' uuuur với AB AD, uuur uuur bằng hoặc bù ã A AH' AH = AA' uuuur . cos . Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D' là: V = S ABCD . AH = AB AD, uuur uuur . AA' uuuur . cos = AB AD AA, . ' uuur uuur uuuur Hệ quả: Thể tích tứ diện ABCD: ABCD 1 V AB AC AD 6 , . = uuur uuur uuur Ví dụ 1: Cho A(1; 2; 0), B(2; 1; 1), C(3; 2; 1), D(0; 3; 0) a) Tính ABCD V , b) Tìm M Oy: ABCM V = 10(đvtt). 9 B' C' D' C A' D A B H A B C D Phơng pháp tọa độ .hitech Page 10 6/24/2013 Hớng dẫn giải: a) AB uuur =(1; 3; 1) AC uuur =(2; 4; 1) AB AC, uuur uuur = (7; 3; 2), AD uuur =( 1; 5; 0) AB AC, uuur uuur . AD uuur = 7 15 = 22 ABCD V = 11 3 (đvtt) b) M(0; m; 0) AM uuuur = ( ) 1 m 2 0; ; + AB AC, uuur uuur . AM uuuur = 7 3m 6 ABCM V = 10 13 + 3m = 60 m = 47 3 hoc 73 3 3. một số bài toán Giải bằng phơng pháp tọa độ 3.1 L ợc đồ b ớc giải: B ớc 1: Chọn hệ trục tọa độ: + Chọn, hoặc tạo ra trong hình vẽ đã cho 3 đờng thẳng đồng quy ( tại O), đôi một vuông góc với nhau. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz + Trên 3 trục Ox, Oy và Oz lấy tơng ứng 3 điểm có dạng A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c) B ớc 2: Tính tọa độ các điểm, các véc tơ liên quan B ớc 3: Thực hiện tính toán các đại l ợng theo yêu cầu của bài toán * Chú ý: 1. Nếu chọn hệ trục tọa độ hợp lý thì các bớc tiếp theo sẽ đơn giản hơn rất nhiều 2. Dạng toán phù hợp theo phơng pháp tọa độ: Trong hình vẽ có sẵn hoặc dễ dàng tạo ra 3 đờng thẳng đồng quy, vuông góc từng đôi một và các yêu cầu của bài toán ứng dụng đợc các phép toán tọa độ 3. 2. các bài toán và h ớng dẫn giải: Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác Oxyz. Cho bốn điểm : A = ( 1; 2; 0 ), B = ( 1; 1; 2 ), C = ( 3; 3; 1) và D = ( 0; 2; 1) 1. Chứng minh rằng A, B, C, D không đồng fẳng 2. Tính cosin góc: a) ã ABC b) Giữa hai đờng thẳng AB và CD c) Giữa hai mặt fẳng (ABC) và (ABD) d) Nhị diện (C;AB;D) 3. Tính sin góc giữa đờng thẳng AB và mặt phẳng (BCD) 4. Tính thể tích tứ diện ABCD 10 [...]... + 112 + 82 = 2 354 2 6 Tính khoảng cách a) Từ A đến mf(BCD) Cách 1: Khoảng cách từ A đến mf(BCD) là đờng cao của tứ diện ABCD 3VABCD 23 Theo các kết quả câu 5, câu 6 Ta đợc: d ( A / ( BCD ) ) = = SBCD 354 Cách 2: uu uu ur ur 1; 1; 2) và có vtpt là BC, BD = ( 13; 11; 8 ) + mf(BCD): Qua B( Phơng trình (BCD): 13( x + 1) + 11( y 1) + 8 ( z 2 ) = 0 + Khoảng cách: d ( A / ( BCD ) ) = 13.2 11. 3... VABC d) E thuộc mf (Oxy) và cách đều A, B, C u ur u u u u u u uu ur u r uu r 8 Tìm tập hợp điểm M thỏa: MA + MB + MC + MD = 4 Chú ý: Bài toán này không hoàn toàn theo lợc đồ chung của phơng pháp tọa độ Dụng ý là cho việc thực hành trực tiếp các công thức, các phép toán cơ bản của tọa độ đã nêu ở phần trên! hớng dẫn giải: uu uu uu ur ur ur 1 Chứng minh rằng A, B, C, D không đồng fẳng ( AB, AC AD... = ( 1; 1; 3) n = BC, BD = (13; 11; 8), AB = ( 2; 3; 2 ) uu r ur 23 26 + 33 + 16 sin((AB);(BCD)) = cos AB, n = = 6018 17 354 4 Tính thể tích tứ diện ABCD uu uu uu ur ur ur áp dụng kết quả câu 1: AB, AC AD = 23 ur ur ur 1 uu uu uu 23 Thể tích tứ diện ABCD là: VABCD = AB, AC AD = (đvtt) 6 6 5 Tính diện tích tam giác BCD uu uu ur ur BC, BD = ( 13; 11; 8 ) áp dụng kết quả câu 3: (...Phơng pháp tọa độ hitech Page 11 6/24/2013 11 5 Tính diện tích tam giác BCD 6 Tính khoảng cách: a) Từ A đến mf(BCD) b) Từ B đến đờng thẳng CD c) Giữa hai đờng thẳng AB và CD d) Độ dài đờng phân giác trong góc A của VABC 7 Tìm tọa độ điểm... 132 + 112 + 82 = 23 354 b) Từ Bu u đờng thẳng CD đến ur Ta có: CD = ( 3; 5; 2 ) Khoảng cách từ B đến đờng thẳng CD là đờng cao của tam giác BCD 2SV 354 177 d ( B / ( CD ) ) = u BCD = ur u = Theo kết quả câu 6, ta đợc: CD 19 32 + 52 + 22 Cách khác: Gọi (P) là mặt phẳng qua B, CD, H = ( P) I (CD) Ta có: d(B / CD) = BH (P): 3 ( x + 1) + 5 ( y 1) 2 ( z 2 ) = 0 (1) (CD): x 3 y + 3 z 1 12 18 11 =... độ hitech cos ( ( DA ' C ) , ( ABB ' A ' ) ) Page 17 6/24/2013 17 u ur u u u u ur AD '.AD a2 1 = 45o = = = 2 AD '.AD a a 2 Nhận xét: Tất nhiên; Ta có thể giải hai bài toán trên bằng kiến thức thông thờng của hình học không gian lớp 11 Phơng pháp tọa độ ở đây cha thực sự thể hiện đợc tính u việt của nó Bạn đọc tự trình bày lời giải khác và so sánh! Bài 4: Hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a a... I, ữ 2 2 * Có thể đặt sao cho 4 đỉnh tứ diện đều trùng với 4 đỉnh của một hình lập phơng, ta có hệ trục toạ độ tơng ứng Nhận xét: Rõ ràng đây là một bài toán không đơn giản nếu giải theo phơng pháp hình không gian cổ điển Tất cả các bài toán trên đây đều có thể giải bằng những cách khác Việc so sánh các cách giải trong từng bài, bạn đọc có thể tự đánh giá Chú ý rằng sự so sánh chỉ nên ở mức độ... giải tích không gian Đối với phơng pháp tọa độ đây cũng là một công cụ cần thiết cho việc trình bày lời giải một số bài toán Bạn đọc có thể tham khảo bài viết phụ trơng dới đây nhằm bổ sung đủ cho phần kiến thức này Bài viết tóm tắt hai phần: P1 Lý thuyết cơ bản và P2 Tổng hợp các dạng toán thờng gặp về phơng trình đờng thẳng và mặt phẳng Phơng pháp tọa độ hitech Page 25 6/24/2013 25 p.1 phơng trình... tọa độ hitech 6/24/2013 32 Page 32 r B C C A A B ; ; + vtcp v = ữ B' C' C ' A ' A ' B' x 2y + z 4 = 0 Ví dụ: (d): 2x + y 2z + 3 = 0 5 x= x + z 4 = 0 5 11 4 Chọn y = 0, ta có hệ : Ta đợc M ; 0; ữ (d) 4 4 2x 2z + 3 = 0 z = 11 4 r Và vtcp của (d) là: v = (3; 4; 5) Dạng 3: Đờng thẳng (d): Qua hai điểm M, N có tọa độucho tr ớc uu u r (d): Xác định qua điểm M ( hoặc N ) và có vtcp MN... Phơng trình mf(SCD): 3 x - 1 z ữ 2 ữ a = 0 Tọa độ A = ; a; 0 ữ 2 ( S D ) B y ) Phơng pháp tọa độ hitech Page 20 6/24/2013 20 Khoảng cách: d ( A / ( SCD ) ) = a 3 2 Bài 7: ( Kiểm tra học kỳ 2 Lớp 11, Lam Sơn 06) Hình chóp tứ giác đều S.ABCD , cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a 2 M, N thứ tự là trung điểm SB và SD Tính cosin góc giữa hai đờng thẳng AM, BN hớng dẫn giải: a 6 Gọi O là giao của AC và . uuur = ( ) 13 11 8; ; . Phơng trình (BCD): ( ) ( ) ( ) 13 x 1 11 y 1 8 z 2 0 + + + = + Khoảng cách: ( ) ( ) d A BCD/ = 2 2 2 13 2 11 3 8 2 13 11 8 . . một số bài toán hình không gian của lớp 11 trong các đề thi tuyển Đại học và Cao đẳng nh đã nói ở trên. Mặt khác, phơng pháp này sử dụng các phép toán giải