NGUYỄN BẢO VƯƠNG LỚP 10 Chương IV Bài BẤT ĐẲNG THỨC BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 Facebook: https://web.facebook.com/phong.baovuong Website: http://tailieutoanhoc.vn/ Email: baovuong@gmail.com Page: https://web.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU LỚP 10 NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM Mục lục A TÓM TẮT LÝ THUYẾT B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN Phƣơng pháp giải Các ví dụ minh họa Loại 1: Biến đổi tƣơng đƣơng bất đẳng thức Loại 2: Xuất phát từ BĐT ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh Bài tập luyện tập DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(côsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT 11 Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi 12 Loại 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp 15 Loại 3: Kĩ thuật tham số hóa 21 Loại 4: Kĩ thuật côsi ngƣợc dấu 23 Bài tập luyện tập 25 DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC 39 DẠNG 4: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ 48 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP 57 TỔNG HỢP LẦN 57 TỔNG HỢP LẦN 62 GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM BẤT ĐẲNG THỨC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa : Cho a, b hai số thực Các mệnh đề "a  b", "a  b", "a  b", "a  b" đƣợc gọi bất đẳng thức  Chứng minh bất đảng thức chứng minh bất đẳng thức đúng(mệnh đề đúng)  Với A, B mệnh đề biến " A  B" mệnh đề chứa biến Chứng minh bất đẳng thức A  B (với điều kiện đó) nghĩa chứng minh mệnh đề chứa biến " A  B" với tất giá trị biến(thỏa mãn điều kiện đó) Khi nói ta có bất đẳng thức A  B mà không nêu điều kiện biến ta hiểu bất đẳng thức xảy với giá trị biến số thực Tính chất : * a  b b  c  a  c * a  b ac  bc * a  b c  d  a  c  b  d * Nếu c  a  b  ac  bc Nếu c  a  b  ac  bc * ab0 a  b * a  b   a  b2 * a  b   a n  bn Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối *  a  a  a với số thực a * x  a  a  x  a ( Với a  ) x  a * x a  x  a ( Với a  ) Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (Bất đẳng thức Cauchy) a) Đối với hai số không âm Cho a  0, b  , ta có ab  ab Dấu '=' xảy a  b Hệ : * Hai số dƣơng có tổng không đổi tích lớn hai số * Hai số dƣơng có tích không đổi tổng nhỏ hai số b) Đối với ba số không âm Cho a  0, b  0, c  , ta có abc  abc Dấu '=' xảy a  b  c GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN Phƣơng pháp giải Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) A  B ta sử dụng cách sau: Ta chứng minh A  B  Để chứng minh ta thƣờng sử dụng đẳng thức để phân tích A  B thành tổng tích biểu thức không âm Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tƣơng đƣơng BĐT cần chứng minh Các ví dụ minh họa Loại 1: Biến đổi tƣơng đƣơng bất đẳng thức Ví dụ : Cho hai số thực a, b,c Chứng minh bất đẳng thức sau a) ab  ab b) ab      a  b2   c) a  b2  c   a  b  c  d)  a  b  c    ab  bc  ca  2 Lời giải a) Ta có a  b2  2ab  (a  b)2   a  b2  2ab Đẳng thức  a  b ab b) Bất đẳng thức tƣơng đƣơng với    ab     a  2ab  b2  4ab   a  b   (đúng) ĐPCM Đẳng thức xảy  a  b   c) BĐT tƣơng đƣơng a  b2  c  a  b2  c  2ab  2bc  2ca   a  b    b  c    c  a   (đúng) ĐPCM 2 Đẳng thức xảy  a  b  c d) BĐT tƣơng đƣơng a  b2  c  2ab  2bc  2ca  ab  bc  ca     a  b2  c   ab  bc  ca     a  b    b  c    c  a   (đúng) ĐPCM 2 Đẳng thức xảy  a  b  c Nhận xét: Các BĐT đƣợc vận dụng nhiều, đƣợc xem nhƣ "bổ đề" chứng minh bất đẳng thức khác Ví dụ : Cho năm số thực a, b,c,d,e Chứng minh a  b2  c2  d2  e2  a(b  c  d  e) Lời giải Ta có : a  b2  c2  d2  e2  a(b  c  d  e)  ( a2 a2 a2 a2  ab  b2 )  (  ac  c )  (  ad  d2 )  (  ae  e ) 4 4 GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM a a a a  (  b)2  (  c)2  (  d)2  (  e)2   đpcm 2 2 Đẳng thức xảy  b  c  d  e  a Ví dụ : Cho ab  Chứng minh : 1   a  b2  1  ab Lời giải Ta có 1 1   (  )(  )  ab  ab  ab a 1 b 1 a 1 b 1  ab  a ab  b2 ab b a a  b b  a  a b  b2a   (  ) 2  ab (1  b2 )(1  a ) (a  1)(1  ab) (b  1)(1  ab)  ab  b  a  a  b (a  b)(ab  1) (a  b)2 (ab  1)   (Do ab  1)  ab (1  b2 )(1  a ) (1  ab)(1  b2 )(1  a ) Nhận xét : Nếu 1  b  BĐT có chiều ngƣợc lại : 1   a  b2  1  ab Ví dụ 4: Cho số thực x Chứng minh a) x4   4x b) x4   x2  4x c) x12  x4   x9  x Lời giải a) Bất đẳng thức tƣơng đƣơng với x4  4x         x  1 x3  x2  x     x  1 x2  2x   2   x  1  x  1  1  (đúng với số thực x )   Đẳng thức xảy x  b) Bất đẳng thức tƣơng đƣơng với x4  x2  4x        x4  2x2   x2  4x    x2    x      2 Ta có x2   0,  x     x2    x    2 2 x   Đẳng thức xảy  (không xảy ra)  x     Suy x2    x    ĐPCM 2 c) Bất đẳng thức tƣơng đƣơng với x12  x9  x4  x     + Với x  : Ta có x12  x9  x4  x   x12  x4  x5  1  x  Vì x  nên  x  0,  x5  x12  x9  x4  x       + Với x  : Ta có x12  x9  x4  x   x9 x3   x x3   Vì x  nên x3   x12  x9  x4  x   GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM Vậy ta có x12  x4   x9  x Ví dụ 5: Cho a, b,c số thực Chứng minh a) a4  b4  4ab         b) a   b2    ab  1 2  c) a  b2  ab   a b2   b a   Lời giải     a) BĐT tƣơng đƣơng với a  b4  2a b2  2a b2  4ab     a  b2    ab  1  (đúng) Đẳng thức xảy a  b  1       b) BĐT tƣơng đƣơng với a   b4  2b2   a b2  2ab          a  b4  2a b2  2a  4ab  2b2  a  4a    (a2  b2 )2  2(a  b)2  (a2  1)2  (đúng) Đẳng thức xảy a  b  1     c) BĐT tƣơng đƣơng với a  b2  2ab   a b2   b a          a  4a b2   b2     b2  4b a   a    a  2ab  b2        a  b2    b  2 a2    a  b 2  (đúng) Đẳng thức không xảy Ví dụ 6: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x  y Chứng minh rằng;   a) x3  y   x  y  b) x3  3x   y3  3y Lời giải   a) Bất đẳng thức tƣơng đƣơng  x  y  x2  xy  y2   x  y       x  y  4 x2  xy  y2   x  y      x  y  3x2  3xy  y      y  3y    (đúng với x  y ) ĐPCM   x  y   x    2    Đẳng thức xảy x  y b) Bất đẳng thức tƣơng đƣơng x3  y3  3x  3y  GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM Theo câu a) ta có x3  y  x  y  , ta cần chứng minh  x  y   3x  3y  (*), Thật vậy,  BĐT (*)   x  y   12  x  y   16    x  y    x  y    x  y         x  y    x  y    (đúng với x  y ) Đẳng thức xảy không xảy Loại 2: Xuất phát từ BĐT ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh Đối với loại thƣờng cho lời giải không đƣợc tự nhiên ta thƣờng sử dụng biến có ràng buộc đặc biệt * Chú ý hai mệnh đề sau thƣờng dùng a  α;β   a  α  a  β   *  a, b,c  α;β   a  α  b  α  c  α   β  a β  b β  c    * *  Ví dụ : Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : a  b2  c2  2(ab  bc  ca) Lời giải Vì a,b,c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có : a  b  c  ac  bc  c2 Tƣơng tự bc  ba  b2 ; ca  cb  c cộng ba BĐT lại với ta có đpcm Nhận xét : * Ở toán ta xuất phát từ BĐT tính chất độ dài ba cạnh tam giác Sau cần xuất bình phƣơng nên ta nhân hai vế BĐT với c Ngoài xuất phát từ BĐT |a  b| c bình phƣơng hai vế ta có đƣợc kết Ví dụ : Cho a, b,c  [0;1] Chứng minh : a2  b2  c2   a b  b2 c  c 2a Lời giải Cách 1: Vì a, b,c [0;1]  (1  a )(1  b2 )(1  c )    a2 b2  b2 c2  c2a2  a b2 c  a  b2  c (*) Ta có : a2 b2 c2  0; a b2  b2 c  c 2a  a b  b2c  c 2a nên từ (*) ta suy a2  b2  c2   a2 b2  b2 c2  c2a   a b  b2 c  c 2a đpcm Cách 2: BĐT cần chứng minh tƣơng đƣơng với a 1  b   b2 1  c   c 1  a   Mà a, b,c  0;1  a2  a, b2  b,c  c a   b   b   c   c   a   a   b   b   c   c 1  a  Ta cần chứng minh a 1  b   b 1  c   c 1  a   GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM Thật vậy: a, b,c  0;1 nên theo nhận xét  * *  ta có abc  1  a   b  c    a  b  c   ab  bc  ca    a 1  b   b 1  c   c   a   BĐT ban đầu đƣợc chứng minh Ví dụ : Cho số thực a,b,c thỏa mãn : a2  b2  c2  Chứng minh : 2(1  a  b  c  ab  bc  ca)  abc  Lời giải Vì a  b2  c2   a, b,c [1;1] nên ta có : (1  a)(1  b)(1  c)    a  b  c  ab  bc  ca  abc  (*) (1  a  b  c)2    a  b  c  ab  bc  ca  (**) Cộng (*) (**) ta có đpcm Mặt khác : Ví dụ 10: Chứng minh a  4, b  5,c  a2  b2  c2  90 a  b  c  16 Lời giải Từ giả thiết ta suy a  9, b  8,c  áp dụng  *  ta có a  a    0,  b  5 b    0, c  c    nhân cộng BĐT chiều lại ta đƣợc: a  b2  c2  13(a  b  c)  118  suy abc    a  b2  c  118  16 a2  b2  c2  90 13 a  b  c  16 dấu “=” xảy a  4, b  5,c  Ví dụ 11: Cho ba số a, b, c thuộc   1;1 không đồng thời không Chứng minh a b2  b4 c  c a  2 a 2012  b2012  c 2012 Lời giải 2 Vì ba số a, b, c thuộc   1;1 nên  a , b ,c  Suy (1  b2 )(1  b2  a )   a4  b4  a b2  (*) Mặt khác a  a 2012 , b4  b2012 với a, b thuộc   1;1 Suy a4  b4  a4 b2  a 2012  b2012  a b2 (**) Từ (*) (**) ta có a2012  b2012  a4 b2  hay a b2  c 2012  1 a  b2012  c 2012 2012 GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM Tƣơng tự ta có b4 c  a 2012  c a  b2012   1 a 2012  b2012  c 2012 a 2012  b2012  c 2012 Cộng vế với ta đƣợc Hay a b2  b4 c  c a  a 2012  b 2012  c 2012  3 a 2012  b2012  c 2012 a b2  b4 c  c a   ĐPCM a 2012  b2012  c 2012 Bài tập luyện tập Bài 4.0 Cho số thực a, b, c số thực Khẳng định sau a) A a  b  c  ab  bc  ca B 2a  2b  2c  ab  bc  ca C a  b  c  ab  bc  ca D a  b  c  ab  bc  ca A a2  b2   ab  3a  2b B a2  b2   ab  a  b C a2  b2   2ab  a  b D a  b2   ab  a  b b) c) A a  b2  c   2(a  b  c) B a  b2  c2   2(a  b  c) 2 a  b  c   2(a  b  c) 2 C 2a  2b2  2c2   2(a  b  c) D A a  b2  c2  3(ab  bc  ca) B a  b2  c  (ab  bc  ca) C a  b2  c2  2(ab  bc  ca) D a  b2  c2  2(ab  bc  ca) d) Bài làm: Bài 4.0: a) BĐT   a  b    b  c    c  a   2 b) BĐT (a  b)2  (a  1)2  (b  1)2  c) BĐT  (a  1)2  (b  1)2  (c  1)2  d) BĐT (a  b  c)2  Bài 4.1: Cho a, b,c,d số dƣơng Khẳng định sau nhất? a) A a ac a với   b bc b B a ac a với   b bc b GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM C a ac a với   b bc b D a ac a với   b bc b A a b c   1 a b bc ca B a b c   2 a b bc ca C a b c   3 a b bc ca D a b c   4 a b bc ca b) c) A  a b c d    3 a bc bcd cda da b B  a b c d    2 a bc bcd cda da b C  a b c d    4 a bc bcd cda da b D  a b c d     a bc bcd cda da b A  ab bc cd da     a bc bcd cda da b B  ab bc cd da    4 a bc bcd cda da b C  ab bc cd da    5 a bc bcd cda da b D  ab bc cd da    3 a bc bcd cda da b d) Bài làm: Bài 4.1: a) BĐT   a – b  c  b) Sử dụng câu a), ta đƣợc: a ac b ba c cb , ,    ab abc bc a bc ca a bc Cộng BĐT vế theo vế, ta đƣợc đpcm c) Sử dụng tính chất phân số, ta có: Tƣơng tựta có a a a   a bcd a bc ac b b b c c c d d d , ;       a bcd bc d bd a  bcd cda a c a bcd da  b d b Cộng BĐT vế theo vế ta đƣợc đpcm GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM a) a b3 c   3 bc ca ab b) 1    a  b2  c 2 a b c Lời giải a) Áp dụng BĐT a2  b2  c2  ab  bc  ca hai lần ta có : a4  b4  c4  (a2 )2  (b2 )2  (c2 )2  a2 b2  b2 c2  c2a2  (ab)2  (bc)2  (ca)2   ab.bc  bc.ca  ca.ab  abc(a  b  c)  3abc (vì a  b  c  ) Suy a b3 c a  b4  c  hay    ĐPCM bc ca ab abc Đẳng thức xảy  a  b  c b) Áp dụng a2  b2  c2  ab  bc  ca ta có Do ta cần chứng minh 1 1 1  2     ab bc ca abc a b c    a  b2  c  abc a  b2  c  (*) abc Lại áp dụng  a  b  c    ab  bc  ca  (ví dụ 1) ta có ab  bc  ca   3abc  a  b  c  ab  bc  ca   abc  (**) abc Áp dụng bất đẳng thức abc    (**) ta có     abc a  b2  c   ab  bc  ca  a  b2  c    a  b  c  9  3   3   Vậy BĐT (*) nên BĐT ban đầu ĐPCM Đẳng thức xảy  a  b  c Ví dụ 5: Cho a, b,c số dƣơng Chứng minh a) 1 1 1    (   ) 2a  b  c 2a  2b  c a  b  2c a b c b) 1 1 1      a  3b b  3c c  3a 2a  b  c a  2b  c a  b  2c lời giải Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực không âm ta có: a  b  ab  1  1   (a  b)( a  b )  ab.2 ab   2  a b ab  Suy 1 (*) Đẳng thức xảy  a  b   a b ab GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 50 NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM a) Áp dụng BĐT (*) ta có: 1 1 1 1   (  ) (   ) 2a  b  c (a  b)  (a  c) a  b a  c 16 a b c Tƣơng tự ta có 1 1 1  (   );  (   ) a  2b  c 16 a b c a  b  2c 16 a b c Cộng ba BĐT ta có đƣợc đpcm Đẳng thức xảy  a  b  c b) Áp dụng BĐT (*) ta có: 1    a  3b a  b  2c 2a  4b  2c a  2b  c Tƣơng tự 1 1   ;   b  3c 2a  b  c a  b  2c c  3a a  2b  c 2a  b  c Cộng ba BĐT ta có đpcm Đẳng thức xảy  a  b  c Ví dụ 6: Cho a, b,c dƣơng thỏa mãn a  b  c  Chứng minh a) a b c    1 a 1 b 1 c b) 1 1     30 2 ab bc ca a b c Lời giải Áp dụng BĐT Côsi cho ba số thực dƣơng ta có : a  b  c  3 abc  1 1  9 1 1   (a  b  c)(   )  abc.3 a b c   3 abc  a b c abc  Suy 1 (*) Đẳng thức xảy  a  b  c    a b c abc a) Ta có BĐT   ( a 11 b 11 c 11    a 1 b1 c 1 1 1   )     a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 Áp dụng BĐT (*) ta có 1 9     đpcm a 1 b1 c 1 a  bc  Đẳng thức xảy  a  b  c  b) Áp dụng BĐT (*) ta có :  1    ab bc ca ab  bc  ca 1 1      2 2 a  b  c ab bc ca a  b  c ab  bc  ca  1    a  b2  c ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 51 NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM 1 Mặt khác : ab  bc  ca  (a  b  c)2    21 3 ab  bc  ca 1    9 a  b2  c ab  bc  ca ab  bc  ca a  b2  c  2(ab  bc  ca) Suy : 1 1      21  30 đpcm a  b2  c ab bc ca Đẳng thức xảy  a  b  c  Ví dụ 7: Cho a, b,c số thuộc 0;1 thỏa mãn    4a  4b  4c  Tìm giá trị lớn P  ab2 c Lời giải Ta chứng minh bất đẳng thức sau Với x, y thuộc [0,1] , ta có 1 (*)   2 4x  4y  4x y  Thật vậy, BĐT (*)       2x4  2y4  4x2 y2   4x4  4y    8x4 y4  10x2 y2  x4  y4    4x y   2  (5  4x2 y2 )(x2  y2 )2  (đúng với x, y [0,1] ) Dấu xảy x  y Áp dụng BĐT (*) ta có: Suy Và 1 2 (1)    2  2  4a  4b  4c  4a c  4b c  4abc  1   4b4  Suy 1 1   ,   4a  4c  4a c  4b4  4c  4b c  b2 , 5 1   c4  1    4b  4c  Ta lại có 4  4abc  Từ (1), (2) (3) ta có bc b2 2 5 4 ab2 c 5  c 2  5 c2  5 4 bc (2) 5 (3) 5     4a  4b  4c  4 ab2 c 5 GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 52 NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM Kết hợp giả thiết suy ab c  5  ab2 c  Dấu xảy a  b  c  Vậy maxP  1 a  b  c  16 Bài tập luyện tập Bài 4.50: Cho a, b, x, y  R Chứng minh bất đẳng thức sau: a  x2  b2  y2  (a  b)2  (x  y)2 (1) (a  b2 )(x2  y2 )  ab  xy (*) Bài làm: Bình phƣơng vế ta đƣợc: (1)   Nếu ab  xy  (*) hiển nhiên  Nếu ab  xy  bình phƣơng vế ta đƣợc: (*)  (bx  ay)2  (đúng) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau: a) Cho a, b  thoả a  b  Giá trị nhỏ P   a   b2 A B.1 C.3 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = A 17 a2  B 17 D.4 1  b2  b a C.1 D.54 c) Cho x, y, z > thoả mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ P  x2  1  y2   z2  x y z A 82 B 12 C.1 D.4 d) Cho x, y, z > thoả mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= 223  x2  223  y2  223  z2 A 2010 B.2010 C.232 D.12 Bài làm: Bài 4.50: Bình phƣơng vế ta đƣợc: (1)  (a  b2 )(x2  y2 )  ab  xy (*)  Nếu ab  xy  (*) hiển nhiên  Nếu ab  xy  bình phƣơng vế ta đƣợc: (*)  (bx  ay)2  (đúng) a) Sử dụng (1) Ta có:  a   b2  (1  1)2  (a  b)2  GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 53 NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM b) Sử dụng (1) P  Chú ý: 1 1   (a  b)2      (a  b)2     17 a b ab 1 (với a, b > 0)   a b ab c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta đƣợc: 1 1 1 x   y   z   (x  y  z)2      x y z x y z 2    (x  y  z)     82 xyz Chú ý: 1    (với x, y, z > 0) x y z xyz d) Tƣơng tự câu c) Ta có: P  3 223   (x  y  z)2  2010 Bài 4.51: Cho a, b dƣơng Chứng minh 1 (1)   a b ab Áp dụng chứng minh BĐT sau: a) 1  1     2    ; với a, b, c > a b c a b bc ca  b) 1  1     2    ; với a, b, c > a b bc ca  2a  b  c a  2b  c a  b  2c  c) Cho a, b, c > thoả d) 1 1 1    Chứng minh:   1 a b c 2a  b  c a  2b  c a  b  2c ab bc ca abc ; với a, b, c >    a b bc ca e) Cho x, y,z dƣơng thoả mãn x  2y  4z  12 Chứng minh: 2xy 8yz 4xz   6 x  2y 2y  4z 4z  x f) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng: 1 1 1    2    pa p  b p c a b c  Bài làm Bài 4.51: a) Áp dụng (1) ba lần ta đƣợc: 1 1 1   ;   ;   a b a  b b c bc c a c a Cộng BĐT vế theo vế ta đƣợc đpcm b) Tƣơng tự câu a) c) Áp dụng a) b) ta đƣợc: 1  1     4    a b c  2a  b  c a  2b  c a  b  2c  GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 54 NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM d) Theo (1): 11 1 ab       (a  b) ab 4a b ab Cùng với BĐT tƣơng tự, cộng vế theo vế ta đƣợc đpcm e) Áp dụng câu d) với a  x, b  2y, c  4z a  b  c  12  đpcm f) Nhận xét:  p – a    p – b   2p – a  b   c Áp dụng (1) ta đƣợc: 1 4    p  a p  b (p  a)  (p  b) c Cùng với BĐT tƣơng tự, cộng vế theo vế, ta đƣợc đpcm Bài 4.52: Cho a, b,c số dƣơng Chứng minh 1 (1)    a b c abc Áp dụng chứng minh BĐT sau:  1  a) (a  b2  c )      (a  b  c) với a, b,c dƣơng a b bc ca  b) a b c    Với a, b,c dƣơng thoả a  b  c  a 1 b1 c 1 c) 1    Với a, b,c dƣơng thỏa mãn a  b  c  a  2bc b  2ac c  2ab d) 2009   670 Với a, b,c dƣơng thỏa mãn a  b  c  2 a  b  c ab  bc  ca 2 Bài làm  1 1 Bài 4.52: Ta có: (1)  (a  b  c)      Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si a b c a) Áp dụng (1) ta đƣợc:  VT  1    a  b b  c c  a 2(a  b  c) 9(a  b2  c ) 3(a  b2  c )   (a  b  c) 2(a  b  c) abc Chú ý: (a  b  c)2  3(a  b2  c ) b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P nhƣ sau: P= x 11 y 11 z 11  1    = 3    x1 y 1 z1  x 1 y 1 z 1 Ta có: 1 9     Suy ra: P    x 1 y 1 z 1 x  y  z  4 c) Ta có: P  d) Ta có 9   a  2bc  b2  2ca  c  2ab (a  b  c)2 1 9     1 2 2 ab  bc  ca ab  bc  ca a b c a  b  c   ab  bc  ca   a  b  c 2 GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 55 NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM  ab  bc  ca    a  b  c  2007 3.2007   669 ab  bc  ca  a  b  c 2 nên Đẳng thức xảy a  b  c  Bài 4.53: Cho a, b,c  abc  Chứng minh : ab bc ca    5 a  b  ab b  c  bc c  a  ac Bài làm Bài 4.53: Ta có : a  b5  a b2  b3a  a b2 (a  b)  a  b5  ab  ab  ab  a  b5  ab Tƣơng tự : abc c ab c  abc abc ab c bc a ca b  ;  b5  c  bc a  b  c c  a  ac a  b  c Cộng ba BĐT lại với ta có đpcm Bài 4.54: Cho ba số thực không âm a, b, c hai số đồng thời không Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b c ab  bc  ca    2 bc ca a b a  b2  c A P  C P  B minP  Bài 4.54: * Trƣớc tiên, ta chứng minh kết sau: Nhân hai vế (1) với ab  bc  ca , để ý Dễ thấy đó, (1) trở thành a  D minP  12 a b c a  b2  c (1)    b  c c  a a  b ab  bc  ca a a abc (ab  bc  ca)  a(b  c)  bc   a  bc bc  b c abc abc abc  b2   c2   a  b2  c bc ca ab  1    Hay abc    (hiển nhiên đúng) Điều phải chứng minh  bc ca a b * Quay trở lại toán, sử dụng kết trên, ta suy P  với t  a  b2  c ab  bc  ca ,  2  t2  ab  bc  ca t a  b2  c a  b2  c ab  bc  ca Với cách đặt trên, dễ dàng suy t  Vậy ta tìm giá trị nhỏ f(t)  t  Áp dụng BĐT côsi ta có f(t)  t  với t  t 2 2 2 2   3 t2 6 t t t t Đẳng thức xảy t  hay a  b  0, c  hoán vị tƣơng ứng Vậy minP  a  b  0, c  hoán vị tƣơng ứng GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 56 NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP TỔNG HỢP LẦN Bài Nếu a  b c  d bất đẳng thức sau đúng? A ac  bd Bài B a  c  b  d B n – m  B a  b2 a b  c d B 3a  6a Bài 10 C  3a   6a D  a   a C ac  bc D ac  bc C a  b2 D ac  bd Nếu a  b  , c  d  bất đẳng thức sau không đúng? Sắp xếp ba số B ac  bd  13 , 19  16 C a b  c d D a d  b c theo thứ tự từ bé đến lớn thứ tự A 19 ,  16 ,  13 B  16 , 19 ,  13 C 19 ,  13 ,  16 D  13 ,  16 , 19 Nếu a  2c  b  2c bất đẳng thức sau đúng? B a  b2 C 2a  2b D 1  a b Nếu 2a  2b 3b  3c bất đẳng thức sau đúng? A a  c Bài 12 B a  b2 B a  c  b  d A 3a  3b Bài 11 D a  c  b  d Nếu a  b  , c  d  bất đẳng thức sau không đúng? A a  c  b  d Bài C ac  bd Nếu a, b,c số a  b bất đẳng thức sau đúng? A ac  bc Bài D c  a  c  b Bất đẳng thức sau với số thực a? A 3a  2c  3b  2c Bài C a  c  b  c B a  c  b  d A 6a  3a Bài D m – n  Nếu a  b c  d bất đẳng thức sau đúng? A Bài C –m  –n Nếu a, b c số a  b bất đẳng sau đúng? A ac  bc Bài D ac  bd Nếu m  , n  bất đẳng thức sau đúng? A m  n Bài C a  d  b  c B a  c C 3a  3c D a  c Một tam giác có độ dài cạnh 1,2,x x số nguyên Khi đó, x A B C D KHÔNG ĐÁP ÁN Bài 13 Với số thực a bất kì, biểu thức sau nhận giá trị âm? GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 57 NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM A a  2a  Bài 14 B a  a  B a  a  Trong số  , C số nhỏ 15 , số lớn  B số nhỏ  , số lớn D số nhỏ  , số lớn  B 2a   2b  C b  a  D a   b  C a  a D a  a Nếu  a  bất đẳng thức sau ? A Bài 18 D a  2a  Cho hai số thực a, b cho a  b Bất đẳng thức sau không đúng? A a  b4 Bài 17 C a  2a  15 ,  , A số nhỏ 15 , số lớn  Bài 16 D a  2a  Với số thực a bất kì, biểu thức sau luôn dƣơng A a  2a  Bài 15 C a  2a   a a a B a  Cho a, b,c,d số thực a,c  Nghiệm phƣơng trình ax  b  nhỏ nghiệm phƣơng trình cx  d  A Bài 19 b c  a d B B b  a B ab  bc  b2 D b d  a c C a  b  D a  b  C b2  c2  a2  2bc D b2  c2  a2  2bc Cho f  x   x  x2 Kết luận sau đúng? A f(x) có giá trị nhỏ C f(x) có giá trị nhỏ  Bài 22 b a  d c Cho a, b,c độ dài ba cạnh tam giác Mệnh đề sau không ? A a  ab  ac Bài 21 C Nếu a  b  a b  a  b bất đẳng thức sau đúng? A ab  Bài 20 b c  a d Cho hàm số f  x   x 1 B f(x) có giá trị lớn D f(x) có giá trị lớn Mệnh đề sau ? A f(x) có giá trị nhỏ , giá trị lớn B f(x) giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn C f(x) có giá trị nhỏ , giá trị lớn D f(x) giá trị nhỏ giá trị lớn Bài 23 x  y  Với giá trị a hệ phƣơng trình  có nghiệm (x; y) với x.y lớn x  y  2a  A a  Bài 24 B a  C a   D a  Cho biết hai số a b có tổng Khi đó, tích hai số a b GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 58 NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM Bài 25 Bài 26 Bài 27 Bài 28 A có giá trị nhỏ B có giá trị lớn C có giá trị lớn D giá trị lớn Cho a  b  Khi đó, tích hai số a b A có giá trị nhỏ 1 B có giá trị lớn 1 C có giá trị nhỏ a  b D giá trị nhỏ Cho x2  y2  , gọi S  x  y Khi ta có A S   B S  C   S  D 1  S  Cho x, y hai số thực thay đổi cho x  y  Gọi m  x2  y2 Khi ta có: A giá trị nhỏ m B giá trị nhỏ m C giá trị lớn m D giá trị lớn m Với x  , biểu thức: A Bài 29 x Bài 31 Bài 32 Bài 33 x1 C A  B  Giá trị nhỏ củabiểu thức x2  x với x  A 9 B 6 x 1 D x là: B  Giá trị nhỏ biểu thức x2  x với x  C  27 D  81 là: C D C D là: Cho biểu thức P  a  a với a  Mệnh đề sau mệnh đề đúng? A Giá trị lớn P B Giá trị nhỏ P C Giá trị lớn P D P đạt giá trị nhỏ a  Giá trị lớn hàm số f  x   A Bài 34 B 2 x1 x , , , , giá trị biểu thức nhỏ nhất? x x 1 x 1 2 Giá trị nhỏ biểu thức x2  3x với x  A  Bài 30 11 B x  5x  11 C 11 D 11 Cho biểu thức f  x    x2 Kết luận sau đúng? A Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ B Hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 59 NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM C Hàm số f(x) có giá trị nhỏ giá trị lớn D Hàm số f(x) giá trị nhỏ giá trị lớn Bài 35 Cho a số thực bất kì, P  2a Bất đẳng thức sau với a? a2  A P  1 Bài 36 B P  C P  1 D P  Cho Q  a2  b2  c2  ab  bc  ca với a,b,c ba số thực Khẳng định sau đúng? A Q  a, b,c số dƣơng B Q  a, b,c số không âm C Q  với a, b,c số D Q  với a, b,c số Bài 37 Số nguyên a lớn cho a 200  3300 là: A Bài 38 Điền dấu B D  , , ,   thích hợp vào ô trống để đƣợc bất đẳng thức A Nếu a, b dƣơng ab ab ab  B Với a, b a  ab  b2 C Nếu a, b,c dƣơng Bài 39 C  a  b2 a b c   bc ca a b Cho a, b số thực Xét tính đúng–sai mệnh đề sau:  a  b  a  b2 A      B a2  b2   a  b  ab C a  b2    a  b   ab Bài 40 Cho hai số thực a, b tùy ý Mệnh đề sau đúng? A a  b  a  b Bài 41 Bài 42 B a  b  a  b C a  b  a  b D a  b  a  b Cho hai số thực a, b tùy ý Mệnh đề sau đúng? a a  với b  b b A ab  a b B C Nếu a  b a  b2 D a  b  a  b Cho hai số thực a, b tùy ý Mệnh đề sau đúng? A a  b  a  b B a  b  a  b C a  b  a  b D a  b  a  b Bài 43 Bất đẳng thức sau với số thực x ? GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 60 NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM A x  x Bài 44 Bài 45 Bài 48 B C b  a  b D a  b Cho a  Nếu x  a bất đẳng thức sau đúng? B x  x C x  a B 1  x a C  x  a A a  a  B ab  2a b  C ab  2b a  D b   b Giá trị nhỏ hàm số f(x)  x  B B C B B 2 C 2 Giá trị nhỏ hàm số f(x)  2x  A B D 2 D x  với x  x 1 Giá trị nhỏ hàm số f(x)  2x  D x2 x C 2 Bài 53 C Cho x  Giá trị lớn hàm số f(x)  A với x  x Giá trị nhỏ hàm số f(x)  A Bài 52 D x  a với x  x Giá trị nhỏ hàm số f(x)  2x  A Bài 51 1  x a Cho a  1, b  Bất đẳng thức sau không ? Bài 50 D Nếu x  a bất đẳng thức sau đúng? A Bài 49 1 với ab   a b A a  b2 A x  a Bài 47 D x  x Nếu a, b số thực a  b bất đẳng thức sau đúng? A x  a Bài 46 C x  x2 B x  x D với x  x C D 2 với x  x2 GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 61 NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM A Bài 54 C B Cho a, b, c, d số dƣơng Hãy điền dấu  , , ,   thích hợp vào ô trống A Nếu a c a b cd   b d a c C a  b  c  ab  bc  ca Bài 55 D 2 B Nếu a c a b cd   b d b d D ab( a  b)  2ab  a  b Điền số thích hợp vào chỗ chấm để đƣợc mệnh đề A Giá trị lớn hàm số y  x    x với  x  là… 2 x  ………… B Giá trị nhỏ hàm số y  2x2  5x  ……  Bài 56 17 x  ……… Cho a2  b2  c2  Hãy xác định tính đúng-sai mệnh đề sau: A ab  bc  ca  Sai B ab  bc  ca   Đúng C ab  bc  ca  Sai D ab  bc  ca  Đúng TỔNG HỢP LẦN Bài 57 Tìm mệnh đề đúng? Bài 58 Bài 59 B a  b  C a  b  c  d  ac  bd D a  b  ac  bc,  c   Suy luận sau a  b A   ac  bd c  d a  b a b B    c d c  d a  b C   a c  bd c  d a  b  D   ac  bd c  d  Bất đẳng thức  m  n   4mn tƣơng đƣơng với bất đẳng thức sau A n  m  1  m  n  1  B m2  n2  2mn C  m  n   m  n  D  m  n   2mn 2 Bài 60 Bài 62 Với a, b  , ta có bất đẳng thức sau đúng? A a  b  Bài 61 1  a b A a  b  ac  bc B a2  ab  b2  C a2  ab  b2  D a  b  Với hai số x, y dƣơng thoả xy  36 , bất đẳng thức sau đúng? A x  y  xy  12 B x  y  2xy  72 C 4xy  x2  y2 D 2xy  x2  y2 Cho hai số x, y dƣơng thoả x  y  12 , bất đẳng thức sau đúng? GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 62 NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM A xy B xy     36   xy  C 2xy  x2  y2 Bài 63 D Cho x, y hai số thực thỏa xy  Giá trị nhỏ A  x2  y2 A Bài 64 Bài 65 B Cho a  b  x  A x  y B x  y C x  y D Không so sánh đƣợc a b a b c 1 (với a, b, c > 0) Bất   (II)    (III)    b c a a b c abc b a đẳng thức bất đẳng thức đúng? B II Với a, b,c  Biểu thức P  C III D I, II, III a b c Mệnh đề sau đúng?   bc ca a b B P C P D P Cho a, b  ab  a  b Mệnh đề sau ? A a  b  Bài 68 D Cho bất đẳng thức: (I) A  P  Bài 67 C 1 a 1 b Mệnh đề sau ? ,y 1 a  a  b  b2 A I Bài 66 xy  B a  b  C a  b  D a  b  Cho a  b  c  d x   a  b  c  d  , y  a  c  b  d  ,z  a  d  b  c  Mệnh đề sau đúng? A x  y  z Bài 69 B y  x  z C z  x  y D x  z  y Với a, b,c,d  Trong mệnh đề sau mệnh đề sai? A a a ac  1  b b bc B a a ac  1  b b bc C a c a ac c     b d b bc d D Có hai ba mệnh đề sai Bài 70 Hai số a, b thoả bất đẳng thức A a  b Bài 71 a  b2  a  b      B a  b C a  b D a  b Cho x, y,z  xét ba bất đẳng thức (I) x3  y3  z3  3xyz (II) 1 x y z       Bất đẳng thức đúng? (III) x y z xyz y z x A Chỉ I B Chỉ I III C Chỉ III D Cả ba GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 63 NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 64 [...]... TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(côsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT 1 Phƣơng pháp giải Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức côsi: * Khi áp dụng bđt côsi thì các số phải là những số không âm * BĐT côsi thƣờng đƣợc áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích * Điều kiện xảy ra dấu „=‟ là các số bằng nhau * Bất đẳng thức côsi còn có hình thức khác thƣờng... vế với vế các bất đẳng thức trên, ta đƣợc: 1  x3  y3 xy Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 1  y3  z3  yz 1  xy 1 yz  zx 3 3 xyz 3 1  2 Từ (1) và (2), ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  z  1 Bài 4.8 : Với các số dƣơng a, b, c, d sao cho: a b c d    1 1 a 1 b 1 c 1 d Giá trị lớn nhất của P  abcd A 1 81 B.1 C.2 D 1 64 Bài làm: Bài 4.8 : 1 a b c d... 6 Đẳng thức xảy ra  a  b  c abc Vậy minP  6 Bài tập tự luận Bài 4.1 8: Với các số dƣơng a, b, c, chứng minh rằng: a) a3  b3  c3  ab2  bc2  ca 2 b) a 3 b3 c 3    ab  bc  ca b c a c) a 6 b6 c 6 a 4 b 4 c 4      c a b b3 c 3 a 3 Bài 4.1 8: a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: a3  b3  b3  3ab2 , b3  c3  c3  3bc 3 , c 3  a 3  a 3  3ca 2 Cộng vế với vế của các bất đẳng thức. .. các bất đẳng thức trên, ta đƣợc:   1 2 a 3  b3  c 3   3   2 a 3  b3  c 3   3  ab  bc  ca   3 2 3 1  a 3  b3  c 3  Dấu đẳng thức xảy ra a  b  c  3 1 3 Bài 4.2 0: Với các số dƣơng a, b, c thỏa mãn điều kiện 4  a  b  c   3abc Tìm giá trị nhỏ nhất của : P  A 3 8 1 1 1  3 3 3 a b c B 13 8 C 23 8 D.2 Bài làm: Bài 4.2 0: Ta có: 4  a  b  c   3abc  Áp dụng bất đẳng thức. .. các bất đẳng thức trên, ta đƣợc:    3 a 3  b3  c 3  3 ab2  bc 2  ca 2  a  b  c  ab  bc  ca 3 3 3 2 2  2 Dấu đẳng thức xảy ra  a  b  c b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: a3 b3 c3  ab  2a 2 ,  bc  2b2 ,  ca  2c 2 b c a Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta đƣợc:  a 3 b3 c 3    ab  bc  ca  2 a 2  b2  c 2 b c a  (1) Lại có, a2  b2  c2  ab  bc  ca (2) Từ... 2abcd  a 2 d2  b2 c2  a 2 d2  2abcd  b2 c 2  0   ad  bc   0 2 Do bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức cần chứng minh cũng đúng Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi ad  bc Bài 4.5 : Cho a, b,c  1; 3 và thoả mãn điều kiện a  b  c  6 Giá trị lớn nhất của P  a 2  b2  c2 A.14 B.13 C.12 D.11 Bài làm: Bài 4.5 : Vì a, b,c  1; 3 do đó ta có a  1 b  1 c  1   3  a ... c  b  b  c  c  c  a  a a  b  2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: a3  b  2c  2  b  2c b  2c a3 b  2c b  2c a   33  2 27 27  b  c  27 27 3 Tƣơng tự, ta có: c3  a  2b  2  b3  c  2a  2  c  2a c  2a b   , 27 27 3 a  2b a  2b c   27 27 3 Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta đƣợc: a3 b3  c3   b  2c  ... a   1  8 a b    c  Bài 4.1 0: Cho ba số dƣơng x, y,z thoả mãn hệ thức xyz  x  y  z   1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P   x  y  x  z  A.2 B.4 C.6 D.8 Bài làm:  Bài 4.1 0: Ta có 1  xyz  x  y  z   yz x2  xy  xz  Áp dụng BĐT côsi ta có     P   x  y  x  z   yz  x2  xy  zx  2 yz x2  xy  zx  2 Suy ra minP  2 Bài 4.1 1: Cho ba số thực dƣơng a, b,c... 2 a3 b3  c3   b  2c   c  2a  a  2b  2 2  2 2 a  b  c  9 Bài làm Bài 4.2 1: a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: a3 b bc a3 b bc 3    33  a 4 2 b  b  c 2 b b  c 2 4 Tƣơng tự, ta có: b3 c ca 3 c3 a ab 3    b,    c 2 4 2 4 2 c c  a a a  b  2 Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta đƣợc: a3 b3 c3 3    a  b  c  a  b  c  2 b  b  c  c  c  a... SOẠN VÀ SƢU TẦM Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c c) Áp dụng BĐT côsi a 6 a 6 b6 3a 4 a 6 b6 c 6 a 4 b 4 c 4 Chứng minh tƣơng tự, ta thu đƣợc: 3  3  3   3 3    3 c c a b b b c b c a Bài 4.1 9: Với các số dƣơng a, b, c thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P  a 3  b3  c 3 A 1 B 3 1 C 2 1 D 13 1 12 Bài làm: Bài 4.1 9: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: a ... TẦM BẤT ĐẲNG THỨC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa : Cho a, b hai số thực Các mệnh đề "a  b", "a  b", "a  b", "a  b" đƣợc gọi bất đẳng thức  Chứng minh bất đảng thức chứng minh bất đẳng thức. .. bn Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối *  a  a  a với số thực a * x  a  a  x  a ( Với a  ) x  a * x a  x  a ( Với a  ) Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (Bất đẳng thức. .. c2  14 DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(côsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT Phƣơng pháp giải Một số ý sử dụng bất đẳng thức côsi: * Khi áp dụng bđt côsi